單變量不等式能成立之參變分離法
參變分離法是將不等式變形成一個一端是f(a)，另一端是變量表達(dá)式g(x)的不等式后，若f(a)≥g(x)在x∈D上能成立，則f(a)≥g(x)min；若f(a)≤g(x)在x∈D上能成立，則f(a)≤g(x)max．特別地，經(jīng)常將不等式變形成一個一端是參數(shù)a，另一端是變量表達(dá)式g(x)的不等式后，若a≥g(x)在x∈D上能成立，則a≥g(x)min；若a≤g(x)在x∈D上能成立，則a≤g(x)max．
利用分離參數(shù)法來確定不等式f(x，a)≥0(x∈D，a為實(shí)參數(shù))能成立問題中參數(shù)取值范圍的基本步驟：
(1)將參數(shù)與變量分離，化為f1(a)≥f2(x)或f1(a)≤f2(x)的形式．
(2)求f2(x)在x∈D時的最大值或最小值．
(3)解不等式f1(a)≥f2(x)min或f1(a)≤f2(x)max，得到a的取值范圍．
注意 “恒成立”與“存在性”問題的求解是“互補(bǔ)”關(guān)系，即f(x)≥g(a)對于x∈D恒成立，應(yīng)求f(x)的最小值；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立，應(yīng)求f(x)的最大值．在具體問題中究竟是求最大值還是最小值，可以先聯(lián)想“恒成立”是求最大值還是最小值，這樣也就可以解決相應(yīng)的“存在性”問題是求最大值還是最小值．特別需要關(guān)注等號是否成立問題，以免細(xì)節(jié)出錯．
【例題選講】
[例1] 已知函數(shù)f(x)＝3lnx－eq \f(1,2)x2＋x，g(x)＝3x＋a．
(1)若f(x)與g(x)的圖象相切，求a的值；
(2)若?x0>0，使f(x0)>g(x0)成立，求參數(shù)a的取值范圍．
解析 (1)由題意得，f′(x)＝eq \f(3,x)－x＋1，設(shè)切點(diǎn)為(x0，f(x0))，則k＝f′(x0)＝eq \f(3,x0)－x0＋1＝3，
解得x0＝1或x0＝－3(舍)，所以切點(diǎn)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))，代入g(x)＝3x＋a，得a＝－eq \f(5,2)．
(2)設(shè)h(x)＝3ln x－eq \f(1,2)x2－2x，?x0>0，使f(x0)>g(x0)成立，等價于?x>0，使h(x)＝3ln x－eq \f(1,2)x2－2x>a成立，
等價于a0)．
因?yàn)閔′(x)＝eq \f(3,x)－x－2＝eq \f(－x2－2x＋3,x)＝－eq \f((x－1)(x＋3),x)，令eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(h′(x)>0，,x>0，))得00，當(dāng)x∈(eq \r(e)，＋∞)時，h′(x)0)，則F′(x)＝eq \f(x－1,x)(x>0)，
∴當(dāng)0F(1)＝1>0，∴a≥eq \f(x\\al(2,0)－2x0,x0－ln x0)．記G(x)＝eq \f(x2－2x,x－ln x)，x∈[eq \f(1,e)，e]，
則G′(x)＝eq \f((2x－2)(x－ln x)－(x－2)(x－1),(x－ln x)2)＝eq \f((x－1)(x－2ln x＋2),(x－ln x)2)．
∵x∈[eq \f(1,e)，e]，∴2－2ln x＝2(1－ln x)≥0，∴x－2ln x＋2>0，
∴當(dāng)x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1))時，G′(x)0，G(x)單調(diào)遞增．
∴G(x)min＝G(1)＝－1，∴a≥G(x)min＝－1，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[－1，＋∞)．
[例4] 已知函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－asinx，a∈R．
(1)若y＝f(x)在點(diǎn)(0，0)處的切線為x－3y＝0，求a的值；
(2)若存在x∈[1，2]，使得f(x)≥2a，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解析 (1)f′(x)＝eq \f(1,1＋x)－acs x，則f′(0)＝1－a＝eq \f(1,3)，所以a＝eq \f(2,3)．
(2)將不等式轉(zhuǎn)化為存在x∈[1，2]，使得a≤eq \f(ln(1＋x),2＋sin x)．
令函數(shù)g(x)＝eq \f(ln(1＋x),2＋sin x)，則g′(x)＝eq \f(2＋sin x－(1＋x)cs xln(1＋x),(1＋x)(2＋sin x)2)，
令函數(shù)h(x)＝2＋sin x－(1＋x)cs xln(1＋x)，x∈[1，2]，
當(dāng)x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，2))時，h(x)>0；當(dāng)x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(π,2)))時，h(x)>2＋sin x－(1＋x)ln(1＋x)，
令函數(shù)φ(x)＝2＋sin x－(1＋x)ln(1＋x)，則φ′(x)＝cs x－ln(1＋x)－13－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(π,2)))>0，則當(dāng)x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(π,2)))時，h(x)>φ(x)>0，
故函數(shù)g(x)在[1，2]上單調(diào)遞增，g(x)max＝g(2)＝eq \f(ln 3,2＋sin 2)，
則當(dāng)a≤eq \f(ln 3,2＋sin 2)時，存在x∈[1，2]，使得f(x)≥2a．
所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(ln 3,2＋sin 2)))．
[例5] 已知函數(shù)f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a(a∈R)，e為自然對數(shù)的底數(shù)．
(1)當(dāng)a＝1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)①若存在實(shí)數(shù)x，滿足f(x)

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