?專題33　單變量不等式能成立之參變分離法
【方法總結(jié)】
單變量不等式能成立之參變分離法
參變分離法是將不等式變形成一個一端是f(a)，另一端是變量表達式g(x)的不等式后，若f(a)≥g(x)在x∈D上能成立，則f(a)≥g(x)min；若f(a)≤g(x)在x∈D上能成立，則f(a)≤g(x)max．特別地，經(jīng)常將不等式變形成一個一端是參數(shù)a，另一端是變量表達式g(x)的不等式后，若a≥g(x)在x∈D上能成立，則a≥g(x)min；若a≤g(x)在x∈D上能成立，則a≤g(x)max．
利用分離參數(shù)法來確定不等式f(x，a)≥0(x∈D，a為實參數(shù))能成立問題中參數(shù)取值范圍的基本步驟：
(1)將參數(shù)與變量分離，化為f1(a)≥f2(x)或f1(a)≤f2(x)的形式．
(2)求f2(x)在x∈D時的最大值或最小值．
(3)解不等式f1(a)≥f2(x)min或f1(a)≤f2(x)max，得到a的取值范圍．
注意　“恒成立”與“存在性”問題的求解是“互補”關(guān)系，即f(x)≥g(a)對于x∈D恒成立，應(yīng)求f(x)的最小值；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立，應(yīng)求f(x)的最大值．在具體問題中究竟是求最大值還是最小值，可以先聯(lián)想“恒成立”是求最大值還是最小值，這樣也就可以解決相應(yīng)的“存在性”問題是求最大值還是最小值．特別需要關(guān)注等號是否成立問題，以免細節(jié)出錯．
【例題選講】
[例1]　已知函數(shù)f(x)＝3lnx－x2＋x，g(x)＝3x＋a．
(1)若f(x)與g(x)的圖象相切，求a的值；
(2)若?x0>0，使f(x0)>g(x0)成立，求參數(shù)a的取值范圍．
解析　(1)由題意得，f′(x)＝－x＋1，設(shè)切點為(x0，f(x0))，則k＝f′(x0)＝－x0＋1＝3，
解得x0＝1或x0＝－3(舍)，所以切點為，代入g(x)＝3x＋a，得a＝－．
(2)設(shè)h(x)＝3ln x－x2－2x，?x0>0，使f(x0)>g(x0)成立，等價于?x>0，使h(x)＝3ln x－x2－2x>a成立，
等價于a0)．
因為h′(x)＝－x－2＝＝－，令得00，當x∈(，＋∞)時，h′(x)0)，則F′(x)＝(x>0)，
∴當0F(1)＝1>0，∴a≥．記G(x)＝，x∈[，e]，
則G′(x)＝＝．
∵x∈[，e]，∴2－2ln x＝2(1－ln x)≥0，∴x－2ln x＋2>0，
∴當x∈時，G′(x)0，G(x)單調(diào)遞增．
∴G(x)min＝G(1)＝－1，∴a≥G(x)min＝－1，故實數(shù)a的取值范圍為[－1，＋∞)．
[例4]　已知函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－asinx，a∈R．
(1)若y＝f(x)在點(0，0)處的切線為x－3y＝0，求a的值；
(2)若存在x∈[1，2]，使得f(x)≥2a，求實數(shù)a的取值范圍．
解析　(1)f′(x)＝－acos x，則f′(0)＝1－a＝，所以a＝．
(2)將不等式轉(zhuǎn)化為存在x∈[1，2]，使得a≤．
令函數(shù)g(x)＝，則g′(x)＝，
令函數(shù)h(x)＝2＋sin x－(1＋x)cos xln(1＋x)，x∈[1，2]，
當x∈時，h(x)>0；當x∈時，h(x)>2＋sin x－(1＋x)ln(1＋x)，
令函數(shù)φ(x)＝2＋sin x－(1＋x)ln(1＋x)，則φ′(x)＝cos x－ln(1＋x)－13－>0，則當x∈時，h(x)>φ(x)>0，
故函數(shù)g(x)在[1，2]上單調(diào)遞增，g(x)max＝g(2)＝，
則當a≤時，存在x∈[1，2]，使得f(x)≥2a．
所以，實數(shù)a的取值范圍是．
[例5]　已知函數(shù)f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a(a∈R)，e為自然對數(shù)的底數(shù)．
(1)當a＝1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)①若存在實數(shù)x，滿足f(x)

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