貴州省黔東南苗族侗族自治州榕江縣朗洞鎮(zhèn)初級中學(xué)2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

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（時間：120分鐘 滿分：150分）
一、選擇題（以下每小題均有四個選項，其中只有一個選項正確，每小題3分，共36分）
1. 老師在黑板上寫了下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．你認為其中是不等式的有（ ）
A. 2個B. 3個C. 4個D. 5個
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)不等式的定義，依次分析即可．
【詳解】解：∵用不等號表示大小關(guān)系的式子叫做不等式，其中常用不等號有：“”，
∴屬于不等式的為：，共有4個．
故選：C
【點睛】本題主要考查不等式的定義，用“”或“”或“”或“”號表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式，用“”號表示不等關(guān)系的式子也是不等式．
2. 若，則下列不等式不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】不等式的基本性質(zhì)1，在不等式的兩邊都加上或減去同一個數(shù)或整式，不等號的方向不變，根據(jù)不等式的基本性質(zhì)2，在不等式的兩邊都乘以或除以同一個正數(shù)，不等號的方向不變，不等式的基本性質(zhì)3，在不等式的兩邊都乘以或除以同一個負數(shù)，不等號的方向改變，根據(jù)不等式的基本性質(zhì)逐一分析判斷即可．
【詳解】解：∵，
∴，，，故A，B，D不符合題意，
∵當(dāng)a=-2,b=-3時，a2小于b2,故C符合題意，
故選C
【點睛】本題考查的是不等式的基本性質(zhì)，掌握“不等式的基本性質(zhì)”是解本題的關(guān)鍵．
3. 不等式組2x＞﹣2的解集在數(shù)軸上表示正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出不等式的解集，再表示在數(shù)軸上即可．
【詳解】解：解不等式2x＞﹣2，得：x＞﹣1，在數(shù)軸上表示為：
故選：A．
【點睛】本題考查了一元一次不等式的解法，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解答本題的關(guān)鍵．不等式的解集在數(shù)軸上表示時，空心圈表示不包含該點，實心點表示包含該點．
4. 將不等式去分母，正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)2，兩邊都乘以分母最小公倍數(shù)4可得．
【詳解】解：不等式兩邊都乘以分母的最小公倍數(shù)4，得：，
即：，
故選：D．
【點睛】本題主要考查不等式的基本性質(zhì)2，去分母時要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個不為0的數(shù)，當(dāng)是負數(shù)時不等號方向要改變．
5. 若等腰三角形的周長為10 cm，其中一邊長為2 cm，則該等腰三角形的底邊長為（ ）
A. 2 cmB. 4 cmC. 6 cmD. 8 cm
【答案】A
【解析】
【詳解】若2cm為等腰三角形的腰長，則底邊長為10﹣2﹣2=6（cm），2+2＜6，不符合三角形的三邊關(guān)系；
若2cm為等腰三角形的底邊，則腰長為（10﹣2）÷2=4（cm），此時三角形的三邊長分別為2cm，4cm，4cm，符合三角形的三邊關(guān)系；
故選A．
6. 如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，若AC＝6，BC＝8，則CD等于（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4.8
【答案】D
【解析】
【詳解】試題分析：根據(jù)勾股定理可求得AB=10，然后根據(jù)三角形的面積可得，解得CD=4.8.
故選D
7. 如圖，已知△ABC（AC＜AB），用尺規(guī)在AB上確定一點P，使PB＋PC＝AB，則符合要求的作圖痕跡是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用PB+PC=AB，PB+PA=AB，得到PC=PA，根據(jù)線段垂直平分線的判定定理，得到點P在線段AC的垂直平分線上，由此可知選項C符合題意．
【詳解】解：∵點P在AB上，∴PB+PA=AB，
又∵PB+PC=AB，∴PC=PA，
∴點P在線段AC的垂直平分線上，
且線段AC的垂直平分線交AB于點P．
∴選項C符合要求，
故選：C．
【點睛】本題考查了線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把AB拆成PA與PB之和進而得到PC=PA是解決本題的關(guān)鍵．
8. 如圖，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8 m處，發(fā)現(xiàn)此時繩子末端距離地面2 m，則旗桿的高度(滑輪上方的部分忽略不計)為( )
A. 12 mB. 13 mC. 16 mD. 17 m
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，設(shè)旗桿高度為x，可得AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．
【詳解】解：設(shè)旗桿高度為x，則AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x﹣2）2+82=x2，
解得：x=17，
即旗桿的高度為17米．
故選D．
【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，構(gòu)造直角三角形的一般方法就是作垂線．
9. 如圖，直線l1∥l2，將等邊三角形如圖放置若∠α＝25°，則∠β等于（ ）
A. 35°B. 30°C. 25°D. 20°
【答案】A
【解析】
【分析】過點B作BD∥l1，如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ABD＝∠β．根據(jù)平行線的傳遞性可得BD∥l2，從而得到∠DBC＝∠α＝35°．再根據(jù)等邊△ABC可得到∠ABC＝60°，就可求出∠DBC，從而解決問題．
【詳解】解：過點B作BD∥l1，如圖，
則∠CBD＝∠β．
∵l1∥l2，
∴BD∥l2，
∵∠DBA＝∠α＝35°．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠β＝∠CBD＝∠ABC﹣∠DBA＝60°﹣25°＝35°．
故選A．
【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、平行線的傳遞性、等邊三角形的性質(zhì)等知識，當(dāng)然也可延長BA與l2交于點E，運用平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)解決問題．
10. 如圖，在四邊形中，，，連接，，，若點P是邊上一動點，則長的最小值為（ ）
A. 4B. 6C. 3D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的判定和性質(zhì)定理，垂線段最短，掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解題關(guān)鍵．由三角形內(nèi)角和定理，推出，由垂線段最短可知，當(dāng)時，的長度最小，再利用角平分線的性質(zhì)定理，得到，即可得到答案．
【詳解】解：，
，
，
，
，
，
，即平分，
由垂線段最短可知，當(dāng)時，的長度最小，
，，
，
，
的最小值是6，
故選：B．
11. 如圖，DE是線段AB的中垂線，，，，則點A到BC的距離是
A. 4B. C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】作于利用直角三角形30度角的性質(zhì)即可解決問題．
【詳解】解：作于H．
垂直平分線段AB，
，
，
，
，
，
，
，，
，
故選A．
【點睛】本題考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．
12. 如圖，點E是的中點，，，平分，下列結(jié)論：①；②；③；④．四個結(jié)論中成立的是（ ）

A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③
【答案】A
【解析】
【分析】過E作于F，可得，運用全等三角形的判定可得，再運用全等三角形的性質(zhì)可得，；運用點E是的中點即可判斷③是否正確；運用全等三角形的判定可得，再運用全等三角形的性質(zhì)即可判斷②④是否正確；運用即可判斷①是否正確
【詳解】解：過E作于F，如圖，

∵，平分，
∴，
在和中， ，
∴，
∴，，
∵點E是中點，
∴，
而，，故③錯誤；
在和中，，
∴，
∴，，，故②正確；
∴，故④正確；
∴，故①正確．
因此正確的有①②④，
故選：A．
【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到．側(cè)重考查知識點的理解、應(yīng)用能力．學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中應(yīng)從以下3個方向（【邏輯推理】【直觀想象】【數(shù)學(xué)運算】）培養(yǎng)對知識點的理解、應(yīng)用能力．
二、填空題（每小題4分，共16分）
13. 由于木質(zhì)衣架沒有柔性，在掛置衣服的時候不太方便操作．小敏設(shè)計了一種衣架，在使用時能輕易收攏，然后套進衣服后松開即可.如圖1，衣架桿OA=OB=18cm，若衣架收攏時，∠AOB=60°，如圖2，則此時A，B兩點之間的距離是____cm．
【答案】18
【解析】
【分析】根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形的等邊三角形進行解答即可．
【詳解】解：∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△AOB是等邊三角形，
∴AB=OA=OB=18cm
故答案為：18．
【點睛】此題考查等邊三角形問題，關(guān)鍵是根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形的等邊三角形進行分析．
14. 如圖，為斜邊上的一點，且，過點作的垂線，交于點，若，則的長為___．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)“”，得出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得出答案．
【詳解】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴．
故答案為：
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵在證明．
15. 如圖所示，在中，，，若，則的大小為_____．

【答案】##70度
【解析】
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握等邊對等角是解題關(guān)鍵．根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，得到，再利用等邊對等角的性質(zhì)，即可求出的大?。?br>【詳解】解：，
，
，
，
，
故答案為：．
16. 一次函數(shù)與的圖象如圖，則下列結(jié)論：①；②；③當(dāng)時，；④．其中正確結(jié)論是___________(填序號)．
【答案】①③
【解析】
【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)對①②④進行判斷；當(dāng)x＜4時，根據(jù)兩函數(shù)圖象的位置對③進行判斷．
【詳解】解：根據(jù)圖象y1=kx+b經(jīng)過第一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
故①正確，④錯誤；
∵y2=x+a與y軸負半軸相交，
∴a＜0，
故②錯誤；
當(dāng)x＞4時圖象y1在y2的下方，所以y1＜y2，故③正確．
所以正確的有①③．
故答案為：①③．
【點睛】此題主要考查了一次函數(shù)，以及一次函數(shù)與不等式，根據(jù)函數(shù)圖象的走勢和與y軸的交點來判斷各個函數(shù)k，b的值．
三、解答題（本大題9小題，共98分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
17. 用適當(dāng)?shù)牟坏仁奖硎鞠铝胁坏汝P(guān)系：
（1）x減去6大于12；
（2）x的2倍與5的差是負數(shù)；
（3）x的3倍與4的和是非負數(shù)；
（4）y的5倍與9的差不大于；
【答案】（1）x-6＞12；（2）2x-5＜0；（3）3x+4≥0；（4）5y-9≤-1．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)x減去6得出x-6，再根據(jù)x減去6大于12得出答案；
（2）先表示出x2倍為2x，再表示出與5的差為2x-5，列出不等式即可；
（3）先表示出x的3倍為3x，再表示出與41的和為3x+4，列出不等式即可；
（4）先表示出y的5倍是5y，再表示出與9的差5y-9，然后根據(jù)不大于-1即為小于等于-1，列出不等式即可．
【詳解】（1）由題意可得：x-6＞12；
（2）由題意可得：2x-5＜0；
（3）由題意可得：3x+4≥0；
（4）由題意可得：5y-9≤-1．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，弄清運算的先后順序和不等關(guān)系，才能把文字語言的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為用數(shù)學(xué)符號表示的不等式．
18. 用反證法求證：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．
已知：如圖，∠1是△ABC的一個外角．
求證：∠1＝∠A+∠B．

【答案】見解析
【解析】
【分析】首先假設(shè)三角形的一個外角不等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°，得到矛盾，所以假設(shè)不成立，進而證明三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．
【詳解】已知：如圖，∠1是△ABC的一個外角，
求證：∠1＝∠A+∠B，
證明：假設(shè)∠1≠∠A+∠B，
在△ABC中，∠A+∠B+∠2＝180°，如下圖所示：

∴∠A+∠B＝180°﹣∠2，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠2，
∴∠1＝∠A+∠B，
與假設(shè)相矛盾，
∴假設(shè)不成立，
∴原命題成立即：∠1＝∠A+∠B．
【點睛】本題考查了反證法的運用，反證法的一般解題步驟是：①假設(shè)命題的結(jié)論不成立；②從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；③由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題的結(jié)論正確．
19. 如圖，樹垂直于地面，為測樹高，小明在處，測得，他沿方向走到處，線段米，測得，求樹高度．
【答案】米
【解析】
【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到米，由直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】解：，，
，
，
（米），
又，
（米），
∴樹的高度為米．
【點睛】本題考查了含角的直角三角形的性質(zhì)，等角對等邊，三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握含角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
20. 如圖，已知中，，，是的角平分線，于E點．
（1）求的度數(shù)；
（2）若，，，求．
【答案】（1）
（2）108
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義，得出的度數(shù)，最后根據(jù)直角三角形兩個銳角互余，即可求解；
（2）過點作于點F，根據(jù)是的角平分線，，，得出，最后個根據(jù)即可求解．
【小問1詳解】
解：∵，，
∴，
∵是的角平分線，
∴，
∵，
∴．
【小問2詳解】
解∶過點作于點F，
∵是的角平分線，，，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)角和為，角平分線上的點到兩邊的距離相等．
21. 如圖所示，為等邊三角形，，點O為線段上一點，的延長線與的延長線交于點，．
（1）寫出一對相等的角；
（2）求證：是等邊三角形；
（3）若，，求的長．
【答案】（1）
（2）見解析 （3）2
【解析】
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)寫出一對等角即可；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，即可證明結(jié)論；
（3）證明，得到，，再結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，即可求出的長．
【小問1詳解】
解：，
（答案不唯一）；
小問2詳解】
證明：為等邊三角形，
，
，
，，
，
是等邊三角形；
【小問3詳解】
解：，
，
在和中，
，
，
，，
和均是等邊三角形，
，，
，
．
22. 如圖，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
（1）尺規(guī)作圖：①作邊AB的垂直平分線交BC于點D；
②連接AD，作∠CAD的平分線交BC于點E；（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）在（1）所作的圖中，求∠DAE的度數(shù)．
【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）∠DAE∠DAC＝40°
【解析】
【分析】（1）根據(jù)垂直平分線與角平分線的尺規(guī)作圖方法即可求解；
（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到DB＝DA，求出∠CAD=80°，再利用角平分線的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：（1）如圖，點D，射線AE即為所求．
（2）∵DF垂直平分線段AB
∴DB＝DA
∴∠DAB＝∠B＝30°
∵∠C＝40°
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°
∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°
∵AE平分∠DAC
∴∠DAE∠DAC＝40°．
【點睛】此題主要考查垂直平分線與角平分線，解題的關(guān)鍵是熟知尺規(guī)作圖的方法．
23. 筆直的河流一側(cè)有一旅游地點，河邊有兩個漂流點、，且點到點的距離等于點到點的距離．近階段由于點到點的路線處于維修中，為方便游客決定在河邊新建一個漂流點（點在同一條直線上），并新建一條路，測得，，．
（1）判斷的形狀，并說明理由；
（2）求原路線長．
【答案】（1）是直角三角形，理由見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根據(jù)題意，得出，再根據(jù)（1）可知是直角三角形，然后設(shè)，則，再根據(jù)勾股定理，列出關(guān)于的方程，解出即可得出的長．
【小問1詳解】
解：是直角三角形，理由如下：
∵，，，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
【小問2詳解】
解：∵點到點的距離等于點到點的距離，
∴，
∵由（1）易知是直角三角形，
設(shè)，則，
在中，
，，，
∵，
∴，
解得：，
∴．
【點睛】本題考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握勾股定理的逆定理．
24. 如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC上一點，∠B＝30°，連接AD．
（1）若∠BAD＝45°，求證：△ACD為等腰三角形；
（2）若△ACD為直角三角形，求∠BAD的度數(shù)．
【答案】（1）見解析 (2) ∠BAD=60°或∠BAD=30°
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠B=∠C=30°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC=120°，求出∠CAD=∠ADC，根據(jù)等腰三角形的判定得出即可；
（2）有兩種情況：①當(dāng)∠ADC=90°時，當(dāng)∠CAD=90°時，求出即可．
【詳解】（1）∵AB=AC，∠B=30°，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAC=180°﹣30°﹣30°=120°，
∵∠BAD=45°，
∴∠CAD=∠BAC﹣∠BAD=120°﹣45°=75°，∠ADC=∠B+∠BAD=75°，
∴∠ADC=∠CAD，
∴AC=CD，
即△ACD為等腰三角形；
（2）有兩種情況：①當(dāng)∠ADC=90°時，
∵∠B=30°，
∴∠BAD=∠ADC﹣∠B=90°﹣30°=60°；
②當(dāng)∠CAD=90°時，∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=120°﹣90°=30°；
即∠BAD的度數(shù)是60°或30°．
25. （1）閱讀理解：如圖①，在中，，，，垂足分別為，，且，與交于點．圖中與全等的三角形是 ，與全等的三角形是 ；
（2）問題探究：如圖②，在中，，，平分，，垂足為．探究線段，，之間的關(guān)系，并證明；
（3）問題解決：如圖③，在中，，，平分，交的延長線于點．求證：．

【答案】（1），；（2），見解析；（3）見解析
【解析】
【分析】（1）由“”可證，由“”可證；
（2）由“”可證，可得，，可得結(jié)論；
（3）由“”可證，可得，由“”可證，可得，可得結(jié)論．
【詳解】（1）解：，
，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
故答案為：，；
（2），理由如下：
，，
，
，
，
，
平分，
，
又，，
，
，，
；
（3）如圖，延長，交于點，

平分，
，
又，，
，
，
，
，
，
又，，
，
，
．
【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．