數(shù)學(xué)試卷
注意事項(xiàng)：
1．本試卷分為第一部分（選擇題）和第二部分（非選擇題）。全卷共6頁(yè)，總分120分?？荚嚂r(shí)間120分鐘。
2．領(lǐng)到試卷和答題卡后，請(qǐng)用0.5毫米黑色墨水簽字筆，分別在試卷和答題卡上填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)，同時(shí)用2B鉛筆在答題卡上填涂對(duì)應(yīng)的試卷類型信息點(diǎn)（A或B）。
3．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上各題的指定區(qū)域內(nèi)作答，否則作答無效。
4．作圖時(shí)，先用鉛筆作圖，再用規(guī)定簽字筆描黑。
5．考試結(jié)束，本試卷和答題卡一并交回。
第一部分（選擇題 共24分）
一、選擇題（共8小題，每小題3分，計(jì)24分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的）
1．的絕對(duì)值是（ ）
A．2B．C．D．
2．中國(guó)旅游研究院預(yù)測(cè)，2024年出入境旅游市場(chǎng)的復(fù)蘇進(jìn)程將進(jìn)一步加速，全年出入境旅游人次將超過2.64億人次．用科學(xué)記數(shù)法表示264000000，正確的是（ ）
A．B．C．D．
3．如圖，一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上．如果，那么的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
4．下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．B．C．D．
5．一次函數(shù)（為常數(shù)，且）與一次函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱，則一次函數(shù)的表達(dá)式為（ ）
A．B．C．D．
6．如圖，已知，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作圓弧，與角的兩邊分別交于兩點(diǎn)，分別以點(diǎn)為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩條圓弧交于內(nèi)一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作直線，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，交于點(diǎn)．若，則四邊形的周長(zhǎng)是（ ）
A．B．C．D．
7．如圖，點(diǎn)在上，連接，則的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．8D．4
8．已知拋物線（其中是自變量），滿足，且該拋物線與軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則的值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
第二部分（非選擇題 共96分）
二、填空題（共5小題，每小題3分，計(jì)15分）
9．在實(shí)數(shù)中，最大的無理數(shù)是______．
10．因式分解：______．
11．圖1叫做一個(gè)基本的“勾股樹”，也叫做第一代勾股樹．讓圖1中兩個(gè)小正方形各自長(zhǎng)出一個(gè)新的勾股樹（如圖2），叫做第二代勾股樹．從第二代勾股樹出發(fā)，又可以長(zhǎng)出第三代勾股樹（如圖3）．這樣一生二、二生四、四生八，繼續(xù)生長(zhǎng)下去，則第四代勾股樹圖形中正方形的個(gè)數(shù)為______．
12．將函數(shù)的圖象沿軸向下平移3個(gè)單位后，與反比例函數(shù)為常數(shù)，且的圖象交于點(diǎn)，則的值為______．
如圖，在正方形中，是等邊三角形，則圖中陰影部分（即）的面積為______．（結(jié)果保留根號(hào)）
三、解答題（共13小題，計(jì)81分．解答應(yīng)寫出過程）
14．（本題滿分5分）
計(jì)算：．
15．（本題滿分5分）
解不等式組：
16．（本題滿分5分）
化簡(jiǎn)：．
17．（本題滿分5分）
如圖，已知，請(qǐng)用尺規(guī)作圖的方法在上確定一點(diǎn)，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）
18．（本題滿分5分）
如圖，在菱形中，分別為邊和上的點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)O．求證：．
19．（本題滿分5分）
2024年春晚里，魔術(shù)師表演了一個(gè)和紙牌相關(guān)的魔術(shù)，可以說讓人大開眼界，實(shí)際上隱含了一個(gè)數(shù)學(xué)問題一約瑟夫問題，不僅僅是一場(chǎng)視覺盛宴，更是一次數(shù)學(xué)知識(shí)的傳播和實(shí)踐。春晚結(jié)束后，龍龍和春春玩抽撲克牌游戲，如圖，他們拿出四張大小、形狀和背面完全相同的撲克牌（撲克牌A當(dāng)作數(shù)字1）．
（1）龍龍將這四張撲克牌背面朝上洗勻后放在桌面上，春春從中隨機(jī)抽出一張牌，則抽到這張牌的花色是______的可能性最大；
A．紅心（）B．梅花（）C．方塊（）
（2）春春將這四張撲克牌背面朝上洗勻后放在桌面上，讓龍龍隨機(jī)抽取一張（不放回）記下牌面上的數(shù)字，接著春春再?gòu)氖Ｏ碌膿淇伺浦须S機(jī)抽取一張，記下牌面上的數(shù)字，請(qǐng)用畫樹狀圖或列表法求他們抽到的兩張撲克牌正面上的數(shù)字之和恰好是偶數(shù)的概率．
20．（本題滿分5分）
隨著“雙減”政策的逐步落實(shí)，其中增加中學(xué)生體育鍛煉時(shí)間的政策引發(fā)社會(huì)的廣泛關(guān)注，體育用品需求增加，某商店決定新進(jìn)一批排球，按進(jìn)價(jià)提高20%后標(biāo)價(jià)．開學(xué)前期，商店為了促銷，又按標(biāo)價(jià)打九折銷售，每個(gè)排球仍可獲利4元，則這批排球每個(gè)的進(jìn)貨價(jià)格為多少元？
21．（本題滿分6分）
某生物興趣小組觀察甲、乙兩種植物生長(zhǎng)，得到植物的高度y（厘米）與觀察時(shí)間x（天）的函數(shù)關(guān)系，制作如下的活動(dòng)報(bào)告．
根據(jù)以上報(bào)告內(nèi)容，解決下列問題：
（1）根據(jù)圖象求甲植物的高度與觀察時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在圖中畫出關(guān)于x的函數(shù)圖象，觀察圖象可知，第______天，甲、乙兩種植物高度相同。
22．（本題滿分7分）
連霍高速的華州出口處、華州公園西門外有一座由三根立柱和一朵玫瑰花圖案組成的雕塑（圖1），這是華州區(qū)的地標(biāo)，是華州的象征，也是華州區(qū)各種雕塑中最具有代表性的一座，這座雕塑名稱為“華彩”，雕塑中間拔地而起的三根立柱代表華州區(qū)的悠久歷史、燦爛文化和不斷騰飛的地方經(jīng)濟(jì)如圖2，小玲和小亮很想知道華彩雕塑的高度AB，陽(yáng)光明媚的一天，他們帶著測(cè)量工具來到雕塑前進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量方案如下：如圖，首先，小玲在D處豎直放置一根2米長(zhǎng)的標(biāo)桿CD，此時(shí)標(biāo)桿影子末端恰好與雕塑的影子末端重合于點(diǎn)E，其中米．隨后，小玲沿BD的延長(zhǎng)線繼續(xù)后退到點(diǎn)G，用測(cè)傾器測(cè)得雕塑的頂端A的仰角為45°，此時(shí)，測(cè)得米，測(cè)傾器的高度米．已知點(diǎn)B、D、E、G在同一水平直線上，且AB、CD、FG均垂直于BG．求該雕塑的高度AB．
23．（本題滿分7分）
雷鋒精神是我們中華民族寶貴的精神財(cái)富，它激勵(lì)著一代又一代的青少年健康成長(zhǎng)，促進(jìn)了社會(huì)文明的進(jìn)步．為進(jìn)一步弘揚(yáng)“奉獻(xiàn)、友愛、互助、進(jìn)步”的雷鋒精神，倡導(dǎo)志愿服務(wù)理念，樹立“學(xué)雷鋒”的意識(shí)，某校組織了“學(xué)習(xí)雷鋒精神，愛心捐款活動(dòng)”．活動(dòng)結(jié)束后，學(xué)生會(huì)對(duì)本次活動(dòng)的捐款隨機(jī)抽取了樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并用得到的數(shù)據(jù)繪制了如下統(tǒng)計(jì)圖（不完整）
請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：
（1）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，所抽查學(xué)生捐款金額的眾數(shù)是______元，中位數(shù)是______元；
（2）求所抽查學(xué)生捐款的平均金額；
（3）該校共有1000名學(xué)生參與捐款，請(qǐng)你估計(jì)該校學(xué)生捐款不少于30元的人數(shù)
24．（本題滿分8分）
如圖，內(nèi)接于，過的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)作的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，切點(diǎn)為，連接，若．
（1）求證：；
（2）交于點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)．
25．（本題滿分8分）
小明的爸爸給小明買了一個(gè)高級(jí)水槍，想測(cè)試一下水槍的射程遠(yuǎn)近．如圖，在一個(gè)外墻距地面的點(diǎn)和的點(diǎn)處，各設(shè)置了一個(gè)點(diǎn)，小明站在設(shè)置點(diǎn)的正前方，水槍噴出的水流看作拋物線的一部分．第一次嘗試時(shí)，水流從點(diǎn)射出恰好到達(dá)點(diǎn)處，且水流的最大高度為，水流的最高點(diǎn)到外墻的水平距離為，建立平面直角坐標(biāo)系，水流的高度與到外墻的水平距離之間的關(guān)系如圖所示，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，為地面（水槍到地面的高度忽略不計(jì)）．
（1）求小明第一次射水時(shí)水流所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）待處試射后，小明前進(jìn)到點(diǎn)（水流從點(diǎn)射出，）處進(jìn)行第二次試射，若兩次試射時(shí)，水流所在拋物線的形狀完全相同，請(qǐng)判斷第二次試射水流能否到達(dá)點(diǎn)處，并說明理由．
26．（本題滿分10分）
【觀察發(fā)現(xiàn)】
（1）如圖1，在正方形中，點(diǎn)O為對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)為正方形外一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，連接．若正方形邊長(zhǎng)為4，則的最大值為______；
（2）如圖2，已知和都是等邊三角形，連接，求證：；
【拓展應(yīng)用】
（3）如圖3，某地有一個(gè)半徑為的半圓形（半圓O）人工湖，其中是半圓的直徑，在半圓上（不與重合），現(xiàn)計(jì)劃在的左側(cè)，規(guī)劃出一個(gè)三角形區(qū)域，開發(fā)成垂釣中心，要求為入口，并沿修建一筆直的觀光橋，根據(jù)規(guī)劃要求觀光橋的長(zhǎng)度盡可能的長(zhǎng)，問的長(zhǎng)度是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
試卷類型：A
2024年初中學(xué)業(yè)水平考試模擬卷
數(shù)學(xué)試卷參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
一、選擇題（共8小題，每小題3分，計(jì)24分．每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的）
1．A 2．C 3．C 4．D 5．B 6．D 7．A 8．B
二、填空題（共5小題，每小題3分，計(jì)15分）
9． 10． 11．31 12．
13． 【解析】如圖，過E作于G，于H，
正方形的邊長(zhǎng)是4，為等邊三角形，
，
，
，
的面積的面積面積的面積．
三、解答題（共13小題，計(jì)81分．解答應(yīng)寫出過程）
14．解：原式
．
15．解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式組的解集為．
16．解：原式
．
．
17．解：如圖所示：點(diǎn)即為所求．
18．證明：在菱形中，，
，
在與中，，
．
．
在與中，，
．
．
19．解：（1）A．
（2）列表如下：
由表可得，共有12種等可能的結(jié)果，其中他們抽到的兩張撲克牌正面上的數(shù)字之和恰好是偶數(shù)的結(jié)果有：，共4種，
他們抽到的兩張撲克牌正面上的數(shù)字之和恰好是偶數(shù)的概率為．
20．解：設(shè)這批排球每個(gè)的進(jìn)貨價(jià)格為元，
根據(jù)題意得：，
解得：．
答：這批排球每個(gè)的進(jìn)貨價(jià)格為50元．
21．解：（1）設(shè)與之間的函數(shù)關(guān)系式為，
將代入，得解得
甲植物的高度與觀察時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式為．
（2）繪制圖象如圖所示：
6．
22．解：如圖，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，則，
易得，
在中，，
，即．
，
，
，
，
，即，
，
解得．
故該雕塑的高度為22米．
23．解：（1）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：
20，20
（2）所抽查學(xué)生捐款的平均金額為（元）．
（3）估計(jì)該校學(xué)生捐款不少于30元的人數(shù)為（人）．
24．（1）證明：如圖，連接，
為的切線，
，
，
，
．
（2）解：，，
，，
，即，
（負(fù)值舍去），
的長(zhǎng)為6．
25．解：（1）依題意頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)小明第一次射水時(shí)水流所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，
將點(diǎn)代入得，，
解得：．
小明第一次射水時(shí)水流所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：．
（2）不能，理由如下，
依題意，小明第二次射水時(shí)，水流所在拋物線是第一次拋物線向左平移3個(gè)單位得到，
小明第二次射水時(shí)，水流所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：，
令，解得：，
即小明第二次射水時(shí)，水流所在拋物線不過，
水流不能到達(dá)點(diǎn)處．
26．解：（1）4．
（2）證明：和都是等邊三角形，
，
，
，
．
（3）如圖，根據(jù)題意作出，以為直角邊、點(diǎn)為直角頂點(diǎn)向上作等腰直角，連接，
則，
，
，，
，
欲求的最大值，只要求出的最大值即可，
連接并延長(zhǎng)，交半圓于，則的最大值為，
在中，，
，
，即的最大值為．
故觀光橋的長(zhǎng)度存在最大值，最大值為．項(xiàng)目主題
觀察甲、乙兩種植物的生長(zhǎng)
記錄數(shù)據(jù)
觀察時(shí)間（天）
0
2
4
6
8
10
12
1
16
…
甲植物的高度（厘米）
4
5.33
6.67
8
9.33
10.67
12
13.33
14.67
…
乙植物的高度（厘米）
2
4
6
8
10
10
10
10
10
…
建立模型
發(fā)現(xiàn)植物的高度y（厘米）與觀察時(shí)間x（天）之間存在函數(shù)關(guān)系，關(guān)系式為：
甲植物：？
乙植物：？
繪制圖象
1
2
3
4
1
/
2
/
3
/
4
/

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