中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習專題1.5 特殊四邊形中的折疊問題的四大題型（北師大版）（解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

考卷信息：
本套訓(xùn)練卷共30題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強學(xué)生對特殊四邊形中的折疊問題的四大題型的理解！
【題型1 矩形中的折疊問題】
1．（2023春·吉林長春·九年級統(tǒng)考期末）綜合與實踐
【操作感知】如圖①，在矩形紙片ABCD的AD邊上取一點P，沿BP折疊，使點A落在矩形內(nèi)部點M處，把紙片展平，連接PM、BM．∠DPM=60°，則∠MBC的大小為度．
【遷移探究】如圖②，將矩形紙片換成正方形紙片，將正方形紙片ABCD按照【操作感知】進行折疊，并延長PM交CD于點Q，連接BQ．
（1）判斷△MBQ與△CBQ的關(guān)系并證明．
（2）若正方形ABCD的邊長為4，點P為AD中點，則CQ的長為．
【答案】【操作感知】30；【遷移探究】（1）全等，見解析；（2）43
【分析】操作感知：根據(jù)折疊求出∠ABP=∠MBP=30°，即可得出結(jié)論；
遷移探究：（1）根據(jù)HL證Rt△MBQ≌Rt△CBQ即可；
（2）設(shè)CQ的長為x，則DQ=4?x，MQ= BQ2?BM2=BC2+CQ2?BM2 =x，利用勾股定理求出x的值即可．
【詳解】解：【操作感知】：由折疊知，∠APB=∠MPB，∠ABP=∠MBP，∠A=∠M=90°，
∵∠DPM=60°，
∴∠APB=∠MPB=（180°?∠DPM）÷2=60°，
∴∠ABP=∠MBP=30°，
∴∠MBC=90°?∠ABP?∠MBP=30°，
故答案為：30；
【遷移探究】（1）判斷：△MBQ≌△CBQ，理由如下：
證明：∵正方形紙片ABCD按照【操作感知】進行折疊，
∴AB=BM=BC，∠A=∠BMP=∠BMQ=∠C=90°
在Rt△MBQ和Rt△CBQ中，
BQ=BQBM=BC，
∴Rt△MBQ≌Rt△CBQ（HL），
即△MBQ≌△CBQ；
（2）設(shè)CQ的長為x，
∵正方形ABCD的邊長為4，點P為AD中點，
∴DQ=4?x，MQ= BQ2?BM2=BC2+CQ2?BM2 =x，PM=AP= 12×4 =2，
在Rt△PDQ中，PQ2=PD2+DQ2，
即2+x2=22+4?x2，
解得x= 43，
故答案為：43．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理以及全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握勾股定理及正方形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2023春·山東臨沂·九年級統(tǒng)考期末）已知長方形ABCD(對邊平行且相等，四個角都是直角)中，AB=6，AD=8，點P在邊BC上，且不與點B、C重合，直線AP與DC的延長線交于點E．

(1)如圖1，當點P是BC的中點時，求證：△ABP≌△ECP；
(2)如圖2，將△APB沿直線AP折疊得到△APB′，點B′落在長方形ABCD的內(nèi)部，延長P B′交直線AD于點F．
①證明FA=FP，并求出在1條件下AF的值；
②連接B′C，求△PCB′周長的最小值．
【答案】(1)見解析
(2)①見解析，AF=132；②12
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得AB∥CD，可得∠BAP=∠E，∠B=∠BCE，利用AAS即可得出結(jié)論；
（2）①根據(jù)平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得出∠FAP=∠APF，等角對等邊即可得FA=FP，設(shè)FA=x，則FP=x，F(xiàn)B′=x?4，在Rt△AB′F中，由勾股定理得x= 132，即AF= 132；
②可得△PCB′的周長=CP+PB′+CB′=CB+CB′=8+CB′，當點B′恰好位于對角線AC上時，CB′+AB′最小，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=10，則CB′的最小值=AC? AB′=4，即可得△PCB′周長的最小值．
【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴ AB∥CD，
∴∠BAP=∠E，∠B=∠BCE，
∵點P是BC的中點，
∴BP=CP，
∴△ABP≌△ECPAAS；
（2）解：①∵四邊形ABCD是矩形，
∴ AD∥BC，
∴∠APB=∠FAP，
由折疊得∠APB=∠APF，
∴∠FAP=∠APF，
∴FA=FP，
矩形ABCD中，AB=6，AD=8，
∴BC=AD=8，
∵點P是BC的中點，
∴BP=CP=4，
由折疊得AB′=AB=6，PB′=PB=4，∠B=∠AB′P=∠AB′F=90°，
設(shè)FA=x，則FP=x，
∴ FB′=x?4，
在Rt△AB′F中，AF2=B′F2+B′A2，
∴ x2=(x?4)2+62，
解得x= 132，
即AF= 132；
②由折疊得AB′ =AB=6， PB′ =PB=4，
∴△PC B′的周長=CP+P B′ +C B′ =CB+C B′ =8+C B′，

連接B′ C，AC，
∵ AB′+ CB′ >AC，
∴當點B′恰好位于對角線AC上時，C B′ +A B′最小，
在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，
∴AC= AB2+BC2 =10，
∴ CB′的最小值=AC?A B′ =4，
∴△P CB′周長的最小值= 8+CB′ =8+4=12．
【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識，掌握折疊是一種軸對稱，折疊前后的圖形對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊相等，靈活運用相關(guān)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2023春·湖南岳陽·九年級?？计谥校┤鐖D，將矩形紙片ABCDAD>AB折疊，使點C剛好落在線段AD上，且折痕分別與邊BC、AD相交，設(shè)折疊后點C、D的對應(yīng)點分別為點G、H，折痕分別與邊BC、AD相交于點E、F．

(1)判斷四邊形CEGF的形狀，并證明你的結(jié)論．
(2)若CD=2，GD=16，求DF的長．
【答案】(1)菱形，見解析
(2)DF=638
【分析】（1）根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到FG=FC，EG=EC，∠GEF=∠FEC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠GFE=∠FEC，得到GF=GE，得到GE=EC=CF=FG，根據(jù)菱形的判定定理證明；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到GF=CF，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可．
【詳解】（1）解：結(jié)論：四邊形CEGF是菱形．
理由：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠GFE=∠FEC，
∵圖形翻折后點G與點C重合，EF為折痕，
∴∠GEF=∠FEC，F(xiàn)G=FC，EG=EC，
∴∠GFE=∠FEG，
∴GF=GE，
∴GE=EC=CF=FG，
∴四邊形CEGF為菱形；
（2）解：設(shè)DF=x，
∵GD=16，
∴GF=16?x，
∴CF=16?x，
在Rt△CDF中，CD2+DF2=CF2，
∴x2+22=16?x2，
解得：x=638．
∴DF=638．
【點睛】本題考查的是菱形的判定、勾股定理的運用，掌握四條邊相等的四邊形是菱形、翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．（2023春·江蘇南京·九年級校聯(lián)考期末）數(shù)學(xué)課上老師讓學(xué)生們折矩形紙片．由于折痕所在的直線不同，折出的圖形也不同，所以各個圖形中所隱含的“基本圖形”也不同．我們可以通過發(fā)現(xiàn)基本圖形，來研究這些圖形中的幾何問題．

問題解決：
（1）如圖1，將矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使得點C與點A重合，點D落在點D1的位置，連接MC，AN，AC，線段AC交MN于點O，則：
①△CDM與△AD1M的關(guān)系為，線段AC與線段MN的關(guān)系為，小強量得∠MNC=50°，則∠DAN= ．
②小麗說：“圖1中的四邊形ANCM是菱形”，請你幫她證明．
拓展延伸：
（2）如圖2，矩形紙片ABCD中，BC=2AB=6cm，BM=4cm，小明將矩形紙片ABCD沿直線AM折疊，點B落在點B1的位置，MB1交AD于點N，請你直接寫出線段ND的長：．
綜合探究：
（3）如圖3，ABCD是一張矩形紙片，AD=1，AB=5，在矩形ABCD的邊AB上取一點M（不與A和B點重合），在邊CD上取一點N（不與C和D點重合），將紙片沿MN折疊，使線段MB與線段DN交于點P，得到△MNP，請你確定△MNP面積的取值范圍．
【答案】（1）①△CDM≌△AD1M，線段AC與線段MN互相垂直平分，80°；②證明見解析；（2）238；（3）0.5