TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc32145" 【題型1 根據(jù)情景確定函數(shù)圖象】 PAGEREF _Tc32145 \h 1
\l "_Tc16415" 【題型2 一次函數(shù)與三角形的面積綜合】 PAGEREF _Tc16415 \h 4
\l "_Tc14335" 【題型3 一次函數(shù)與全等三角形】 PAGEREF _Tc14335 \h 10
\l "_Tc11441" 【題型4 一次函數(shù)與等腰三角形】 PAGEREF _Tc11441 \h 18
\l "_Tc10453" 【題型5 一次函數(shù)與等腰直角三角形】 PAGEREF _Tc10453 \h 24
\l "_Tc6189" 【題型6 一次函數(shù)與動(dòng)點(diǎn)最值問題】 PAGEREF _Tc6189 \h 35
\l "_Tc1933" 【題型7 一次函數(shù)的圖象的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc1933 \h 42
\l "_Tc1828" 【題型8 一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用】 PAGEREF _Tc1828 \h 47
【題型1 根據(jù)情景確定函數(shù)圖象】
【例1】（2023春·安徽宿州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，有一個(gè)容器水平放置，往此容器內(nèi)注水，注滿為止．若用h（單位：cm）表示容器底面到水面的高度，用V（單位：cm3）表示注入容器內(nèi)的水量，則表示V與h的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（ ）

B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)容器的形狀可知當(dāng)液面高度越高時(shí)，體積的變化越小，即隨著
【詳解】由題圖知，隨高度的增加上底面越來越小，故V與h函數(shù)圖象不會(huì)出現(xiàn)直線，排除C，D選項(xiàng)，
隨著高度的增加h越大體積變化越緩慢，故排除A選項(xiàng)．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象的判斷，根據(jù)容器的形狀以及題意判斷函數(shù)圖象先陡，后緩是解題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（2023·廣西南寧·八年級(jí)校考期中）南湖隧道是南寧市建成的首條水底隧道．一輛小汽車勻速通過南湖隧道，小汽車車身在隧道內(nèi)的長度記為y米，小汽車進(jìn)入隧道的時(shí)間記為t秒，則y與t之間的關(guān)系用圖象描述大致是（ ）

B．
C． D．
【答案】D
【分析】火車通過隧道分為3個(gè)過程：逐漸進(jìn)入隧道，完全進(jìn)入隧道并在其中行駛，逐漸出隧道，進(jìn)而求解即可．
【詳解】火車在逐漸進(jìn)入隧道的過程中，火車在隧道內(nèi)的長度逐漸增加；
火車完全進(jìn)入隧道后，還在隧道內(nèi)行駛一段時(shí)間，因此在隧道內(nèi)的長度是火車長，且保持一段時(shí)間不變；
火車在逐漸出隧道的過程中，火車在隧道內(nèi)的長度逐漸減少；
符合上述分析過程的為：D．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖像在生活中的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是分析事件變化的過程，并能夠匹配對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像變化
【變式1-2】（2023·北京懷柔·八年級(jí)?？计谥校┬←愒缟蠌募页霭l(fā)騎車去上學(xué)，途中想起忘了帶昨天晚上完成的數(shù)學(xué)作業(yè)，于是打電話讓媽媽馬上從家里送來，同時(shí)小麗也往回騎，遇到媽媽后停下說了幾句話，接著繼續(xù)騎車去學(xué)校．設(shè)小麗從家出發(fā)后所用時(shí)間為t，小麗與學(xué)校的距離為S．下面能反映S與t的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（ ）．
A．AB．BC．CD．D
【答案】B
【詳解】試題分析：小麗從家出發(fā)時(shí)離學(xué)校最遠(yuǎn)，隨著時(shí)間的推移離學(xué)校越來越近，往回騎后，離學(xué)校又開始變遠(yuǎn)，遇到媽媽后停下說了幾句話，離學(xué)校的距離沒變，即圖象與橫軸平行，接著繼續(xù)騎車去學(xué)校，會(huì)離學(xué)校越來越近，最后到達(dá)學(xué)校時(shí)，距離變?yōu)闉?，據(jù)此觀察圖象，只有B符號(hào)條件．
故選B．
考點(diǎn)：函數(shù)圖象．
【變式1-3】（2023春·北京東城·八年級(jí)北京市第二中學(xué)分校?？计谀┤鐖D所示，一個(gè)實(shí)心鐵球靜止在長方體水槽的底部，現(xiàn)向水槽勻速注水，下列圖像中能大致反映水槽中水的深度y與注水時(shí)間x關(guān)系的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可分兩段進(jìn)行分析：當(dāng)水的深度未超過球頂時(shí)；當(dāng)水的深度超過球頂時(shí)，分別分析出水槽中裝水部分的寬度變化情況，進(jìn)而判斷出水的深度變化快慢，以此得出答案．
【詳解】解：根據(jù)題意得：
當(dāng)水的深度未超過球頂時(shí)，水槽中能裝水的部分的寬度由下到上，由寬逐漸變窄，再變寬，所以在勻速注水過程中，水的深度變化從上升較慢變?yōu)檩^快，再變?yōu)檩^慢，
當(dāng)水的深度超過球頂時(shí)，水槽中能裝水的部分寬度不再變化，所以在勻速注水過程中，水的深度的上升速度不會(huì)發(fā)生變化，
綜上所述，水的深度先上升較慢，再變快，然后變慢，最后勻速上升，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖像，利用分類討論思想，根據(jù)不同時(shí)間段能裝水部分的寬度的變化情況分析水的深度變化情況是解題的關(guān)鍵．
【題型2 一次函數(shù)與三角形的面積綜合】
【例2】（2023春·四川宜賓·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是平行四邊形，四邊形ODEC為正方形，點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,2)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2,1)，若直線l把?OABC與正方形ODEC組成的圖形分成面積相等的兩部分，則直線l的解析式是( )

A．y=14x+54B．y=12x+32C．y=?14x+34D．y=?14x+32
【答案】A
【分析】由于正方形與平行四邊形均為中心對(duì)稱圖形，故過正方形與平行四邊形的對(duì)稱中心點(diǎn)的直線總可以把各自分成面積相等的兩部分，則可以把正方形與平行四邊形的組合圖形分成面積相等的兩部分的直線，必然是過兩個(gè)對(duì)稱中心點(diǎn)的連線．先求得正方形與平行四邊形的中心點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法可以求得直線l的解析式．
【詳解】設(shè)平行四邊形OABC與正方形ODEC的中心為點(diǎn)M、N，則直線MN就是可以將正方形與平行四邊形組成的圖形分成面積相等的兩部分的直線l．(如圖)

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,2，
∴OC=2．
又∵四邊形ODEC為正方形，
∴OD=2，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為?1,1．
由平行四邊形OABC的對(duì)邊相等知，
AB=OC=2，
又已知點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1，
所以點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為3．
點(diǎn)B的坐標(biāo)為2,3，
因此點(diǎn)M的坐標(biāo)為1,32．
設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，
將N?1,1、M1,32代入l的解析式得：
1=?k+b32=k+b．解得k=14b=54．
∴直線l的解析式為y=14x+54．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形與平行四邊形的性質(zhì)、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是知曉直線l必經(jīng)過正方形與平行四邊形的對(duì)稱中心點(diǎn)．
【變式2-1】（2023春·廣東江門·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，過點(diǎn)A(?2,0)的直線l1:y=kx+b與直線l2:y=?x+1交于P(?1,a)．

(1)求直線l1對(duì)應(yīng)的表達(dá)式；
(2)求四邊形PAOC的面積．
【答案】(1)y=2x+4
(2)52
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）先求得點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，根據(jù)S四邊形PAOC=S△PAB?S△COB即可求解．
【詳解】（1）解：把P(?1,a)代入y=?x+1得a=2，則P點(diǎn)坐標(biāo)為(?1,2)；
把A(?2,0)，P(?1,2)代入y=kx+b得：0=?2k+b2=?k+b，
解得k=2b=4，
所以直線l1的表達(dá)式為：y=2x+4；
（2）∵y=?x+1交x軸于B，交y軸于C，
∴B(1,0)，C(0,1)，
∴四邊形PAOC的面積S四邊形PAOC=S△PAB?S△COB =12×AB×yP?12×OB×OC =12×3×2?12×1×1 =52．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題，三角形面積問題，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
【變式2-2】（2023春·山東濟(jì)南·八年級(jí)校考期中）如圖1所示，在△ABC中，AD是三角形的高，且AD=6cm，BC=8cm，點(diǎn)E是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，其速度與時(shí)間的變化關(guān)系如圖2所示．

(1)由圖2知，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 s，速度為 cm/s，點(diǎn)E停止運(yùn)動(dòng)時(shí)距離點(diǎn)C cm．
(2)求在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，△ABE的面積y(cm2)與運(yùn)動(dòng)時(shí)間x(s)之間的關(guān)系是 ．
(3)求點(diǎn)E停止運(yùn)動(dòng)后，求△ABE的面積．
【答案】(1)2，3，2；
(2)y=9x
(3)18
【分析】（1）根據(jù)圖象解答即可；
（2）根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；
（3）根據(jù)三角形的面積公式，可得答案．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意和圖象，可得E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2s，速度為3cm/s，
當(dāng)點(diǎn)E停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，BE=2×3=6(cm)，此時(shí)距離點(diǎn)C:8?6=2(cm)，
故答案為：2，3，2；
（2）解：根據(jù)題意得y=12×BE×AD=12×3x×6=9x，
即y=9x，
故答案為：y=9x；
（3）解：當(dāng)點(diǎn)E停止運(yùn)動(dòng)后，BD=3×2=6(cm)，
所以△ABE的面積為12×6×6=18(cm2)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，涉及求函數(shù)解析式，求函數(shù)值問題，能讀懂函數(shù)圖象是解決問題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2023春·山西大同·八年級(jí)大同市第三中學(xué)校?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為b，且實(shí)數(shù)a，b滿足a+42+b?6=0．

(1)如圖1，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
(2)如圖2，過點(diǎn)A作x軸的垂線，點(diǎn)B為垂足．若將點(diǎn)A向右平移10個(gè)單位長度，再向下平移8個(gè)單位長度可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)C，連接CA，CB，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)B，C的坐標(biāo)并求出三角形ABC的面積．
(3)在（2）的條件下，記AC與x軸交點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)P在y軸上，連接PB，PD，若三角形PBD的面積與三角形ABC的面積相等，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】(1)(?4,6)
(2)30
(3)0,?8或0,8
【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得a、b的值，即可確定點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)“過點(diǎn)A作x軸的垂線，點(diǎn)B為垂足”可得點(diǎn)B的坐標(biāo)；由平移的性質(zhì)可得點(diǎn)C的坐標(biāo)；結(jié)合圖形，利用三角形面積公式即可計(jì)算三角形ABC的面積；
（3）設(shè)直線AC交y軸于點(diǎn)D，直線AC的解析式為y=kx+b，由待定系數(shù)法求得直線AC的解析式，即可確定點(diǎn)D的坐標(biāo)；設(shè)點(diǎn)P(0,m)，根據(jù)題意可得S△PBD=12BD×m=30，求解即可獲得答案．
【詳解】（1）∵實(shí)數(shù)a，b滿足a+42+b?6=0，
且a+42≥0，b?6≥0，
∴a+4=0，b?6=0，
∴a=?4，b=6，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(?4,6)；
（2）過點(diǎn)A作x軸的垂線，點(diǎn)B為垂足，
∴B(?4,0)，
若將點(diǎn)A向右平移10個(gè)單位長度，再向下平移8個(gè)單位長度可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)C，
則點(diǎn)C坐標(biāo)為(?4+10,6?8)，即C(6,?2)，
AB=|yA?yB|=|6?0|=6，
∴S△ABC=12AB×|xC?xA|=12×6×|6??4|=12×6×10=30，
即三角形ABC的面積為30；
（3）如圖，設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，

將點(diǎn)A(?4，6)，點(diǎn)C(6,?2)代入y=kx+b，
可得?4k+b=66k+b=?2，
解得k=?45b=145，
∴直線AC的解析式為y=?45x+145，
令y=0，則x=72，
∴點(diǎn)D72,0，
∴BD=72??4=152
設(shè)點(diǎn)P(0，m)，
∵三角形PBD的面積與三角形ABC的面積相等，
∴S△PBD=12BD×m=30，
即12×152×|m|=30，
∴|m|=8，
解得m=8或m=?8，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為0,?8或0,8．
【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形、點(diǎn)的平移、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)，理解題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題是解題關(guān)鍵．
【題型3 一次函數(shù)與全等三角形】
【例3】（2023春·陜西咸陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，直線l1：y=?2x+6與過點(diǎn)B(0，3)的直線l2交于點(diǎn)C(1，m)，且直線l1與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)D．

(1)求直線l2的函數(shù)表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)M是直線l2上的點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN⊥y軸于點(diǎn)N，要使以O(shè)、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△AOD全等，求所有滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【答案】(1)y=x+3
(2)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，6)或(?6，?3)
【分析】（1）將點(diǎn)C(1，m)代入直線l1：y=?2x+6可得m=?2×1+6=4，利用待定系數(shù)法即可得直線l2的解析式；
（2）分兩種情況：①當(dāng)△OMN?△DAO時(shí)；②當(dāng)△MNO?△DOA時(shí)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：因?yàn)橹本€l1：y=?2x+6與直線l2交于點(diǎn)C(1，m)，
所以m=?2×1+6=4，
所以C(1，4)，
又因?yàn)閘2過點(diǎn)B(0，3)，
故設(shè)直線l2的函數(shù)表達(dá)式為y=?x+3，
將C(1，4)代入，得?+3=4，
解得?=1，
所以直線l2的函數(shù)表達(dá)式為y=x+3．
（2）因?yàn)橹本€ l1：y=?2x+6與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)D．
所以A(3，0)，D(0，6)，
因?yàn)镸N⊥y軸于點(diǎn)N，
所以MN⊥ON，
所以以O(shè)、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△AOD全等，分兩種情況：

①如圖，當(dāng)△OMN?△DAO時(shí)，MN=AO=3，
因?yàn)橹本€l2的函數(shù)表達(dá)式為y=x+3，
當(dāng)x=3時(shí)，y=3+3=6，
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,6)；
②如圖，當(dāng)△MNO?△DOA時(shí)，MN=OD=6，
因?yàn)橹本€l2的函數(shù)表達(dá)式為y=x+3，
當(dāng)x=?6時(shí)，y=?6+3=?3，
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(?6,?3)．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,6)或(?6,?3)．
【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握一次函數(shù)和全等三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
【變式3-1】（2023春·河北保定·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知：如圖點(diǎn)A(6，8)在正比例函數(shù)圖象上，點(diǎn)B坐標(biāo)為(12,0)，連接AB，AO=AB=10，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段BO上以每秒2個(gè)單位的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在線段AO上由點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)停止，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）正比例函數(shù)的關(guān)系式為 ；
（2）當(dāng)t=1秒，且SΔOPQ=6時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）連接CP，在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)過程中，ΔOPQ與ΔBPC是否全等？如果全等，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度；如果不全等，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）y=43x；（2）Q(910,65)；（3）當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是每秒67個(gè)單位或每秒53個(gè)單位時(shí)，ΔOPQ與ΔBPC全等．
【分析】（1）設(shè)正比例函數(shù)的解析式為y=kx，然后將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入求解即可；
（2）過點(diǎn)Q作QH⊥x軸于點(diǎn)H，由t=1，可知BP=2，從而可求得OP=10，然后根據(jù)三角形的面積公式可求出QH的長，又點(diǎn)Q在正比例函數(shù)圖象上，從而可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）由OA=AB=10得到∠QOP=∠CBP，由△OPQ與△BPC全等可知：OP=BC=5，OQ=BP或OQ=BC=5，OP=PB，再分別求出AQ的長，從而可求得點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度．
【詳解】解：（1）設(shè)正比例函數(shù)的解析式為y=kx，
把A（6，8）代入得：8=6k．
解得：k=43．
故答案為：y=43x；
（2）當(dāng)t=1時(shí)，BP=2，OP=10．
如圖，過點(diǎn)Q作QH⊥x軸于點(diǎn)H，
∵S△OPQ=12OP?QH=6，∴QH=65．
把Q（x，65）代入y=43x中，得x=910，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（910，65）；
（3）∵AO=AB=10，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，
∴BC=5，∠QOP=∠CBP．
若△OPQ與△BPC全等，
則有OP=BC=5，OQ=BP或OQ=BC=5，OP=PB．
設(shè)Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為v個(gè)單位/秒，
①OP=BC=5，OQ=BP時(shí)，
∵OP=5，∴12-2t=5．解得t=72．
∴OQ=BP=2×72=7．
∴AQ=10-7=3．
∴72v=3，解得v=67．
∴點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度為67個(gè)單位/秒．
②當(dāng)OQ=BC=5，OP=PB=6時(shí)，
由OP=PB=12OB=6可知：2t=6，
解得：t=3．
∵OQ=5，∴AQ=OA-OQ=10-5=5．
∴3v=5，解得v=53．
∴點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度為53個(gè)單位/秒．
綜上所述：當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是每秒67個(gè)單位或每秒53個(gè)單位時(shí)，△OPQ與△BPC全等．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，全等三角形的性質(zhì)、三角形的面積公式，根據(jù)三角形全等得出對(duì)應(yīng)邊相等從而求得點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間和點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的距離是解題的關(guān)鍵．
【變式3-2】（2023春·遼寧阜新·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，一次函數(shù)y=﹣x+4的圖象與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，過AB中點(diǎn)D的直線CD交x軸于點(diǎn)C，且經(jīng)過第一象限的點(diǎn)E（6，4）．
（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線CD的函數(shù)表達(dá)式；
（2）連接BE，求△DBE的面積；
（3）連接DO，在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點(diǎn)F，使得以點(diǎn)C，O，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與△COD全等，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)．
【答案】（1）A（0，4），B（4，0），y=12x+1；（2）6；（3）當(dāng)點(diǎn)F在第一象限時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，2）；當(dāng)點(diǎn)F在第二象限時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣4，2）；當(dāng)點(diǎn)F在第三象限時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣4，﹣2）；當(dāng)點(diǎn)F在第四象限時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，﹣2）．
【分析】（1）依據(jù)一次函數(shù)y=-x+4，求得A（0，4），B（4，0），依據(jù)D是AB的中點(diǎn)，可得D（2，2），運(yùn)用待定系數(shù)法即可得到直線CD的函數(shù)表達(dá)式；
（2）先求得C（-2，0），BC=2=4=6，再根據(jù)△DBE的面積=△BCE的面積-△BCD的面積，進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）在四個(gè)象限內(nèi)分別找到點(diǎn)F，使得以點(diǎn)C，O，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與△COD全等．
【詳解】（1）一次函數(shù)y=﹣x+4，令x=0，則y=4；令y=0，則x=4，
∴A（0，4），B（4，0），
∵D是AB的中點(diǎn)，
∴D（2，2），
設(shè)直線CD的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，則{4=6k+b2=2k+b，解得{k=12b=1，
∴直線CD的函數(shù)表達(dá)式為y=12x+1；
（3）y=12x+1，令y=0，則x=﹣2，
∴C（﹣2，0），
∴BC=2=4=6，
∴△DBE的面積=△BCE的面積﹣△BCD的面積=12×6×（4﹣2）=6；
（3）如圖所示，
當(dāng)點(diǎn)F在第一象限時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)D重合，即點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，2）；
當(dāng)點(diǎn)F在第二象限時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣4，2）；
當(dāng)點(diǎn)F在第三象限時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣4，﹣2）；
當(dāng)點(diǎn)F在第四象限時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，﹣2）．
【點(diǎn)睛】本題屬于一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形的面積、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題．
【變式3-3】（2023春·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若直線y ?mx?8和y?nx?3都經(jīng)過 x 軸上一點(diǎn) B，與 y 軸分別交于A、C．
（1）寫出 A、C 兩點(diǎn)的坐標(biāo)，A ，C ____ ；
（2）若BC平分∠ABO，求直線AB和CB的解析式；
（3）點(diǎn)D是y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在 AB上的動(dòng)點(diǎn)E，使得△ADE與△AOB全等，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【答案】（1）（0，8），（0，3）；（2）直線AB：y=43x+8，直線CB：y=12x+3；（3）（6，16），245，725，-245，85
【分析】（1）由兩條直線解析式直接求出A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)C作CH⊥AB，交直線AB于點(diǎn)H，證明△BCH≌△BCO，在Rt△AOB中，由勾股定理可得OB=6，把點(diǎn)B代入解析式即可得到結(jié)論；
（3）分三種情況得到△ADE，再結(jié)合全等的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：（1）由直線y=mx+8和y=nx+3得A（0，8），C（0，3），
故答案為：（0，8），（0，3）；
（2）解：過點(diǎn)C作CH⊥AB，交直線AB于點(diǎn)H；

∵ BC平分∠ABO，且CO⊥x軸，CH⊥AB，
∴CO=CH
又∵OC=3，OA=8；
∴CH=3，AC=5；
∴在Rt△CHA中，∠CHA=90°，CH2+CA2=AH2；
所以AH=4
∵易證△BCH≌△BCO（AAS）；
∴BO=BH；
設(shè)OB長為x，則AB=4+x
∴在Rt△AOB中，x2+82=（x+4）2
解得x=6
∴B（-6，0）
將點(diǎn)B分別代入直線AB、直線BC可得：
直線AB解析式為：y=43x+8；
直線BC解析式為：y=12x+3；
∴直線AB：y=43x+8，直線CB：y=12x+3；
（3）情形1，如圖

當(dāng)△ADE≌△AOB時(shí)，AD=AO=8，DE=BO=6，
∴OD=16，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（6，16）
情形2，如圖，

當(dāng)△AED≌△AOB時(shí)，AD=AB=10，DE=BO=6，AE=AO=8，
過點(diǎn)E作EF⊥AD，則有12AE·DE=12AD·EF
∴EF=AE·DEAD=6×810=245
∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為245，代入y=43x+8得，y=725,
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（245，725）；
情形3，如圖，

當(dāng)△AED≌△AOB時(shí)，方法同情形2可求出EG=245，
∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為-245，代入y=43x+8得，y=85,
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-245，85）；
綜上，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（6，16），245，725，-245，85．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)題意求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)圖形的特殊性利用全等三角形的性質(zhì)求出OB，再求一次函數(shù)解析式．
【題型4 一次函數(shù)與等腰三角形】
【例4】（2023春·山西臨汾·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知正比例函數(shù)y=43x與一次函數(shù)y=3x?5的圖象交于點(diǎn)A，且OA=OB．
（1）求A點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求△AOB的面積；
（3）已知在x軸上存在一點(diǎn)P，能使△AOP是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合要求的點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】（1）A點(diǎn)坐標(biāo)為3,4；（2）S△AOB=152；（3）P點(diǎn)的坐標(biāo)是5,0或?5,0或6,0或256,0
【分析】（1）聯(lián)立方程組求解即可；
（2）求出點(diǎn)B的坐標(biāo)計(jì)算即可；
（3）根據(jù)OA為腰和底邊分類討論，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算即可；
【詳解】解：（1）由y=43xy=3x?5，
解得：x=3y=4，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為3,4；
（2）∵y=3x?5與y軸相交于點(diǎn)B，則B點(diǎn)坐標(biāo)為0,?5，
∴S△AOB=12×5×3=152；
（3）由題意可分：
當(dāng)OA是腰，O是頂角的頂點(diǎn)時(shí)，OP=OA=5，則P的坐標(biāo)是5,0或?5,0；
當(dāng)OA是腰，A是頂角的頂點(diǎn)時(shí)，AP=AO，則P與O關(guān)于x=3對(duì)稱，則P的坐標(biāo)是6,0；
當(dāng)OA是底邊時(shí)，OA的中點(diǎn)是32,2，設(shè)過OA的中點(diǎn)且與OA垂直的直線的解析式是：y=?34x+b；
根據(jù)題意得：b=258，
直線的解析式是：y=?34x+258，
當(dāng)y=0時(shí)，x=256，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為256,0；
綜上所述，P點(diǎn)的坐標(biāo)是5,0或?5,0或6,0或256,0．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與二元一次方程組的應(yīng)用，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
【變式4-1】（2023春·四川宜賓·八年級(jí)統(tǒng)考期中）等腰三角形中，周長為20cm，設(shè)底邊為x，腰長為y．
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)求自變量x的取值范圍；
(3)在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象．
【答案】（1）y=10?12x；（2）0010?12x>0，
解得：0

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