中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題3.4 整式中的八大規(guī)律探究題（北師大版）（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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\l "_Tc16735" 【題型1 單項(xiàng)式的系數(shù)與次數(shù)的變化規(guī)律】 PAGEREF _Tc16735 \h 1
\l "_Tc18228" 【題型2 多項(xiàng)式的項(xiàng)及次數(shù)的變化規(guī)律】 PAGEREF _Tc18228 \h 3
\l "_Tc20392" 【題型3 圖表的規(guī)律】 PAGEREF _Tc20392 \h 5
\l "_Tc29154" 【題型4 圖形的規(guī)律】 PAGEREF _Tc29154 \h 8
\l "_Tc31780" 【題型5 算式的規(guī)律】 PAGEREF _Tc31780 \h 11
\l "_Tc24445" 【題型6 程序運(yùn)算】 PAGEREF _Tc24445 \h 14
\l "_Tc28743" 【題型7 定義新運(yùn)算】 PAGEREF _Tc28743 \h 17
\l "_Tc2522" 【題型8 動(dòng)點(diǎn)規(guī)律探究】 PAGEREF _Tc2522 \h 20
【題型1 單項(xiàng)式的系數(shù)與次數(shù)的變化規(guī)律】
【例1】（2023春·云南昆明·七年級(jí)昆明市第三中學(xué)統(tǒng)考階段練習(xí)）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：a2，?2a3，4a4，?8a5，16a6，…，第n個(gè)單項(xiàng)式是（）
A．(?1)n+1n2an+1B．(?1)n2nan
C．(?1)n+12n?1an+1D．(?1)n+12nan+1
【答案】C
【分析】分別分析a的系數(shù)與次數(shù)的變化規(guī)律，寫(xiě)出第n個(gè)單項(xiàng)式的表達(dá)式．
【詳解】解：a2=(?1)1+121?1a1+1，
?2a3=(?1)2+122?1a2+1，
4a4=(?1)3+123?1a3+1，
?8a5=(?1)4+124?1a4+1，……，
∴第n個(gè)單項(xiàng)式是(?1)n+12n?1an+1．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式的找規(guī)律問(wèn)題，分別找出符號(hào)、系數(shù)、次數(shù)的變化規(guī)律，從而得出單項(xiàng)式的變化規(guī)律．
【變式1-1】（2023春·山東濱州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）觀察下列單項(xiàng)式：xy2,?2x2y3,3x3y4,?4x4y5,…，按此規(guī)律，第2021個(gè)單項(xiàng)式是．
【答案】2021x2021y2022
【分析】根據(jù)已知單項(xiàng)式得出第n個(gè)單項(xiàng)式為（?1）n+1?nxnyn+1，據(jù)此可得．
【詳解】解：由已知單項(xiàng)式知第n個(gè)單項(xiàng)式為（?1）n+1?nxnyn+1，
∴第2021個(gè)單項(xiàng)式是2021x2021y2022，
故答案為：2021x2021y2022．
【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是將單項(xiàng)式劃分為符號(hào)、系數(shù)的絕對(duì)值、字母的指數(shù)，并找到各部分與序數(shù)的關(guān)系．
【變式1-2】（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）觀察下列三行數(shù)：
①2，?4，8，?16，32，?64，…；
②3，?3，9，?15，33，?63，…；
③?1，2，?4，8，?16，32，…；
取每一行的第n個(gè)數(shù)，依次記為x，y，z，當(dāng)n=2時(shí)，x=?4，y=?3，z=2．
當(dāng)n=7時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出x，y，z的值，并求這三個(gè)數(shù)中最大數(shù)與最小數(shù)的差．
【答案】x=128，y=129，z=?64，193
【分析】根據(jù)已知發(fā)現(xiàn)：第①行的數(shù)，從第二個(gè)數(shù)開(kāi)始，后面一個(gè)數(shù)是前面一個(gè)數(shù)乘?2得到的，第②行的數(shù)第①行對(duì)應(yīng)的數(shù)加1；第③行的數(shù)為第①行對(duì)應(yīng)的數(shù)的一半的相反數(shù)，依此分別求出x、y、z的值，進(jìn)而求解即可．
【詳解】通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)：
①2，?4，8，?16，32，?64，?，規(guī)律為??2n，
②3，?3，9，?15，33，?63，?，規(guī)律為??2n+1，
③?1，2，?4，8，?16，32，?，規(guī)律為12?2n，
當(dāng)n=7時(shí)，x=??27=128，
y=??27+1=129，
z=12?27=?64，
這三個(gè)數(shù)中最大的數(shù)與最小的數(shù)的差為129??64=193．
【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型-數(shù)字的變化類(lèi)，觀察數(shù)列，發(fā)現(xiàn)第②行、第③行的數(shù)與第①行數(shù)的關(guān)系以及第①行數(shù)的排列規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）觀察下列單項(xiàng)式：?x,3x2,?5x3,7x4,???,?37x19,39x20,???．解決下列問(wèn)題：
(1)這組單項(xiàng)式的系數(shù)依次為多少？系數(shù)的絕對(duì)值的規(guī)律是什么？
(2)這組單項(xiàng)式的次數(shù)的規(guī)律是什么？
(3)根據(jù)上面的歸納，你可以猜想出第n個(gè)單項(xiàng)式是什么嗎？
(4)請(qǐng)你根據(jù)猜想，寫(xiě)出第2022個(gè)、第2023個(gè)單項(xiàng)式．
【答案】(1)?1,3,?5,7,?,?37,39,?，系數(shù)的絕對(duì)值的規(guī)律是2n?1
(2)這組單項(xiàng)式的次數(shù)的規(guī)律是從1開(kāi)始的連續(xù)自然數(shù)
(3)(?1)n2n?1xn
(4)第2022個(gè)單項(xiàng)式是4043x2022，第2023個(gè)單項(xiàng)式是?4045x2023
【分析】（1）根據(jù)單項(xiàng)式系數(shù)的含義進(jìn)行求解，再觀察其絕對(duì)值的規(guī)律即可；
（2）觀察次的變化，從而可求解；
（3）結(jié)合（1）（2）進(jìn)行分析即可；
（4）根據(jù)（3）進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）解：這組單項(xiàng)式的系數(shù)依次是?1,3,?5,7,?,?37,39,?，
系數(shù)的絕對(duì)值為1,3,5,7,?,37,39,?，是從1開(kāi)始的奇數(shù)，
∴系數(shù)的絕對(duì)值的規(guī)律是2n?1．
（2）解：這組單項(xiàng)式的次數(shù)的規(guī)律是從1開(kāi)始的連續(xù)自然數(shù)．
（3）解：由（1）問(wèn)得：符合規(guī)律是(?1)n，
∵這組單項(xiàng)式的次數(shù)的規(guī)律是從1開(kāi)始的連續(xù)自然數(shù)，
∴第n個(gè)單項(xiàng)式是(?1)n2n?1xn．
（4）解：第2022個(gè)單項(xiàng)式是4043x2022，第2023個(gè)單項(xiàng)式是?4045x2023．
【點(diǎn)睛】本題主要考查找規(guī)律，能夠通過(guò)觀察題中的單項(xiàng)式找出規(guī)律是解題關(guān)鍵．
【題型2 多項(xiàng)式的項(xiàng)及次數(shù)的變化規(guī)律】
【例2】（2023春·河北廊坊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）有一組按規(guī)律排列的多項(xiàng)式：a?b，a2+b3，a3?b5，a4+b7，…，則第2023個(gè)多項(xiàng)式是（）
A．a(chǎn)2023+b4047B．a(chǎn)2023?b4047C．a(chǎn)2023+b4045D．a(chǎn)2023?b4045
【答案】D
【分析】把已知的多項(xiàng)式看成由兩個(gè)單項(xiàng)式組成，分別找出兩個(gè)單項(xiàng)式的規(guī)律，也就知道了多項(xiàng)式的規(guī)律．
【詳解】解：多項(xiàng)式的第一項(xiàng)依次是a，a2，a3，a4，…，an，
第二項(xiàng)依次是?b，b3，?b5，b7，…，(?1)nb2n?1，
得到第n個(gè)式子是：an+?1nb2n?1．
當(dāng)n=2023時(shí)，多項(xiàng)式為a2023?b4045
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了多項(xiàng)式，本題屬于找規(guī)律的題目，把多項(xiàng)式分成幾個(gè)單項(xiàng)式的和，分別找出各單項(xiàng)式的規(guī)律是解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（2023春·北京延慶·七年級(jí)統(tǒng)考期末）觀察一組按規(guī)律排列的代數(shù)式： a+2b，a2?2b3,a3+2b5,a4?2b7,???,第n個(gè)式子是．（n為正整數(shù)）
【答案】an+(?1)n+12b2n?1
【分析】根據(jù)已知的式子可以看出：每個(gè)式子的第一項(xiàng)中a的次數(shù)是式子的序號(hào)；第二項(xiàng)中b的次數(shù)是序號(hào)的2倍減1，而第二項(xiàng)的符號(hào)是第奇數(shù)項(xiàng)時(shí)是正號(hào)，第偶數(shù)項(xiàng)時(shí)是負(fù)號(hào)．
【詳解】解：∵當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，?1n+1=1；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，?1n+1=?1，
∵每個(gè)式子的第一項(xiàng)中a的次數(shù)是式子的序號(hào)；第二項(xiàng)中b的次數(shù)是序號(hào)的2倍減1，
∴第n個(gè)式子是an+(?1)n+12b2n?1．
故答案為：an+(?1)n+12b2n?1．
【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式規(guī)律，認(rèn)真觀察式子的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【變式2-2】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）有一組多項(xiàng)式：a?b2，a3+b4，a5?b6，a7+b8，．．．，請(qǐng)觀察它們的構(gòu)成規(guī)律，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫(xiě)出第n個(gè)多項(xiàng)式為．
【答案】a2n?1+?1nb2n
【分析】觀察已知多項(xiàng)式，得出一般性規(guī)律，確定出第n個(gè)多項(xiàng)式即可．
【詳解】解：根據(jù)題意，
∵a?b2，a3+b4，a5?b6，a7+b8，．．．，
∴第n個(gè)多項(xiàng)式為：a2n?1+?1nb2n；
故答案為：a2n?1+?1nb2n．
【點(diǎn)睛】此題考查了多項(xiàng)式，找出正確的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知多項(xiàng)式a10?3a9b+5a8b2?7a7b3+?+mb10．
(1)根據(jù)這個(gè)多項(xiàng)式的排列規(guī)律，你能確定這個(gè)多項(xiàng)式是幾次幾項(xiàng)式嗎?
(2)最后一項(xiàng)的系數(shù)m的值為多少?
(3)這個(gè)多項(xiàng)式的第七項(xiàng)和第八項(xiàng)分別是什么?
【答案】(1)十次十一項(xiàng)式；
(2)21；
(3)13a4b6、?15a3b7；
【分析】（1）該多項(xiàng)式按照a的降冪排列，每一項(xiàng)的次數(shù)是10，奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)是正號(hào)，偶數(shù)項(xiàng)的符號(hào)是負(fù)號(hào)即可解答；
（2）觀察已知多項(xiàng)式每一項(xiàng)的系數(shù)即可得到最后一項(xiàng)的系數(shù)m的值；
（3）結(jié)合（1）即可得到多項(xiàng)式的第七項(xiàng)和第八項(xiàng)．
【詳解】（1）解：∵多項(xiàng)式a10?3a9b+5a8b2?7a7b3+?+mb10是按照a的降冪排列，
∴該多項(xiàng)式有11項(xiàng)，并且每一項(xiàng)的次數(shù)是10，
∴該多項(xiàng)式是十次十一項(xiàng)式；
（2）解：∵多項(xiàng)式a10?3a9b+5a8b2?7a7b3+?+mb10有11項(xiàng)，
∴每一項(xiàng)的系數(shù)是1、?3、5、……，且偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)，奇數(shù)項(xiàng)為正數(shù)，
∴第n項(xiàng)的系數(shù)為?1n+12n?1，
∴第11項(xiàng)的系數(shù)為21，
∴m=21,
∴最后一項(xiàng)的系數(shù)m的值為21．
（3）解：∵多項(xiàng)式a10?3a9b+5a8b2?7a7b3+?+mb10第n項(xiàng)的系數(shù)為?1n+12n?1，
∴第七項(xiàng)的系數(shù)是?1n+12n?1=13，第八項(xiàng)的系數(shù)是?1n+12n?1=?15，
∵多項(xiàng)式a10?3a9b+5a8b2?7a7b3+?+mb10按照a的降冪排列，且每一項(xiàng)的次數(shù)是10，
∴第七項(xiàng)是13a4b6, 第八項(xiàng)?15a3b7,
【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化列，多項(xiàng)式的的有關(guān)概念，理解多項(xiàng)式的項(xiàng)，項(xiàng)數(shù)，次數(shù)是解題的關(guān)鍵．
【題型3 圖表的規(guī)律】
【例3】（2023春·廣東佛山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在學(xué)習(xí)“勾股數(shù)”的知識(shí)時(shí)，愛(ài)動(dòng)腦的小明發(fā)現(xiàn)了一組有規(guī)律的勾股數(shù)，并將它們記錄在如下的表格中．則當(dāng)a=90時(shí)，b的值為（）
A．2022B．2023C．2024D．2025
【答案】C
【分析】觀察表格，可知a對(duì)應(yīng)的數(shù)的規(guī)律是a=2(n+2)，n表示第幾項(xiàng)，b對(duì)應(yīng)的數(shù)的規(guī)律是b=(n+2)2?1，由此即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意可知，a對(duì)應(yīng)的數(shù)的規(guī)律是a=2(n+2)，n表示第幾項(xiàng)，
當(dāng)a=90時(shí)，90=2(n+2)，
∴n=43，即第43個(gè)數(shù)，
b對(duì)應(yīng)的數(shù)的規(guī)律是b=(n+2)2?1，
∴b=(n+2)2?1=(43+2)2?1=2025?1=2024，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字規(guī)律，觀察數(shù)與數(shù)的關(guān)系，找出數(shù)字間的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【變式3-1】（2023春·廣東揭陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下面每個(gè)表格中的四個(gè)數(shù)都是按相同規(guī)律填寫(xiě)的：
根據(jù)此規(guī)律確定a的值為（）
A．10B．9C．8D．7
【答案】B
【分析】首先根據(jù)圖示，可得第n個(gè)表格的左上角的數(shù)等于n，然后根據(jù)4?1=3，6?2=4，8?3=5，10?4=6，…，可得從第一個(gè)表格開(kāi)始，右上角的數(shù)與左上角的數(shù)的差分別是3、4、5、…，n+2，據(jù)此求出a的值是多少．
【詳解】解：觀察表格可得第n個(gè)表格的左上角的數(shù)等于n，
∵4?1=3，6?2=4，8?3=5，10?4=6，
∴可得從第一個(gè)表格開(kāi)始，右上角的數(shù)與左上角的數(shù)的差分別是3、4、5、…，n+2，
∴20?a=a+2，
∴a=9，
故選B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律，注意觀察總結(jié)出規(guī)律，并能正確的應(yīng)用規(guī)律．
【變式3-2】（2023春·廣西南寧·七年級(jí)統(tǒng)考期中）下面每個(gè)表格中的四個(gè)數(shù)都是按相同規(guī)律填寫(xiě)的
根據(jù)此規(guī)律確定x的值為（）
A．252B．209C．170D．135
【答案】B
【分析】先根據(jù)這四個(gè)數(shù)的變化規(guī)律得出這四個(gè)數(shù)，再根據(jù)規(guī)律計(jì)算即可．
【詳解】根據(jù)題意可知右上角的數(shù)是左下角的數(shù)的2倍，左上角的數(shù)比左下角的數(shù)少1，且右下角的數(shù)是左下角和右上角兩個(gè)數(shù)的乘積再加上左上角的數(shù)，
所以b=10，a=9，
則x=20b+a=20×10+9=209．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律，得出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【變式3-3】（2023春·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在表一中，將第1行第3列的數(shù)記為[1，3]，則[1，3]＝3，將第3行第2列的數(shù)記為[3，2]，則[3，2]＝6；按照要求回答下列各題：
（1）在表一中，[3，5]＝，[8，10]＝；
（2）在表一中，第3行第n+1列的數(shù)可以記為[3，n+1]＝；
（3）如圖，表二、表三、表四分別是從表一中截取的一部分，求3a+b﹣2c的值．
【答案】（1）15，80；（2）3n+3；（3）28．
【分析】（1）根據(jù)表格一可知，第一列相差1，第二列相差2，第n列相差n；第一行相差1，第二行相差2，第n行相差n；據(jù)此即可求解；
（2）類(lèi)比（1）的規(guī)律得出結(jié)論；
（3）根據(jù)第n列相差n；第n行相差n；據(jù)此即可求解．
【詳解】解：（1）[3，5]表示第3行第5列，則結(jié)果為：3+3+3+3+3=15；
[8，10]表示第8行第10列，則結(jié)果為：10×8=80，
故答案為：15，80；
（2）類(lèi)比（1）可得：[3，n+1]表示第3行第n+1列的數(shù)為：3+(n+1-1)×3=3n+3；
（3）解：表二截取的是其中的一列：上下兩個(gè)數(shù)字的差相等，所以a=15+3=18；
表三截取的是兩行兩列的相鄰的四個(gè)數(shù)字：右邊一列數(shù)字的差應(yīng)比左邊一列數(shù)字的差大1，所以b=24+25-20+1=30；
表四：3×6=18，4×8=32，可以判斷出c在第四列、第七行，即c=4×7=28；
∴3a+b﹣2c＝3×18+30-2×28=28．
故答案為：28．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，找出各個(gè)數(shù)字之間的關(guān)系：第n列相差n；第n行相差n是解題的關(guān)鍵．
【題型4 圖形的規(guī)律】
【例4】（2023春·云南臨滄·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，用字母“C”、“H”按一定規(guī)律拼成圖案，其中第1個(gè)圖案中有4個(gè)H，第2個(gè)圖案中有6個(gè)H，第3個(gè)圖案中有8個(gè)H，……，按此規(guī)律排列下去，第2023個(gè)圖案中字母H的個(gè)數(shù)為( )

A．4044B．4046C．6069D．4048
【答案】D
【分析】根據(jù)題目中的圖案，可以寫(xiě)出前幾個(gè)圖案中“H”的個(gè)數(shù)，從而可以發(fā)現(xiàn)“H”個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，進(jìn)而得到第n個(gè)圖案中“H”的個(gè)數(shù)，從而可求解．
【詳解】解：由圖可知，
第1個(gè)圖案中“H”的個(gè)數(shù)為：2×2=4(個(gè))，
第2個(gè)圖案中“H”的個(gè)數(shù)為：2×3=6(個(gè))，
第3個(gè)圖案中“H”的個(gè)數(shù)為：2×4=8(個(gè))，
…，
則第n個(gè)圖案中“H”的個(gè)數(shù)為：2(n+1)，
∴第2023個(gè)圖案中字母H的個(gè)數(shù)為：2×2024=4048．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查圖形的變化類(lèi)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中“H”個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
【變式4-1】（2023春·四川成都·七年級(jí)統(tǒng)考期末）用棋子擺成如圖所示的“小房子”，則圖⑤需要枚棋子，圖n需要枚棋子（用含n的代數(shù)式表示）．

【答案】 29 (6n?1)
【分析】根據(jù)已知圖形找出規(guī)律求解即可．
【詳解】解：∵第①個(gè)圖形中棋子的數(shù)量為：5=2×6?7，
第②個(gè)圖形中棋子的數(shù)量為：11=3×6?7，
第③個(gè)圖形中棋子的數(shù)量為：17=4×6?7，
第④個(gè)圖形中棋子的數(shù)量為：23=5×6?7，
∴第⑤個(gè)圖形中棋子的數(shù)量為：6×6?7=29，
第n個(gè)圖形中棋子的數(shù)量為：6(n+1)?7=6n?1．
故答案為：29；(6n?1)．
【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變化規(guī)律，通過(guò)從一些特殊的圖形變化中發(fā)現(xiàn)不變的因素或按規(guī)律變化的因素，然后推廣到一般情況．
【變式4-2】（2023春·山東臨沂·七年級(jí)?？计谀┑谝粋€(gè)圖案需要6根小棒，第二個(gè)圖案需要11根小棒，第3個(gè)圖案需要16根小棒…，則第10個(gè)圖案需要根小棒．

【答案】51
【分析】根據(jù)所給的圖形不難得出第n個(gè)圖形小棒的根數(shù)為：6+5n?1=5n+1，從而可求解．
【詳解】解：∵第1個(gè)圖案中有6根小棒，
第2個(gè)圖案中有11=6+5根小棒，
第3個(gè)圖案中有16=6+5+5根小棒，
……
∴第n個(gè)圖案中小棒的根數(shù)為：6+5n?1=5n+1，
∴第10個(gè)圖案中小棒的根數(shù)為：5×10+1=51，
故答案為：51．
【點(diǎn)睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯(lián)系，得出數(shù)字的運(yùn)算規(guī)律：第n個(gè)圖案中有5n+1根小棒是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【變式4-3】（2023春·甘肅蘭州·七年級(jí)?？计谀┫铝袌D形都是由同樣大小的小鋼珠按一定規(guī)律排列的，按照此規(guī)律排列下去，第40個(gè)圖形有小鋼珠顆．

【答案】820
【分析】根據(jù)圖形變化規(guī)律可知，第n個(gè)圖形有1+2+3+4+…+n=12n1+n個(gè)小球，據(jù)此規(guī)律計(jì)算即可．
【詳解】解：第1個(gè)圖中有1個(gè)小球，
第2個(gè)圖中有3個(gè)小球，3=1+2，
第3個(gè)圖中有6個(gè)小球，6=1+2+3，
第4個(gè)圖中有10個(gè)小球，10=1+2+3+4，
……
照此規(guī)律，第n個(gè)圖形有1+2+3+4+…+n=12n1+n個(gè)小球，
當(dāng)n=40時(shí)，
小球個(gè)數(shù)為12×40×1+40=820
故答案為：820．
【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，根據(jù)圖形變化規(guī)律得出第n個(gè)圖形有1+2+3+4+…+n=12n1+n個(gè)小球是解題的關(guān)鍵．
【題型5 算式的規(guī)律】
【例5】（2023春·廣東廣州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）觀察以下等式：
第1個(gè)等式：2×1+12=2×2+12?2×22
第2個(gè)等式：2×2+12=3×4+12?3×42
第3個(gè)等式：2×3+12=4×6+12?4×62
第4個(gè)等式：2×4+12=5×8+12?5×82
……
按照以上規(guī)律，第5個(gè)等式是：，第n個(gè)等式（用含n的式子表示）是：．
【答案】 2×5+12=6×10+12?6×102， 2×n+12=n+1×2n+12?n+1×2n2
【分析】根據(jù)前四個(gè)等式，抽象概括出相同位置上的數(shù)字規(guī)律，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：第1個(gè)等式：2×1+12=1+1×2×1+12?1+1×2×12=2×2+12?2×22；
第2個(gè)等式：2×2+12=2+1×2×2+12?2+1×2×22=3×4+12?3×42；
第3個(gè)等式：2×3+12=3+1×2×3+12?3+1×2×32=4×6+12?4×62；
第4個(gè)等式：2×4+12=4+1×2×4+12?4+1×2×42=5×8+12?5×82；
……
∴第5個(gè)等式：2×5+12=5+1×2×5+12?5+1×2×52=6×10+12?6×102，
∴第n個(gè)等式（用含n的式子表示）是：2×n+12=n+1×2n+12?n+1×2n2；
故答案為：2×5+12=6×10+12?6×102，2×n+12=n+1×2n+12?n+1×2n2．
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字規(guī)律探究．根據(jù)已知的等式，抽象概括出相應(yīng)的數(shù)字規(guī)律，是解題的關(guān)鍵．
【變式5-1】（2023春·四川成都·七年級(jí)統(tǒng)考期末）觀察按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：2，12，27，…，其中第n個(gè)數(shù)記為an，第n+1個(gè)數(shù)記為an+1，第n+2個(gè)數(shù)記為an+2，且滿足1an+1an+2=2an+1，則a4= ，a2023= ．
【答案】 15/0.2 26067
【分析】由題意推導(dǎo)可得an=23(n?1)+1，即可求解．
【詳解】解：由題意可得：a1=2=21，a2=12=24，a3=27，
∵1a2+1a4=2a3，
∴2+1a4=7，
∴a4=15=210，
∵1a3+1a5=2a4，
∴a5=213，
同理可求a6=18=216，
?
∴an=23(n?1)+1，
∴a2023=232023?1+1=26067，
故答案為：15；26067．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的規(guī)律探索，找出數(shù)字的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【變式5-2】（2023春·江西景德鎮(zhèn)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）仔細(xì)觀察下列規(guī)律：22?2=22?1=2：23?22=222?1=22；24?23=232?1=23；…
(1)28?27=___________．
(2)2n?1?2n=___________；
(3)小明做完上述兩題后，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)運(yùn)算規(guī)律：
24+23+22+2=25?24+24?23+23?22+22?2
=25?24+24?23+23?22+22?2=25?2
請(qǐng)你參考小明發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：2100+299+298+???+23+22+2．
【答案】(1)27
(2)?2n?1
(3)2101?2
【分析】（1）根據(jù)所給式子對(duì)照可得答案；
（2）根據(jù)所列出的式子的變化規(guī)律，類(lèi)推出第n個(gè)式子的情況，從而得出結(jié)果
（3）利用（2）中所得規(guī)律變形，再消項(xiàng)計(jì)算．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得：28?27=2×27?27=27×2?1=27；
（2）由題中規(guī)律可得：2n?2n?1=2n?1，
∴2n?1?2n=?2n?1；
（3）2100+299+298+???+23+22+2
=2101?2100+2100?299+???+24?23+23?22+22?2
=2101?2100+2100?299+???+24?23+23?22+22?2
=2101?2
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字規(guī)律，找出式子的變化規(guī)律是關(guān)鍵，注意與所在的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，并用所在的個(gè)數(shù)表示其變化規(guī)律即可，并類(lèi)推應(yīng)用．
【變式5-3】（2023春·浙江寧波·七年級(jí)校聯(lián)考期末）請(qǐng)仔細(xì)觀察下列各等式的規(guī)律：
第1個(gè)等式：11×3=12×1?13；
第2個(gè)等式：13×5=12×13?15；
第3個(gè)等式：15×7=12×15?17；
…
(1)請(qǐng)用含n的代數(shù)式表示第n個(gè)等式的規(guī)律；
(2)將第1個(gè)等式至第2023個(gè)等式的左邊部分相加，值為多少？
【答案】(1)12n?1×2n+1=12×12n?1?12n+1；
(2)20234047
【分析】（1）寫(xiě)出第4個(gè)等式：17×9=12×17?19，第5個(gè)等式：19×11=12×19?111，進(jìn)而可得出答案；
（2）先寫(xiě)出第2023個(gè)等式為：14045×4047=12×14045?14047，第1個(gè)等式至第2023個(gè)等式的左邊部分相加為：11×3+13×5+15×+14045×4047變形即可求出答案．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得：第4個(gè)等式：17×9=12×17?19，
第5個(gè)等式：19×11=12×19?111，
…….
第n個(gè)等式：12n?1×2n+1=12×12n?1?12n+1；
（2）解：第2023個(gè)等式為：14045×4047=12×14045?14047，
第1個(gè)等式至第2023個(gè)等式的左邊部分相加為：11×3+13×5+15×+14045×4047
=12×1?13+13?15+15??14047
=12×1?13+13?15+15??14047
=12×1?14047
=12×40464047
=20234047．
【點(diǎn)睛】本題考查找規(guī)律，并通過(guò)規(guī)律解決問(wèn)題，正確理解找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【題型6 程序運(yùn)算】
【例6】（2023春·山西呂梁·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，是一個(gè)運(yùn)算程序示意圖．若第一次輸入 k 的值為 25，則第 2023 次輸出的結(jié)果是．
【答案】5
【分析】依次求出每次輸出的結(jié)果，根據(jù)結(jié)果得出規(guī)律，即可得出答案．
【詳解】解：當(dāng)k=25時(shí)，15×25=5，
當(dāng)k=5時(shí)，15×5=1，
當(dāng)k=1時(shí)，k+4=5，
當(dāng)k=5時(shí)，15×5=1，
當(dāng)k=1時(shí)，k+4=5，
當(dāng)k=5時(shí)，15×5=1，
…
∴規(guī)律為從第一次開(kāi)始輸出結(jié)果是5和1的循環(huán)，
∴2023÷2=，
即第2023次輸出的結(jié)果是5．
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】本題考查了求代數(shù)式的值，能根據(jù)求出的結(jié)果得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．
【變式6-1】（2023春·河南鄭州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）對(duì)于不同的起始數(shù)字，反復(fù)運(yùn)用任何一個(gè)固定的運(yùn)算程序，由此產(chǎn)生的結(jié)果總是會(huì)停留在某個(gè)或某幾個(gè)數(shù)字上，稱(chēng)之為“數(shù)字黑洞”．小明寫(xiě)下了一列數(shù)1234567890，按照“偶-奇-總”的程序不斷排出新數(shù)：這十個(gè)數(shù)中，偶數(shù)有5個(gè)，奇數(shù)有5個(gè)，總數(shù)有10個(gè)，得到新數(shù)為5510；再把5510，按照“偶-奇-總”排列，…… 繼續(xù)下去，你將得到一個(gè)“數(shù)字黑洞”是．
【答案】123
【分析】根據(jù)題中材料，按照要求操作即可得到答案．
【詳解】解：對(duì)于5510，按照“偶-奇-總”排列，偶數(shù)有1個(gè)，奇數(shù)有3個(gè)，總數(shù)有4個(gè)，得到新數(shù)為134；
對(duì)于134，按照“偶-奇-總”排列，偶數(shù)有1個(gè)，奇數(shù)有2個(gè)，總數(shù)有3個(gè)，得到新數(shù)為123；
對(duì)于123，按照“偶-奇-總”排列，偶數(shù)有1個(gè)，奇數(shù)有2個(gè)，總數(shù)有3個(gè)，得到新數(shù)為123；
?
以此類(lèi)推，得到的“數(shù)字黑洞”是123，
故答案為：123．
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字規(guī)律，讀懂題意，按照要求操作是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【變式6-2】（2023春·河南鄭州·七年級(jí)河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）按如圖所示的程序計(jì)算，若開(kāi)始輸入的x的值為30，第一次得到的結(jié)果為15，第二次得到的結(jié)果為24，……，請(qǐng)你探索第2023次得到的結(jié)果為．
【答案】6
【分析】分別計(jì)算出前六次的輸出結(jié)果可以得到從第三次輸出結(jié)果開(kāi)始，每三次輸出結(jié)果為一個(gè)循環(huán)，由此進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：由題意得，第一次得到的結(jié)果為15，
第二次得到的結(jié)果為24，
第三次得到的結(jié)果為12，
第四次得到的結(jié)果為6，
第五次得到的結(jié)果為3，
第六次得到的結(jié)果為12，
…
∴可知從第三次輸出結(jié)果開(kāi)始，每三次輸出結(jié)果為一個(gè)循環(huán)，
∵2023?2÷3=673…2，
∴第2023次的輸出結(jié)果和第四次的輸出結(jié)果相同，為6，
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了與程序流程圖相關(guān)的規(guī)律問(wèn)題，正確理解題意找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【變式6-3】（2023春·四川成都·七年級(jí)成都嘉祥外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期末）小磊想編一個(gè)循環(huán)“插數(shù)”程序，對(duì)有序的數(shù)列：-2，0進(jìn)行有規(guī)律的“插數(shù)”：對(duì)任意兩個(gè)相鄰的數(shù)，都用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)之差“插”在這相鄰的兩個(gè)數(shù)之間，產(chǎn)生一個(gè)個(gè)新數(shù)列.如：第1次“插數(shù)”產(chǎn)生的一個(gè)新數(shù)列是-2，2，0；第2次“插數(shù)”產(chǎn)生的一個(gè)新數(shù)列是-2，4，2，-2，0；第3次“插數(shù)”產(chǎn)生的一個(gè)新數(shù)列是-2，6，4，-2，2，-4，-2，2，0；……，第2019次“插數(shù)”產(chǎn)生的一個(gè)新數(shù)列的所有數(shù)之和是 .
【答案】4036
【分析】根據(jù)第1次“插數(shù)”產(chǎn)生的一個(gè)新數(shù)列是-2，2，0，增加了新數(shù)2；第2次“插數(shù)”產(chǎn)生的一個(gè)新數(shù)列是-2，4，2，-2，0，增加了新數(shù)4，2，-2，其和為4；第3次“插數(shù)”產(chǎn)生的一個(gè)新數(shù)列是-2，6，4，-2，2，-4，-2，2，0，增加了新數(shù)6，4，-2，2，-4，-2，2，其和為6；……
由此可得第n次“插數(shù)”產(chǎn)生的一個(gè)新數(shù)列的所有數(shù)之和為2n-2；由此即可解答.
【詳解】第1次“插數(shù)”產(chǎn)生的一個(gè)新數(shù)列是-2，2，0，增加了新數(shù)2；
第2次“插數(shù)”產(chǎn)生的一個(gè)新數(shù)列是-2，4，2，-2，0，增加了新數(shù)4，2，-2，其和為4；
第3次“插數(shù)”產(chǎn)生的一個(gè)新數(shù)列是-2，6，4，-2，2，-4，-2，2，0，增加了新數(shù)6，4，-2，2，-4，-2，2，其和為6；
……
由此可得，第n次“插數(shù)”產(chǎn)生的一個(gè)新數(shù)列的所有數(shù)之和為：-2+0+2n=2n-2；
∴第2019次“插數(shù)”產(chǎn)生的一個(gè)新數(shù)列的所有數(shù)之和是：2n-2=2×2019-2=4036.
故答案為4036.
【點(diǎn)睛】本題是數(shù)字規(guī)律探究題，根據(jù)題意得到第n次“插數(shù)”產(chǎn)生的一個(gè)新數(shù)列的所有數(shù)之和為2n-2是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
【題型7 定義新運(yùn)算】
【例7】（2023春·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)統(tǒng)考期末）定義一種新運(yùn)算：“?”觀察下列各式：
2?3=2×3+3=9 3??1=3×3?1=8 4?4=4×3+4=16
5??3=5×3?3=12，則a?b= （用含a、b的代數(shù)式表示）
【答案】3a+b
【分析】根據(jù)所給算式總結(jié)規(guī)律解答即可．
【詳解】解：∵2?3=2×3+3=9，
3??1=3×3?1=8，
4?4=4×3+4=16，
5??3=5×3?3=12，
∴a?b=3a+b，
故答案為：3a+b．
【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型-數(shù)字的變化類(lèi)，通過(guò)從一些特殊的數(shù)字變化中發(fā)現(xiàn)不變的因素或按規(guī)律變化的因素，然后推廣到一般情況．
【變式7-1】（2023春·陜西安康·七年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：若a是不為1的有理數(shù)，則11?a稱(chēng)為a的差倒數(shù)．如2的差倒數(shù)為11?2=?1．現(xiàn)有若干個(gè)數(shù)，第一個(gè)數(shù)記為a1，a2是a1的差倒數(shù)，a3是a2的差倒數(shù)，依此類(lèi)推，若a1=?13，則a2023= ．
【答案】?13
【分析】根據(jù)規(guī)定進(jìn)行計(jì)算，得出：a1，a2，a3，a4發(fā)現(xiàn)3個(gè)一循環(huán)，按照這個(gè)規(guī)律計(jì)算即可．
【詳解】∵a1=?13，
∴a2=11?a1=11??13=34，
a3=11?a2=11?34=4，
a4=11?a3=11?4=?13
由此可以看出?13，34，4，三個(gè)數(shù)不斷循環(huán)出現(xiàn)．
因?yàn)?023÷3=674?1，，
所以a2023=a1=?13．
故答案為：?13．
【點(diǎn)睛】此題考查規(guī)律型：數(shù)字的變化類(lèi)，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)循環(huán)的規(guī)律，然后利用規(guī)律進(jìn)行計(jì)算分析判斷．
【變式7-2】（2023春·重慶·七年級(jí)統(tǒng)考期末）定義一種對(duì)正整數(shù)n的“F”運(yùn)算：①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為3n+5；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為n2k（其中k是使n2k為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算可以重復(fù)進(jìn)行．例如，取n=26，則：
若n=23，則第2022次“F”運(yùn)算的結(jié)果是（）
A．74B．37C．92D．23
【答案】D
【分析】根據(jù)題意和題目中的新定義，可以計(jì)算出前幾次的運(yùn)算結(jié)果，然后觀察結(jié)果，即可發(fā)現(xiàn)結(jié)果的變化規(guī)律，從而可以計(jì)算出n=23，第2022次“F”運(yùn)算的結(jié)果．
【詳解】解：由題意可得，
當(dāng)n=23時(shí)，第一次的運(yùn)算結(jié)果為3×23+5=74，
第二次的運(yùn)算結(jié)果為：74÷2=37，
第三次的運(yùn)算結(jié)果為：3×37+5=116，
第四次的運(yùn)算結(jié)果為：116÷22=29，
第五次的運(yùn)算結(jié)果為：3×29+5=92，
第六次的運(yùn)算結(jié)果為：92÷22=23，
第七次的運(yùn)算結(jié)果為：3×23+5=74，
…，
由上可得，每六次為一個(gè)循環(huán)，
∵2022÷6=337，
∴n=23，則第2022次“F”運(yùn)算的結(jié)果是23，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算、數(shù)字的變化類(lèi)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)運(yùn)算結(jié)果的變化特點(diǎn)．
【變式7-3】（2023春·湖南岳陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：若兩個(gè)有理數(shù)的和等于這兩個(gè)有理數(shù)的積，則稱(chēng)這兩個(gè)數(shù)是一對(duì)“友好數(shù)”．如：有理數(shù)54與5，因?yàn)?4+5=54×5，所以54與5是一對(duì)“友好數(shù)”．
（1）有理數(shù)a和b是一對(duì)“友好數(shù)”，當(dāng)a=4時(shí)，則b= ；
（2）對(duì)于有理數(shù)x（x≠0且x≠1），設(shè)x的“友好數(shù)”為x1；x1的倒數(shù)為x2；x2的“友好數(shù)”為x3；x3的倒數(shù)為x4；……依次按如上的操作，得到一組數(shù)，x1,x2,x3,x4,?,xn．當(dāng)x=32時(shí)，x2023的值為；
【答案】 43 3
【分析】（1）根據(jù)定義得a+b=ab，代入數(shù)據(jù)求出數(shù)值即可；根據(jù)題意依次寫(xiě)出x的數(shù)值，找到規(guī)律，根據(jù)規(guī)律即可求得數(shù)值．
【詳解】（1）解：∵有理數(shù)a和b是一對(duì)“友好數(shù)”
∴ a+b=ab
將a=4代入得：b=43
（2）當(dāng)x=32時(shí)，
得：x1=3，x2=13，x3=?12，x4=?2，x5=23，x6=32，x7=3，．．．
發(fā)現(xiàn)6個(gè)數(shù)為一周期，
∵ 2023÷6=337??????1
∴ x2023=x1=3
故答案為：43；3
【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，找規(guī)律的題型，觀察定義、歸納概括出規(guī)律是解題關(guān)鍵．
【題型8 動(dòng)點(diǎn)規(guī)律探究】
【例8】（2023春·重慶·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，動(dòng)點(diǎn)P從第一個(gè)數(shù)0的位置出發(fā)，每次跳動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，第一次跳動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)數(shù)1的位置，第二次跳動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)數(shù)2的位置，第三次跳動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)數(shù)3的位置，第四次跳動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)數(shù)4的位置，…，依此規(guī)律跳動(dòng)下去，點(diǎn)P從0跳動(dòng)6次到達(dá)P1的位置，點(diǎn)P從0跳動(dòng)21次到達(dá)P2的位置，…，點(diǎn)P1、P2、P3…Pn在一條直線上，則點(diǎn)P從0跳動(dòng)次可到達(dá)P14的位置．（）

A．887B．903C．909D．1024
【答案】B
【分析】找到規(guī)律：跳動(dòng)次數(shù)為從1開(kāi)始連續(xù)正整數(shù)的和，且最后一個(gè)加數(shù)為n×3，進(jìn)而得到答案即可．
【詳解】由題意知，跳動(dòng)1+2+3=6個(gè)單位長(zhǎng)度到P1，
從P1到P2再跳動(dòng)4+5+6=15個(gè)單位長(zhǎng)度，
歸納可得：從上一個(gè)點(diǎn)跳到下一個(gè)點(diǎn)跳動(dòng)的單位長(zhǎng)度是三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)的和，∵14×3=42，
∴點(diǎn)P從0跳到P14跳動(dòng)了：1+2+3+4+…+42=903，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查圖形中的規(guī)律探究．根據(jù)圖形，抽象概括出相應(yīng)的數(shù)字規(guī)律，是解題的關(guān)鍵．
【變式8-1】（2023春·浙江臺(tái)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）點(diǎn)O在直線AB上，點(diǎn)A1，A2，A3，……在射線OA上，點(diǎn)B1，B2，B3，……在射線OB上，圖中的每一個(gè)實(shí)線段和虛線段的長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度．一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度按如圖所示的箭頭方向沿著實(shí)線段和以點(diǎn)O為圓心的半圓勻速運(yùn)動(dòng)，即從OA1B1B2A2……按此規(guī)律，則動(dòng)點(diǎn)M到達(dá)A10點(diǎn)處所需時(shí)間為（）秒．
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】試題分析：動(dòng)點(diǎn)M從O點(diǎn)出發(fā)到A4點(diǎn)，在直線AB上運(yùn)動(dòng)了4個(gè)單位長(zhǎng)度，在以O(shè)為圓心的半圓運(yùn)動(dòng)了（π?1+π?2）單位長(zhǎng)度，
∴動(dòng)點(diǎn)M到達(dá)A10點(diǎn)處運(yùn)動(dòng)的單位長(zhǎng)度=10+（π?1+π?2+…+π?10）=10+55π．
∴動(dòng)點(diǎn)M到達(dá)A10點(diǎn)處運(yùn)動(dòng)所需時(shí)間=（10+55π）÷1=（10+55π）秒．
故選A
考點(diǎn)：1．規(guī)律探索，2．圓的周長(zhǎng)
【變式8-2】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)期末）如圖，數(shù)軸上的O點(diǎn)為原點(diǎn)，A點(diǎn)表示的數(shù)為﹣2，動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，按以下規(guī)律跳動(dòng)：第1次從O點(diǎn)跳動(dòng)到OA的中點(diǎn)A1處，第2次從A1點(diǎn)跳動(dòng)到A1A的中點(diǎn)A2處，第3次從A2點(diǎn)跳動(dòng)到A2A的中點(diǎn)A3處，…，第n次從An﹣1點(diǎn)跳動(dòng)到An﹣1A的中點(diǎn)An處，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動(dòng)到點(diǎn)A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整數(shù)）處，那么An點(diǎn)所表示的數(shù)為．
【答案】?2+12n?1
【分析】根據(jù)題意找出規(guī)律：AA1=1，A1A2=12，A2A3=14，，An?1An=12n?1，再求出AnO即可．
【詳解】解：∵A點(diǎn)表示的數(shù)為?2，
∴AO=2，
∵OA的中點(diǎn)是A1，
∴AA1=12AO=1，
同理可得A1A2=12，A2A3=14，，An?1An=12n?1，
∴AnO=2?12n?1，
∵An點(diǎn)在負(fù)半軸，
∴An點(diǎn)所表示的數(shù)為：?2+12n?1；
故答案為：?2+12n?1．
【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是會(huì)總結(jié)歸納出數(shù)字的變化規(guī)律．
【變式8-3】（2023春·廣東梅州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，甲、乙兩動(dòng)點(diǎn)分別從正方形ABCD的頂點(diǎn)A，C同時(shí)沿正方形的邊開(kāi)始移動(dòng)，甲按順時(shí)針?lè)较颦h(huán)行，乙按逆時(shí)針?lè)较颦h(huán)行，若乙的速度是甲的3倍，那么它們第一次相遇在AD邊上，請(qǐng)問(wèn)它們第2022次相遇在哪條邊上？（）
A．ADB．ABC．BCD．CD
【答案】D
【分析】設(shè)出正方形的邊長(zhǎng)，甲的速度是乙的速度的3倍，求得每一次相遇的地點(diǎn)，找出規(guī)律即可解答．
【詳解】解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，因?yàn)橐业乃俣仁羌椎乃俣鹊?倍，時(shí)間相同，甲乙所行的路程比為1∶3，把正方形的每一條邊平均分成2份，由題意知：
①第一次相遇甲乙行的路程和為2a，乙行的路程為2a×31+3=3a2，甲行的路程為2a×11+3=a2，在AD邊的中點(diǎn)相遇；
②第一次相遇到第二次相遇甲乙行的路程和為4a，乙行的路程為4a×31+3=3a，甲行的路程為4a×11+3=a，在CD邊的中點(diǎn)相遇；
③第二次相遇到第三次相遇甲乙行的路程和為4a，乙行的路程為4a×31+3=3a，甲行的路程為4a×11+3=a，在BC邊的中點(diǎn)相遇；
④第三次相遇到第四次相遇甲乙行的路程和為4a，乙行的路程為4a×31+3=3a，甲行的路程為4a×11+3=a，在AB邊的中點(diǎn)相遇；
⑤第四次相遇到第五次相遇甲乙行的路程和為4a，乙行的路程為4a×31+3=3a，甲行的路程為4a×11+3=a，在AD邊的中點(diǎn)相遇；
四次一個(gè)循環(huán)，因?yàn)?022÷4=505?2，所以它們第2022次相遇在邊CD上，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，行程問(wèn)題中的相遇問(wèn)題及按比例分配的運(yùn)用，難度較大，注意先通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律然后再解決問(wèn)題．a(chǎn)
6
8
10
12
14
…
b
8
15
24
35
48
…
c
10
17
26
37
50
…
1
4
2
6
3
8
4
10
……
a
20
……
2
9
3
20
4
35
5
54
b
x
第1個(gè)
第2個(gè)
第3個(gè)
第4個(gè)
……

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