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\l "_Tc31499" 【題型1 與邊分類討論】 PAGEREF _Tc31499 \h 1
\l "_Tc27053" 【題型2 與角分類討論】 PAGEREF _Tc27053 \h 3
\l "_Tc29783" 【題型3 與高分類討論】 PAGEREF _Tc29783 \h 7
\l "_Tc12254" 【題型4 與垂直平分線分類討論】 PAGEREF _Tc12254 \h 11
\l "_Tc3366" 【題型5 與中線分類討論】 PAGEREF _Tc3366 \h 16
\l "_Tc7780" 【題型6 與動點、動線段需分類討論】 PAGEREF _Tc7780 \h 19
\l "_Tc9562" 【題型7 構(gòu)造等腰三角形需分類討論】 PAGEREF _Tc9562 \h 23
【題型1 與邊分類討論】
【例1】（2023春·重慶渝中·八年級重慶巴蜀中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知等腰三角形的兩邊長分別為a、b，且a、b滿足a?22+|b?3|=0，則此等腰三角形的周長為（ ）
A．7或8B．6或10C．6或7D．7或10
【答案】A
【分析】首先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)即可得到關(guān)于a、b的方程組，接下來解方程組即可求出a、b的值，再分類討論，可得結(jié)論．
【詳解】解：根據(jù)題意得，a?2=0，b?3=0，
∴a=2，b=3，
①當(dāng)a=2是腰時，三邊分別為2、2、3，能組成三角形，
周長為：2+2+3=7．
②當(dāng)b=3是腰時，三邊分別為3、3、2，能組成三角形，
周長為：3+3+2=8．
所以等腰三角形的周長7或8．
故選：A．
【點睛】本題考查非負數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想解決問題．
【變式1-1】（2023春·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）用一條長20cm的細繩圍成一個等腰三角形，若一邊長是另一邊長的2倍，則底邊的長為 ．
【答案】4cm
【分析】設(shè)較短的邊長為xcm，則較長的邊為2xcm，分兩種情況：當(dāng)較短的邊為底邊，較長的邊為腰時；當(dāng)較長的邊為底邊，較短的邊為腰時，分別進行求解即可得到答案．
【詳解】解：設(shè)較短的邊長為xcm，則較長的邊為2xcm，
當(dāng)較短的邊為底邊，較長的邊為腰時，則x+2x+2x=20，
解得：x=4，
此時三角形三邊長分別為4cm，8cm，8cm，能組成三角形；
當(dāng)較長的邊為底邊，較短的邊為腰時，則2x+x+x=20，
解得：x=5，
此時三角形三邊長分別為5cm，5cm，10cm，
∵5+5=10，
∴不滿足三角形任意兩邊之和大于第三邊，故不能組成三角形；
綜上所述，三角形底邊的長為4cm，
故答案為：4cm．
【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，以及三角形任意兩邊之和大于第三邊，采用分類討論的思想解題，是解此題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2023春·安徽六安·八年級?？计谥校┮阎妊鰽BC的周長為18，BC=8，若△ABC≌△DEF，則△DEF中一定有一條邊等于（ ）
A．7B．2或7C．5D．2或5
【答案】D
【分析】分BC為腰、BC為底兩種情況，求出等腰三角形的另兩邊，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答．
【詳解】解：當(dāng)BC=8為腰時，等腰△ABC的周長為18，
∴另兩邊為8或2，
當(dāng)BC=8為底時，另兩邊為5或5，
∵△ABC≌△DEF，
∴△DEF中有一條邊等于2或5，
故選：D．
【點睛】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2023春·陜西西安·八年級西安市第八十三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）定義；等腰三角形的底邊長與其腰長的比值k稱為這個等腰三角形的“優(yōu)美比”．若等腰三角形的周長為13cm，AB=5cm，則它的“優(yōu)美比”k為（ ）
A．54B．35C．54或35D．45或53
【答案】C
【分析】分兩種情況：AB為腰或AB為底邊，再根據(jù)三角形周長可求得底邊或腰的長度，即可得到它的優(yōu)美比k.
【詳解】解：當(dāng)AB腰時，則底邊=3cm；
此時，優(yōu)美比k=35；
當(dāng)AB為底邊時，則腰為4cm；
此時，優(yōu)美比k=54；
故選：C．
【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．
【題型2 與角分類討論】
【例2】（2023春·八年級課時練習(xí)）過等腰三角形底角頂點的一條直線，將該等腰三角形分成的兩個三角形均為等腰三角形，則原等腰三角形的頂角度數(shù)為 ．
【答案】36°或1807°
【分析】分兩種情況畫出圖形，①當(dāng)BC=BD=AD，AB=AC時，設(shè)∠A=α，得∠C=∠CDB=2α．∠ABC=∠C=2α．由∠A+∠ABC+∠C=180°，則α+2α+2α=180°，即可得到α=36°；②當(dāng)AD=BD，BC=DC，AB=AC時，設(shè)∠A=α．得∠ABC=∠C=3α．則∠A+∠ABC+∠C=180°，則α+3α+3α=180°，得α=1807°．
【詳解】解：分兩種情況討論：
①如圖（1），

當(dāng)BC=BD=AD，AB=AC時，設(shè)∠A=α．
∵BD=AD，
∴∠ABD=∠A=α，
∴∠CDB=∠ABD+∠A=2α．
∵BC=BD，
∴∠C=∠CDB=2α．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=2α．
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴α+2α+2α=180°，
解得α=36°．
②如圖（2），

當(dāng)AD=BD，BC=DC，AB=AC時，設(shè)∠A=α．
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD=α．
∴∠BDC=∠A+∠ABD=2α．
∵BC=DC，
∴∠CBD=∠BDC=2α，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=3α．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=3α．
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴α+3α+3α=180°，
解得α=1807°．
綜上，原等腰三角形頂角的度數(shù)為36°或1807°．
故答案為：36°或1807°
【點睛】此題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)等知識，分類討論是解題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（2023春·安徽亳州·八年級統(tǒng)考期末）一個等腰三角形，其中兩個內(nèi)角的度數(shù)的比是2:5，它的三個內(nèi)角可能是（ ）
A．30°，30°，120°B．50°，50°，80°
C．75°，75°，30°D．80°，80°，20°
【答案】C
【分析】分兩種情況，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和列方程，即可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵兩個內(nèi)角的度數(shù)的比是2:5，
∴設(shè)一個內(nèi)角等于2x，另一個內(nèi)角等于5x，
∵三角形是等腰三角形，
∴2x+2x+5x=180°或5x+5x+2x=180°，
解得：x=20°或x=15°，
∴三個內(nèi)角是40°，40°，100°或75°，75°，30°，
故選：C．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式2-2】（2023春·八年級課時練習(xí)）定義：等腰三角形的頂角與其一個底角的度數(shù)的比值k稱為這個等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A=80°，則它的特征值k為（ ）
A．85或14B．58或14C．85或4D．58或4
【答案】A
【分析】分∠A為頂角和底角兩種情況,利用等腰三角形的兩底角相等求出底角或頂角，然后根據(jù)k的定義求解即可．
【詳解】解：①當(dāng)∠A為頂角時，等腰三角形兩底角的度數(shù)為：12（180°-80°）=50°
∴k=80°50°=85
②當(dāng)∠A為底角時，頂角的度數(shù)為：180°-80°-80°=20°.
∴特征值k=20°80°=14
綜上所述，k為85或14．
故答案為A．
【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，∠A是頂角還是底角的分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2023春·山東棗莊·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠ABC=40°，∠BAC=80°，以點A為圓心，AC長為半徑作弧，交射線BA于點D，連接CD，則∠BCD的度數(shù)是 ．

【答案】10°或100°
【分析】分兩種情況：當(dāng)點D在BA上時，當(dāng)點D′在BA的延長線上時，由等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)進行計算即可得到答案．
【詳解】解：如圖，
,
當(dāng)點D在BA上時，由作圖可得：AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∵∠ADC+∠ACD+∠BAC=180°，∠BAC=80°，
∴∠ADC=∠ACD=180°?∠BAC2=180°?80°2=50°，
∵在△ABC中，∠ABC=40°，∠BAC=80°，
∴∠ACB=180°?∠ABC?∠BAC=180°?40°?80°=60°，
∴∠BCD=∠ACB?∠ACD=60°?50°=10°，
當(dāng)點D′在BA的延長線上時，由作圖可得：AD′=AC，
∴∠AD′C=∠ACD′，
∵∠D′AC=∠ABC+∠ACB=40°+60°=100°，∠AD′C+∠ACD′+∠D′AC=180°，
∴∠AD′C=∠ACD′=40°，
∴∠BCD′=∠ACB+∠ACD′=60°+40°=100°
綜上所述：∠BCD的度數(shù)是：10°或100°，
故答案為：10°或100°．
【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的定義及性質(zhì)，熟練掌握以上知識點，采用分類討論的思想解題，是解此題的關(guān)鍵．
【題型3 與高分類討論】
【例3】（2023春·廣東深圳·八年級?？计谥校┤粢粋€等腰三角形腰上的高等于腰長的一半，則此等腰三角形的底角的度數(shù)是（ ）
A．15°B．75°C．15°或75°D．無法確定
【答案】C
【分析】分兩種情況，畫出相應(yīng)的圖形，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，結(jié)合等邊三角形的判定和性質(zhì)求出頂角度數(shù)，即可得到等腰三角形底角的度數(shù)．
【詳解】解：當(dāng)△ABC為銳角三角形時，作CD⊥AB于點D，取AC的中點E，連接DE，如圖：

則∠ADC=90°，
∵E為AC的中點，
∴DE=CE=12AC，
∵CD=12AC，
∴CD=CE=DE，
∴△CDE為等邊三角形，
∴∠DCE=60°，
∴∠A=90°?60°=30°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=75°；
當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，作BD⊥CA，交CA的延長線于點D，取AB的中點E，連接DE，如圖：

則∠ADB=90°，
∵E為AB的中點，
∴BE=DE=12AB，
∵BD=12AB，
∴△BDE為等邊三角形，
∴∠ABD=60°，
∴∠DAB=90°?60°=30°，
∴∠BAC=150°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=15°；
綜上分析可知，此等腰三角形的底角的度數(shù)是15°或75°，故C正確．
故選：C．
【點睛】本題考查解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，畫出相應(yīng)的圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
【變式3-1】（2023春·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）在等腰三角形中有一個角為40°，則腰上的高與底邊的夾角為 ．
【答案】20°或50°
【分析】分已知的角是等腰三角形的底角和頂角兩種情況計算．
【詳解】當(dāng)40°角為底角時，如圖，
∵CA=CB，
∴∠CAB=∠B=40°，
過點A作AD⊥CB，交BC的延長線于點D，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAB=90°?∠B=50°；

當(dāng)40°角為頂角時，如圖，
∵CA=CB，
∴∠CAB=∠B=180°?40°2=70°，
過點A作AG⊥CB，交BC于點G，
∴∠AGB=90°，
∴∠GAB=90°?∠B=20°；
故答案為20°或50°．
【點睛】本題考查了等腰三角形的角的計算，熟練掌握分類思想是解題的關(guān)鍵．
【變式3-2】（2023春·全國·八年級課堂例題）已知△ABC的高AD，BE所在的直線交于點F，若BF=AC，則∠ABC的度數(shù)為___________．
【答案】圖見解析，45°或135°
【分析】分兩種情況，畫出圖形，由全等三角形的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)可得出答案．
【詳解】解：[作圖區(qū)]
當(dāng)∠ABC為銳角時，如圖①．
當(dāng)∠ABC為鈍角時，如圖②．
[解答區(qū)]
①若△ABC為銳角三角形時，∠ABC為銳角，如圖①，
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠C+∠CBE=90°，∠C+∠CAD=90°，
∴∠CBF=∠CAD，
∴△BDF≌△ADCAAS，
∴BD=AD，
∴∠ABD=45°，
即∠ABC=45°；
②若△ABC為鈍角三角形時，∠ABC為鈍角，如圖②，
同理可證△BDF≌△ADCAAS，
∴BD=AD，
∴∠ABD=45°，
∴∠ABC=135°，
綜上所述，∠ABC的度數(shù)為45°或135°．
故答案為：45°或135°．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式3-3】（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）在平行四邊形ABCD中，AD=BD，BE是AD邊上的高，∠EBD=30°，則∠A的度數(shù)為 ．
【答案】60°或30°
【分析】首先求出∠ADB的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)，得出∠A的度數(shù)．
【詳解】解：情形一：當(dāng)E點在線段AD上時，如圖所示，

∵BE是AD邊上的高，∠EBD=30°，
∴∠ADB=90°?30°=60°，
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD=180°?60°÷2=60°；
情形二：當(dāng)E點在AD的延長線上時，如圖所示，

∵BE是AD邊上的高，∠EBD=30°，
∴∠BDE=60°，
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD=12∠BDE=30°．
故答案為：60°或30°．
【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)，三角形的高等知識，得出∠ADB的度數(shù)是解題關(guān)鍵．
【題型4 與垂直平分線分類討論】
【例4】（2023春·山東泰安·八年級統(tǒng)考期末）已知線段AB垂直平分線上有兩點C、D，若∠ADB=80°，∠CAD=10°，則∠ACB=（ ）
A．80°B．90°C．60°或100°D．40°或90°
【答案】C
【分析】如圖，DE垂直平分AB，垂足為E，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DB，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可計算出∠DAB＝∠DBA＝50°，當(dāng)C點在線段DE上，∠CAD＝10°時，則∠CAB＝40°，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可計算∠ACB＝100°；當(dāng)C′點在ED的延長線上，∠C′AD＝10°時，則∠C′AB＝60°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)易得∠AC′B＝60°．
【詳解】解：如圖，DE垂直平分AB，垂足為E，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠DBA=12（180°﹣∠ADB）=12×（180°﹣80°）＝50°，
當(dāng)C點在線段DE上，∠CAD＝10°時，則∠CAB＝50°﹣10°＝40°，
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣40°﹣40°＝100°；
當(dāng)C′點在ED的延長線上，∠C′AD＝10°時，則∠C′AB＝50°+10°＝60°，
∵CA＝CB，
∴∠AC′B＝60°，
綜上所述，∠ACB的度數(shù)為60°或100°．
故選：C．
【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線垂直且平分其所在線段；垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．
【變式4-1】（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）已知，在△OPQ中，OP=OQ，OP的垂直平分線交OP于點D，交直線OQ于點E，∠OEP=50°，則∠POQ= ．
【答案】65°或115°
【分析】△OPQ為銳角三角形時，根據(jù)線段垂直平分線的定義得到∠ODE=∠PDE=90°，從而求得∠OED=∠PED=12∠OEP，繼而可得∠EOD=90°?25°=65°，問題得解；△OPQ為鈍角三角形時，同理可得∠EOD=90°?25°=65°，即∠POQ=180°?∠EOD，問題得解．
【詳解】解：①如圖1，△OPQ為銳角三角形時，
∵DE垂直且平分OP，
∴∠ODE=∠PDE=90°，OE=PE，
∴∠OED=∠PED=12∠OEP，
又∵∠OEP=50°，
∴∠OED=∠PED=25°，
∴∠EOD=90°?25°=65°；
②如圖2，△OPQ為鈍角三角形時，
∵DE垂直且平分OP，
∴∠ODE=∠PDE=90°，OE=PE，
∴∠OED=∠PED=12∠OEP，
又∵∠OEP=50°，
∴∠OED=∠PED=25°，
∴∠EOD=90°?25°=65°，
∴∠POQ=180°?65°=115°；
故答案為：65°或115°．
【點睛】本題考查的是線段垂直平分線的定義以及等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，掌握這些性質(zhì)及定理，準確作出圖形是解題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（2023春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）在△ABC中，∠BAC=α，邊AB的垂直平分線交BC于點D，邊AC的垂直平分線交BC于點E，連接AD，AE，則∠DAE的度數(shù)為 ．（用含α的代數(shù)式表示）
【答案】2α?180°或180°?2α
【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，得到∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，進而得到∠B+∠C=∠BAD+∠CAE=180°?α，再分兩種情況：①∠BAC為鈍角；②∠BAC為銳角進行討論，利用角的和差關(guān)系進行計算即可得出答案．
【詳解】解：分兩種情況：
①如圖所示，當(dāng)∠BAC為鈍角時，
∵DM垂直平分AB，EN垂直平分AC
∴BD=AD，AE=CE
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE
∴∠B+∠C=∠BAD+∠CAE，
又∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=α
∴∠B+∠C=∠BAD+∠CAE=180°?α
∵∠BAC=∠BAD+∠CAE+∠DAE
∴∠DAE=∠BAC?∠BAD+∠CAE=2α?180°
②如圖所示，當(dāng)∠BAC為銳角時，
∵DM垂直平分AB，EN垂直平分AC
∴BD=AD，AE=CE
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE
∴∠B+∠C=∠BAD+∠CAE，
又∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=α
∴∠B+∠C=∠BAD+∠CAE=180°?α
∵∠BAC=∠BAD+∠CAE?∠DAE
∴∠DAE=∠BAD+∠CAE?∠BAC=180°?2α
故答案為：2α?180°或180°?2α．
【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，靈活運用所學(xué)的知識是解題的關(guān)鍵．
【變式4-3】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）△ABC中，AB的垂直平分線與∠ACB的外角平分線交于點D，DE垂直直線BC于E，若AC=7，CE=2，則BC的長是 ．
【答案】11或3
【分析】分點E在BC上或點E在BC的延長線上兩種情形，分別利用HL證明Rt△ADF?Rt△BDE，得BE=AF，同理可得CE=CF，從而解決問題．
【詳解】解：如圖，當(dāng)點E在BC上時．
過點D作DF⊥AC，交AC的延長線于F，連接AD=BD，
∵AB的垂直平分線與∠ACB的外角平分線交于點D，
∴AD=BD,DE=DF，
在Rt△ADE和Rt△BDE中，
AD=BDDF=DE，
∴Rt△ADF?Rt△BDE(HL)，
∴BE=AF，
同理可得CE=CF，
∴AF=7+2=9，
∴BC=BE+CE=9+2=11，
當(dāng)點E在BC的延長線上時，如圖，
同理可得AF=BE=AC?CF=7?2=5，
∴BC=BE?CE=5?2=3，
綜上：BC=11或3，
故答案為：11或3．
【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，運用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．
【題型5 與中線分類討論】
【例5】（2023春·湖北恩施·八年級?？茧A段練習(xí)）若等腰三角形一腰上的中線分周長為9和12兩部分，請你畫出示意圖，并結(jié)合圖形，求這個等腰三角形的各邊長
【答案】這個等腰三角形的底為9或5，這個等腰三角形的腰為6或8
【分析】由題意得，腰上的中線把等腰三角形分成9和12兩部分，則要分一腰的一半與另一腰的和為9或12兩種情況進行分析即可．
【詳解】解：如圖，①當(dāng)AD+AC=9時，
∵CD是AB邊的中線，
∴AD=12AC，
∴ 32AC=9，AC=6，
∴BC=9；
②當(dāng)AD+AC=12時，則32AC=12，
∴AC=8；
∴BC=5，
答：這個等腰三角形的底為9或5，這個等腰三角形的腰為6或8．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及二元一次方程組的應(yīng)用；解題時主要利用了分情況討論的思想及列二元一次方程組求解，也是正確解答本題的關(guān)鍵．
【變式5-1】（2023春·重慶九龍坡·八年級重慶實驗外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在周長為10的△ABC中，AB=AC，BD為△ABC的中線，且BD將△ABC的周長分為兩部分，兩部分的差值為2，則底邊長為 ．
【答案】2或143
【分析】等腰三角形一腰上的中線將它的周長分為兩部分，但已知沒有明確是哪兩部分，因此有兩種情況，需要分類討論．
【詳解】解：在△ABC中，AB=AC，BD為△ABC的中線，
設(shè)AB=AC=x,則AD=CD=12x,同時設(shè)BC=y
①當(dāng)CΔABD?CΔBCD=2時，
∴(x+12x+BD)?(12x+y+BD)=2x+x+y=10,
解得，x=4y=2
∴BC=2;
②當(dāng)CΔBCD?CΔABD=2時，
∴(12x+y+BD)?(x+12x+BD)=22x+y=10
解得，x=83y=143,
∴BC=143,
綜上，△ABC的底邊BC的長為2或143
【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及相關(guān)計算．在解題時要注意找出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【變式5-2】（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）在△ABC中，AB=AC，AC邊上的中線BD把△ABC的周長分為24 cm和30 cm的兩部分，則BC的長為 ( )cm
A．14B．16或22C．22D．14或22
【答案】D
【分析】根據(jù)點D為AC中點，得出AD=DC=12AC，根據(jù)AB=AC，得出AB=2AD，分兩種情況當(dāng)AB+AD=24cm時，2AD+AD=24cm，可求 BC=30cm-CD=30cm-8cm=22cm，當(dāng)AB+AD=30cm時，2AD+AD=30cm，可求BC=24cm-CD=24cm-10cm=14cm即可．
【詳解】解：∵點D為AC中點，
∴AD=DC=12AC，
∵AB=AC，
∴AB=2AD，
分兩種情況，當(dāng)AB+AD=24cm時，2AD+AD=24cm，
解得AD=8cm，
∵BC+CD=30cm，
∴BC=30cm-CD=30cm-8cm=22cm，
當(dāng)AB+AD=30cm時，2AD+AD=30cm，
解得AD=10cm，
∵BC+CD=24cm，
∴BC=24cm-CD=24cm-10cm=14cm，
∴BC的長為14cm或22cm．
故選D．
【點睛】本題考查等腰三角形性質(zhì)，中線性質(zhì)，一元一次方程，線段和差，分類思想的應(yīng)用，掌握等腰三角形性質(zhì)，中線性質(zhì)，一元一次方程，線段和差，分類思想的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．
【變式5-3】（2023春·遼寧沈陽·八年級沈陽市第一二六中學(xué)?？计谀┮阎粋€等腰三角形的周長為45cm，一腰上的中線將這個三角形的周長分為3:2的兩部分，則這個等腰三角形的底長為 ．
【答案】9cm或21cm
【分析】本題可分別設(shè)出等腰三角形的腰和底的長，然后根據(jù)一腰上的中線所分三角形兩部分的周長來聯(lián)立方程組，進而可求得等腰三角形的底邊長．注意此題一定要分為兩種情況討論，最后還要看所求的結(jié)果是否滿足三角形的三邊關(guān)系．
【詳解】解：設(shè)該三角形的腰長是x cm，底邊長是y cm．
根據(jù)題意得，一腰上的中線將這個三角形的周長分為27 cm和18 cm兩部分，
∴x+12x=2712x+y=18或x+12x=1812x+y=27，
解得x=18y=9或x=12y=21，
經(jīng)檢驗，都符合三角形的三邊關(guān)系．
因此這個等腰三角形的腰長為9cm或21cm．
故答案為：9cm或21cm．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確3∶2兩部分是哪一部分含有底邊，所以一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵．
【題型6 與動點、動線段需分類討論】
【例6】（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，直線a，b交于點O，∠α=40°，點A是直線a上的一個定點，點B在直線b上運動，且始終位于直線a的上方，若以點O，A，B為頂點的三角形是等腰三角形，則∠OAB= °．
【答案】40或70或100
【分析】根據(jù)△OAB為等腰三角形，分三種情況討論：①當(dāng)OB=AB時，②當(dāng)OA=AB時，③當(dāng)OA=OB時，分別求得符合的點B，即可得解．
【詳解】解：要使△OAB為等腰三角形分三種情況討論：

①當(dāng)OB1=AB1時，∠OAB=∠α=40°；
②當(dāng)OA=AB2時，∠OAB=180°-2×40°=100°；
③當(dāng)OA=OB3時，∠OAB=∠OBA=12（180°-40°）=70°；
故答案為：40或70或100．
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
【變式6-1】（2023春·浙江杭州·八年級開學(xué)考試）如圖，在ΔABC中，AB=AC,∠BAC=40°，邊AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)m°（0

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