TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc3790" 【題型1 根據(jù)等邊對(duì)等角求角度】 PAGEREF _Tc3790 \h 1
\l "_Tc26775" 【題型2 根據(jù)等邊對(duì)等角證明】 PAGEREF _Tc26775 \h 6
\l "_Tc7039" 【題型3 根據(jù)三線合一求解】 PAGEREF _Tc7039 \h 11
\l "_Tc22317" 【題型4 根據(jù)三線合一證明】 PAGEREF _Tc22317 \h 16
\l "_Tc10083" 【題型5 根據(jù)等腰三角形判定找出圖中的等腰三角形】 PAGEREF _Tc10083 \h 23
\l "_Tc27570" 【題型6 根據(jù)等角對(duì)等邊證明等腰三角形】 PAGEREF _Tc27570 \h 27
\l "_Tc995" 【題型7 根據(jù)等角對(duì)等邊證明邊相等】 PAGEREF _Tc995 \h 35
\l "_Tc16417" 【題型8 根據(jù)等角對(duì)等邊求邊長(zhǎng)】 PAGEREF _Tc16417 \h 41
\l "_Tc8290" 【題型9 求與圖形中任意兩點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形的個(gè)數(shù)】 PAGEREF _Tc8290 \h 45
\l "_Tc5731" 【題型10 等腰三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用】 PAGEREF _Tc5731 \h 50
【知識(shí)點(diǎn) 等腰三角形】
（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.
（2）等腰三角形性質(zhì)
①等腰三角形的兩個(gè)底角相等，即“等邊對(duì)等角”；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡(jiǎn)稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個(gè)底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（即“等角對(duì)等邊”）.
【題型1 根據(jù)等邊對(duì)等角求角度】
【例1】（2023春·江蘇無錫·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，AC=BC，以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心把△ABC按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)40°得到△A′BC′，點(diǎn)A′恰好落在AC上，連接CC′，則∠ACC′度數(shù)為（ ）

A．110°B．105°C．100°D．95°
【答案】A
【分析】由旋轉(zhuǎn)知∠ABA′=∠CBC′=40°，BA=BA′，BC=BC′，由等邊對(duì)等角及三角形內(nèi)角和定理可求∠BAA′=70°，∠BCC′=70°，∠CAB=∠CBA=70°，∠ACB=40°，從而求得∠ACC′=∠ACB+∠BCC′=110°．
【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)知，∠ABA′=∠CBC′=40°，BA=BA′，BC=BC′，
∴∠BAA′=∠BA′A，∠BCC′=∠BC′C，
∴∠BAA′=12(180°?∠ABA′)=70°，∠BCC′=12(180°?∠CBC′)=70°，
∵△ABC中，AC=BC
∴∠CAB=∠CBA=70°，
∴∠ACB=180°?∠CAB?∠CBA=40°，
∴∠ACC′=∠ACB+∠BCC′=40°+70°=110°．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，由定理得到角之間數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（2023春·廣東梅州·八年級(jí)?？计谀┰凇鰽BC中，AB=AC，BD是AC邊上的高，∠ABD=50°，則∠C的度數(shù)為 ．
【答案】70°或20°
【分析】①如圖，當(dāng)頂角為銳角三角形時(shí)：∠BAC=90°?∠ABD=40°，②如圖，當(dāng)頂角為鈍角三角形時(shí)：∠BAC=90°+50°=140°，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可得答案．
【詳解】解：①如圖，當(dāng)頂角為銳角三角形時(shí)：∠BAC=90°?∠ABD=40°，

∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=12180°?40°=70°；
②如圖，當(dāng)頂角為鈍角三角形時(shí)：
∵∠ABD=50°，∠D=90°，
∴∠BAC=90°+50°=140°，

∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=12180°?140°=20°．
故答案為：70°或20°．
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，注意分類討論是解本題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)校考期中）如圖，在第1個(gè)△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在邊A1B上任取一點(diǎn)D，延長(zhǎng)CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2個(gè)△A1A2D；在邊A2D上任取一點(diǎn)E，延長(zhǎng)A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3個(gè)△A2A3E；……按此做法繼續(xù)下去，則第n個(gè)三角形中以An為頂點(diǎn)的內(nèi)角度數(shù)是（ ）

A．12n75°B．12n?165°C．12n?175°D．12n85°
【答案】C
【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠BA1C的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)分別求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度數(shù)，找出規(guī)律即可得出第n個(gè)三角形中以An為頂點(diǎn)的底角度數(shù)．
【詳解】解：∵在△CBA1中，∠B=30°，A1B=CB，
∴∠BA1C=∠C=180°?∠B2=180°?30°2=75°，
∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1=12∠BA1C=12×75°；
同理可得∠EA3A2=(12)2×75°，∠FA4A3=(12)3×75°，
∴第n個(gè)三角形中以An為頂點(diǎn)的底角度數(shù)是(12)n?1×75°．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)題意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度數(shù)，找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2023春·海南海口·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，△ABC中，∠ABC=∠ACB，點(diǎn)D在BC所在的直線上，點(diǎn)E在射線AC上，且∠ADE=∠AED，連接DE．
(1)如圖①，∠B=∠C=36°，∠BAD=72°，求∠CDE的度數(shù)．
(2)如圖②，若∠ABC=∠ACB=65°，∠CDE=20°，求∠BAD的度數(shù)．
(3)當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與點(diǎn)B、C重合），試探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】(1)36°
(2)40°
(3)2∠CDE=∠BAD
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAC=108°，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠E=65°?20°=45°，于是得到結(jié)論；
（3）設(shè)∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，∠ADC=x°?α②如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，∠ADC=x°+α③如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，∠ADC=x°?α，根據(jù)題意列方程組即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵∠B=∠C=36°，
∴∠BAC=108°，
∵∠BAD=72°，
∴∠DAE=36°，
∴∠ADE=∠AED=72°，
∴∠CDE=180°?36°?36°?72°=36°；
（2）∵∠ACB=65°，∠CDE=20°，
∴∠E=65°?20°=45°，
∴∠ADE=∠AED=45°，
∴∠ADC=25°，
∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=65°，
∴∠BAD=40°；
（3）設(shè)∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β
①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，∠ADC=x°?α，
∴ y°=x°+αy°=x°?α+β，
解得，2α?β=0，
∴2α=β；
②如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，∠ADC=x°+α，
∴ x°+α=y°+βx°=y°+α，
∴2α=β，
∴2α=β；
③如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，∠ADC=x°?α，
∴ x°?α+y°+β=180°x°+y°+α=180°，
解得，2α?β=0，
∴2α=β．
綜上所述，∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系是2∠CDE=∠BAD．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．
【題型2 根據(jù)等邊對(duì)等角證明】
【例2】（2023春·湖南·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠A=45°，點(diǎn)D在AB邊上，BC=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．
(1)求證△DCE≌△CBF；
(2)若AB=AC，求證DE=12DB．
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）先證明∠FBC=∠DCE，再根據(jù)AAS可證ΔDCE≌ΔCBF；
（2）過點(diǎn)C作CH⊥BD于點(diǎn)H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠BCH=∠DCH，BH=DH，再證明∠ACD=∠DCH，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知DE=DH，進(jìn)一步即可得證．
【詳解】（1）證明： ∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC=∠CFB=90°，∠BFA=90°，
∵∠A=45°，
∴∠ABF=45°，
∵BC=CD，
∴∠DBC=∠BDC，
∵∠DBC=∠ABF+∠FBC，∠BDC=∠A+∠DCE，
∴∠FBC=∠DCE，
在△DCE和△CBF中，
∠DEC=∠CFB∠ECD=∠FBCBC=CD，
∴△DCE≌△CBF(AAS)；
（2）證明：過點(diǎn)C作CH⊥BD于點(diǎn)H，如圖所示：
∵BC=CD，
∴∠BCH=∠DCH，BH=DH，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠FBC=∠DCE，
∴∠BCD=∠ABF=45°，
∴∠DCH=22.5°，∠BDC=(180°?45°)÷2=67.5°，
∴∠ACD=67.5°?45°=22.5°，
∴∠ACD=∠DCH，
∵DE⊥AC，CH⊥BD，
∴DE=DH，
∴DE=12DB．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（2023春·甘肅張掖·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于點(diǎn)E，求證：AD=CE．
【答案】見解析
【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠ABC=∠ACB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EAC=∠ACB，推得∠ABC=∠EAC，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可證明．
【詳解】證明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵AE∥BD，
∴∠EAC=∠ACB，
∴∠ABC=∠EAC，
∵AD⊥AB，CE⊥AC，
∴∠BAD=∠ACE=90°，
在△ABD和△ACE中
∠ABC=∠CAEAB=AC∠BAD=∠ACE，
∴△ABD≌△CAE，
∴AD=CE．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊對(duì)等角，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．
【變式2-2】（2023春·湖北荊州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，連接BD，點(diǎn)E在BD上，連接CE，若∠1=∠2，AB=ED，求證：∠DBC=∠DCB．
【答案】見解析
【分析】由平行線的性質(zhì)可得出∠ABD=∠BDC，結(jié)合題意可由“AAS”證明△ABD≌△DEC，即得出BD=DC，進(jìn)而由等邊對(duì)等角即可證明∠DBC=∠DCB．
【詳解】解：∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC．
在△ABD和△DEC中，∠1=∠2∠ABD=∠EDCAB=DE，
∴△ABD≌△DECAAS，
∴BD=DC，
∴∠DBC=∠DCB．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．掌握三角形全等的判定定理和性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．
【變式2-3】（2023春·遼寧大連·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知△ABC為等腰三角形，AB=AC，D為線段CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AD，DE平分∠ADC交AC、AB于點(diǎn)E、F，且∠ADC+32∠ABC=180°．
(1)猜想∠DAC與∠ACD的數(shù)量關(guān)系，并證明；
(2)求證AD=DC+EC．
【答案】(1)∠ACD=2∠DAC，證明見解析
(2)見解析
【分析】（1）由等邊對(duì)等角得∠ABC=∠ACD，再由三角形內(nèi)角和定理和已知等量代換即可得出結(jié)論；
（2）延長(zhǎng)DC至點(diǎn)K，使CK=CE，易得△ADE≌△KDEAAS，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）∠ACD=2∠DAC．
證明如下：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACD，
∵∠ADC+32∠ABC=180°，
∴∠ADC+32∠ACD=180°，
又∵∠ADC=180°?∠ACD?∠DAC，
∴180°?∠ACD?∠DAC=180°?32∠ACD，
化簡(jiǎn)，得：∠ACD=2∠DAC．
（2）證明：延長(zhǎng)DC至點(diǎn)K，使CK=CE．
∵CK=CE，
∴∠K=∠CEK，
∴∠ACD=2∠K，
又∵ ∠ACD=2∠DAC，
∴∠DAC=∠K，
又∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠KDE，
在△ADE與△KDE中，
∠ADE=∠KDE∠DAC=∠KDEDE=DE，
∴△ADE≌△KDEAAS，
∴DA=DK，
又∵DK=DC+CK=DC+EC，
∴ AD=DC+EC．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確構(gòu)造輔助線使三角形全等是解題的關(guān)鍵．
【題型3 根據(jù)三線合一求解】
【例3】（2023春·廣東深圳·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DH⊥BC于點(diǎn)H，點(diǎn)F為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接DF交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，點(diǎn)E是DF的中點(diǎn)，若BH=2，BE=2BH，則BC= ．

【答案】12
【分析】過D作DN∥AF，交CE延長(zhǎng)線于N，證明△DEN≌△FEBAAS，得到EN=BE=4，由此求出NH=10，再根據(jù)∠C=∠ABC，∠ABC=∠N，證得∠C=∠N，得到DC=DN，利用等腰三角形的三線合一求出CH=NH=10，即可求出BC=CH+BH=12．
【詳解】過D作DN∥AF，交CE延長(zhǎng)線于N，
∴∠FDN=∠F,∠FBE=∠N
∵點(diǎn)E是DF的中點(diǎn)，
∴DE=FE
∴△DEN≌△FEBAAS
∴EN=BE，
∵BH=2，BE=2BH，
∴EN=BE=4，
∴NH=10，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC，
∵DN∥AF，
∴∠ABC=∠N，
∴∠C=∠N，
∴DC=DN
又∵DH⊥BC，
∴CH=NH=10，
∴BC=CH+BH=12，
故答案為：12．

【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，正確引出輔助線結(jié)合各性質(zhì)進(jìn)行推理論證是解題的關(guān)鍵．
【變式3-1】（2023春·河北邢臺(tái)·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的中線，邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)E，連接BE，交AD于點(diǎn)F．若∠C=66°，則∠AFE的度數(shù)為（ ）

A．48°B．62°C．72°D．82°
【答案】C
【分析】由題意易得∠ABC=∠C=66°，AE=BE，則有∠ABE=∠BAC=48°，然后可得∠EBC=18°，進(jìn)而問題可求解．
【詳解】解： ∵AB=AC，AD是△ABC的中線，，∠C=66°，
∴∠ABC=∠C=66°，AD⊥BC，即∠ADB=90°，
∴∠BAC=180°?2∠C=48°，
∵AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)E，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠BAC=48°，
∴∠EBC=18°，
∴∠AFE=∠BFD=90°?∠EBC=72°，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
【變式3-2】（2023春·山西臨汾·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在ΔABC中，AB=BC,SΔABC=3cm2，邊BC的垂直平分線為l，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是l上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)ΔPCD的周長(zhǎng)取最小值4時(shí)，則AC= ．
【答案】2或6
【分析】連接BD，由于AB=BC，點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn)，故BD⊥AC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AC×BD=6，再根據(jù)直線l是線段BC的垂直平分線可知，點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，故BD的長(zhǎng)為CP+PD的最小值，得BD=?12AC+4，由此即可得出結(jié)論．
【詳解】解：連接BD，
∵AB=BC，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，
∴BD⊥AC，
∴SΔABC=12AC?BD=12×AC×BD=3，
解得AC×BD=6，
∵直線l是線段BC的垂直平分線，
∴點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，
∴BD的長(zhǎng)為CP+PD的最小值，
∴.ΔCDP的周長(zhǎng)最短=(CP+PD)+CD=BD+12AC=4，
∴BD=?12AC+4，
∴AC×(?12AC+4)=6，
解得AC=2或6．
故答案為：2或6．
【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
【變式3-3】（2023春·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)E為AC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AD⊥AB交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，CG平分∠ACB交BD于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)M，點(diǎn)F為邊AB上一點(diǎn)，連接CF，∠ACF=∠CBG．
(1)若∠FCM=18°，則∠BGC的度數(shù)為______；
(2)若點(diǎn)G是BD的中點(diǎn)，判斷CF與DE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】(1)108°
(2)CF=2DE，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到∠CAF=∠CBA = 45°，∠BCG=∠ACG=45°，求出∠BCG =∠CAF= 45°，進(jìn)而求出∠ACF得到∠CBG的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出答案；
（2）證明△BCG≌△CAF (ASA)，推出BG = CF，再證△ADE≌△CGE (AAS)，推出DE= GE，即DG = 2DE，即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）∵∠ACB= 90°， AC= BC，CG平分∠ACB，
∴∠CAF=∠CBA = 45°，∠BCG=∠ACG=45°，
∴∠BCG =∠CAF= 45°，
∵∠FCM=18°，
∴∠ACF=∠ACM-∠FCM=45°-18°= 27°，
∴∠CBG =∠ACF= 27°，
∴∠BGC=180°-∠BCG-∠CBG=180°- 45°- 27°= 108°，
故答案為：108° ；
（2）CF= 2DE，
理由：連接AG，
∵∠CBG=∠ACF，AC=BC，∠BCG =∠CAF，
∴△BCG≌△CAF (ASA)，
∴BG = CF，
∵CG平分∠ACB， AC= BC，
∴CM⊥AB，
∵AD⊥AB，
∴AD∥CG，
∴∠D=∠EGC，
∵∠AED=∠CEG，∠D=∠EGC，AE= CE，
∴△ADE≌△CGE (AAS)，
∴DE= GE，即DG = 2DE，
又∵點(diǎn)G是BD的中點(diǎn)，
∴DG = BG，
∴CF= 2DE．
【點(diǎn)睛】此題考查了等腰直角三角形三線合一的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
【題型4 根據(jù)三線合一證明】
【例4】（2023春·福建莆田·八年級(jí)校考期中）如圖，ΔABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，DE//AC
(1)求證：EB=ED．
(2)求證：AE=DE．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】(1)根據(jù)DE//AC，ED=12AC=12AB，進(jìn)而得出結(jié)論；(2)由等腰三角形的性質(zhì)得∠BAD=∠CAD，再由平行線的性質(zhì)得∠BAD=∠ADE，則∠CAD=∠ADE，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴BD=DC，
∵DE//AC，
∴ED=12AC=12AB，
∴E是AB中點(diǎn)即EB=AE=12AB，
∴EB=ED．
（2）證明：∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE//AC
∴∠BAD=∠ADE，
∴∠CAD=∠ADE，
∴AE=DE．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．
【變式4-1】（2023春·湖南益陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校﹥山M鄰邊分別相等的四邊形我們稱它為箏形．如圖，在箏形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于點(diǎn)O，求證：

(1)△ABC≌△ADC；
(2)AC⊥BD．
【答案】(1)見解析；
(2)見解析．
【分析】（1）分別利用SSS證△ABC≌△ADC即可；
（2）由△ABC≌△ADC得∠ACB=∠ACD，利用等腰三角形的性質(zhì)即可得AC⊥BD．
【詳解】（1）證明：在△ABC和△ADC中，
AB=ADBC=DCAC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS）．

（2）證明：由（1）得△ABC≌△ADC，
∴∠ACB=∠ACD，
∵BC=CD，
∴AC⊥BD．
【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握全等三角形的判定定理．
【變式4-2】（2023春·山東泰安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在直線AB、AC上運(yùn)動(dòng)，且始終保持AE=CF．
(1)如圖①，若點(diǎn)E、F分別在線段AB、AC上，DE與DF相等且DE與DF垂直嗎？請(qǐng)說明理由；
(2)如圖②，若點(diǎn)E、F分別在線段AB、CA的延長(zhǎng)線上，（1）中的結(jié)論是否依然成立？說明理由．
【答案】(1)DE=DF且DE⊥DF，見解析
(2)成立，見解析
【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°和AD=BD=DC，再證明△AED≌△CFD（SAS），利用全等三角形的性質(zhì)即可求解；
（2）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°和AD=BD=DC，再證明△AED≌△CFD（SAS），利用全等三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）DE=DF且DE⊥DF，理由是：
如圖①，連接AD，
∵∠BAC=90°，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，
∴AD=BD=DC，
在△AED和△CFD中，AE=CF∠EAD=∠DACAD=DC
∴△AED≌△CFD（SAS），
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，
又∵∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠ADE+∠ADF=90°，
∴∠EDF=90°，
∴DE⊥DF．
（2）若點(diǎn)E、F分別在線段AB，CA的延長(zhǎng)線上，（1）中的結(jié)論依然成立，如圖②，連接AD，理由如下：
∵AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，
∴AD=BD=DC，
在△AED和△CFD中，AE=CF∠EAD=∠DACAD=DC
∴△AED≌△CFD（SAS）；
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，
又∵∠CDF?∠ADF=90°，
∴∠ADE?∠ADF=90°，
∴∠EDF=90°，
∴DE⊥DF．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形．
【變式4-3】（2023春·河北廊坊·八年級(jí)校考期中）如圖，在△ABC中，AC=BC,∠A=∠ABC=45°,D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)A、B），連接CE，點(diǎn)F為CE上一點(diǎn)，BF始終垂直于CE，交直線CD于點(diǎn)G．

(1)點(diǎn)E在線段AD上運(yùn)動(dòng)（如圖1），當(dāng)CG=AE時(shí)，求證：BG=CE；
(2)若點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到線段BD上（如圖2），當(dāng)CG=AE時(shí)，試猜想BG、CE的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，請(qǐng)寫出你的結(jié)論并加以證明；
(3)過點(diǎn)A作AH⊥CE，垂足為點(diǎn)H，并交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M（如圖3），求證：△BCE≌△CAM．
【答案】(1)見解析
(2)不變，見解析
(3)見解析
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出∠BCG=45°，再證明△ACE≌△CBGSAS，即可求證BG=CE；
（2）用和（1）同樣的方法證明△ACE≌△CBGSAS，即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出CD⊥AB，則∠2+∠3=90°，根據(jù)AH⊥CE，則∠3+∠M=90°，即可得出∠2=∠M，再推出∠1=∠3，則∠BCE=∠CAM，即可求證△BCE≌△CAMAAS．
【詳解】（1）證明：∵AC=BC,∠A=∠ABC=45°，
∴∠ACB=90°，
∵點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，
∴∠BCG=12∠ACB=45°，
在△ACE和△CBG中，
AC=CB∠BCG=∠ACG=AE，
∴△ACE≌△CBGSAS，
∴BG=CE．
（2）解：BG、CE的數(shù)量關(guān)系不發(fā)生變化，證明如下：
證明：∵AC=BC,∠A=∠ABC=45°，
∴∠ACB=90°，
∵點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，
∴∠BCG=12∠ACB=45°，
在△ACE和△CBG中，
AC=BC∠BCG=∠ACG=AE，
∴△ACE≌△CBGSAS，
∴BG=CE．
（3）解：∵AC=BC,∠A=∠ABC=45°，
∴∠ACB=90°，
∵點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，
∴CD⊥AB，∠BCG=12∠ACB=45°，
∴∠2+∠3=90°，
∵AH⊥CE，
∴∠3+∠M=90°，
∴∠2=∠M，
∵∠1+∠M=90°，
∴∠1=∠3，
∴∠3+∠BCG=∠1+∠BAC，即∠BCE=∠CAM，
在△BCE和△CAM中，
∠2=∠M∠BCE=∠CAMAC=BC，
∴△BCE≌△CAMAAS．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形那個(gè)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形是判定方法，以及等腰三角形“三線合一”．
【題型5 根據(jù)等腰三角形判定找出圖中的等腰三角形】
【例5】（2023春·上海浦東新·八年級(jí)校聯(lián)考期末）已知，如圖，在△ABC中，AB＝AC，D，E分別在CA，BA的延長(zhǎng)線上，且BE＝CD，連BD，CE．
（1）求證：∠D＝∠E；
（2）若∠BAC＝108°，∠D＝36，則圖中共有 個(gè)等腰三角形．
【答案】（1）見解析；（2）5
【分析】（1）證明△EBC≌△DCB（SAS），可得結(jié)論．
（2）根據(jù)等腰三角形的定義，判斷即可．
【詳解】（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△EBC和△DCB中，
BE=CD∠ABC=∠ACBBC=CB，
∴△EBC≌△DCB（SAS），
∴BE＝CD．
（2）圖中共有5個(gè)等腰三角形．
∵∠BAC＝108°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝36°，
∵∠D＝∠E＝36°，
∴∠D＝∠BCD，∠E＝∠CBE，
∴∠DAB＝∠EAC＝72°，
∴∠DBA＝∠DAB＝72°，∠EAC＝∠ECA＝72°，
∴DB＝DA，EA＝EC，
∴△ABD，△AEC，△BCD，△BCE，△ABC是等腰三角形．
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的判定，等腰三角形不要漏找．
【變式5-1】（2023春·廣西欽州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90度，BC=4，AC=3，在直線AC上取一點(diǎn)P，使得△PAB為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P共有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】D
【分析】根據(jù)等腰三角形的判定定理，分情況討論，正確作圖，即可得到結(jié)論．
【詳解】解：如下圖，
作AB垂直平分線與AC相交于點(diǎn)P，可得PA=PB，
以A為圓心，AB為半徑畫圓，交AC有P1、P2兩個(gè)交點(diǎn)，可得P1A=AB,P2A=AB，
以B為圓心，AB為半徑畫圓，交AC有P3一個(gè)交點(diǎn)，可得P3A=AB，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，垂直平分線的性質(zhì) ，解題的關(guān)鍵是正確作圖，分情況討論．
【變式5-2】（2023春·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，∠ABC=72°，∠A=36°，用尺規(guī)作圖作出射線BD交AC于點(diǎn)D，則圖中等腰三角形共有 個(gè)．
【答案】3
【分析】根據(jù)已知條件∠ABC=72°，∠A=36°，可得△ABC是底角為72°的等腰三角形，再根據(jù)尺規(guī)作圖可得BD平分∠ABC，從而判斷等腰三角形的個(gè)數(shù)．
【詳解】∵△ABC中，∠ABC=72°，∠A=36°，
∴∠C=180°?72°?36°=72°，
∴∠C=∠ABC，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
由題圖可知，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=36°，
∴∠ABD=∠A，∠CDB=180°?72°?36°=72°，
∴AD=BD,∠CDB=∠C，
∴△ABD是等腰三角形，BC=BD，
∴△BDC是等腰三角形．
綜上可知，題圖中的等腰三角形有△ABC，△ABD，△BDC，共3個(gè)．
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定、尺規(guī)作圖——角平分線，掌握“等角對(duì)等邊”是解決此題的關(guān)鍵．
【變式5-3】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，∠DAB=∠ABC=90°，∠BAC=45°，CE⊥BD．
(1)求證：AD=BE；
(2)如圖2，若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連接DE、CD，在不添加其他字母的條件下，寫出圖中四個(gè)等腰三角形．
【答案】(1)見解析
(2)△ABC，△EDC，△CDB，△ADE
【分析】（1）先證明AB=BC，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)證明即可；
（2）根據(jù)等腰三角形的判定方法判斷即可．
【詳解】（1）證明：∵∠ABC=90°，∠BAC=45°，
∴∠ACB=45°，∠ABD+∠DBC=90°，
∴AB=BC．
∵CE⊥BD，
∴∠BCE+∠DBC=90°，
∴∠ABD=∠BCE．
在△DAB和△EBC中，∠ABD=∠BCEAB=BC∠DAB=∠EBC，
∴△DAB ≌△EBC（ASA），
∴AD=BE．
（2）如圖：
由（1）可知AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形；
∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD=BE，
∴AD=AE，
∴△ADE是等腰三角形；
∵∠DAB=90°，∠BAC=45°，
∴FD=FE，AC⊥DE，
∵FC=FC，
∴△EFC≌△DFC，
∴EC=DC，
∴△EDC是等腰三角形；
∵△DAB ≌△EBC，
∴EC=DB，
∴DC=DB，
∴△CDB是等腰三角形；
故等腰三角形有△ABC，△EDC，△CDB，△ADE．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定方法，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【題型6 根據(jù)等角對(duì)等邊證明等腰三角形】
【例6】（2023春·重慶江北·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CBA與∠CAB的平分線相交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)E作EF⊥AD交AC于F，作EG∥AB交AC于點(diǎn)G．
(1)求證：△GEF為等腰三角形；
(2)求證：AF+BD=AB．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得∠BAD=∠CAD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AEG=∠BAD，可得∠AEG=∠CAD，根據(jù)等角的余角相等可得∠AFE=∠GEF，即可得出答案；
（2）在AB上取BM=BD，連接EM，首先利用SAS證明△MBE≌△DBE，得∠BME=∠BDE，再說明∠AFE=∠AME，利用AAS證明△AFE≌△AME，得AF=AM，進(jìn)而證明結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EG∥AB，
∴∠AEG=∠BAD，
∴∠AEG=∠CAD，
∵EF⊥AD，
∴∠AEG+∠GEF=∠CAD+∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠GEF，
∴GF=GE，
∴△GEF為等腰三角形；
（2）在AB上取BM=BD，連接EM，
∵BE平分∠ABD，
∴∠MBE=∠DBE，
在△MBE和△DBE中，
BM=BD∠MBE=∠DBEBE=BE，
∴△MBE≌△DBE(SAS)，
∴∠BME=∠BDE，
∵∠FED=∠ACB=90°，
∴∠EFC+∠EDC=180°，
∵∠EDC+∠BDE=180°，
∴∠EFC=∠BDE，
∴∠EFC=∠BME，
∴∠AFE=∠AME，
在△AFE和△AME中，
∠BAD=∠CAD∠AFE=∠AMEAE=AE，
∴△AFE≌△AME(AAS)，
∴AF=AM，
∴AF+BD=AM+BM=AB．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
【變式6-1】（2023春·吉林松原·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，∠1+∠2=180°，GP平分∠BGH．
(1)求證：△PGH是等腰三角形；
(2)若∠1=116°，求∠GPD的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)148°
【分析】（1）首先根據(jù)平角的定義得出∠2=∠BGH，則AB∥CD，再利用平行線的性質(zhì)證明即可；
（2）首先得出∠BGH=180°?116°=64°，再由角平分線的定義得出∠BGP=32°，最后利用平行線的性質(zhì)可得答案．
【詳解】（1）證明：∵∠1+∠2=180°，∠1+∠BGH=180°，
∴∠2=∠BGH，
∴AB∥CD，
∴∠GPH=∠PGB，
∵GP平分∠BGH，
∴∠PGH=∠PGB，
∴∠GPH=∠PGH，
∴GH=PH，
∴△PGH是等腰三角形；
（2）解：∵∠1=116°，
∴∠BGH=180°?116°=64°，
∵GP平分∠BGH，
∴∠BGP=32°，
∵AB∥CD，
∴∠GPD=180°?32°=148°．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識(shí)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式6-2】（2023春·廣東廣州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，四邊形ABCD中，∠DCB+∠CBA=180°，過點(diǎn)D作∠CDE=∠CAB，DE與C交于點(diǎn)D，與AC交于點(diǎn)H．
(1)求證：△CHD為等腰三角形；
(2)若E為BC中點(diǎn)，猜想AH，HD與EH三者的數(shù)量關(guān)系．并證明之
【答案】(1)見解析；
(2)AH=HD+2EH，理由見解析．
【分析】（1）由題意可知AB∥CD，利用其性質(zhì)可得∠DCA=∠CAB，根據(jù)∠CDE=∠CAB進(jìn)而可得∠DCA=∠CDE，從而可得△CHD為等腰三角形；
（2）如圖，延長(zhǎng)DE，使得DE=EF，可證明△BEF≌△CED，可得∠F=∠CAB，即AH=FH，再利用線段和差關(guān)系即可得AH=HD+2EH．
【詳解】（1）證明：∵∠DCB+∠CBA=180°，
∴AB∥CD，
∴∠DCA=∠CAB，
∵∠CDE=∠CAB，
∴∠DCA=∠CDE，
∴HD=HC，
∴△CHD為等腰三角形．
（2）AH=HD+2EH，理由如下：
如圖，延長(zhǎng)DE，使得DE=EF=HD+EH，
∵E為BC的中點(diǎn)，
∴BE=CE
在△BEF與△CED中，
FE=DE∠BEF=∠CEDBE=CE，
∴△BEF≌△CED（SAS），
∴∠F=∠CDE，
又∵∠CDE=∠CAB，
∴∠F=∠CAB，
∴AH=FH，即：AH=EF+EH=HD+EH+EH
即：AH=HD+2EH．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性質(zhì)，利用中點(diǎn)倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形是解決問題的關(guān)鍵．
【變式6-3】（2023春·新疆烏魯木齊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們探究下面命題的正確性，頂角為36°的等腰三角形我們稱之為黃金三角形，“黃金三角形“具有一種特性，即經(jīng)過它某一頂點(diǎn)的一條直線可以把它分成兩個(gè)小等腰三角形，為此，請(qǐng)你，解答問題：
（1）已知如圖1：黃金三角形△ABC中，∠A=36°，直線BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，求證：△ABD和△DBC都是等腰三角形；
（2）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，請(qǐng)你設(shè)計(jì)三種不同的方法，將△ABC分割成三個(gè)等腰三角形，不要求寫出畫法，不要求證明，但是要標(biāo)出所分得的每個(gè)三角形的各內(nèi)角的度數(shù)．
（3）已知一個(gè)三角形可以被分成兩個(gè)等腰三角形，若原三角形的一個(gè)內(nèi)角為36°，求原三角形的最大內(nèi)角的所有可能值．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）最大角的可能值為72°，90°，108°，126°，132°
【分析】（1）通過角度轉(zhuǎn)換得到∠ABD=∠BAD，和∠BDC=72°=∠C，即可判斷；
（2）根據(jù)等腰三角形的兩底角相等及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行解答即可；
（3）設(shè)原△ABD中有一個(gè)角為36°，可分成兩個(gè)等腰三角形，逐個(gè)討論：①當(dāng)分割的直線過頂點(diǎn)B時(shí)②當(dāng)分割三角形的直線過點(diǎn)D時(shí)情況和過點(diǎn)B一樣的，③當(dāng)分割三角形的直線過點(diǎn)A時(shí)，在分別求出最大角的度數(shù)即可.
【詳解】解：（1）證明：∵∠ABC=（180-36）÷2=72；BD平分∠ABC，∠ABD=72÷2=36°，
∴∠ABD=∠BAD，
∴△ABD為等腰三角形，
∴∠BDC=72°=∠C，
∴△BCD為等腰三角形；
（2）根據(jù)等腰三角形的兩底角相等及三角形內(nèi)角和定理作出，如圖所示：
（3）設(shè)原△ABD中有一個(gè)角為36°，可分成兩個(gè)等腰三角形，逐個(gè)討論：
①當(dāng)分割的直線過頂點(diǎn)B時(shí)，
【1】：第一個(gè)等腰三角形ABC以A為頂點(diǎn):則第二個(gè)等腰三角形BCD只可能以C為頂點(diǎn)

此時(shí)∠A=36°,∠D=36°，∠B=72＋36=108°，最大角的值為108°；
【2】：第一個(gè)等腰三角形ABC以B為頂點(diǎn)：第二個(gè)等腰三角形BCD只可能以C為頂點(diǎn)

此時(shí)：∠A=36°,∠D=18°，∠B=108+18=126°，最大角的值為126°；
【3】第一個(gè)等腰三角形ABC以C為頂點(diǎn)：第二個(gè)等腰三角形BCD有三種情況
△BCD以B為頂點(diǎn)：∠A=36°，∠D=72°，
∴∠ABD=72°，最大角的值為72°；

△BCD以C為頂點(diǎn)：∠A=36°，∠D=54°，
∴∠ABD=90°，最大角的值為90°；

△BCD以D為頂點(diǎn)：∠A=36°，∠D=36°
∴∠ABD=108°，最大角的值為108°；
②當(dāng)分割三角形的直線過點(diǎn)D時(shí)情況和過點(diǎn)B一樣的；
③當(dāng)分割三角形的直線過點(diǎn)A時(shí)，

此時(shí)∠A=36°，∠D=12°，∠B=132°，
最大角的值為132°；
綜上所述：最大角的可能值為72°，90°，108°，126°，132°.
【點(diǎn)睛】本題是對(duì)三角形知識(shí)的綜合考查，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和角度轉(zhuǎn)換是解決本題的關(guān)鍵，難度較大，分類討論是解決本題的關(guān)鍵.
【題型7 根據(jù)等角對(duì)等邊證明邊相等】
【例7】（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線BD交AC邊于點(diǎn)D，AE⊥BC于點(diǎn)E．已知∠ABC=60°，∠C=45°．

(1)求證：AB=BD；
(2)設(shè)BD與AE交于點(diǎn)F，求證：CE=BF+EF．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）利用角平分線和三角形內(nèi)角和得出∠BAC=∠ADB=75°，再用等腰三角形的判定證明即可；
（2）根據(jù)等腰三角形的判定證明AE=EC，AF=BF即可．
【詳解】（1）證明：∵BD平分∠ABC，∠ABC=60°，
∴∠DBC=12∠ABC=30°，
∵∠ADB=∠DBC+∠C=75°，
∠BAC=180°?∠ABC?∠C=75°，
∴∠BAC=∠ADB，
∴AB=BD；
（2）證明：∵AE⊥BC
∴∠AEC=90°
∵∠C=45°
∴∠EAC=45°
∴AE=EC
∵∠BAC=75°
∴∠EAB=30°
∴∠ABD=∠EAB=30°，
∴AF=BF，
∵AE=AF+EF
∴CE=BF+EF．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和和等腰三角形的判定，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用三角形內(nèi)角和求出角的度數(shù)．
【變式7-1】（2023春·天津·八年級(jí)期中）如圖：E在△ABC的AC邊的延長(zhǎng)線上，AB＝AC，D點(diǎn)在AB邊上，DE交BC于點(diǎn)F，DF＝EF，求證：BD＝CE．
【答案】見解析
【分析】過D作DG∥CE，交BC于點(diǎn)G，證明△DGF≌△ECF，可得DG＝CE，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及等角對(duì)等邊可得BD＝DG，等量代換即可證明BD＝CE．
【詳解】證明：過D作DG∥CE，交BC于點(diǎn)G，
則∠GDF＝∠E，∠DGB＝∠ACB，
在△DGF和△ECF中，
∠GDF=∠EDF=EF∠DFG=∠CFE，
∴△DGF≌△ECF（ASA），
∴DG＝CE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝∠DGB，
∴BD＝DG
∴ BD＝CE．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，等角對(duì)等邊，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．
【變式7-2】（2023春·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，CA=CB，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，連接AD，AE平分∠CAD交CD于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，與AC相交于點(diǎn)G．
(1)求證：CG=CE；
(2)若∠B=30°，∠CAD=40°，求∠AEF和∠D的度數(shù)；
(3)求證：∠D=2∠AEF．
【答案】(1)見解析
(2)∠AEF=40°，∠D=80°
(3)見解析
【分析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠B=∠CAB，再由等角的余角相等得出∠BEF=∠AGF，利用等角對(duì)等邊即可證明；
（2）根據(jù)角平分析及等邊對(duì)等角得出∠CAB=∠B=30°，再由三角形內(nèi)角和定理即可求解；
（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠AEF =90°?∠CAB+∠EAC，∠D=180°?2∠CAB+∠EAC，即可證明．
【詳解】（1）證明：∵CA=CB，
∴∠B=∠CAB．
∵EF⊥AB，
∴∠AFE=∠EFB=90°．
∴∠B+∠BEF=90°，∠CAB+∠AGF=90°，
∴∠BEF=∠AGF．
∵∠AGF=∠EGC，
∴∠CEG=∠EGC．
∴CG=CE．
（2）解：∵AE平分∠CAD，
∴∠EAD=∠EAC=12∠CAD=12×40°=20°．
∵CA=CB，
∴∠CAB=∠B=30°．
在△AEF中，∠AEF=180°?∠AFE?∠CAB?∠EAC=40°．
在△ABD中，∠D=180°?∠B?∠CAB?∠CAD=80°．
（3）證明：在△AEF中，∠AEF=180°?∠AFE?∠CAB?∠EAC =90°?∠CAB+∠EAC．
在△ABD中，∠D=180°?∠B?∠CAB?∠CAD=180°?2∠CAB+∠EAC．
∴∠D=2∠AEF．
【點(diǎn)睛】題目主要考查角平分線的計(jì)算及三角形內(nèi)角和定理，等角對(duì)等邊，理解題意，找準(zhǔn)各角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．
【變式7-3】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：在銳角△ABC中，AD為BC邊上的高，∠ABD＝2∠CAD．
(1)如圖1，求證：AB＝BC；
(2)如圖2，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，且BE＝CD，連接DE，∠AED+∠BDE＝90°，求證∠ABC＝45°；
(3)如圖3，在（2）的條件下，過B作BF⊥AC于點(diǎn)F，BF交AD于點(diǎn)G，連接CG，若S△CDG＝2，求△ABG的面積．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)4+22
【分析】(1)令∠CAD=α，則∠ABD=2α，由直角三角形的性質(zhì)得出∠C=90°?α，證出∠BAC=90°?α=∠C，則可得出結(jié)論；
(2)由直角三角形的性質(zhì)得出∠AED=∠ADE，則AE=AD，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；
(3)過點(diǎn)D作DH⊥CG于點(diǎn)H，證明△BDG≌△ADC(ASA)，由全等三角形的性質(zhì)得出DG=DC，證出CH=DH=GH，令DH=m，CD=n，則CG=2m，DG=n，由三角形CDG的面積可得出m，n的值，根據(jù)三角形的面積公式可得出答案．
【詳解】（1）證明：令∠CAD=α，則∠ABD=2α，
∵AD為BC邊上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠C+∠CAD=90°，
∴∠C=90°?α，
又∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠BAC=90°?α=∠C，
∴AB=BC；
（2）證明：∵∠AED+∠BDE=90° ，∠ADE+∠BDE=90°，
∴∠AED=∠ADE，
∴AE=AD，
∵AB=BC，BE=CD，
∴AB?BE=BC?CD，
即AE=BD，
∴AD=BD，
∴∠ABC=∠BAD，
又∵∠ABC+∠BAD=90°，
∴∠ABC=∠BAD=45°；
（3）解：過點(diǎn)D作DH⊥CG于點(diǎn)H，
∵∠DBG+∠ACD=90°，∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠DBG=∠CAD，
又∵∠BDG=∠ADC=90°，BD=AD，
∴△BDG≌△ADCASA，
∴DG=DC，
∴∠CGD=∠DCG，
又∵∠CGD+∠DCG=90°，
∴∠CGD=∠DCG=45° ，
∴DG=DC，DH⊥CG ，
∴∠CDH=∠GDH=12∠CDG=45°=∠CGD=∠DCG，
∴CH=DH=GH，
令DH=m，CD=n，則CG=2m，DG=n，
∵S△CDG=12CG?DH=12CD?DG=2，
∴12×2m×m=2，12×n×n=2，
∴m=±2，n=±2，
∵m>0，n>0，
∴m=2，n=2，
∴CG=22，DG=2，
∵AB=BC，BF⊥AC，
∴AF=CF，
∴AG=CG=22，
∴BD=AD=AG+DG=22+2，
∴S△ABG=12AG?BD=12×22×(22+2)=4+22．
【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積公式，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△BDG≌△ADC是解題的關(guān)鍵．
【題型8 根據(jù)等角對(duì)等邊求邊長(zhǎng)】
【例8】（2023春·山東聊城·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，AD為△ABC的角平分線．
(1)如圖 1 ，若CE⊥AD于點(diǎn) F，交AB于點(diǎn) E ，AB=8 ，AC=5．求 BE的長(zhǎng)．
(2)如圖 2 ，若∠C=2∠B，點(diǎn) E 在AB上，且AE=AC，AB=a ，AC=b ，求CD的長(zhǎng)；（用含 a 、b 的式子表示）
【答案】(1)BE=3
(2)DC=a?b
【分析】（1）利用ASA證明△AEF≌△ACF，得AE=AC=5，得出答案；
（2）利用ASA證明△ADE≌△ADC，得∠C=∠AED，DC=DE，再證明∠B=∠BDE，得出BE=DE，即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：（1）∵AD為△ABC的角平分線，
∴∠BAD=∠CAD，
∵CE⊥AD，
∴∠CFA=∠EFA=90°，
∵在△AEF和△ACF中∠EAF=∠CAFAF=AF∠AFE=∠AFC，
∴△AEF≌△ACFASA，
∴AE=AC=5，
∵AB=8，
∴BE=AB?AC=8?5=3．
（2）∵AD為△ABC的角平分線，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ADE和△ADC中AE=AC∠EAD=∠CADAD=AD
∴△ADE≌△ADCSAS
∴∠C=∠AED，DC=DE，
∵∠C=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
∵∠AED=∠B+∠BDE
∴∠B=∠BDE，
∴DE=BE，
∴DC=DE=BE=AB?AE=AB?AC=a?b．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．
【變式8-1】（2023春·浙江金華·八年級(jí)浙江省義烏市稠江中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，上午8時(shí)，一艘船從A處出發(fā)以15海里/小時(shí)的速度向正北航行，10時(shí)到達(dá)B處，從A,B兩點(diǎn)望燈塔C，測(cè)得∠NAC=35°,∠NBC=70°，則B處到燈塔C的距離為（ ）
A．45海里B．30海里C．20海里D．15海里
【答案】B
【分析】先根據(jù)航行速度和時(shí)間可得AB=30海里，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠C=35°，然后根據(jù)等腰三角形的判定即可得．
【詳解】由題意得：AB=15×10?8=30（海里），
∵∠NAC=35°,∠NBC=70°，
∴∠C=∠NBC?∠NAC=35°，
∴∠C=∠NAC=35°，
∴BC=AB=30海里，
即B處到燈塔C的距離為30海里，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)、等腰三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的判定是解題關(guān)鍵．
【變式8-2】（2023春·湖北襄陽(yáng)·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，將一張長(zhǎng)方形紙片ABCD按圖中那樣折疊，若AE＝5，AB＝12，BE＝13，則重疊部分（陰影）的面積是 ．
【答案】78
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠CBD＝∠EBD，根據(jù)AD∥BC可得∠CBD＝∠EDB，易得ED＝EB，然后根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：∵長(zhǎng)方形紙片ABCD按圖中那樣折疊，
∴∠CBD＝∠EBD， AD∥BC
∴∠CBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴ED＝EB，
∵AE＝5，AB＝12，BE＝13，
∴DE＝13，
∴重疊部分的面積＝12DE?AB ＝12×13×12＝78．
故答案為：78．
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定、三角形的面積公式，解決本題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)．
【變式8-3】（2023春·遼寧盤錦·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，CE平分∠ACB且CE⊥DB于E，∠DAB=∠DBA，又知AC=14，△CDB的周長(zhǎng)為22，則DB的長(zhǎng)為( )
A．6B．7C．8D．9
【答案】A
【分析】利用角平分線與垂直證明△CDE≌△CBE，從而可得CD=CB，再利用等角對(duì)等邊證明AD=BD，將△CDB的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為AC與BC的和，即可求解．
【詳解】解：∵CE⊥DB，
∴∠CED=∠CEB=90°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠DCE=∠BCE，
∵CE=CE，
∴△CDE≌△CBE，
∴CD=CB，
∵∠DAB=∠DBA，
∴AD=DB，
∵△CDB的周長(zhǎng)為22，
∴CD+CB+BD=22，
∵AC=14，
∴AD+CD=14，
∴BD+CD=14，
∴BC=22?14=8，
∴BC=CD=8，
∴AD=BD=14?8=6，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，注意結(jié)合圖形分析各邊之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【題型9 求與圖形中任意兩點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形的個(gè)數(shù)】
【例9】（2023春·河北邢臺(tái)·八年級(jí)?？计谀╊}目：“如圖，已知∠AOB=30°，點(diǎn)M，N在邊OA上，OM=x，MN=2，P是射線OB上的點(diǎn)，若使點(diǎn)P，M，N構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)P恰好有3個(gè)，求x的取值范圍?！睂?duì)于其答案，甲答：x=0，乙答：0

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