一、單選題
1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知復數(shù)z滿足，則復數(shù)z的虛部為
A．B．C．D．
3．等差數(shù)列滿足，則（ ）
A．B．C．D．
4．設(shè)，則（ ）
A． B． C．1D．2
5．聲音的等級（單位：dB）與聲音強度（單位：W/m2）滿足.噴氣式飛機起飛時，聲音的等級約為140 dB；一般說話時，聲音的等級約為60 dB，那么噴氣式飛機起飛時聲音強度約為一般說話時聲音強度的（ ）
A．106倍B．108倍C．1010倍D．1012倍
6．已知直線與圓相交于M，N兩點.則的最小值為（ ）
A．B．C．4D．6
7．張衡是中國東漢時期偉大的天文學家、數(shù)學家， 他曾在數(shù)學著作《算罔論》中得出結(jié)論：圓周率的平方除以十六約等于八分之五． 已知在菱形中，， 將沿進行翻折， 使得． 按張衡的結(jié)論， 三棱錐外接球的表面積約為（ ）
A．72B．C．D．
8．已知雙曲線的焦距為，過右焦點且垂直于軸的直線與雙曲線交于，兩點.設(shè)，到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為和，且，則雙曲線的離心率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．一批產(chǎn)品中有3個正品，2個次品.現(xiàn)從中任意取出2件產(chǎn)品，記事件：“2個產(chǎn)品中至少有一個正品”，事件：“2個產(chǎn)品中至少有一個次品”，事件：“2個產(chǎn)品中有正品也有次品”，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．事件與事件為互斥事件B．事件與事件是相互獨立事件
C．D．
10．函數(shù)的部分圖象如圖所示，將的圖象向左平移個單位長度得函數(shù)的圖象，則（ ）

A．
B．的圖象關(guān)于點對稱
C．在上單調(diào)遞增
D．在上有兩個極值點
11．已知為坐標原點，拋物線的焦點為，過的直線與交，兩點，則（ ）
A．的最小值為2
B．以為直徑的圓與直線相切
C．
D．
12．已知函數(shù)f(x)=xln()，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A．為奇函數(shù)
B．在區(qū)間(0，+∞)上單調(diào)遞增
C．曲線在(0，f(0))處的切線的斜率為ln2
D．函數(shù)有三個零點
三、填空題
13．的值為 .
14．平行四邊形的兩條對角線相交于點，點是的中點．若且，，則 ．
15．已知A，B兩點都在以PC為直徑的球O的表面上，，，，若球的體積為，則異面直線與所成角的余弦值為 ．
16．若曲線上的點P與曲線上的點Q關(guān)于坐標原點對稱，則稱P，Q是，上的一組奇點.若曲線（且）與曲線有且僅有一組奇點，則的取值范圍是 .
四、解答題
17．已知銳角的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.
(1)求角的大??；
(2)若，求的取值范圍.
18．已知數(shù)列滿足 ，
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列的前項和．
19．如圖，在四棱臺中，底面四邊形為菱形，，，平面.
(1)證明：；
(2)若是棱上一動點（含端點），平面與平面所成銳二面角的余弦值為，求的值.
20．某區(qū)在高中階段舉行的物理實驗技能操作競賽分基本操作與技能操作兩步進行，第一步基本操作：每位參賽選手從類7道題中任選4題進行操作，操作完后正確操作超過兩題的（否則終止比賽），才能進行第二步技能操作：從類5道題中任選3題進行操作，直至操作完為止.類題操作正確得10分，類題操作正確得20分.以兩步總分和決定優(yōu)勝者.總分80分或90分為二等獎，100分為一等獎.某校選手李明類7題中有5題會操作，類5題中每題正確操作的概率均為，且各題操作互不影響.
(1)求李明被終止比賽的概率；
(2)現(xiàn)已知李明類題全部操作正確，求李明類題操作完后得分的分布列及期望；
(3)求李明獲二等獎的概率.
21．已知橢圓的上、下焦點分別為，，離心率為，過點作直線（與軸不重合）交橢圓于，兩點，的周長為.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若點A是橢圓的上頂點，設(shè)直線，，的斜率分別為，，，當時，求證：為定值.
22．已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若在有兩個極值點，求證：.
參考答案：
1．D
【分析】
直接求交集即可.
【詳解】，則.
故選：D
2．D
【分析】根據(jù)復數(shù)的運算法則求出，由此得到虛部.
【詳解】
復數(shù)的虛部為
本題正確選項：
【點睛】本題考查復數(shù)的運算及復數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題.
3．D
【分析】
設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件可求得的值，進而可求得的值.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，
所以，，故.
故選：D.
4．D
【分析】先令計算出的值，再令計算出的值，由此可計算出的值.
【詳解】令，所以，
令，所以，
所以，
故選：D.
5．B
【分析】
首先設(shè)噴氣式飛機起飛時聲音強度和一般說話時聲音強度分別為，，根據(jù)題意得出，，計算求的值．
【詳解】
設(shè)噴氣式飛機起飛時聲音強度和一般說話時聲音強度分別為，，，則，
，則，
所以，
因此噴氣式飛機起飛時聲音強度約為一般說話時聲音強度的倍．
故選：B．
6．C
【分析】
先求出圓心和半徑，以及直線的定點，利用圓的幾何特征可得到當時，最小
【詳解】由圓的方程，可知圓心，半徑，
直線過定點，
因為，則定點在圓內(nèi)，
則點和圓心連線的長度為，
當圓心到直線距離最大時，弦長最小，此時，
由圓的弦長公式可得，
故選：C
7．B
【分析】由球的性質(zhì)確定三棱錐外接球的球心位置和球的半徑，由此可求球的表面積.
【詳解】如圖1，
取BD的中點M，連接．由，可得為正三角形，且，所以，則，
以M為原點，為軸，為軸，過點M且與平面垂直的直線為軸建立空間直角坐標系如圖2，
則， ．設(shè)為三棱錐的外接球球心，則在平面的投影必為的外心，則設(shè)．由可得，解得，所以．
由張衡的結(jié)論，，所以，
則三棱錐的外接球表面積為，
故選：B．
8．C
【分析】
任取雙曲線的一條漸近線為直線，由點到直線的距離公式，構(gòu)造，，結(jié)合題目已知條件列不等式即可求出雙曲線離心率的范圍.
【詳解】
由題意可知，直線經(jīng)過雙曲線的右焦點，且垂直于軸，不妨設(shè)，
代入橢圓方程，又，所以，
所以，，任取雙曲線的一條漸近線為直線，
由點到直線的距離公式可得點到漸近線的距離，
點到漸近線的距離，
所以，因為，
所以，因，所以，即，
所以，所以，
因為雙曲線離心率，所以，
所以雙曲線的離心率的取值范圍為.
故選：C.
9．CD
【分析】根據(jù)事件的相關(guān)概念可判斷ABC，計算出可判斷D.
【詳解】因為事件與事件可以同時發(fā)生，故A錯誤；
事件包含事件，所以事件與事件不是相互獨立事件，故B錯誤；
因為，所以，故C正確；
，故D正確；
故選：CD
10．AC
【分析】
A選項，由函數(shù)圖象求出最小正周期，從而得到；B選項，代入特殊點坐標，得到，，得到函數(shù)解析式，得到平移后的解析式，代入得到，故B錯誤；C選項，整體法求出函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間，得到，由于，故C正確；D選項，結(jié)合余弦函數(shù)圖象知只有1個極值點.
【詳解】
A選項，設(shè)的最小正周期為，由圖象知，解得，
因為，所以，所以，故A正確；
B選項，由，得，解得，
又，所以只有符合要求；
由，得，故，所以，
所以.
由得的圖象不關(guān)于點對稱，故B不正確；
C選項，由，得，
即的單調(diào)遞增區(qū)間為，令，得，
又，故在上單調(diào)遞增，故C正確；
D選項，當時，，由于在上，
只有為極小值點，故在上僅有一個極值點，故D不正確.
故選：AC.
11．BC
【分析】
分直線的斜率存在與不存在兩種情況，寫出直線方程，將直線與拋物線聯(lián)立，得到，
選項A，轉(zhuǎn)化，結(jié)合韋達定理分析即可；
選項B，結(jié)合拋物線定義以及梯形中線性質(zhì)，分析圓心到直線的距離即可判斷；
選項C，，結(jié)合韋達定理計算，即可判斷；
選項D，，結(jié)合韋達定理即可判斷.
【詳解】由題意，拋物線焦點為，即，故拋物線，
若直線的斜率不存在，則直線方程為：，此時，
若直線斜率存在，不妨設(shè)直線方程為：，
聯(lián)立，可得，恒成立，
故,
選項A，，若直線斜率不存在，
若直線斜率存在，，故的最小值為4，錯誤；
選項B，不妨設(shè)以為直徑的圓圓心為，作于，于，于，由拋物線定義，，故，又為中點，故，故以為直徑的圓與直線相切，正確；
選項C，
，正確；
選項D，，錯誤.
故選：BC
12．ABC
【分析】根據(jù)定義判定奇偶性，進而判定A；利用積函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律可判定B;利用積函數(shù)的求導法則可以求得導函數(shù)，進而得到切線的斜率,從而判定C；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇函數(shù)的性質(zhì)分析，即可判定D.
【詳解】對A：函數(shù)的定義域為R，且有為奇函數(shù)，y=為偶函數(shù)，∴函數(shù)=xln為奇函數(shù)，故A正確；
對B：當x∈(0，+∞)時為增函數(shù)，而y=則ln(>0
當x∈(0，+∞)時y=為增函數(shù)，
故函數(shù)f(x)=xln()在區(qū)間(0，+∞)上單調(diào)遞增，故B正確；
對C：設(shè)h(x)=ln()，于是f(x)=xh(x)，有得=h(0)=ln2，故C正確；
對D：故函數(shù)=xln在區(qū)間(0，+∞)上單調(diào)遞增，且f(x)為奇函數(shù)，即函數(shù)f(x)=xln在區(qū)間R上單調(diào)遞增，只有一個零點為，故D錯誤.
故選：ABC.
【點睛】若f(x),g(x)同奇偶，則奇函數(shù)f(x)g(x)是偶函數(shù)，若奇偶性相反，則積函數(shù)f(x)g(x)為奇函數(shù)；若f(x)，g(x)在某個區(qū)間上的函數(shù)值為正值，且都是單調(diào)遞增函數(shù)，則積函數(shù)f(x)g(x)是單調(diào)遞增函數(shù)；關(guān)于型函數(shù)，利用積函數(shù)的導數(shù)運算法則可以將在處的導數(shù)值可以轉(zhuǎn)化為解決，對的導函數(shù)可以采用設(shè)而不求的思想方法，更一般的，對于型的函數(shù)在處的導數(shù)，均可以仿照解決.
13．
【分析】利用誘導公式及余弦的二倍角公式化簡可得值.
【詳解】由題意，，
故答案為：.
14．
【詳解】試題分析：,由已知：
考點：向量的數(shù)量積的計算
15．
【分析】
作出圖形，分別取、、的中點、、，連接、、、，利用中位線的性質(zhì)并結(jié)合異面直線所成角的定義得出異面直線與所成的角為或其補角，并計算出各邊邊長，利用余弦定理計算出，即可得出答案．
【詳解】
設(shè)球的半徑為，則，解得．
如下圖所示，

分別取、、的中點、、，連接、、、，
∵為球的直徑，A，B在球上，
，平面
平面，
平面，，
，，
為的中點，則，
、分別為、的中點，則，且，
同理可得，且，
所以，異面直線與所成的角為或其補角，且，
在中，，，，
由余弦定理得．
因此，異面直線與所成成的余弦值為．
故答案為：．
16．
【分析】
由已知“奇點”的定義，可得方程只有一個實數(shù)根，函數(shù)與圖象只有一個公共點，結(jié)合函數(shù)的圖象性質(zhì)，利用導數(shù)求解即可.
【詳解】令，，
由題知有且僅有一個使得，
即方程有且僅有一個實數(shù)根，
即曲線與僅有一個公共點，
當，即時，由指數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)可知，
曲線與直線只有一個交點，符合題意，
當，即時，顯然符合題意，
當且，即且時，顯然時無公共點，
當時，令，得，令，
則，當時，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，
又當，時，，
當時，，且時，，
所以由題知，即，所以的取值范圍是.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：本題考查函數(shù)與導數(shù)的綜合應用，根據(jù)新定義得到方程，將方程的根轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象有交點求解范圍.
17．(1)
(2)
【分析】
（1）利用誘導公式及正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式求出，即可得解；
（2）利用正弦定理將邊化角，轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)，再由的取值范圍，求出的范圍.
【詳解】（1）由，即，
得，
由正弦定理可得，
所以，
所以，因為，所以，
所以，又，所以.
（2）由正弦定理，
所以
.
因為為銳角三角形，且，
所以，解得，
所以，，
所以，，
所以的取值范圍為.
18．（Ⅰ）；（Ⅱ） ．
【分析】（Ⅰ）由可得，兩式相減得到，最后驗證滿足上式，進而得到通項公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，于是，故利用裂項相消法可求出．
【詳解】（Ⅰ）∵
∴，
兩式相減得，
∴．
又當時，滿足上式，
∴．
∴數(shù)列的通項公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
∴
∴

．
【點睛】（1）求數(shù)列的通項公式時要根據(jù)條件選擇合適的方法，如本題屬于已知數(shù)列的和求通項的問題，故在求解時利用仿寫、作差的方法求解，容易忽視的地方是忘記對時的情況的驗證．
（2）裂項相消法求和適用于數(shù)列的通項公式為分式形式的數(shù)列，裂項相消后得到的結(jié)果具有對稱性，即相消后前面剩幾項，后面就剩幾項；前面剩第幾項，后面就剩第幾項．
19．(1)證明見解析
(2)5
【分析】
（1）先證明平面,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可證明結(jié)論；
（2）建立空間直角坐標系，求得相關(guān)點坐標，求出平面的法向量，根據(jù)平面與平面所成銳二面角的余弦值為，列式求出參數(shù)，即可求得答案.
【詳解】（1）
在四棱臺中, 延長后必交于一點，故共面，
因為平面,平面,
故,
連接，因為底面四邊形為菱形，故,
平面,
故平面,因為平面,
所以；
（2）過點A作的垂線作為x軸，交與N點，以分別為y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系,
設(shè)，則，
由于，故,
則,
設(shè)，
則，， ，
記平面的法向量為,則,
即，令，則，即，
平面的法向量可取為，
由于平面與平面所成銳二面角的余弦值為，
則，
解得 ，
當M與N點重合時，平面垂直于平面，
由于平面與平面所成角為銳二面角，故，
所以,故.
20．(1)
(2)分布列見解析，
(3)
【分析】（1）設(shè)“李明被終止比賽”事件為表示選的4題均會操作或3題會操作，結(jié)合對立事件的概率計算公式，即可求解；
（2）根據(jù)題意得到得分為的取值，結(jié)合類題正確操作題數(shù)，利用重復試驗的概率計算公式，求得概率，列出分布列，求解數(shù)學期望；
（3）根據(jù)題意得到事件即類題全部操作正確，類題正確操作2題或類題操作正確3題，類題全部正確操作，結(jié)合概率的運算公式，即可求解.
【詳解】（1）解：設(shè)“李明被終止比賽”事件為表示選的4題均會操作或3題會操作，
故李明被終止比賽的概率.
（2）解：設(shè)李明在競賽中，類題全部操作正確后得分為，
則的取值為，且類題正確操作題數(shù)，
可得；；
；
所求的分布列
.
（3）解：設(shè)李明獲二等獎的事件為，事件即類題全部操作正確，類題正確操作2題
或類題操作正確3題，類題全部正確操作，
所以李明獲二等獎的概率為.
21．(1)
(2)證明見解析
【分析】
（1）由條件結(jié)合橢圓的定義和離心率的定義列方程求，由此可得橢圓方程；
（2）由已知設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組利用設(shè)而不求法求，由此證明結(jié)論.
【詳解】（1）依題意，的周長為，
解得.
設(shè)橢圓的半焦距為，
因為橢圓的離心率為，
所以，即，解得.
因為，
所以.
所以橢圓的標準方程為.
（2）由（1）知，，.易知直線的方程為.
由消去得，
.
設(shè)，，則，.
所以，.
所以.
.
所以.
所以，為定值.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：（1）解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．
（2）涉及到直線方程的設(shè)法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．
22．(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】
（1）求出函數(shù)的導數(shù)，結(jié)合一元二次方程知識分類討論，即可求得答案；
（2）法一：根據(jù)在有兩個極值點可得在上有兩個不等實數(shù)根，可確定范圍以及韋達定理，進而求得表達式，結(jié)合其表達式構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷單調(diào)性，推出，即可證明結(jié)論；
法二和法三：結(jié)合（1）以及解法一，由表達式構(gòu)造函數(shù)求導后，將a看作變量，將該導數(shù)整理變形或者利用導數(shù)中的切線不等式的重要結(jié)論判斷導數(shù)的正負，即可判斷函數(shù)單調(diào)性，即可證明結(jié)論.
【詳解】（1）的定義域為R，
，，對于，則，
當時，，在上單調(diào)遞增，
當時，由得，
當和時，，
當時，，
在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
綜上，當時，在上單增，
當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；.
（2）法一：在上有兩個極值點，
則，即在上有兩個不等實數(shù)根，
即這兩個極值點即為（1）中，
，
由韋達定理知
，
，
，
由于，故在上單調(diào)遞減，則，
則，即，
令，
，
由于在上單調(diào)遞減，則，
故，在上單調(diào)遞增，，
即，即，
而要證明，即轉(zhuǎn)化為證明，
由以上結(jié)論可知，成立；
法二：結(jié)合以上分析可得
，
令，，
由于，則，則，
則
在上為減函數(shù)，則得證..
法三：，
設(shè)，則，
即在上單調(diào)遞增，故，則，
故，
則
，
故，在為減函數(shù)，
而，則得證.
【點睛】難點點睛：根據(jù)在有兩個極值點，證明不等式成立，首先要結(jié)合導數(shù)確定的范圍，繼而要表示出，由此構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性解決問題，計算過程相當復雜，難度較大.
40
60
80
100

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