湖南省株洲市第一中學(xué)2021屆高三第二次模擬檢測數(shù)學(xué)試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號在答題卡上填寫清楚。
2.考生必須把所有的答案填寫在答題卡上，答在試卷上的答案無效。
3.選擇題每小題選出答案后，用 2B 鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案選項(xiàng)框涂黑。如需改動,用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案選項(xiàng)框，不要填涂和勾劃無關(guān)選項(xiàng)。其他試題用黑色碳素筆作答，答案不要超出給定的答題框。
一、單選題(本大題共8小題，每題5分，共40分，每小題只有一個選項(xiàng)符合題意)
1．已知集合，則（）
A．B．
C．D．
2．已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（）
A．B．C．1D．
3．設(shè)非零向量，滿足，，，則在方向上的投影向量為（）
A．B．C．D．
4．甲、乙、丙、丁、戊5名黨員參加“黨史知識競賽”，決出第一名到第五名的名次（無并列名次），已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五．據(jù)此推測5人的名次排列情況共有（）種
A．5B．8C．14D．21
5．已知，，，則的最小值為（）
A．B．C．D．
6．已知圓的方程為，則“”是“函數(shù)的圖象與圓有四個公共點(diǎn)”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
7．如圖1，在高為h的直三棱柱容器中，，．現(xiàn)往該容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，水深為2，然后固定容器底面的一邊AB于地面上，再將容器傾斜，當(dāng)傾斜到某一位置時，水面恰好為（如圖2），則容器的高h(yuǎn)為（）
A．3B．4C．D．6
8．已知、是橢圓的兩個焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（）
A．B．C．D．
二、多選題(本大題共 4 小題，每題5分，共 20 分，每小題有多個選項(xiàng)符合題意，全部選對得 5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分)
9．一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為s．另一組樣本數(shù)據(jù)，的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為s．兩組數(shù)據(jù)合成一組新數(shù)據(jù)，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，則（）
A．B．
C．D．
10．等差數(shù)列與的前項(xiàng)和分別為與，且，則（）
A．當(dāng)時，
B．
C．
D．
11．已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有3條對稱軸，給出下列四個結(jié)論，正確的是（）
A．在區(qū)間上有且僅有3個不同的零點(diǎn)
B．的最小正周期可能是
C．的取值范圍是
D．在區(qū)間上單調(diào)遞增
12．已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線，過的直線交拋物線于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，則（）
A．的面積的最大值為2B．
C．D．
三、填空題(本大題共4小題，每題5分，共20分)
13．已知，則．
14．已知，且則____________．
15．在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的三棱錐稱為鱉臑.已知在鱉臑P-ABC中，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，且，則鱉臑P-ABC外接球的體積是 .
16．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足，，，則 .
四、解答題(本大題共6 小題，共 70分，17題為10分，18-22每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
17．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
18．已知向量，，，其中A是的內(nèi)角.
（1）求角A的大??；
（2）若角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，求的取值范圍.
19．如圖，斜三棱柱體積為，側(cè)面與側(cè)面都是菱形，，.
（1）證明：；
（2）求二面角的余弦值.
20．乒乓球是中國的國球，我國選手取得世界乒乓球比賽的大部分冠軍，甚至多次包攬整個賽事的所有冠軍，乒乓球運(yùn)動也深受人們的喜愛．乒乓球主要有白色和黃色兩種，國際乒聯(lián)將球的級別用星數(shù)來表示，星級代表質(zhì)量指標(biāo)等級，星級越高質(zhì)量越好，級別最高為“☆☆☆”，即三星球，國際乒聯(lián)專業(yè)比賽指定用球，二星球適用于國內(nèi)重大比賽及國家隊專業(yè)訓(xùn)練，一星球適用于業(yè)余比賽或健身訓(xùn)練．一個盒子裝有9個乒乓球，其中白球有2個三星“☆☆☆”，4個一星“☆”，黃球有1個三星“☆☆☆”，2個一星“☆”
(1)逐個無放回取兩個球，記事件{第一次白球}，事件{第二次三星球}，求，并判斷事件A與事件B是否相互獨(dú)立；
(2)逐個無放回取球，取出白球即停止，取出的三星球數(shù)記為隨機(jī)變量X，求隨機(jī)變量X的分布列及期望．
21．在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線Ｃ的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸是坐標(biāo)軸，右支與x軸的交點(diǎn)為，其中一條漸近線的傾斜角為.
(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)作直線l與雙曲線C的左右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，在線段上取一點(diǎn)E滿足，證明：點(diǎn)E在一條定直線上.
22．已知函數(shù)，
(1)當(dāng)時，求在區(qū)間上的值域；
(2)若有兩個不同的零點(diǎn)，求的取值范圍，并證明：.
參考答案
1-8 ADBCCBAA 9-12 BC AB BD BCD
13．
14．0
15．
16．202
17．
(1)
設(shè)數(shù)列的公比為q，由，，
得，解得，
所以；
(2)
由（1）可得，所以，
，
，
所以，
所以.
18．
（1）因?yàn)椋?br>即有，（），，（），
又A為的內(nèi)角，所以；
（2）由，得為鈍角，從而
由正弦定理，得
所以，，
則
又，所以，
則
19．
（1）取的中點(diǎn)，連接、、、，
由菱形的性質(zhì)及，
，為正三角形.
，，
又，
平面，
又平面，
.
（2）三棱錐的體積是三棱柱體積的三分之一，
四棱錐的體積是柱體體積的三分之二，即等于.
平行四邊形的面積為.
設(shè)四棱錐的高為，
則：，，
又，平面，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系：.
則，，，
，，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，
令，則，，
.
平面的一個法向量為，
則.
二面角的余弦值為.
20．（1）“第二次三星球”的概率：（或）
“第一次白球且第二次三星球”的概率：（或）
“第一次白球”的概率：，
所以.
因?yàn)槌闪?所以事件與事件相互獨(dú)立.
（2）可能取值為,
,
,
,
(或),
分布列為
所以.
21．（1）根據(jù)題意，設(shè)雙曲線的方程為，
由題知，，可得；
所以雙曲線方程為.
（2）易知為雙曲線的右焦點(diǎn)，如下圖所示：

由題知直線l斜率存在，
根據(jù)對稱性，不妨設(shè)斜率為，故直線的方程為，
代入雙曲線方程得，
設(shè)，，
由韋達(dá)定理有，，
且，，
設(shè)，點(diǎn)E在線段上，所以
由可得
化簡得，
代入和并化簡可得，
即存在點(diǎn)E滿足條件，并且在定直線上.
22．（1）當(dāng)時，可得，
可得，
令，解得；令，解得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
因?yàn)椋?br>可得，所以，
所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋?br>（2）由函數(shù)，可得
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，不可能有兩個零點(diǎn)，舍去；
當(dāng)時，，令，解得或，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，為滿足題意，
此時極大值為，解得，
又由時，；
時，，
由零點(diǎn)存在定理，存在兩個零點(diǎn)，，
所以的取值范圍為，
又由，
兩式相減，可得，
要證，只需證，即證，
設(shè)，只需證，
設(shè)，可得，
所以在上單調(diào)遞增，所以，所以成立，
即原命題得證.
0
1
2