一、選擇題
1．已知集合，，則( )
A.B.C.D.
2．已知，，，則( )
A.B.C.D.
3．已知，分別是關(guān)于x的方程，的根，則下面為定值2023的是( )
A.B.C.D.
4．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖像，且函數(shù)是偶函數(shù)，則的最小值是( )
A.B.C.D.
5．以下不滿足的角是( )
A.B.C.D.
6．已知，為雙曲線(，)的兩個焦點(diǎn)，P為雙曲線上的任意一點(diǎn)，若的最小值為，則雙曲線的離心率為( )
A.B.C.2D.3
7．設(shè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，，若對任意正整數(shù)n都有，則( )
A.B.C.D.
8．一個彈性小球從10米自由落下，著地后反彈到原來高度的處，再自由落下，又彈回到上一次高度的處，假設(shè)這個小球能無限次反彈，則這個小球在這次運(yùn)動中所經(jīng)過的總路程為( )
A.50B.60C.70D.80
9．如圖，在棱長為1的正方體中，E為線段上的點(diǎn)，且，點(diǎn)P在線段上，則點(diǎn)P到直線距離的最小值為( )
A.B.C.D.
10．已知，則a被10除所得的余數(shù)為( )
A.9B.3C.1D.0
11．在《周易》中，長橫“”表示陽爻，兩個短橫“”表示陰爻.有放回地取陽爻和陰爻三次合成一卦，共有種組合方法，這便是《系辭傳》所說“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”.有放回地取陽爻和陰爻一次有2種不同的情況，有放回地取陽爻和陰爻兩次有四種情況，有放回地取陽爻和陰爻三次，八種情況.所謂的“算卦”，就是兩個八卦的疊合，即共有放回地取陽爻和陰爻六次，得到六爻，然后對應(yīng)不同的解析.在一次所謂“算卦”中得到六爻，這六爻恰好有三個陽爻三個陰爻的概率是( )
A.B.C.D.
12．過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則( )
A.1B.C.D.
13．已知圓：()與雙曲線：(，)，若在雙曲線上存在一點(diǎn)P，使得過點(diǎn)P所作的圓的兩條切線，切點(diǎn)為A、B，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是( )
A.B.C.D.
14．如圖，點(diǎn)P在邊長為1的正方形邊上運(yùn)動，M是的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P沿運(yùn)動時，點(diǎn)P經(jīng)過的路程x與的面積y的函數(shù)的圖象的形狀大致是( )
A.B.C.D.
15．已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：
①函數(shù)的最小正周期是；
②函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；
③函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；
④函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個單位得到.
其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A.1B.2C.3D.4
二、解答題
16．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求函數(shù)在上的取值范圍；
(2)當(dāng)時，求函數(shù)在上的最大值.
17．設(shè)數(shù)列滿足，.
(1)計算，，，猜想的通項(xiàng)公式并加以證明；
(2)求數(shù)列，求的前項(xiàng)和.
18．已知雙曲線，的漸近線方程為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為l，過點(diǎn)作直線(不與y軸重合)與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線的垂線，E為垂足.
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)是否存在實(shí)數(shù)t，使得直線過定點(diǎn)P，若存在，求t的值及定點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.
19．一般地，任何一個復(fù)數(shù)(，)都可以表示成形式，其中，r是復(fù)數(shù)z的模，是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，向量所在射線(射線)為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)的輻角，叫做復(fù)數(shù)的三角表示式，簡稱三角形式.為了與“三角形式”區(qū)分開來，(，)叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡稱“代數(shù)形式”.
(1)畫出復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量，并把表示成三角形式；
(2)已知，，，其中，.試求(結(jié)果表示代數(shù)形式).
20．已知關(guān)于x的不等式的解集為.
(1)求a，b的值；
(2)求不等式組所表示的平面區(qū)域的面積.
參考答案
1．答案：D
解析：因?yàn)椋裕裕?br>又因?yàn)?，所?
所以.
故選：D.
2．答案：D
解析：由題意知，，，，
因?yàn)椋?br>所以由換底公式可得，，
又因?yàn)?)，
所以，
所以由換底公式可得.
故選：D.
3．答案：C
解析：由已知條件可知，，，
令，，，
如圖所示，
曲線與曲線關(guān)于直線對稱，曲線關(guān)于直線對稱，
設(shè)曲線分別與曲線，交于點(diǎn)，，
則點(diǎn)A，B關(guān)于直線對稱，
而點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，即為點(diǎn)，
則，即.
故選：C.
4．答案：A
解析：由題意知，()
又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以關(guān)于y軸對稱.
所以，，解得，，
又，所以當(dāng)時，取得最小值為.
故選：A.
5．答案：D
解析：對于A項(xiàng)，，故A項(xiàng)正確；
對于B項(xiàng)，令，則，所以，故B項(xiàng)正確；
對于C項(xiàng)，，故C項(xiàng)正確；
對于D項(xiàng)，，故D項(xiàng)不成立.
故選：D.
6．答案：A
解析：如圖，
設(shè)，，，
則(當(dāng)且僅當(dāng)P在頂點(diǎn)時取等號)，
所以，即，
所以.
故選：A.
7．答案：C
解析：由等差數(shù)列的等和性可得，
.
故選：C.
8．答案：C
解析：由題意知，這個小球在這次運(yùn)動中第n次反彈著地后所經(jīng)過的總路程為，
假設(shè)這個小球能無限次反彈，
所以這個小球在這次運(yùn)動中所經(jīng)過的總路程為.
故選：C.
9．答案：C
解析：在上取點(diǎn)，使，連接、，過點(diǎn)D作于點(diǎn)G，
由，故，又平面，平面，
故平面，由平面，平面，故，
故，又，，、平面，
故平面，故到平面的距離為，
又P在線段上，故點(diǎn)P到直線距離的最小值為，
由，故，則，
故.
故選：C.
10．答案：C
解析：，
由，
故a被10除所得的余數(shù)為1.
故選：C.
11．答案：B
解析：在一次所謂“算卦”中得到六爻，
基本事件的總數(shù)為，
這六爻恰好有三個陽爻包含的基本事件數(shù)為，
所以這六爻恰好有三個陽爻三個陰爻的概率是.
故選：B.
12．答案：B
解析：圓可化為，即圓心為，半徑為，
故圓心到點(diǎn)的距離為，
則，由，故，
故.
故選：B.
13．答案：B
解析：由，故，則，
即雙曲線與圓有交點(diǎn)，
即，即，即，
即雙曲線的離心率的取值范圍是.
故選：B.
14．答案：A
解析：當(dāng)點(diǎn)P在上時，，
當(dāng)點(diǎn)P在上時，
，
當(dāng)點(diǎn)P在上時，，
其中A選項(xiàng)符合要求，B、C、D都不符合要求，故A正確.
故選：A.
15．答案：B
解析：，
對于①，因?yàn)?，則的最小正周期，故①錯誤；
對于②，由函數(shù)解析式可知，滿足，時單調(diào)遞減，
解得，，當(dāng)時，單調(diào)遞減區(qū)間為，故②正確；
對于③，由函數(shù)解析式可知，對稱軸滿足，，
解得，，所以當(dāng)時，對稱軸為，故③正確；
對于④，函數(shù)的圖象向左平移個單位可得，故④錯誤.
故正確結(jié)論的個數(shù)是個.
故選：B.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)當(dāng)時，，
對稱軸為直線，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，，，，
函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍是；
(2)當(dāng)時，，
對稱軸為直線，
當(dāng)時，函數(shù)在上的最大值；
當(dāng)時，函數(shù)在上的最大值；
函數(shù)在上的最大值.
17．答案：(1)，，，猜想，證明見解析
(2)
解析：(1)由，得：；；；
由此可猜想，證明如下：
當(dāng)時，，即成立；
假設(shè)當(dāng)時，成立，
那么當(dāng)時，，即成立；
綜上所述：當(dāng)時，.
(2)由(1)得：，
，，
兩式作差得：，
.
18．答案：(1)
(2)存在實(shí)數(shù)，使得直線過定點(diǎn)
解析：(1)焦點(diǎn)到漸近線的距離不妨求直線的距離，漸近線方程，得
所以雙曲線方程為；
(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得直線過定點(diǎn)P,
設(shè)直線，，，則.
聯(lián)立，消y得
則，.
直線，令得:
又，
當(dāng)即時，為定值
所以存在實(shí)數(shù)，使得直線過定點(diǎn).
19．答案：(1)圖象見解析，
(2)
解析：(1)因?yàn)閷?yīng)的點(diǎn)在第四象限，
所以z對應(yīng)的向量如圖所示.
易得，，，
所以.
所以.
(2)因?yàn)椋?br>所以
又，，
所以.
所以.
所以，
，
.
20．答案：(1)
(2)
解析：(1)由題意得，3是方程的兩根，
則，即有.
(2)由得，
由約束條件畫出可行域，如圖所示，
在中，分別令，2得，3，
在中，分別令，2得，，
則不等式組所表示的平面區(qū)域的面積.

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