數(shù)學(xué)
命題人：撫順二中 孫振剛沈陽(yáng)二中 牛大偉
時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分
注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。
2．答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．已知集合，且，則集合可以是（ ）
A．B．C．D．
2．已知，（為虛數(shù)單位），則（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．已知．則“且”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
4．已知雙曲線的下焦點(diǎn)和上焦點(diǎn)分別為，，直線與交于，兩點(diǎn)，若面積是面積的4倍，則（ ）
A．3B．C．D．
5．猜燈謎是中國(guó)元宵節(jié)特色活動(dòng)之一．已知甲、乙、丙三人每人寫(xiě)一個(gè)燈謎，分別放入三個(gè)完全相同的小球，三人約定每人隨機(jī)選一個(gè)球（不放回），猜出自己所選球內(nèi)的燈謎者獲勝．若他們每人必能猜對(duì)自己寫(xiě)的燈謎，并有的概率猜對(duì)其他人寫(xiě)的燈謎，則甲獨(dú)自獲勝的概率為（ ）
A．B．C．D．
6．若函數(shù)使得數(shù)列，為遞減數(shù)列，則稱函數(shù)為“數(shù)列保減函數(shù)”，已知函數(shù)為“數(shù)列保減函數(shù)”，則的取值范圍（ ）
A．B．C．D．
7．若，則（ ）
A．或2B．或C．2D．
8．已知函數(shù)，若成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分）
9．下圖是樣本甲與樣本乙的頻率分布直方圖，下列說(shuō)法判斷正確的是（ ）
A．樣本乙的極差一定大于樣本甲的極差B．樣本乙的眾數(shù)一定大于樣本甲的眾數(shù)
C．樣本甲的方差一定大于樣本乙的方差D．樣本甲的中位數(shù)一定小于樣本乙的中位數(shù)
10．已知函數(shù)，則在區(qū)間上為減函數(shù)的充分條件是（ ）
A．B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C．是奇函數(shù)D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
11．已知不相等的實(shí)數(shù)，滿足，則下列四個(gè)數(shù)，，，經(jīng)過(guò)適當(dāng)排序后（ ）
A．可能是等差數(shù)列B．不可能是等差數(shù)列
C．可能是等比數(shù)列D．不可能是等比數(shù)列
12．設(shè)直線系（其中，，均為參數(shù)，，），則下列命題中是真命題的是（ ）
A．當(dāng)，時(shí)，存在一個(gè)圓與直線系中所有直線都相切
B．存在，，使直線系中所有直線恒過(guò)定點(diǎn)，且不過(guò)第三象限
C．當(dāng)時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線系中所有直線的距離最大值為1，最小值為
D．當(dāng)，時(shí)，若存在一點(diǎn)，使其到直線系中所有直線的距離不小于1，則
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13．拋物線上的一點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為_(kāi)_____．
14．已知函數(shù)在處有極值8，則等于______．
15．杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)是繼1990年北京亞運(yùn)會(huì)、2010年廣州亞運(yùn)會(huì)之后，中國(guó)第三次舉辦亞洲最高規(guī)格的國(guó)際綜合性體育賽事．本屆亞運(yùn)會(huì)徽寶由上下兩方玉璽組成（如圖一），上方以杭州城市文化代表（錢(qián)塘潮和杭州奧體中心體育場(chǎng)）為主體元素（如圖二），若將徽寶上方看成一個(gè)圓臺(tái)與兩個(gè)圓柱的組合體，其軸截面如圖三所示，其中兩個(gè)圓柱的底面直徑均為10，高分別為2和6；圓臺(tái)的上、下底面直徑分別為8和10，高為2．則該組合體的體積為_(kāi)_____．
16．已知，是空間單位向量，，若空間向量滿足，，且對(duì)于任意，都有（其中），則______．
四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答需寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17．（10分）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，滿足．
（1）求證：；
（2）若為銳角三角形，求的最大值．
18．（12分）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足，且，，，，成等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，．
（1）求證：當(dāng)時(shí)，成等差數(shù)列；
（2）求的前項(xiàng)和．
19．（12分）某教育教研機(jī)構(gòu)為了研究學(xué)生理科思維和文科思維的差異情況，對(duì)某班級(jí)35名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)和語(yǔ)文成績(jī)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)并整理成如下列聯(lián)表（單位：人）：
（1）能否有的把握認(rèn)為該班數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)有關(guān)？（計(jì)算結(jié)果精確到0.001）
（2）從該班的學(xué)生中任選一人，表示事件“選到的學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)良好”， 表示事件“選到的學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)良好”，與的比值是文、理科思維差異化的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為．
（i）證明：；
（ii）利用該表中數(shù)據(jù)，給出，的估計(jì)值，并利用（i）的結(jié)果給出的估計(jì)值．
附：，
20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面?zhèn)让妫瑸橹悬c(diǎn)，是上的點(diǎn)，，．
（1）求證：平面平面；
（2）若二面角的余弦值為，求到平面的距離．
21．（12分）已知圓和橢圓，橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為，，，，如圖．
（1）圓與平行四邊形內(nèi)切，求的最小值；
（2）已知橢圓的內(nèi)接平行四邊形的中心與橢圓的中心重合．當(dāng)，滿足什么條件時(shí)，對(duì)上任意一點(diǎn)，均存在以為頂點(diǎn)與外切，與內(nèi)接的平行四邊形？并證明你的結(jié)論．
22．（12分）已知函數(shù)，（其中，為實(shí)數(shù)，且）
（1）當(dāng)時(shí)，恒成立，求；
（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求的最大整數(shù)值．
（參考數(shù)據(jù)：）
2023-2024學(xué)年度下學(xué)期高三第一次模擬考試試題
數(shù)學(xué)參考答案
一、1．D 2．A 3．A 4．D 5．C 6．B 7．C 8．C
二、9．CD 10．BD 11．AD 12．ABD
三、13．5 14． 15． 16．
四、17．解：（1）
據(jù)余弦定理得
由正弦定理：
或（舍）
（2）為銳角三角形
由（1），，原式
令
則原式
，
當(dāng)時(shí)，所求式子的最大值為．
18．解析（1），①，當(dāng)時(shí)，，②
①②得．
又當(dāng)時(shí)，，所以，
所以當(dāng)時(shí)，成等差數(shù)列．
（2）由，解得或，又，，，，成等比數(shù)列，
所以由（1）得，進(jìn)而，
而，所以，從而，
所以，
所以
19．解：（1）由已知，
又，而，
所以沒(méi)有的把握認(rèn)為該班數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)有關(guān)．
（2）（i）因?yàn)椋?br>所以，
所以，
（ii）由已知，，
又，，所以．
20．解：（1）側(cè)面?zhèn)让嬗?，于，平?br>平面
又是正方形，，
平面，又平面
平面平面
（2）法1：作垂直于，作，連接，取中點(diǎn)，連接，
，，
，，
側(cè)面底面于，底面，
，，
為二面角的平面角，
設(shè)，則，
在中，
在中，得，
，得，是的中點(diǎn)
設(shè)是的中點(diǎn)，由（1）可知平面．
平面平面于
到平面的距離為到直線的距離
在中，，
到的距離為
，是的中點(diǎn)，到平面的距離即是到平面距離的
到平面距離為
法2：以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，．
，，，
設(shè)，
得，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，
取得，，則．
平面的一個(gè)法向量為
設(shè)二面角的大小為，則，
解得，所以
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
取則．
到平面距離為．
21．解：（1）直線的方程為，由條件得，原點(diǎn)到直線的距離為，即，所以，當(dāng)，時(shí)取“”
（1）
證明：由平面幾何可知，若平行四邊形有內(nèi)切圓，則平行四邊形是菱形，設(shè)菱形為，設(shè)直線，則直線
聯(lián)立，消得，，
同理有，
設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，又則
，
又．
即
同理可得到直線，，的距離均為1，
所以該平行四邊形與相切．
22．解：（1）設(shè)，則其定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，對(duì)于恒成立，
即恒成立，所以合理．
當(dāng)時(shí)，令，即，
解得（舍），
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
又有，所以當(dāng)時(shí)，，不合題意．
當(dāng)時(shí)，令，即，
解得（舍），
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
又有，所以當(dāng)時(shí)，，不合題意．
綜上所述，．
（2）由題意，方程有兩個(gè)不同的解，
即關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的解，
設(shè)，則，
設(shè)，由可知，
所以在上單調(diào)遞減，
又，，
所以存在使得，即，所以，
所以當(dāng)時(shí)，，即，進(jìn)而函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，即，進(jìn)而函數(shù)單調(diào)遞減，
所以函數(shù)的極大值為
要使得關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的解，則，
當(dāng)時(shí)，設(shè)，
則，可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，，，
所以有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，符合題意，
所以的最大整數(shù)值為．?dāng)?shù)學(xué)成績(jī)良好
數(shù)學(xué)成績(jī)不夠良好
語(yǔ)文成績(jī)良好
12
10
語(yǔ)文成績(jī)不夠良好
8
5
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828

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