一、單選題
1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知，是實(shí)數(shù)，則“”是“曲線是焦點(diǎn)在軸的雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（ ）
A．B．C．D．
4．設(shè)是三條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列說法中正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
5．已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象（ ）
A．關(guān)于點(diǎn)對稱B．關(guān)于點(diǎn)對稱C．關(guān)于點(diǎn)對稱D．關(guān)于點(diǎn)對稱
6．若復(fù)數(shù)，且z和在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)分別為P，Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
7．已知點(diǎn)為可行域內(nèi)任意一點(diǎn)，則的概率為（ ）
A．B．C．D．
8．已知函數(shù)．設(shè)時(shí)，取得最大值．則（ ）
A．B．C．D．
9．執(zhí)行下面的程序框圖，則輸出的（ ）
A．37B．46C．48D．60
10．三棱錐中，，，為內(nèi)部及邊界上的動(dòng)點(diǎn)，，則點(diǎn)的軌跡長度為（ ）
A．B．C．D．
11．已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
12．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為．過點(diǎn)傾斜角為的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)（在軸的上方），則下列說法中正確的有（ ）個(gè)．
①
②
③若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，則的面積為
④當(dāng)時(shí)，內(nèi)切圓的面積為
A．1B．2C．3D．4
二、填空題
13．已知，則
14．已知x，y是實(shí)數(shù)，，且，則的最小值為
15．在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊．已知．則的最大值為
16．“曼哈頓距離”是人臉識別中一種重要的測距方式．其定義如下：
設(shè)是坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)，則A，B兩點(diǎn)間的曼哈頓距離為．
在平面直角坐標(biāo)系中中，下列說法中正確說法的序號為
①．若，則；
②．若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)P滿足：，則P的軌跡長度為；
③．設(shè)是坐標(biāo)平面內(nèi)的定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)N滿足：，則N的軌跡是以點(diǎn)為頂點(diǎn)的正方形；
④．設(shè)，則動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成的平面區(qū)域的面積為10．
三、解答題
17．在數(shù)列中，是其前項(xiàng)和，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，恒成立，求的取值范圍．
18．如圖所示，在直四棱柱中，底面是菱形，，，分別為，的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)若，求與平面所成角的正弦值；
19．已知某科技公司的某型號芯片的各項(xiàng)指標(biāo)經(jīng)過全面檢測后，分為Ⅰ級和Ⅱ級，兩種品級芯片的某項(xiàng)指標(biāo)的頻率分布直方圖如圖所示：
若只利用該指標(biāo)制定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值K，按規(guī)定須將該指標(biāo)大于K的產(chǎn)品應(yīng)用于A型手機(jī)，小于或等于K的產(chǎn)品應(yīng)用于B型手機(jī)．若將Ⅰ級品中該指標(biāo)小于或等于臨界值K的芯片錯(cuò)誤應(yīng)用于A型手機(jī)會導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機(jī)損失800元；若將Ⅱ級品中該指標(biāo)大于臨界值K的芯片錯(cuò)誤應(yīng)用于B型手機(jī)會導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機(jī)損失400元；假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．
(1)設(shè)臨界值時(shí)，將2個(gè)不作該指標(biāo)檢測的Ⅰ級品芯片直接應(yīng)用于A型手機(jī)，求芯片生產(chǎn)商的損失（單位：元）的分布列及期望；
(2)設(shè)且，現(xiàn)有足夠多的芯片Ⅰ級品、Ⅱ級品，分別應(yīng)用于A型手機(jī)、B型手機(jī)各1萬部的生產(chǎn)：
方案一：將芯片不作該指標(biāo)檢測，Ⅰ級品直接應(yīng)用于A型手機(jī)，Ⅱ級品直接應(yīng)用于B型手機(jī)；
方案二：重新檢測該芯片Ⅰ級品，Ⅱ級品的該項(xiàng)指標(biāo)，并按規(guī)定正確應(yīng)用于手機(jī)型號，會避免方案一的損失費(fèi)用，但檢測費(fèi)用共需要130萬元；
請求出按方案一，芯片生產(chǎn)商損失費(fèi)用的估計(jì)值（單位：萬元）的表達(dá)式，并從芯片生產(chǎn)商的成本考慮，選擇合理的方案．
20．如圖，已知四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，且A，B在第一象限，軸，拋物線在點(diǎn)A處的切線為l，且．

(1)設(shè)直線的斜率分別為k和，求的值；
(2)P為與的交點(diǎn)，設(shè)的面積為，的面積為，若，求的取值范圍．
21．設(shè)函數(shù)，．
(1)若函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；
(2)設(shè)，證明函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，且
22．在平面直角坐標(biāo)系中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為．
(1)求曲線C在直角坐標(biāo)系中的普通方程；
(2)已知，直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求的值．
23．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，畫出的圖象，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)的值域；
(2)若關(guān)于x的不等式有解，求a的取值范圍．
參考答案：
1．A
【分析】
解出一元二次不等式，由集合的并集運(yùn)算求解即可.
【詳解】集合，所以解得：，
所以，又，
所以.
故選：A
2．B
【分析】
根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】若曲線是焦點(diǎn)在軸的雙曲線，則，，所以，故必要性成立，
若，滿足，但是曲線是焦點(diǎn)在軸的雙曲線，故充分性不成立，
所以“”是“曲線是焦點(diǎn)在軸的雙曲線”的必要不充分條件.
故選：B
3．D
【分析】
根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.
【詳解】對于A：函數(shù)的定義域?yàn)?，顯然不符合題意，故A錯(cuò)誤；
對于B：函數(shù)的定義域?yàn)?，顯然不符合題意，故B錯(cuò)誤；
對于C：函數(shù)的定義域?yàn)?，又為奇函?shù)，又在上函數(shù)是下凸遞增，故不符合題意，故C錯(cuò)誤；
對于D：定義域?yàn)?，又為奇函?shù)，
且在上函數(shù)是上凸遞增，故D正確.
故選：D
4．C
【分析】
根據(jù)線線，線面，和面面的位置關(guān)系，即可判斷選項(xiàng).
【詳解】A.如果是平行直線，那么與不一定垂直，故A錯(cuò)誤；
B. 若，則或，故B錯(cuò)誤；
C. 若，則，若，則，故C正確；
D.若是平行直線，則與有可能不平行，故D錯(cuò)誤.
故選：C
5．A
【分析】
先求的對稱中心，結(jié)合圖象變換可得答案.
【詳解】因?yàn)?，所以，即的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，
函數(shù)的圖象可由的圖象，先向右平移一個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位得到，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.
故選：A.
6．D
【分析】
由求出，得到,，再由即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以z和在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)分別為,,故,,
.
故選：D.
7．C
【分析】
列出滿足可行域的點(diǎn)的坐標(biāo)，再由古典概型的概率公式計(jì)算可得.
【詳解】可行域內(nèi)的點(diǎn)有，，，，，，，，共個(gè)，
其中滿足的有，，，共個(gè)，
所以所求的概率.
故選：C
8．C
【分析】
利用輔助角公式求出，再利用和角公式可得答案.
【詳解】，其中；
所以，，取得最大值，
由題意，即.
.
故選：C
9．C
【分析】
由程序框圖一步一步計(jì)算求解即可.
【詳解】初始值，成立，所以，此時(shí)成立，
，成立，所以，此時(shí)成立，
，，所以此時(shí)成立，
，成立，所以，此時(shí)成立，
，成立，所以，此時(shí)成立，
，，所以此時(shí)成立，
，成立，所以，此時(shí)成立，
，成立，所以，此時(shí)成立，
，，所以此時(shí)成立，
，成立，所以，此時(shí)成立，
，成立，所以，此時(shí)不成立，故輸出，
故選：C
10．B
【分析】
由已知可得三棱錐為正三棱錐，即可得三棱錐的高，設(shè)點(diǎn)在底面上的射影為，即可得，進(jìn)而可得點(diǎn)的軌跡及其長度.
【詳解】
如圖所示，
由，，
可知三棱錐為正三棱錐，
設(shè)中點(diǎn)為，
則，，，
設(shè)點(diǎn)在底面上的射影為，
則平面，，
又為內(nèi)部及邊界上的動(dòng)點(diǎn)，，
所以，
所以點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓在內(nèi)部及邊界上的部分，
如圖所示，

，
，
即，，
所以點(diǎn)的軌跡長度為，
故選：B.
11．A
【分析】
先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)在所給區(qū)間上有兩個(gè)變號零點(diǎn)可求答案.
【詳解】，因?yàn)橛星覂H有兩個(gè)極值點(diǎn)，
所以有兩個(gè)變號零點(diǎn)，即在所給區(qū)間上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根.
令，則，上式可化為，其中；
令，則，
令，則，即為增函數(shù)，
又，所以時(shí)，，為減函數(shù)；時(shí)，，為增函數(shù)；
因?yàn)?，所?
故選：A.
12．B
【分析】
首先推導(dǎo)出橢圓的焦半徑公式及相關(guān)性質(zhì)，從而判斷①②③，得到直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，求出，，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，由求出，即可判斷④.
【詳解】在中，由余弦定理，
即，
整理得，同理可得，
所以，，

對于橢圓，則、、，
所以，，故①錯(cuò)誤；
，故②正確；
所以，，
又
，
又，
所以，故③錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)直線的方程為，
由，消去整理得，顯然，
所以，，
又，，則，，
設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，
所以，解得，
所以內(nèi)切圓的面積，故④正確；

故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是推導(dǎo)出橢圓焦半徑公式（傾斜角形式），利用結(jié)論直接解決問題.
13．3
【分析】
利用向量平行的坐標(biāo)表示可求答案.
【詳解】因?yàn)?br>所以，解得.
故答案為：3
14．1
【分析】
利用基本不等式"1"的妙用求最值可求答案.
【詳解】因?yàn)?，且，所以?br>因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到等號，
所以，即的最小值為1.
故答案為：1
15．/
【分析】
先根據(jù)正弦定理化角為邊，再利用余弦定理和基本不等式可求答案.
【詳解】因?yàn)?，所以由正弦定理可?
由余弦定理，得，
整理得.
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
所以，又，所以，即.
故答案為：.
16．①②③
【分析】
利用所給定義，結(jié)合圖形，逐項(xiàng)驗(yàn)證即可得答案.
【詳解】對于①，由定義可知，正確.
對于②，設(shè)，因?yàn)椋裕?br>當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
其圖象如圖，所以P的軌跡長度為，正確.
對于③，設(shè)，因?yàn)?，所以?br>當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
顯然兩直線垂直，且交點(diǎn)為.
當(dāng)時(shí)，，與垂直，交點(diǎn)為.
當(dāng)當(dāng)時(shí)，，與垂直，交點(diǎn)為；
同時(shí)與垂直，交點(diǎn).
因?yàn)檫@些交點(diǎn)圍成的四邊形的垂直，
所以N的軌跡是以點(diǎn)為頂點(diǎn)的正方形；
對于④，因?yàn)?，所以?br>當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
其圖形如圖中陰影部分，
其面積為四個(gè)全等正方形的面積和，面積為8，不正確.
故答案為：①②③
17．(1)
(2)
【分析】
（1）由，作差得到，從而得到是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即可求出其通項(xiàng)公式；
（2）由（1）求出，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出的最值，即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，，所以，所以；
所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以.
（2）由（1）可得，
又在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)取得最大值為，當(dāng)時(shí)取得最小值為，
因?yàn)?，恒成立?br>所以，解得，
所以的取值范圍為.
18．(1)證明見解析
(2)
【分析】
（1）連接，連接，，根據(jù)線線平行證明線面平行；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求線面夾角.
【詳解】（1）
如圖所示，連接，連接，，
，分別為，的中點(diǎn)，
且，
且，
四邊形為平行四邊形，
，
又平面，平面，
平面；
（2）
如圖所示，
連接，取中點(diǎn)，連接，
由已知直四棱柱的底面為菱形，
平面，，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，方向分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
又，，
，，，
，，，，，，
則，，，
設(shè)平面的法向量，
則，令，則，
，
即直線與平面所成角的正弦值為.
19．(1)分布列見解析，
(2)，，方案二
【分析】（1）首先求出Ⅰ級品中該指標(biāo)小于或等于的頻率，依題意的可能取值為，，，求出所對應(yīng)的概率，即可得到分布列與數(shù)學(xué)期望；
（2）首先求出Ⅰ級品、Ⅱ級品中該指標(biāo)小于或等于臨界值的頻率，即可求出損失費(fèi)用的估計(jì)值的解析式，再求出值域，即可判斷.
【詳解】（1）當(dāng)臨界值時(shí)，Ⅰ級品中該指標(biāo)小于或等于的頻率為，
所以將個(gè)不作該指標(biāo)檢測的Ⅰ級品芯片直接應(yīng)用于型手機(jī)，每部手機(jī)損失元的概率為，
所以芯片生產(chǎn)商的損失的可能取值為，，，
所以，，
，
所以的分布列為：
所以.
（2）當(dāng)臨界值且時(shí)，
若采用方案一：
Ⅰ級品中該指標(biāo)小于或等于臨界值的頻率為，
所以可以估計(jì)部型手機(jī)中有部手機(jī)芯片應(yīng)用錯(cuò)誤；
Ⅱ級品中該指標(biāo)小于或等于臨界值的頻率為，
所以可以估計(jì)部型手機(jī)中有部手機(jī)芯片應(yīng)用錯(cuò)誤；
所以可以估計(jì)芯片生產(chǎn)商的損失費(fèi)用，
即，，
因?yàn)?，所以?br>又采用方案二需要檢測費(fèi)用共萬元，
故從芯片生產(chǎn)商的成本考慮，應(yīng)選擇方案二.
20．(1)0
(2)
【分析】
（1）首先分別設(shè)，，，根據(jù)條件，并由坐標(biāo)表示斜率，即可求解；
（2）由已知條件求出直線的方程，再分別與拋物線的方程聯(lián)立，可求出，并進(jìn)一步求出，然后利用面積公式求出，結(jié)合的范圍，即可求解.
【詳解】（1）設(shè)，，，
由軸得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由得，，
所以拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為，
又，由得，所以，
因?yàn)?，?br>所以；
（2）因?yàn)?，所以，?br>所以直線的方程為，即，
由，得，
所以，得，
又直線的方程為，即，
由，得，
所以，得，
所以直線的方程為，即，
所以，
由，即，解得：，
因?yàn)椋?br>所以，
，
所以，
又，所以，即的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是建立用解析思想解決幾何問題，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示的坐標(biāo)，從而達(dá)到解決幾何問題的目的.
21．(1)或
(2)證明見解析
【分析】
（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而可得參數(shù)取值范圍；
（2）求導(dǎo)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而可得最值.
【詳解】（1）由已知的定義域?yàn)椋?br>恒成立，
所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，
又函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)函數(shù)，
則或，
即或；
（2）由，，
得，，且，
設(shè)，由（1）得在上單調(diào)遞增，
又，則，，
所以，使，即，
且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，
設(shè)，，則恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，即.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系． (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)． (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題． (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用
22．(1)
(2)5
【分析】
（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式，即可求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，直線方程與圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，表示，即可求解.
【詳解】（1）
由題意可知，，即，整理為；
（2）聯(lián)立，整理為，
設(shè)點(diǎn)，，
所以，，
故，
，
，，
所以
，
.
23．(1)圖象見解析，
(2)
【分析】
（1）分類討論求出函數(shù)的解析式畫圖求值域即可；
（2）利用絕對值三角不等式求出函數(shù)的最小值，不等式有解的問題，只需，求解即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
所以，作出圖象如圖所示：
函數(shù)的值域?yàn)椋?
（2）關(guān)于x的不等式有解，
所以有解，
由絕對值三角不等式得，
所以，所以，
所以或，
所以a的取值范圍為：.

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