一、單選題
1．設(shè)，則（ ）
A．B．C．D．
2．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，，則（ ）
A．為銳角三角形B．為直角三角形
C．為鈍角三角形D．的形狀無法確定
3．已知直線與拋物線：的圖象相切，則的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
4．已知，則（ ）
A．B．C．D．
5．老師有6本不同的課外書要分給甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，則不同的分法有（ ）
A．248種B．168種C．360種D．210種
6．函數(shù)被稱為取整函數(shù)，也稱高斯函數(shù)，其中表示不大于實(shí)數(shù)的最大整數(shù)．若，滿足，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函數(shù)滿足，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．是奇函數(shù)B．是奇函數(shù)
C．是奇函數(shù)D．是奇函數(shù)
8．已知圓錐的底面半徑為，高為1，其中為底面圓心，是底面圓的一條直徑，若點(diǎn)在圓錐的側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．如圖，彈簧掛著的小球做上下運(yùn)動(dòng)，它在時(shí)相對于平衡位置的高度（單位：）由關(guān)系式，確定，其中，，．小球從最高點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過后，第一次回到最高點(diǎn)，則（ ）

A．
B．
C．與時(shí)的相對于平衡位置的高度之比為
D．與時(shí)的相對于平衡位置的高度之比為
10．已知，集合，，，，則下列結(jié)論一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
11．如圖，已知雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，，三點(diǎn)共線，若直線的斜率為，直線的斜率為，則（ ）

A．的漸近線方程為B．
C．的面積為D．內(nèi)接圓的半徑為
三、填空題
12．已知一平面截球所得截面圓的半徑為2，且球心到截面圓所在平面的距離為1，則該球的體積為 ．
13．若一組數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為3，方差為，則，，，，，9這6個(gè)數(shù)的平均數(shù)為 ，方差為 ．
14．已知函數(shù)，，若關(guān)于的方程有6個(gè)解，則的取值范圍為 ．
四、解答題
15．如圖，在三棱錐中，平面平面，且，．
(1)證明：平面；
(2)若，點(diǎn)滿足，求二面角的大?。?br>16．已知數(shù)列滿足，．
(1)記，證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)求的前項(xiàng)和，并證明．
17．根據(jù)國家電影局統(tǒng)計(jì)，2024年春節(jié)假期（2月10日至2月17日）全國電影票房為80.16億元，觀影人次為1.63億，相比2023年春節(jié)假期票房和人次分別增長了18.47%和26.36%，均創(chuàng)造了同檔期新的紀(jì)錄．2024年2月10日某電影院調(diào)查了100名觀影者，并統(tǒng)計(jì)了每名觀影者對當(dāng)日觀看的電影的滿意度評分（滿分100分），根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖（分組區(qū)間為，，，，，）．
(1)求這100名觀影者滿意度評分不低于60分的人數(shù)；
(2)估計(jì)這100名觀影者滿意度評分的第40百分位數(shù)（結(jié)果精確到0.1）；
(3)設(shè)這100名觀影者滿意度評分小于70分的頻率為，小于80分的頻率為，若甲、乙兩名觀影者在春節(jié)檔某一天都只觀看一部電影，甲觀看，影片的概率分別為，，乙觀看，影片的概率分別為，，當(dāng)天甲、乙觀看哪部電影相互獨(dú)立，記甲、乙這兩名觀影者中當(dāng)天觀看影片的人數(shù)為，求的分布列及期望．
18．已知，分別是橢圓：（）的左、右頂點(diǎn)，為的上頂點(diǎn)，是上在第一象限的點(diǎn)，，直線，的斜率分別為，，且．
(1)求的方程；
(2)直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，求的取值范圍．
19．定義：若函數(shù)圖象上恰好存在相異的兩點(diǎn)，滿足曲線在和處的切線重合，則稱，為曲線的“雙重切點(diǎn)”，直線為曲線的“雙重切線”．
(1)直線是否為曲線的“雙重切線”，請說明理由；
(2)已知函數(shù)求曲線的“雙重切線”的方程；
(3)已知函數(shù)，直線為曲線的“雙重切線”，記直線的斜率所有可能的取值為，，…，，若（），證明：．
參考答案：
1．B
【分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算即可求解.
【詳解】，
故，
故選：B
2．C
【分析】
根據(jù)余弦定理求解最大角的余弦值即可求解.
【詳解】由于,
故為鈍角，進(jìn)而三角形為鈍角三角形
故選：C
3．C
【分析】
聯(lián)立直線與拋物線方程，利用相切有求得，從而得解.
【詳解】依題意，聯(lián)立，消去，得，
則，由，所以，
故拋物線方程為，則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
故選：C.
4．A
【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合，代入即可求解.
【詳解】因?yàn)?，可得?br>則，
.
故選：A.
5．D
【分析】
根據(jù)分類加法原理，結(jié)合組合、排列的定義進(jìn)行求解即可.
【詳解】根據(jù)題意進(jìn)行分類：
第一類：甲、乙、丙每人分得2本，（種）；
第二類：甲分得2本，乙、丙兩人中一人分得1本另一人分得3分，（種）.
所以由分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有種不同的分法．
故選：D.
6．C
【分析】
根據(jù)基本不等式求解最值，即可根據(jù)一元二次不等式求解，即可根據(jù)取整函數(shù)的定義求解.
【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
由可得，
所以，故，
故選：C
7．B
【分析】
利用賦值法推得，從而得到的對稱性，再利用函數(shù)圖象平移的性質(zhì)可判斷B，舉反例排除ACD，由此得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>令，可得，則；
令，則，
故的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，
則的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，即是奇函數(shù)，故B正確；
對于C，令，可得，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不可能是奇函數(shù)，
由于無法確定的值，故不一定是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
對于AD，取，滿足題意，但易知D錯(cuò)誤；
故選：B.
8．A
【分析】
由，最小時(shí)，有最小值，求的最小值即可.
【詳解】圓錐的底面半徑為，高為1，其中為底面圓心，是底面圓的一條直徑，
則有，，
點(diǎn)在圓錐的側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，
則，
最小時(shí)，有最小值，的最小值為點(diǎn)到圓錐母線的距離，
中，，，則，點(diǎn)到的距離，
則的最小值為，的最小值為.
故選：A
9．BC
【分析】
根據(jù)周期求出，代入得到，從而得到函數(shù)解析式，再代入數(shù)據(jù)即可判斷CD.
【詳解】
對于AB，由題可知小球運(yùn)動(dòng)的周期，又，所以，解得，
當(dāng)時(shí)，，又，所以，故A錯(cuò)誤，B正確；
對于CD，則，
所以與時(shí)的相對于平衡位置的高度之比為
，故C正確D錯(cuò)誤.
故選：BC.
10．AB
【分析】
根據(jù)集合代表的含義，結(jié)合直線過定點(diǎn)以及直線與圓的關(guān)系，圓與圓的關(guān)系，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.
【詳解】表示過定點(diǎn),且斜率為的直線的點(diǎn)構(gòu)成的集合，
表示過定點(diǎn)且斜率為的直線的點(diǎn)構(gòu)成的集合，
表示圓心為，半徑為的圓上的點(diǎn)構(gòu)成的集合，
表示圓心為，半徑為的圓上的點(diǎn)構(gòu)成的集合，
對于A，集合中的直線平行，故，故A正確，
對于B，由于，故在圓內(nèi)，
故經(jīng)過點(diǎn)的直線與圓相交，，故B正確，
對于C，由于，故在圓外，
故當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)的直線與圓相離時(shí)，此時(shí)，故C錯(cuò)誤，
對于D，由于，故兩圓相交，，D錯(cuò)誤，
故選：AB
11．ABD
【分析】
根據(jù)斜率以及雙曲線的對稱性可得為等邊三角形，即可根據(jù)同角關(guān)系與和差公式求解三角函數(shù)值，進(jìn)而利用正弦定理求解，由雙曲線定義可得，進(jìn)而根據(jù)選項(xiàng)即可逐一求解，
【詳解】對于A，依題意，直線的斜率為，所以，又，
所以為等邊三角形，故，
在中，為銳角，
，
所以，
根據(jù)正弦定理可得，
即，解得，
所以，即，
所以雙曲線的方程為，
對于AB，的漸近線方程為，故AB正確；
對于C，的面積為，故C錯(cuò)誤；
對于D，的面積為，
所以內(nèi)接圓的半徑為，故D正確.
故選：ABD，
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是，利用三角函數(shù)的知識與正弦定理求得，從而得到雙曲線的方程，從而得解.
12．
【分析】
利用球的截面圓性質(zhì)求得球的半徑，再利用球的體積公式即可得解.
【詳解】由球的截面圓性質(zhì)可知球的半徑，
則該球的體積為.
故答案為：.
13．
【分析】
利用平均數(shù)公式與方差公式求解即可.
【詳解】依題意，知這6個(gè)數(shù)的平均數(shù)為，
又，得，
所以這6個(gè)數(shù)的方差為.
故答案為：；.
14．
【分析】
令，根據(jù)的圖象可知，等于常數(shù)的解最多只有3個(gè)，根據(jù)圖象性質(zhì)可知，等于常數(shù)的解最多只有2個(gè)，若有6個(gè)解，需要有3個(gè)解，有2個(gè)解，根據(jù)圖象先求出，再得出和中最小解之間的等式關(guān)系，而后結(jié)合的值域即可建立關(guān)于的不等式，最后構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，求導(dǎo)求單調(diào)性即可解不等式，進(jìn)而得出結(jié)果.
【詳解】令，由函數(shù)的圖象可知，方程(為常數(shù))最多有3個(gè)解，
在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以處取得極大值，即極大值為，如下圖：
故結(jié)合圖象可得，且方程的三個(gè)解中最小的解為.
又，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以最小值為，即當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)，
所以使關(guān)于的方程有6個(gè)解，則，
，即，令，
易知在上單調(diào)遞增，又，所以的解集為，
綜上所述，的取值范圍為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，此類題目一般做法為：
（1）先根據(jù)解析式畫出兩個(gè)函數(shù)圖象；
（2）令復(fù)合函數(shù)內(nèi)函數(shù)為；
（3）結(jié)合函數(shù)圖象及零點(diǎn)個(gè)數(shù)，分析外函數(shù)根的個(gè)數(shù)以及自變量對應(yīng)的取值范圍；
（4）再確定內(nèi)函數(shù)根個(gè)數(shù)及對應(yīng)參數(shù)取值范圍；
（5）解出參數(shù)范圍即可.
15．(1)證明見解析
(2)
【分析】
（1）由面面垂直的性質(zhì)定理得證線面垂直后可得線線垂直，再由線面垂直的判定定理證明結(jié)論成立；
（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角．
【詳解】（1）
過作于點(diǎn)，平面平面，且平面平面，平面，
故平面．又平面，．
又，，平面，平面，
所以平面，
（2）
由（1）平面，平面,故,
以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則,0,，，,1,，，
故，,所以,
，
設(shè)平面的法向量，
則，令有，故，
平面的法向量，
則，
又二面角所成角為銳角，
二面角所成角的余弦值為，角的大小為．
16．(1)證明見解析；.
(2)；證明見解析.
【分析】
（1）結(jié)合遞推公式利用等比數(shù)列的概念即可證明并求得通項(xiàng)公式；
（2）利用遞推公式將用得前項(xiàng)和來表示，即，進(jìn)而利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解；令，并用可得單調(diào)性，從而即可證明.
【詳解】（1）證明：由題意可知，，
所以數(shù)列是首項(xiàng)，公比為6的等比數(shù)列.
于是.
（2）由題意可知，，所以
.
又，
令，
，
所以數(shù)列單調(diào)遞增，故，即.
17．(1)
(2)
(3)分布列見解析；
【分析】
（1）利用頻率分布直方圖的頻率與頻數(shù)公式即可得解；
（2）利用頻率分布直方圖中百分位數(shù)的計(jì)算方法即可得解；
（3）先求得，再利用獨(dú)立事件的概率公式分別求得的取值對應(yīng)的概率，從而得解.
【詳解】（1）由圖可知，滿意度評分不低于60分的頻率為，
所以這100名觀影者滿意度評分不低于60分的人數(shù)為.
（2）因?yàn)椋?br>所以這100名觀影者滿意度評分的第40百分位數(shù)位于第三組，
則這100名觀影者滿意度評分的第40百分位數(shù)的估計(jì)值為.
（3）由圖可知，，同理，
而的可能取值為，
則，
，
，
所以的分布列為
故.
18．(1)
(2)
【分析】
（1）根據(jù)題意，得到關(guān)于的方程組，解之即可得解；
（2）分別聯(lián)立直線與橢圓方程、直線與直線方程，求得的坐標(biāo)，從而將所求轉(zhuǎn)化為的縱坐標(biāo)的表達(dá)式，從而得解.
【詳解】（1）依題意，設(shè)，顯然，，
則，又，即，
所以，即①，
由，得②，
聯(lián)立①②，解得，
所以橢圓的方程為，
（2）由（1）得，，
設(shè)直線的方程為，
因?yàn)辄c(diǎn)位于第一象限，所以，
聯(lián)立，整理得，
則，所以，則，
所以，
又直線的方程為，即，
所以聯(lián)立，解得，
故
，
因?yàn)?，所以，，則，
所以，
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是，將轉(zhuǎn)化為的縱坐標(biāo)的比值，從而得解.
19．(1)是，理由見解析；
(2)；
(3)證明見解析.
【分析】
（1）根據(jù)題意，利用直線的斜率與導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切點(diǎn)，再分別求切線方程驗(yàn)證即可.
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并設(shè)出切點(diǎn)，求出處的切線方程，再利用“雙重切線”的定義求出切線方程.
（3）利用“雙重切線”的定義，分別設(shè)出對應(yīng)的切點(diǎn)，分別利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到對應(yīng)切點(diǎn)之間的關(guān)系，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合零點(diǎn)存在性定理確定判的零點(diǎn)所在區(qū)間，然后借助不等式性質(zhì)推理即得.
【詳解】（1）
的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，直線的斜率為2，
令，解得，不妨設(shè)切點(diǎn)，
則點(diǎn)處的切線方程為，即，
點(diǎn)處的切線方程為，即，
所以直線是曲線的“雙重切線”.
（2）函數(shù)，求導(dǎo)得，
顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
設(shè)切點(diǎn)，則存在，使得，
則在點(diǎn)處的切線方程為，在點(diǎn)處的切線方程為，
因此，消去可得，
令，求導(dǎo)得，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，函數(shù)的零點(diǎn)為，因此，
所以曲線的“雙重切線”的方程為.
（3）設(shè)對應(yīng)的切點(diǎn)為，對應(yīng)的切點(diǎn)為，
由，得，，
由誘導(dǎo)公式及余弦函數(shù)的周期性知，只需考慮，，其中，
由及余弦函數(shù)在上遞增知，，
則，
，
因此，又，，
則，同理，
令，求導(dǎo)得，
則在上單調(diào)遞增，顯然，且，
函數(shù)在上的值域?yàn)?，即函?shù)在上存在零點(diǎn)，則有，
由，同理可得，而，因此，
于是，即有，
所以，即.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵點(diǎn)有兩個(gè)：一是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線的斜率；二是設(shè)切點(diǎn)并利用和切線方程得到之間的等式，進(jìn)而消去一個(gè)未知數(shù)，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求得方程的零點(diǎn).
0
1
2
0.08
0.44
0.48

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