1.已知數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=an?1an+3,n∈N*，則a4=( )
A. 15B. ?14C. ?511D. ?47
2.已知函數(shù)f(x)=ax2?lnx的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線y=?3x平行，則該切線的方程為( )
A. 2x+y+1=0B. 3x+y?3=0C. 3x+y?2=0D. 2x+y?1=0
3.“a3+a9=2a6”是“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的( )
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件
4.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，5S9=9a9?36，則a4=( )
A. ?2B. ?1C. 1D. 2
5.已知數(shù)列{an}首項(xiàng)為2，且an+1?an=2n+1，則an=( )
A. 2nB. 2n?1+1C. 2n?2D. 2n+1?2
6.等比數(shù)列{an}中a1=512，公比q=?12，用Πn=a1?a2…an表示它的前n項(xiàng)之積，則Π1，Π2，…，Πn中最大的是( )
A. Π11B. Π10C. Π9D. Π8
7.過(guò)原點(diǎn)的直線m，n與分別與曲線f(x)=ex，g(x)=lnx相切，則直線m，n斜率的乘積為( )
A. ?1B. 1C. eD. 1e
8.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且f′(1)=2，則Δx→0limf(1?Δx)?f(1+Δx)Δx=( )
A. ?4B. 1C. 2D. 4
二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.以下四個(gè)式子分別是函數(shù)在其定義域內(nèi)求導(dǎo)，其中正確的是( )
A. (1x)′=1x2B. (cs2x)′=?2sin2x
C. (3xln3)′=3xD. (lgx)′=?1xln10
10.等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，且q≠?1，以下結(jié)論正確的是( )
A. {an2}是等比數(shù)列
B. 數(shù)列a11+a12，a12+a13，a13+a14成等比數(shù)列
C. 若q>1，則{an}是遞增數(shù)列
D. 若q>0，則{Sn}是遞增數(shù)列
11.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn且滿足an+3SnSn?1=0(n≥2)，a1=13，下列命題中正確的是( )
A. {1Sn}是等差數(shù)列B. Sn=13n
C. an=?13n(n?1)D. {S3n}是等比數(shù)列
12.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若首項(xiàng)a1=1，且滿足an+1+an=3?2n，則下列說(shuō)法正確的是( )
A. {an+1+an}是等比數(shù)列B. {an+2n}是等比數(shù)列
C. an=2n+(?1)nD. Sn=2n+1+(?1)n?52
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13.已知{an}是公比為2的等比數(shù)列，則a1+a2a3+a4的值為_(kāi)_____．
14.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)=2xf′(e)+lnx，則f′(e)= ______．
15.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若an=(2n?1)csn2π，則S2023= ______．
16.已知直線y=kx+b是曲線y=ln(1+x)與y=2+lnx的公切線，則k+b= ．
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
17.(本小題10分)
求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
(1)f(x)=x3+6x?2x；
(2)f(x)=csxex；
(3)f(x)=(x?1)2lg2x.
18.(本小題12分)
(1)已知函數(shù)f(x)=12x2+2x?3lnx，求f′(x)>0解集；
(2)設(shè)曲線y=e2ax+1在點(diǎn)(0,e)處的切線與直線2x?ey+1=0垂直，求a的值．
19.(本小題12分)
已知等差數(shù)列{an}的公差為d，且關(guān)于x的不等式a1x2?dx?30,q=?120，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an0，
當(dāng)n=4k?2(k∈N*)或n=4k?1(k∈N*)時(shí)，Πn0，
故不等式的解集為{x|x>1}；
(2)由題可得f′(x)=2ae2ax+1，
依題意：f′(0)=2ae=?e2，
所以a=?14．
【解析】(1)由題可得f′(x)=x+2?3x(x>0)，然后解不等式即得；
(2)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可得f′(x)=2ae2ax+1，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線的位置關(guān)系即得．
本題考查一元二次不等式的求解，導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．
19.【答案】解：(1)關(guān)于x的不等式a1x2?dx?3β．
【解析】(1)根據(jù)“新駐點(diǎn)”的定義求得tanx=?1，結(jié)合x∈(0,π)可得出結(jié)果；
(2)求出α的值，利用零點(diǎn)存在定理判斷β所在的區(qū)間，進(jìn)而可得出α與β的大小關(guān)系．
本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，單調(diào)性的判斷，新定義的應(yīng)用，是中檔題．
21.【答案】解：(1)依題意，Sn=2an?n，當(dāng)n=1時(shí)，a1=2a1?1，解得a1=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=2an?n，Sn?1=2an?1?n+1，兩式相減得an=2an?2an?1?1，
因此an=2an?1+1，則an+1=2(an?1+1)，
則{an+1}是以a1+1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，有an+1=2n，顯然a1=1滿足上式，
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n?1．
(2)由(1)可知，Sn=2an?n=2n+1?2?n，因λan?Snn≤1?n，整理得：λ≤2?n22n?1，
令bn=2?n22n?1，則bn+1?bn=n22n?1?(n+1)22n+1?1=[(n?1)2?2]?2n+(2n+1)(2n+1?1)(2n?1)，
顯然b2?b10，即bn+1>bn，因此當(dāng)n≥2時(shí)，數(shù)列{bn}是遞增的，
于是得(bn)min=b2=23，依題意，λ≤2?n22n?1恒成立，即有λ≤23，
所以實(shí)數(shù)λ的最大值為23．
【解析】(1)根據(jù)給定條件，利用“當(dāng)n≥2時(shí)，Sn?Sn?1=an”探求數(shù)列{an}相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，再構(gòu)造數(shù)列求解作答．
(2)由已知結(jié)合(1)的結(jié)論分離參數(shù)，再構(gòu)造新數(shù)列，借助單調(diào)性求解作答．
本題主要考查數(shù)列與不等式的綜合，數(shù)列的遞推式，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
22.【答案】解：(1)由于a1?2?1=0，
故數(shù)列{an?2n?1}不是等比數(shù)列．
∵an+1=3an?4n，
∴an+1?2(n+1)?1=3an?4n?2(n+1)?1=3(an?2n?1)，
同理an?2n?1=3[an?1?2(n?1)?1]…a2?2×2?1=3(a1?2×1?1)=0，
迭代得an+1?2(n+1)?1=3n(a1?2×1?1)=0，即an+1=2n+3，
所以an=2n+1．
(2)bn=(2n?1)2nanan+1=(2n?1)2n(2n+1)(2n+3)=2n+12n+3?2n2n+1，
所以Sn=(2n+12n+3?2n2n+1)+(2n2n+1?2n?12n?1)?+(87?45)+(45?23)=2n+12n+3?23．
【解析】(1)由已知可得a1?2×1?1=0，可知該數(shù)列不是等比數(shù)列，利用遞推關(guān)系即可求出an；
(2)利用裂項(xiàng)相消法即可求和．
本題考查數(shù)列遞推關(guān)系以及裂項(xiàng)相消法的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．

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