2024年福建省南平市中考一模數(shù)學試題（附解析版）

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（考試時間：120分鐘；滿分：150分；考試形式：閉卷）
友情提示：
① 所有答案都必須填在答題卡相應的位置上，答在試卷上一律無效；
② 試題未要求對結果取近似值的，不得采取近似計算．
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分．每小題只有一個正確的選項，請在答題卡的相應位置填涂）
1. 下面幾何圖形中，一定是中心對稱圖形的是（ ）
A. 三角形B. 四邊形C. 正五邊形D. 圓
2. 下列事件是必然事件的是（ ）
A. 拋擲一枚硬幣四次，有兩次正面朝上B. 打開電視頻道，正在播放新聞
C. 射擊運動員射擊一次，命中十環(huán)D. 明天太陽從東邊升起
3. 下列各點中，在函數(shù)圖象上的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如圖，是由繞點順時針旋轉銳角得到，下列各角中，是旋轉角的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如圖⊙O的半徑為5，弦心距，則弦的長是（ ）
A. 8B. 6C. 4D. 5
6. 水平地面上一個小球被推開后向前滑行，滑行的距離與時間的函數(shù)關系如圖所示（圖為拋物線的一部分，其中是該拋物線的頂點），則下列說法正確的是（ ）
A. 小球滑行6秒停止B. 小球滑行12秒停止
C. 小球向前滑行速度不變D. 小球向前滑行的速度越來越大
7. 關于的一元二次方程有一個根是0，則的值為（ ）
A. 0B. 1或C. D. 1
8. 某校在社會實踐活動中，小明同學用一個直徑為的定滑輪帶動重物上升．如圖，滑輪上一點A繞點O逆時針旋轉，假設繩索（粗細不計）與滑輪之間沒有滑動，則重物上升了（ ）
A. B. C. D.
9. 如圖，線段上點滿足關系式：，且，則 的長為（ ）
A. 或B. C. D.
10. 已知拋物線上某些點橫坐標與縱坐標的對應值如下表：
有以下幾個結論：
①拋物線與軸的交點坐標是；
②拋物線的對稱軸為直線；
③關于x的方程的根為和；
④當時，的取值范圍是．
其中正確個數(shù)有（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空題（本大題共6小題，每空4分，共24分．將答案填入答題卡的相應位置）
11. 拋物線的頂點坐標是______．
12. 點關于原點的對稱點是，則的值是______．
13. 如圖，在半徑為2的圓中，圓心角為的扇形面積_____（結果保留π）．
14. 如圖是一個正方形及其內切圓，隨機地往正方形內投一粒米，落在圓內的概率為________．
15. 《九章算術》是東方數(shù)學思想之源，該書中記載：“今有勾八步，股一十五步，問勾中容圓徑幾何．”其意思為：“今有直角三角形，勾(短直角邊)長為8步，股(長直角邊)長為15步，問該直角三角形內切圓的直徑是多少步．”該問題的答案是________步．
16. 如圖，矩形中，，，的平分線交于點，為線段上一動點，點為的中點，則線段長的最大值是______．
三、解答題（本大題共9小題，共86分．解答題寫出文字說明、證明過程或演算步驟，在答題卡的相應位置作答）
17. 解方程：．
18. 在平面直角坐標系中， QUOTE 的三個頂點坐標分別為，，，是由 QUOTE 繞點順時針旋轉得到的（每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形）．
（1）畫出；
（2）直接寫出點，的坐標．
19. 在一個不透明的盒子里，裝有四個分別標有數(shù)字 1，3，4，5 的小球．它們的形狀、大小、質地等完全相同．小明先從盒子里隨機取出一個小球，記下數(shù)字為 x，放回盒子搖勻后，再由小華隨機取出一個小球，記下數(shù)字為 y．福建各地各科資料分享QQ群 235973357
（1）列出表示點的所有可能出現(xiàn)的結果；
（2）求小明、小華各取一次小球所確定的點落在一次函數(shù)的圖象上的概率．
20. 反比例函數(shù)圖象經過點，．
（1）求的值；
（2）若點在反比例函數(shù)圖象上，其中，求的取值范圍．
21. 某商家將每件進價為15元的紀念品，按每件19元出售，每日可售出28件．經市場調查發(fā)現(xiàn)，這種紀念品每件漲價1元，日銷售量會減少2件．
（1）當每件紀念品漲價多少元時，單日的利潤為154元？
（2）商家為了單日獲得的利潤最大，每件紀念品應漲價多少元？最大利潤是多少元？
22. 已知關于的一元二次方程．
（1）求證：無論為何值，此方程總有實數(shù)根；
（2）若直角三角形的一邊長為3，另兩邊長恰好是這個方程的兩根，求的值．
23. 如圖，直線與相切于點，交于點，的延長線交于點，，點在上，且不與，重合．
（1）求的大??；
（2）若，的延長線交直線于點，求證：與相切．
24. 已知點在二次函數(shù)的圖象上．
（1）求關于的函數(shù)關系式；
（2）求的最大值；
（3）設直線（為常數(shù)且）與拋物線交于點A，，與拋物線（為常數(shù)）交于點，．求證：．
25. 如圖1，點是邊上一點．，，是的外接圓，點在上（不與點，點重合），且．

（1）求證：是直角三角形；
（2）如圖2，若是⊙的直徑，且，折線是由折線繞點順時針旋轉得到．
①當時，求的面積；
②求證：點，，三點共線．
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