注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．
3.考試結(jié)束后，本試卷收回．
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 若集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化簡(jiǎn)集合A，再根據(jù)交集的定義可求得結(jié)果.
【詳解】，，
，又，
.
故選：B.
2. 已知向量，，若，則實(shí)數(shù)m等于（ ）
A B. 0C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，列式計(jì)算即得.
【詳解】向量，，則，解得，
所以實(shí)數(shù)m等于.
故選：D
3. 下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞減的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由正弦函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)判斷各函數(shù)的奇偶性、區(qū)間單調(diào)性即可.
【詳解】由定義域?yàn)镽且，易知為奇函數(shù)，
又，故在上遞減，A符合.
由在上遞增，B不符合；
由定義域?yàn)?，顯然區(qū)間不滿足定義域，C不符合；
由定義域?yàn)镽且，即為偶函數(shù)，D不符合；
故選：A
4. 設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（ ）
A. 15B. 30C. 45D. 60
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出，再根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可得解.
【詳解】由題意得，所以，
所以.
故選：C.
5. “”是“”（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)充分、必要性定義，結(jié)合不等式的推出關(guān)系判斷題設(shè)條件間的關(guān)系.
【詳解】由，則成立，充分性成立；
由，若，顯然不成立，必要性不成立；
所以 “”是“”的充分不必要條件.
故選：A
6. 已知是第三象限角，則點(diǎn)位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)角所在象限結(jié)合二倍角正弦公式即可判斷答案.
【詳解】因?yàn)槭堑谌笙藿?，故?br>則，
故在第二象限，
故選：B
7. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的a的值為17，則輸入的最小整數(shù)的值為（ ）
A. 9B. 12C. 14D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)流程框圖代數(shù)進(jìn)行計(jì)算即可，當(dāng)進(jìn)行第四次循環(huán)時(shí)發(fā)現(xiàn)輸出的值恰好滿足題意，然后停止循環(huán)求出的值.
【詳解】第一次循環(huán)，，不成立；
第二次循環(huán)，，不成立；
第三次循環(huán)，．不成立；
第四次循環(huán)，，，成立，
所以，輸入的最小整數(shù)t的值為9．
故選：A
8. 已知命題p：在中，若，則；q：若，則，則下列命題為真命題的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)條件分別判斷命題，命題的真假，然后結(jié)合復(fù)合命題的真假關(guān)系進(jìn)行判斷即可.
【詳解】命題p：在中，若，由正弦定理得，所以，為真命題，
當(dāng)，對(duì)于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以命題q：若，則，為真命題，
所以為真命題，假命題，假命題，假命題，
故選：A.
9. 函數(shù)y＝ (其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的大致圖像是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】方法一：排除法，根據(jù)函數(shù)值的特點(diǎn)，排除即可；
方法二：根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.
【詳解】方法一：排除法：當(dāng)時(shí)，，排除C，
當(dāng)時(shí)，恒成立，排除A、D，
故選B.
方法二：，
由，可得，令，可得或，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以只有B符合條件，
故選B
【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)函數(shù)圖象的識(shí)別問(wèn)題，注意在識(shí)別函數(shù)圖象的過(guò)程中，可以從函數(shù)的定義域，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)圖象的對(duì)稱性，函數(shù)圖象所過(guò)的特殊點(diǎn)以及函數(shù)值的符號(hào)等方面來(lái)確定.
10. 純電動(dòng)汽車(chē)是以車(chē)載電源為動(dòng)力，用電機(jī)驅(qū)動(dòng)車(chē)輪行駛，符合道路交通?安全法規(guī)各項(xiàng)要求的車(chē)輛，它使用存儲(chǔ)在電池中的電來(lái)發(fā)動(dòng)．因其對(duì)環(huán)境影響較小，逐漸成為當(dāng)今世界的乘用車(chē)的發(fā)展方向．研究發(fā)現(xiàn)電池的容量隨放電電流的大小而改變，1898年P(guān)eukert提出鉛酸電池的容量C、放電時(shí)間t和放電電流I之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式：，其中為與蓄電池結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)（稱為Peukert常數(shù)），在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流為時(shí)，放電時(shí)間為；當(dāng)放電電流為時(shí)，放電時(shí)間為，則該蓄電池的Peukert常數(shù)約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：，）
A. 0.82B. 1.15C. 3.87D. 5.5
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得，再結(jié)合對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化及對(duì)數(shù)運(yùn)算即可求解.
【詳解】根據(jù)題意可得，兩式相除可得，
所以，可得.
故選：B.
11. 已知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【詳解】由題意可得,，
，
，．故A正確．
考點(diǎn)：三角函數(shù)單調(diào)性．
12. 設(shè)函數(shù)，直線是曲線的切線，則的最小值為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先設(shè)切點(diǎn)寫(xiě)出切線方程，再求的解析式，最后通過(guò)求導(dǎo)判斷單調(diào)性求出最小值.
【詳解】令的切點(diǎn)為，因?yàn)椋?br>所以過(guò)切點(diǎn)的切線方程為，
即，所以，
所以，
令，則，
所以當(dāng)時(shí)恒成立，此時(shí)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)恒成立，此時(shí)單調(diào)遞增，
所以，所以，
故選：C
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知，則__________.
【答案】##
【解析】
【分析】對(duì)已知式子利用三角函數(shù)恒等變換公式化簡(jiǎn)變形可得答案.
【詳解】由，得
，
，
所以，
所以，
故答案為：
14. 等比數(shù)列中，，，則___________．
【答案】108
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，求得，繼而根據(jù)求得答案.
【詳解】由題意等比數(shù)列中，，，
設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則，
故，
故答案為：108
15. 如圖，在中，，P為CD上一點(diǎn)，且滿足，則m的值為_(kāi)__________．
【答案】
【解析】
【分析】改為向量的終點(diǎn)在同一直線上，再利用共線定理的推論即可得到參數(shù)的方程，解之即可.
【詳解】因?yàn)?，即?br>所以
又
所以，解得.
故答案為：.
16. 已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，對(duì)任意，都有成立，當(dāng)，且時(shí)，都有，有下列命題：
①； ②函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱；
③函數(shù)在上有5個(gè)零點(diǎn)；④函數(shù)在上為減函數(shù)．
則以上結(jié)論正確的是___________．
【答案】①②
【解析】
【分析】由題意分析的對(duì)稱性 、單調(diào)性、周期性，對(duì)結(jié)論逐一判斷.
【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)是上的奇函數(shù)，則；
由得，即
所以是函數(shù)的一條對(duì)稱軸；
又由為奇函數(shù)，則，
變形可得，則有，
故函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，
當(dāng)，且時(shí)，都有，
則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，又由是上的奇函數(shù)，
則在區(qū)間上單調(diào)遞增；
據(jù)此分析選項(xiàng)：
對(duì)于①，，則，
，故①正確；
對(duì)于②，是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，且函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，則是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，又由函數(shù)為奇函數(shù)，則直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，故②正確；
對(duì)于③，函數(shù)在上有7個(gè)零點(diǎn)：分別為，，，0，2，4，6，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，在區(qū)間上為增函數(shù)且其周期為4，函數(shù)在上為增函數(shù)，故④錯(cuò)誤；
故答案為：①②．
三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．
（一）必考題：共60分．
17. 設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列，，成等比數(shù)列．
（1）求的通項(xiàng)公式：
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)的公差為，然后根據(jù)已知條件列方程可求出，從而可求出通項(xiàng)公式，
（2）由（1）得，再利用裂項(xiàng)相消法可求得結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)的公差為，
因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以
又因?yàn)?，所以，所以?br>因?yàn)?，所以，所以，得?br>故．
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)椋?br>所以
．
18. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象求出，，進(jìn)而得出.根據(jù)“五點(diǎn)法”，即可求出的值；
（2）先求出，根據(jù)已知得出.結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，解，即可得出答案.
【小問(wèn)1詳解】
由圖易知，，
所以，．
易知，故函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
所以．
又 ，∴．
∴．
【小問(wèn)2詳解】
由題意，易知，
因?yàn)闀r(shí)，所以.
解可得，，
此時(shí)單調(diào)遞減，
故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.
19. 記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）已知，，邊BC上有一點(diǎn)D滿足，求AD．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式，結(jié)合正弦定理、正弦的二倍角公式進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合余弦定理進(jìn)行求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
∵，由正弦定理，有，
即，
又，即有，，
，，所以，，故．
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)，，由（1）知，
在△ABC中，由余弦定理，可知
，∴
又，可知，
在△ABD中，，
即，①
在△ACD中，，
即，②
聯(lián)立①②解得.
20. 已知函數(shù)f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－與x＝1時(shí)都取得極值
（1）求a、b的值與函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間
（2）若對(duì)，不等式恒成立，求c的取值范圍.
【答案】（1），單調(diào)遞增區(qū)間為和 ，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）或
【解析】
【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，由題可得即可求出；
（2）求出在的最大值即可建立關(guān)系求解.
【詳解】（1），，
在與時(shí)都取得極值，
，解得，
，
令可解得或；令可解得，
的單調(diào)遞增區(qū)間為和 ，單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2），
由（1）可得當(dāng)時(shí)，為極大值，而，
所以，
要使對(duì)恒成立，則，解得或.
21. 已知函數(shù)，．
（1）若在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若，存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：．
【答案】（1）
（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）由題意可得在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求出其最小值，
（2）由（1）知：，滿足，，不妨設(shè)，則，則，所以只需證成立，構(gòu)造函數(shù)，利用求出其出其最大值小于零即可.
【小問(wèn)1詳解】
∵，又在區(qū)間上單調(diào)遞減，
∴在上恒成立，即在上恒成立，
∴在上恒成立；
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，∴單調(diào)遞增，
∴，
∴，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是．
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知：，滿足．
∴，不妨設(shè)，則．
∴，
則要證，即證，
即證，也即證成立．
設(shè)函數(shù)，則，
∴在單調(diào)遞減，又．
∴當(dāng)時(shí)，，
∴，即.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，解（2）問(wèn)解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最值即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.
（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題記分．
[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
22. 在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.
（1）寫(xiě)出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，求的最小值以及此時(shí)的直角坐標(biāo).
【答案】（1）：，：；（2），此時(shí).
【解析】
【詳解】試題分析：（1）的普通方程為，的直角坐標(biāo)方程為；（2）由題意，可設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為到的距離
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，此時(shí)的直角坐標(biāo)為.
試題解析： （1）普通方程為，的直角坐標(biāo)方程為.
（2）由題意，可設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，因?yàn)槭侵本€，所以的最小值即為到的距離的最小值，.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，此時(shí)的直角坐標(biāo)為.
考點(diǎn)：坐標(biāo)系與參數(shù)方程.
【方法點(diǎn)睛】參數(shù)方程與普通方程的互化：把參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征，選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒?，常?jiàn)的消參方法有：代入消參法；加減消參法；平方和（差）消參法；乘法消參法；混合消參法等．把曲線的普通方程化為參數(shù)方程的關(guān)鍵：一是適當(dāng)選取參數(shù)；二是確?；セ昂蠓匠痰牡葍r(jià)性．注意方程中的參數(shù)的變化范圍．
[選修4-5：不等式選講]
23.
已知函數(shù).
（1）求不等式的解集；
（2）若關(guān)于的不等式在上無(wú)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）; （2）.
【解析】
【詳解】試題分析：（1）將的表達(dá)式以分段函數(shù)的形式寫(xiě)出，將原題轉(zhuǎn)化為求不等式組的問(wèn)題，最后對(duì)各個(gè)解集求并集得出原不等式的解集；
（2）在上無(wú)解相當(dāng)于，從而得到關(guān)于的一元二次不等式，解得的范圍.
試題解析：
（1）由題意得.
則原不等式轉(zhuǎn)化為或或.
原不等式的解集為.
（2）由題得，
由（1）知，在上的最大值為，即，
解得或，即的取值范圍為.

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四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期零診考試數(shù)學(xué)（文科）試題

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