九年級(jí)數(shù)學(xué)試卷
（考試時(shí)間120分鐘，試卷滿分120分）
一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的）
1．下列圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2．一元二次方程的根的情況（ ）
A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根D．無(wú)法確定
3．如圖，在中，，，，，則AE的長(zhǎng)為（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為（ ）
A．B．C．D．
5．如圖，把繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)某個(gè)角度得到，，，則旋轉(zhuǎn)角度數(shù)為（ ）
A．70°B．55°C．40°D．30°
6．已知，二次函數(shù)的圖象如圖所示，則點(diǎn)所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
7．如圖，某零件的外徑為10cm，用一個(gè)交叉卡鉗（兩條尺長(zhǎng)AC和BD相等）可測(cè)量零件的內(nèi)孔直徑AB，如果，且量得，則零件的厚度x為（ ）
A．0.3B．0.5
C．0.7D．1
8．甲、乙兩地相距約75km，一輛汽車(chē)由甲地向乙地勻速行駛，所用時(shí)間與行駛速度之間的函數(shù)圖象大致是（ ）
A．B．C．D．
9．已知二次函數(shù)，當(dāng)函數(shù)值y隨x值的增大而增大時(shí)，x的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
10．如圖，點(diǎn)A，B，C，D在上，，點(diǎn)B是弧AC的中點(diǎn)，則的度數(shù)是（ ）
A．66°B．35.5°C．33°D．24°
二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）
11．小涵同學(xué)家開(kāi)了一家超市，9月份盈利5000元，11月份盈利達(dá)到7200元，每月盈利的平均增長(zhǎng)率都相同，設(shè)每月盈利的平均增長(zhǎng)率為x，則可列方程為_(kāi)_____．
12．已知圓弧所在圓的半徑為3，它所對(duì)的圓心角為30°，這條弧的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
13．如圖，拋物線與x軸相交于、兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在拋物線上，當(dāng)軸時(shí)，CD的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)A在第二象限，頂點(diǎn)B恰好在x軸正半軸上，AB與y軸交于點(diǎn)E，A，C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，若菱形ABCD的面積為4，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，則k的值為_(kāi)_____．
15．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)兩點(diǎn)分別在邊BC，AB上，連接DE，DF，EF，且，過(guò)A作，垂足為G，延長(zhǎng)GA與EF延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，連接DH，若，，則DH的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
三、計(jì)算題（共10分）
16．用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋款}5分，共10分）
（1）（2）
四、解答題（共8分）
17．如圖，在中，，在中，，B，C，D三點(diǎn)在同一直線上，且點(diǎn)C為BD的中點(diǎn)，若，垂足為F，，，求BD的長(zhǎng)．
五、解答題（18-20題每小題8分，21題9分，22-23題每小題12分，共57分）
18．如圖，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，點(diǎn)E恰好落在BC邊上，連接BD，若，，，求的面積．
19．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于和兩點(diǎn)，一次函數(shù)圖象分別與x軸，y軸交于E，D兩點(diǎn)，過(guò)A作軸，垂足為C，連接OB．
（1）求一次函數(shù)解析式和反比例函數(shù)解析式；
（2）點(diǎn)P為反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
20．如圖，在中，四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，過(guò)D作交BC延長(zhǎng)線于E，．
（1）求證：DE為切線；
（2）若，，求的半徑長(zhǎng)．
21．某廣場(chǎng)計(jì)劃修建一個(gè)小型噴泉，水流從垂直于地面的水管OA噴出，水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落到地面上（水流噴出的高度y（米）與水平距離x（米）之間近似滿足二次函數(shù)關(guān)系），以水管下端點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，某方向上拋物線路徑的形狀如圖所示．
（1）經(jīng)實(shí)驗(yàn)測(cè)量發(fā)現(xiàn)：當(dāng)OA長(zhǎng)為2米時(shí)，水流所形成的拋物線路徑的最高點(diǎn)距地面3米，距OA所在直線1米，求拋物線的解析式；
（2）計(jì)劃在小型噴泉周?chē)ㄒ粋€(gè)半徑為米的圓形水池，在不改變拋物線路徑形狀的情況下，僅改變水管OA出水口點(diǎn)A的高度，以保證水流的落地點(diǎn)B不會(huì)超出水池邊緣，則水管OA最多可以設(shè)計(jì)為幾米？
23．【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】
數(shù)學(xué)小組在活動(dòng)中，研究了一道有關(guān)相似三角形的問(wèn)題：
例：如圖1，在中，點(diǎn)D是射線AC上一點(diǎn)，連接BD，若，求證．
解：∵，，
∴，
∴，
∴．
小睿同學(xué)經(jīng)過(guò)分析、思考后，將這個(gè)三角形放在平面直角坐標(biāo)系中，發(fā)現(xiàn)了一些規(guī)律．
【提出問(wèn)題】
如圖2，點(diǎn)B恰好與點(diǎn)重合，BA邊在x軸上，若點(diǎn)D的縱坐標(biāo)始終為，，那么隨著B(niǎo)A的變化，點(diǎn)C的位置發(fā)生變化；小睿同學(xué)通過(guò)描點(diǎn)、觀察，提出猜想；按此方式描出的若干個(gè)點(diǎn)C都在某二次函數(shù)圖象上．
【分析問(wèn)題】
（1）當(dāng)時(shí)，若，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_____．
【解決問(wèn)題】
（2）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)幫助小睿同學(xué)證明他的猜想．
【深度思考】
（3）點(diǎn)C的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，n的最大值為，最小值為，且，求此時(shí)t的值．（規(guī)定：當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合時(shí)，依然滿足）
22．（1）數(shù)學(xué)張老師在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上出示了一道探究題：
如圖，在和中，，，B，C，E三點(diǎn)在同一直線上，A，D兩點(diǎn)在BE同側(cè)，若，求證：．
張老師分別從問(wèn)題的條件和結(jié)論出發(fā)分析這道探究題：
①如圖1，從條件出發(fā)：過(guò)A作交BE于M，過(guò)D作交BE于N，依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)“三線合一”分析BM與BN之間的關(guān)系，可證得結(jié)論；
②如圖2，從結(jié)論出發(fā)：過(guò)D作交BE于P，依據(jù)三角形全等的判定，證明，可證得結(jié)論；
請(qǐng)你運(yùn)用其中一種方法，解決上述問(wèn)題．
（2）小明同學(xué)經(jīng)過(guò)對(duì)探究題及張老師分析方法的思考，提出以下問(wèn)題：
如圖3，在中，，在中，，B，C，E三點(diǎn)在同一直線上，A，D兩點(diǎn)在BE同側(cè)，且A，D，E三點(diǎn)在同一直線上，若，，的面積為7，求BE的長(zhǎng)．
（3）在小明同學(xué)的問(wèn)題得到解決后，張老師針對(duì)之前的解題思路提出了下面問(wèn)題：
如圖4，在四邊形ABCD中，，，點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，連接AE，若，，，求CD的長(zhǎng)．
2023—2024學(xué)年第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)
九年數(shù)學(xué)答案及給分標(biāo)準(zhǔn)
一、選擇題：ABADDBBCBC
二、填空題：11、 12、 13、2 14、3 15、
三、解答題：
16、（1）
解：
，
（2）
解：
，
17、證明：∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵C為BD中點(diǎn)
∴
設(shè)，
∵，
∴
∴
∴
18、證明：由旋轉(zhuǎn)，得：
∴，
∴，
∴為等邊三角形
∴
∴
∵
在中
∴
19、解：（1）反比例函數(shù)的圖象上
，
∴
∵在反比例函數(shù)圖象上
∴
∴
∴和兩點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上
∴
∴
∴
（2）過(guò)P作軸交于N，過(guò)B作軸交于M
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
∴，
∴，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴P的縱坐標(biāo)為2或
∴當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
∴，
20、解：（1）連接OD
∵四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵OD為半徑
∴DE為切線
（2）連接BD，延長(zhǎng)AD與BE延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N
∵AB為直徑
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
21、解：（1）由題意，得：拋物線頂點(diǎn)為
∵
∴
設(shè)拋物線解析式為
∴
∴
∴
（2）∵拋物線平移后的形狀不變，對(duì)稱軸不變，對(duì)稱軸為直線
∴設(shè)平移后的拋物線為
∴由題意：得：拋物線過(guò)點(diǎn)
∴
∴
∴
當(dāng)時(shí)，
∴此時(shí)點(diǎn)A坐標(biāo)為
∴水管OA最多可以設(shè)計(jì)為米
22、解：（1）解法1：∵，
又∵，
∴，
∴
∵
∴
∴
∴四邊形AMND為矩形
∴
∴
解法2：∵，
∴四邊形ACPD為平行四邊形
∴，
∵
∴
∵，
∴，，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
（2）過(guò)A作交于M，過(guò)D作交于N
過(guò)D作交AM于P
∵，
又∵，
∴，
∴
∵
∴，
∴，
∴
∴
在中
∴
∴
∵
∴四邊形PMND為矩形
∴
∴
設(shè)，則
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
解，得：，不合題意，舍去
∴
∴
（3）延長(zhǎng)AB與DC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，過(guò)A作交于G
過(guò)B作交于H
∵
∴
∵
∴
∴，
∵，
∴，
∵點(diǎn)E為CD中點(diǎn)
∴
∵
∴
∵
∴
設(shè)，則
∵
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
在和中
∴
∴
∴
23、解：（1）
（2）設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為
當(dāng)A在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，
當(dāng)A在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，
∵，
又∵
∴當(dāng)A在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，
當(dāng)A在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，
綜上所述
點(diǎn)C在二次函數(shù)的圖象上
（3）由題意，得：
，，或，
∴
∵
∴
∴二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上
對(duì)稱軸為直線
①當(dāng)：時(shí)
當(dāng)時(shí)
n隨m增大而增大
∴當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
∵
∴
②當(dāng)時(shí)，即時(shí)
當(dāng)時(shí)
n隨m增大而減小
∴當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
∵
∴
③當(dāng)，時(shí)，即時(shí)
∴當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
∵
∴
，
都不合題意，舍去
④當(dāng)，時(shí)，即時(shí)
∴當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
∵，
∴
，
都不合題意，舍去
綜上所述：或

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