1.下列四組線段中，能作為直角三角形三條邊的是( )
A. 3，4，5B. 6，8，11C. 1，2， 2D. 5，12，15
2.矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是( )
A. 對角線相等B. 對角線互相平分C. 對邊平行D. 對角相等
3.下列命題正確的是．( )
A. 一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形
B. 對角線相等的四邊形是矩形
C. 有一組鄰邊相等的四邊形是菱形
D. 有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形
4.如圖，在平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAD，交CD邊于E，BF平分∠ABC，交CD邊于F，AD=8，AB=10，則EF的長為( )
A. 2B. 4C. 5D. 6
5.如圖，矩形ABCD沿對角線BD折疊，已知長BC=8cm，寬AB=6cm，那么折疊后重合部分的面積是
( )
A. 48cm2B. 24cm2C. 18.75cm2D. 18cm2
6.在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，且∠AOD=120°.若AB=3，則BC的長為
( )
A. 3B. 3C. 3 3D. 6
7.有一塊草坪如圖所示，測量了草坪各邊得：AB=3米，BC=4米，AD=12米，CD=13米，且AB⊥CB.請同學(xué)們計(jì)算一下這塊草坪的面積
( )
A. 24m2B. 36m2C. 48m2D. 60m2
8.如圖、在Rt?ABC中，分別以這個(gè)三角形的三邊為邊長向外側(cè)作正方形、面積分別記為S1，S2，S3.若S1+S2?S3=18.則圖中陰影部分的面積為
( )
A. 6B. 92C. 5D. 72
9.如圖，∠MON=90°，長方形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM，ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=4，BC=1，運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離為
( )
A. 2+1B. 5+2C. 1455D. 2
10.如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊CD、AD上的點(diǎn)，且CE=DF，AE、BF相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論：
(1)AE=BF；(2)AE⊥BF；(3)AO=OE；(4)SΔAOB=S四邊形DEOF中正確的有
( )
A. 4個(gè)B. 3個(gè)C. 2個(gè)D. 1個(gè)
二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。
11.在?ABCD中，AB:BC=3:5，它的周長是32，則BC= ．
12.已知菱形的兩條對角線長分別為3和4，則菱形的面積為 ．
13.如圖，已知Rt?ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，CD=3cm，則AB= cm．
14.如圖，四邊形ABCD是一個(gè)正方形，E是BC延長線上一點(diǎn)，且AC=EC，則∠DAE的度數(shù)為 ．
15.如圖，矩形ABCD 的 對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OE⊥AC交AD于點(diǎn)E，若AB=6，BC=8，則AE= ．
16.如圖，在菱形ABCD中，∠B=45°，BC= 2，E，F(xiàn)分別是邊CD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE，EF，G，H分別為AE，EF的中點(diǎn)，連接GH，則GH的最小值為 ．
17.如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC，AD=6cm，BC=12cm，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，EC=7，點(diǎn)P從A出發(fā)以1cm/s的速度向D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從C出發(fā)以2cm/s的速度向B運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，以A、P、Q、E四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則t的值是 ．
18.如圖，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=8，E，F(xiàn)分別是邊BC和對角線BD上的點(diǎn)，且BE=DF，則AE+AF的最小值為 ．
三、解答題：本題共8小題，共64分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
19.(本小題8分)
如圖，?ABCD 的 對角線AC,BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AO,BO的中點(diǎn)，若AC+BD=24cm，?OAB的周長是18cm，求線段EF的長度．
20.(本小題8分)
如圖，在△ABC中，AB=6，AC=10，AD是BC邊上的中線，且AD=4，延長AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接CE．
(1)求證：△AEC是直角三角形．
(2)求BC邊的長．
21.(本小題8分)
如圖，在?OAB中，∠1=∠2.延長AO至點(diǎn)C，且AO=CO，延長BO至點(diǎn)D，且BO=DO，順次連接BC,CD,DA得到四邊形ABCD．
(1)補(bǔ)全圖形；
(2)所得四邊形ABCD為____(從①矩形；②菱形；③正方形中選擇，只填寫序號(hào)即可)，請說明理由．
22.(本小題8分)
如圖，在矩形ABCD中，對角線BD的垂直平分線MN與AD相交于點(diǎn)M，與BD相交于點(diǎn)O，與BC相交于點(diǎn)N，連接BM、DN．
(1)求證：四邊形BMDN是菱形；
(2)若AB=4，AD=8，求MD的長．
23.(本小題8分)
如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，延長CD到E，使DE=CD，連接AE，OE．
(1)求證：四邊形ABDE是平行四邊形；
(2)若AD=DE=4，求OE的長．
24.(本小題8分)
一款名為超級瑪麗的游戲中，瑪麗到達(dá)一個(gè)高為10米的高臺(tái)A后，利用旗桿頂部的繩索，劃過90°到達(dá)與高臺(tái)A水平距離為17米，高為3米的矮臺(tái)B．
(1)求旗桿的高度OM；
(2)瑪麗在蕩繩索過程中離地面的最低點(diǎn)的高度MN．
25.(本小題8分)
小明在學(xué)完了平行四邊形這個(gè)章節(jié)后，想對“四邊形的 不穩(wěn)定性”和“四邊形的判定”有更好的理解，做了如下的探究：他將8個(gè)木棍和一些釘子組成了一個(gè)正方形ABCD和平行四邊形HEFG(如圖1)，且BC，EF在一條直線上，點(diǎn)D落在邊HE上．經(jīng)小明測量，發(fā)現(xiàn)此時(shí)B、D、G三個(gè)點(diǎn)在一條直線上，∠F=67.5°，DG=2．
(1)求HG的長度；
(2)設(shè)BC的長度為a，CE=________(用含a的代數(shù)式表示)；
(3)小明接著探究，在保證BC，EF位置不變的前提條件下，從點(diǎn)A向右推動(dòng)正方形，直到四邊形EFGH剛好變?yōu)榫匦螘r(shí)停止推動(dòng)(如圖2).若此時(shí)DE2=8( 2?1)，求BF的長度．
26.(本小題8分)
已知正方形ABCD，點(diǎn)F是射線DC上一動(dòng)點(diǎn)(不與C，D重合).連接AF并延長交直線BC于點(diǎn)E，交BD于H，連接CH，過點(diǎn)C作CG⊥HC交AE于點(diǎn)G．
(1)若點(diǎn)F在邊CD上，如圖1．
①證明：∠DAH=∠DCH；
②猜想：△GFC的形狀并說明理由．
(2)取DF中點(diǎn)M，連接MG.若MG=2.5，正方形邊長為4，求BE 的 長．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】由勾股定理的逆定理，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可．
【詳解】解：A、∵32+42=52，∴能作為直角三角形三條邊；
B、∵62+82≠112，∴不能作為直角三角形三條邊；
C、∵12+( 2)2≠22，∴不能作為直角三角形三條邊；
D、∵52+122≠152，∴不能作為直角三角形三條邊．
故選：A．
2.【答案】A
【解析】【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，由矩形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)即可得出結(jié)論，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：矩形的性質(zhì)：對邊平行且相等；對角線互相平分且相等；四個(gè)角都相等；
平行四邊形的性質(zhì)：對邊平行且相等；對角線互相平分；兩組對角相等；
故矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是對角線相等，
故選：A．
3.【答案】D
【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法對A進(jìn)行判斷；根據(jù)矩形的判定方法對B進(jìn)行判斷；根據(jù)菱形的判定方法對C進(jìn)行判斷；根據(jù)正方形的判定方法對D進(jìn)行判斷．
【詳解】A、一組對邊平行且相等的 四邊形是平行四邊形，所以A選項(xiàng)為假命題；
B、對角線相等的平行四邊形是矩形，所以B選項(xiàng)為假命題；
C、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，所以C選項(xiàng)為假命題；
D、有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形，所以D選項(xiàng)為真命題．
故選：D．
4.【答案】D
【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識(shí)先由平行四邊形的性質(zhì)得AB//CD，CD=AB=10，再證DE=AD=8，同理可得：CF=BC=8，即可求解．
【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB//CD，CD=AB=10，
∴∠DEA=∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∴∠DAE=∠DEA，
∴DE=AD=8，
同理可得：CF=BC=8，
∴EF=DE+CF?DC=8+8?10=6，
故選：D．
5.【答案】C
【解析】【分析】由矩形的性質(zhì)易得DE=BE，那么可用DE表示出C′E，利用Rt?C′DE的三邊關(guān)系即可求得DE長，然后三角形面積公式求解即可．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD//CB，
∴∠ADB=∠DBC，
∵∠C′BD=∠DBC
∴∠ADB=∠EBD，
∴DE=BE，
∴C′E=8?DE，
∵C′D=AB=6，
∴62+8?DE2=DE2，
∴DE=254，
∴S?BDE=12DE×CD=18.75cm2．
故選：C．
6.【答案】C
【解析】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和等邊三角形的判定和性質(zhì)，可以得到AC的長，再根據(jù)勾股定理，即可得到BC的長，本題得以解決．
【詳解】解：∵∠AOD=120°，∠AOD+∠AOB=180°，
∴∠AOB=60°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC，∠ABC=90°，
∴△AOB是等邊三角形，
∴AB=OA=OC，
∵AB=3，
∴AC=6，
∴BC= 62?32=3 3，
故選：C．
7.【答案】B
【解析】【分析】本題主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．正確做出輔助線、構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵數(shù)．
如圖：連接AC，根據(jù)勾股定理可求得AC，再根據(jù)勾股定理的逆定理判定?ACD是直角三角形，最后根據(jù)這塊草坪的面積等于兩個(gè)直角三角形的面積之和即可解答．
【詳解】解：連接AC，如圖，
∵AB⊥CB，
∴∠ABC=90°，
∵AB=3米，BC=4米，
∴AC=5米，
∵AD=12米，CD=13米，
∴AC2+AD2=CD2，
∴?ACD為直角三角形，
∴這塊草坪的面積=S?ABC+S?ACD=3×4÷2+5×12÷2=6+30=36m2．
故選：B．
8.【答案】B
【解析】【分析】本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是由勾股定理得出S2?S3=S1是解題的關(guān)鍵．由勾股定理得出S2?S3=S1，再根據(jù)S1+S2?S3=18可得出S1的值，即可求解．
【詳解】解：由勾股定理得：BC2?AC2=AB2，
即S2?S3=S1，
∵S1+S2?S3=18，
∴S1=9，
由圖形可知，陰影部分的面積為12S1，
∴陰影部分的面積為92，
故選：B．
9.【答案】B
【解析】【分析】取AB的中點(diǎn)E，連接OE、DE、OD，根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊可知當(dāng)O、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)D到點(diǎn)O的距離最大，再根據(jù)勾股定理列式求出DE的長，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出OE的長，兩者相加即可得解．
【詳解】解：如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接OE、DE、OD，
∵ODBC，BA≠BE，而BO⊥AE，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到OA≠OE；最后根據(jù)△ABF≌△DAE得S△ABF=S△DAE，則S△ABF?S△AOF=S△DAE?S△AOF，即S△AOB=S四邊形DEOF．
【詳解】解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，
而CE=DF，
∴AF=DE，
在△ABF和△DAE中
AB=DA∠BAD=∠ADEAF=DE
∴△ABF≌△DAE，
∴AE=BF，所以(1)正確；
∴∠ABF=∠EAD，
而∠EAD+∠EAB=90°，
∴∠ABF+∠EAB=90°，
∴∠AOB=90°，
∴AE⊥BF，所以(2)正確；
連接BE，
∵BE>BC，
∴BA≠BE，
而BO⊥AE，
∴OA≠OE，所以(3)錯(cuò)誤；
∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF=S△DAE，
∴S△ABF?S△AOF=S△DAE?S△AOF，
∴S△AOB=S四邊形DEOF，所以(4)正確．
故選：B．
11.【答案】10
【解析】【分析】設(shè)AB=3x,BC=5x，然后根據(jù)周長等于32列方程．
【詳解】解：設(shè)AB=3x,BC=5x
由題意得，23x+5x=32解得x=2
所以BC=10．
故答案為10．
12.【答案】6
【解析】【分析】根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．
【詳解】解：∵菱形的兩條對角線長分別為3和4，
∴菱形的面積為12×3×4=6
故答案為：6
13.【答案】6
【解析】【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊長的一半進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵Rt?ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，CD=3cm，
∴AB=2CD=6cm，
故答案為：6．
14.【答案】22.5°
【解析】【分析】由四邊形ABCD是一個(gè)正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得∠ACB=45°，又由AC=EC，根據(jù)等邊對等角，可得∠E=∠CAE，繼而根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和求得∠EAC的度數(shù)，進(jìn)一步即可求得∠DAE的度數(shù)．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45°，
∴∠ACE=180°?45°=135°，
又∵AC=CE，
∴∠CAE=∠CEA=12×180°?135°=22.5°，
則∠DAE=∠DAC?∠CAE=45°?22.5°=22.5°．
故答案為：22.5°
15.【答案】254
【解析】【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合、熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．連接CE，由矩形的性質(zhì)可得∠CDE=90°，AD=BC=8，AB=DC=6，AO=OC，由OE⊥AC，AO=OC，可知OE垂直平分AC，則可得AE=CE；設(shè)DE=x，則AE=CE=8?x，在Rt△CDE中，由勾股定理得關(guān)于x的方程，求解即可．
【詳解】解：連接CE，如圖：
在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，
∴∠CDE=90°，AD=BC=8，AB=DC=6，AO=OC，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
設(shè)DE=x，則AE=CE=8?x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：DE2+DC2=CE2，
∴x2+62=8?x2，
解得：x=254．
故答案為：254．
16.【答案】12
【解析】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、垂線段最短等知識(shí)．連接AF，利用三角形中位線定理，可知GH=12AF，求出AF的最小值即可解決問題．
【詳解】連接AF，如圖所示：

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC= 2，
∵G，H分別為AE，EF的中點(diǎn)，
∴GH是?AEF的中位線，
∴GH=12AF，
當(dāng)AF⊥BC時(shí)，AF最小，GH得到最小值，
則∠AFB=90°，
∵∠B=45°，
∴?ABF是等腰直角三角形，
∴AF= 22AB= 22× 2=1，
∴GH=12，
即GH的最小值為12，
故答案為：12．
17.【答案】73
【解析】【分析】分兩種情形列出方程即可解決問題．
【詳解】解：①當(dāng)點(diǎn)Q在線段CE上，AP=QE時(shí)，以A、P、Q、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
則有t=7?2t，解得t=73；
②當(dāng)Q在線段BE上，AP=QE時(shí)，以A、P、Q、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
則有t=2t?7，解得t=7>6(不合題意舍去)，
綜上所述，t=73時(shí)，以A、P、Q、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
故答案為：73．
18.【答案】8 2
【解析】【分析】如圖，BC的下方作∠CBT=30°，使得BT=AD，連接ET，AT.證明ΔADF?ΔTBESAS，推出AF=ET，AE+AF=AE+ET，根據(jù)AE+ET≥AT求解即可．
【詳解】解：如圖，BC的下方作∠CBT=30°，使得BT=AD，連接ET，AT．
∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴∠ADC=∠ABC=60°，∠ADF=12∠ADC=30°，
∵AD=BT，∠ADF=∠TBE=30°，DF=BE，
∴ΔADF?ΔTBESAS，
∴AF=ET，
，AB=AD=BT=2，
∴AT= AB2+BT2= 82+82=8 2，
∴AE+AF=AE+ET，
∵AE+ET≥AT，
∴AE+AF≥8 2，
∴AE+AF的最小值為8 2，
故答案為8 2．
19.【答案】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC,OB=OD．
∵AC+BD=24厘米，
∴OA+OB=12厘米．
∵?OAB的周長是18厘米，
∴AB=6厘米．
∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AO,BO的中點(diǎn)，
∴EF是?OAB的中位線．
∴EF=12AB=3厘米．

【解析】【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握三角形的中位線的性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得OA=OC,OB=OD，進(jìn)而得到OA+OB=12，再根據(jù)三角形的周長可得AB=6厘米，最后根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)即可解答．
20.【答案】(1)∵AD是BC邊上的中線
∴BD=CD
又∵DE=AD，∠ADB=∠CDE
∴△ABD≌△ECD，
∴EC=AB=6，
∵AE=8，AC=10
∴△AEC中，AE2+EC2=AC2
∴△AEC是直角三角形．
(2)在Rt△CDE中，CD2=CE2+DE2=62+42=52
∴CD=2 13
∴BC=2CD=4 13．

【解析】【分析】(1)首先證明△ABD≌△ECD，推出EC=AB=6，由AE2+EC2=AC2，推出△AEC是直角三角形．
(2)在Rt△CDE中，求出CD，根據(jù)BC=2CD即可解決問題．
21.【答案】解：(1)
如圖，四邊形ABCD即為所求．
(2)
結(jié)論：四邊形ABCD是矩形．
理由：∵∠1=∠2，
∴OA=OB，
∵OA=OC,OB=OD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AC=2OA,BD=2OB,OA=OB，
∴AC=BD，
∴四邊形ABCD是矩形(對角線相等的平行四邊形是矩形)

【解析】【分析】本題考查了矩形的判定；
(1)根據(jù)題意作圖即可；
(2)根據(jù)矩形的判定即可得到四邊形ABCD是矩形．
22.【答案】解：(1)
∵四邊形ABCD是矩形
∴AD//BC，∠A=90°，
∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，
∵在?DMO和?BNO中
∠MDO=∠NBOBO=DO∠MOD=∠NOB
∴?DMO≌?BNO(ASA)，
∴OM=ON，
∵OB=OD，
∴四邊形BMDN是平行四邊形，
∵M(jìn)N⊥BD，
∴平行四邊形BMDN是菱形；
(2)
∵四邊形BMDN是菱形，
∴MB=MD，
設(shè)MD長為x，則MB=DM=x，
在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2
即x2=(8?x)2+42，
解得：x=5，
答：MD長為 5．

【解析】【分析】此題主要考查了菱形的判定，以及勾股定理的應(yīng)用和矩形的性質(zhì)．
(1)根據(jù)矩形性質(zhì)求出AD/?/BC，推出∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，證?DMO≌?BNO，推出OM=ON，得出平行四邊形BMDN，推出菱形BMDN；
(2)根據(jù)菱形性質(zhì)求出DM=BM，在Rt△AMB中，根據(jù)勾股定理得出BM2=AM2+AB2，即可列方程求得．
23.【答案】解：(1)證明：∵四邊形ABCD為矩形
∴AB//CD,AB=CD
∴AB//DE
又∵DE=CD
∴AB=DE
∴四邊形ABDE為平行四邊形
(2)∵AD=DE=4，DE=CD
∴?ADE為等腰直角三角形，AD=CD=4
∴四邊形ABCD為正方形
∴AO=12AC，∠OAD=∠DAE=45°
∴∠OAE=90°
∴AC=AE= AD2+DE2= 42+42=4 2
∴AO=12AC=2 2
∴OE= AE2+OA2= 32+8=2 10

【解析】【分析】(1)利用矩形的性質(zhì)可以得到AB//CD,AB=CD，從而得到AB//DE,AB=DE，所以四邊形ABDE為平行四邊形；
(2)由AD=DE得到四邊形ABCD為正方形，?ADE為等腰直角三角形，從而得到∠OAE=90°，由勾股定理可以求得OE．
24.【答案】解：(1)
如圖：
作AE⊥OM，BF⊥OM，
∵∠AOE+∠BOF=∠BOF+∠OBF=90°
∴∠AOE=∠OBF
在?AOE和?OBF中，∠OEA=∠BFO∠AOE=∠OBFOA=OB,
∴?AOE??OBFAAS，
∴OE=BF，AE=OF
即OE+OF=AE+BF=CD=17m
∵EF=EM?FM=AC?BD=10?3=7m，
∴2EO+EF=17，
則2×EO=10，
所以O(shè)E=5m，OF=12m，
所以O(shè)M=OF+FM=15m
(2)
由勾股定理得OB=OA=ON= OF2+BF2=13，
∴MN=15?13=2m．
答：瑪麗在蕩繩索過程中離地面的最低點(diǎn)的高度MN為2米．

【解析】【分析】(1)作AE⊥OM，BF⊥OM，可證ΔAOE?ΔBFO，可得AE=OF，OE=BF，則AE?BF=EF=7，且AE+BF=17可求AE=OF=12，OE=BF=5，即可求OM的長．
(2)根據(jù)勾股定理可求OA=OB=ON=13，即可求MN的長．
25.【答案】(1)解：∵正方形ABCD，
∴∠CBD=45°,
∵?HEFG, ∠F=67.5°，
∴HG//EF, ∴ ∠H=67.5°，
∴∠HGD=∠DBC=45°,
∴∠GDH=67.5°=∠GHD,
∴ΔHDG為等腰三角形
∴HG=DG=2

(2)如圖，作∠KEC=45°,K在CD上，
則CE=CK,
∵ 平行四邊形HEFG,
∴HE//GF,
∴∠F=∠DEC=67.5°,

∴KD=KE,
設(shè)CE=x,
∴CK=x,EK=DK= 2x,
∴x+ 2x=a,
∴x=a1+ 2=( 2?1)a.
故答案為：( 2?1)a.
(3)由于在推動(dòng)過程中CD的長度保持不變，
∴CD=a
∴RtΔCDE中，由勾股定理可得
DE2=CD2?CE2
∴8( 2?1)=a2?( 2?1)2a2
a2=4，又a>0，∴a=2，
∴BC=2,CE2=CD2?DE2=4(3?2 2)=2( 2?1)2,
∴CE=2 2?2, (負(fù)根舍去)
∴BF=BC+CE+EF=2 2+2.．

【解析】【分析】(1)利用正方形與平行四邊形的性質(zhì)證明ΔHDG為等腰三角形可得答案，
(2)作∠KEC=45°,K在CD上，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得答案，
(3)利用勾股定理求解a，進(jìn)而求解CE,從而可得答案．
26.【答案】(1)①∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ADB=∠CDB=45°，
在△ADH和△CDH中，AD=CD∠ADH=∠CDHDH=DH,
∴△ADH≌△CDH，
∴∠DAH=∠DCH．
②△GFC是等腰三角形，理由如下：
∵四邊形ABCD是正方形，CG⊥HC，
∴∠ADF=∠HCG=90°，
∴∠DAH+∠AFD=DCH+∠DCG=90°，
∵∠DAH=∠DCH，∠HFD=∠CFG，
∴∠CFG=∠GCF，
∴CF=CG，
∴△GFC是等腰三角形．
(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)F在線段CD上時(shí)，連接DE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠CEF+∠CFG=90°，∠GCE+∠GCF=90°，
∵∠CFG=∠GCF，
∴∠CEF=∠GCE，
∴CG=EG，
∵CG=FG，
∴FG=EG，
∵點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)，
∴GM是△DFE的 中位線，
∵GM=2.5，
∴DE=2GM=5，
∵正方形ABCD的邊長為4，
∴CE= DE2?CD2= 52?42=3，
∴BE=BC+CE=4+3=7．
如圖，當(dāng)點(diǎn)F在DC的延長線上時(shí)，連接DE，
同理可得：MG為△DFE的中位線，
∴DE=2GM=5，
∴CE= DE2?CD2=3，
∴BE=BC?CE=4?3=1，
綜上所述：BE的長為1或7．

【解析】【分析】(1)①根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=CD，∠ADH=∠CDH，利用SAS可證明△ADH≌△CDH，即可得∠DAH=∠DCH；
②由正方形的性質(zhì)可得∠DAH+∠AFD=90°，由CG⊥HC可得∠DCH+∠FCG=90°，根據(jù)∠AFD=∠CFG，可得∠CFG=∠FCG，即可證明CG=FG，可得△GFC是等腰三角形；
(2)當(dāng)點(diǎn)F在線段CD上時(shí)，連接DE，根據(jù)正方形的性質(zhì)及角的和差關(guān)系可得∠E=∠GCE，即可證明CG=EG，由△GFC是等腰三角形可得CG=GF，可得點(diǎn)G為EF中點(diǎn)，即可證明GM是△FDE的中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)可求出DE的長，利用勾股定理可求出CE的長，進(jìn)而根據(jù)BE=BC+CE即可求出BE的長；當(dāng)點(diǎn)F在DC延長線上時(shí)，連接DE，同理可得MG為△FDE的中位線，可求出DE的長，利用勾股定理可求出CE的長，根據(jù)BE=BC?CE即可求出BE的長．

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