本試卷共4頁，19個小題.滿分150分.考試用時120分鐘.
注意事項：
1.答卷前，考生務必將自己的姓名?班級?考號填寫在答題卡上.將條形碼橫貼在答題卡上“條形碼粘貼區(qū)”.
2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.
3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.
4.保持答題卡的整潔.考試結束后，只交答題卡，試題卷自行保存.
一?選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1.一組數(shù)據(jù)：的第30百分位數(shù)為（ ）
A.30 B.31 C.25 D.20
2.若集合，集合，則的真子集個數(shù)為（ ）
A.14 B.15 C.16 D.31
3.已知為銳角，若，則（ ）
A. B. C. D.
4.某市舉行鄉(xiāng)村振興匯報會，六個獲獎單位的負責人甲?乙?丙等六人分別上臺發(fā)言，其中負責人甲?乙發(fā)言順序必須相鄰，丙不能在第一個與最后一個發(fā)言，則不同的安排方法共有（ ）
A.240種 B.120種 C.156種 D.144種
5.“四葉回旋鏢”可看作是由四個相同的直角梯形圍成的圖形，如圖所示，.點在線段與線段上運動，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
6.已知三棱錐中，平面，則此三棱錐外接球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
7.已知直線與橢圓相交于兩點.若弦被直線平分，則橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
8.已知函數(shù)的定義域為為的導函數(shù).若，且在上恒成立，則不等式的解集為（ ）
A. B. C. D.
二?多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9.已知函數(shù)，則下列結論正確的有（ ）
A.的最小正周期為 B.關于點對稱
C.關于直線對稱 D.在區(qū)間上單調遞減
10.已知復數(shù)滿足：（其中為虛數(shù)單位），則下列說法正確的有（ ）
A. B.
C.的最小值為 D.的最大值為
11.已知函數(shù)在上可導，且的導函數(shù)為.若為奇函數(shù)，則下列說法正確的有（ ）
A. B.
C. D.
三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12.已知等差數(shù)列的前項和為.若，則__________.
13.在中，邊上的高為，則__________.
14.已知，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是__________.
四?解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟）
15.（13分）如圖所示，在四棱臺中，底面是菱形，平面.
（1）證明：；
（2）若，棱上是否存在一點，使得平面與平面的夾角余弦值為.若存在，求線段的長；若不存在，請說明理由.
16.（15分）為了選拔創(chuàng)新型人才，某大學對高三年級學生的數(shù)學學科和物理學科進行了檢測（檢測分為初試和復試），共有4萬名學生參加初試.組織者隨機抽取了200名學生的初試成績，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示.
（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求的值及樣本平均數(shù)的估計值；
（2）若所有學生的初試成績近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計值，.規(guī)定初試成績不低于90分的學生才能參加復試，試估計能參加復試的人數(shù)；
（3）復試筆試試題包括兩道數(shù)學題和一道物理題，已知小明進入了復試，且在復試筆試中答對每一道數(shù)學題的概率均為，答對物理題的概率為.若小明全部答對的概率為，答對兩道題的概率為，求概率的最小值.
附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，.
17.（15分）設函數(shù).
（1）求的極值；
（2）若對任意，有恒成立，求的最大值.
18.（17分）已知雙曲線的左焦點為，點在雙曲線上，直線與雙曲線交于兩點.
（1）若經(jīng)過點，且，求；
（2）若經(jīng)過點，且兩點在雙曲線的左支上，則在軸上是否存在定點，使得為定值.若存在，請求出面積的最小值；若不存在，請說明理由.
19.（17分）給定整數(shù)，由元實數(shù)集合定義其隨影數(shù)集.若，則稱集合為一個元理想數(shù)集，并定義的理數(shù)為其中所有元素的絕對值之和.
（1）分別判斷集合是不是理想數(shù)集；（結論不要求說明理由）
（2）任取一個5元理想數(shù)集，求證：；
（3）當取遍所有2024元理想數(shù)集時，求理數(shù)的最小值.
注：由個實數(shù)組成的集合叫做元實數(shù)集合，分別表示數(shù)集中的最大數(shù)與最小數(shù).
2024年邵陽市高三第二次聯(lián)考試題參考答案與評分標準
數(shù)學
一?選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
8.D 解析：構造在上單調遞減，由得：，即.，故選D.
二?多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
11.ACD 解析：由，知的周期為4.且，所以，故D正確.由為奇函數(shù)知關于對稱，所以.由得0，即.故的周期為4且，可得，故正確.由上知的周期為4且關于對稱，所以關于對稱.則有，即.所以，令，得.故，所以關于對稱.又，所以，故B錯誤.又，所以，故C正確.
三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12.9 13. 14.
14. 解析：原不等式等價于，令.令，且，則在上單調遞減，.故的范圍是.
四?解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟）
15.（13分）（1）證明：連接底面是菱形，
.
又平面平面，
.
又平面.
四棱臺中，延長線交于一點，
四點共面.
.
（2）由（1）知，建立如圖所示空間直角坐標系，
則，
若存在點滿足題意，則設.
易知平面的一個法向量
設平面的法向量.
.
則則
令，則.
，解之得.
故在棱上存在點滿足題意，此時或.
16.（15分）（1），
.
樣本平均數(shù)的估計值為.
（2）.
.
能參加復試的人數(shù)約為（人）.
（3）由題意有.
答對兩道題的概率.
而.
令，則，
當時，在內單調遞減；
時，在內單調遞增.
當時，.
故概率的最小值為.
17.（15分）解：（1）.
令，得，令，得.
故在單調遞減，在單調遞增.
在處取得極小值，無極大值.
（2）對恒成立，即對恒成立.
令，則只需即可.
.
在上單調遞增且.
當時，單調遞減；
當時，單調遞增.
.
故，故的最大值為.
18.（17分）解：（1）把代入得：
，又.
又，解得.
雙曲線方程為.
若直線的斜率不存在時，，此時不妨設.
，舍去.
若的斜率存在，設方程為，代入，化簡得.
設，則，
.
，得，即.則.
.
（2）假設存在，使得為定值.
設方程為，代入，化簡得.
由題意.
.
由題意.
要使為定值，則，解之得.
存在，使得為定值-1.
此時
令.
.
在遞減，在時取得最大值1.
的最小值為.
19.（17分）解：（1）集合是理想數(shù)集，集合不是理想數(shù)集.
（2）不妨設集合且，即.
為理想數(shù)集，，則，且，使得.
當時，.
當且僅當且時，等號成立；
當時，.
當且僅當且時，等號成立；
當時，.
當且僅當時，等號成立.
綜上所述：.
（3）設.
為理想數(shù)集.
，且，使得.
對于，同樣有.
下先證對元理想數(shù)集，有.
不妨設集合中的元素滿足.即.
為理想數(shù)集，
，且，使得.
當時，，當且僅當且時，等號成立；
當時，，當且僅當且時，等號成立；
當時，.
當且僅當時，等號成立.
.
.當且僅當時，等號成立.
.
理數(shù).
當且僅當或時，等號成立.題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
D
C
B
C
D
題號
9
10
11
答案
ACD
BC
ACD

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