本試卷共4頁(yè)，22個(gè)小題.滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?班級(jí)?考號(hào)填寫在答題卡上.將條形碼橫貼在答題卡上“條形碼粘貼區(qū)”.
2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑：如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.
3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無(wú)效.
4.保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，只交答題卡，試題卷自行保存.
一?選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1.已知集合，則集合的元素個(gè)數(shù)為（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
2.下列各式的運(yùn)算結(jié)果不是純虛數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
3.命題“”的否定為（ ）
A. B.
C. D.
4.若拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是，則的值為（ ）
A. B. C. D.
5.如圖所示，四邊形是正方形，分別，的中點(diǎn)，若，則的值為（ ）
A. B. C. D.
6.苗族四月八日“姑娘節(jié)”是流傳于湖南省綏寧縣的民俗活動(dòng)，國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一.假設(shè)在即將舉辦的“姑娘節(jié)”活動(dòng)中，組委會(huì)原排定有8個(gè)“歌舞”節(jié)目，現(xiàn)計(jì)劃增加2個(gè)“對(duì)唱”節(jié)目.若保持原來(lái)8個(gè)節(jié)目的相對(duì)順序不變，則不同的排法種數(shù)為（ ）
A.56 B.90 C.110 D.132
7.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
8.設(shè)，則的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
二?多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）
9.設(shè)點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，已知點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A.的最大值為
B.的最小值為8
C.存在點(diǎn)使
D.過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線長(zhǎng)為
10.下列說(shuō)法正確的有
A.將總體劃分為2層，通過(guò)分層隨機(jī)抽樣，得到兩層的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為，和，且，則總體方差
B.在研究成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系時(shí)，相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)越接近于1
C.已知隨機(jī)變量，若，則
D.已知一組數(shù)據(jù)為，則這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為39
11.如圖所示，已知正四棱柱中，為的中點(diǎn)，則（ ）
A.平面
B.平面
C.為棱上任一點(diǎn)，則三棱錐的體積為定值
D.平面截此四棱柱的外接球得到的截面面積為
12.已知函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且和都是奇函數(shù)，且，則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A.關(guān)于對(duì)稱 B.關(guān)于對(duì)稱
C.是周期函數(shù) D.
三?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13.的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_________.
14.已知數(shù)列的首項(xiàng)為，則__________.
15.已知，則__________.
16.已知橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)，它們的離心率分別為，點(diǎn)為它們的一個(gè)交點(diǎn)，且.當(dāng)取最小值時(shí)，的值為_(kāi)_________.
四?解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟）
17.（10分）現(xiàn)有兩臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件.第1臺(tái)車床的正品率為，第2臺(tái)車床的正品率為，將加工出來(lái)的零件混放在一起.已知第1，2臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別為總數(shù)的.
（1）從混放的零件中任取1件，如果該零件是次品，求它是第2臺(tái)車床加工出來(lái)的概率；
（2）從混放的零件中可放回抽取10次，每次抽取1件，且每次抽取均相互獨(dú)立.用表示這10次抽取的零件是次品的總件數(shù)，試估計(jì)的數(shù)學(xué)期望.
18.（12分）在中，內(nèi)角滿足.
（1）求角的大?。?br>（2）若，求的最大值.
19.（12分）如圖所示，圓臺(tái)的上?下底面圓半徑分別為和為圓臺(tái)的兩條不同的母線.分別為圓臺(tái)的上?下底面圓的圓心，且為等邊三角形.
（1）求證：；
（2）截面與下底面所成的夾角大小為，
求異面直線與所成角的余弦值.
20.（12分）設(shè)數(shù)列滿足：.等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比為2.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.
21.（12分）已知陏圓的短軸長(zhǎng)為，右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）如圖所示，設(shè)點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn).過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，且都在軸的上方.在軸上是否存在點(diǎn)，使，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
22.（12分）已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)，求證：當(dāng)時(shí)，恰有兩個(gè)零點(diǎn).
2024年邵陽(yáng)市高三第一次聯(lián)考試題參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
數(shù)學(xué)
一?選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
7.C 解析：由，得，
的單調(diào)增區(qū)間為.
在上遞增，.
由，得的單調(diào)減區(qū)間為.
綜上，.
8.D 解析：，設(shè)，
在上單調(diào)遞減.又.又，
設(shè)時(shí)，在單調(diào)遞減.
.綜上.
二?多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）
11.BC 解析：A錯(cuò).B.平面.又平面
，B對(duì).平面為定值，對(duì)..設(shè)外接球球心為，即為對(duì)角線中點(diǎn).到平面距離為到平面距離的一半，到平面距離為到平面距離為，正四棱柱外接球半徑為截面圓半徑錯(cuò).
12.ACD 解析：因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以，即，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以8是函數(shù)的一個(gè)周期.因?yàn)?，所以，所?故選ACD.
三?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13.25 14.9 15.1 16.
15.1 解析：，所以，即；故或，因?yàn)?，所以，?
16. 解析：設(shè)橢圓方程為，雙曲線方程為：.
不妨設(shè)點(diǎn)為第一象限的交點(diǎn)，由題意知：則
由余弦定理得：.
.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，.
.
四?解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟）
17.（10分）
解：（1）不難知，第1臺(tái)加工零件的次品率為，第2臺(tái)加工零件的次品率為.
記事件表示“從混放的零件中任取一個(gè)零件，該零件是次品”，
事件表示“從混放的零件中任取一個(gè)零件，該零件是第臺(tái)車床加工的”，.
則.
（2）的可能取值為，且服從二項(xiàng)分布.
由（1）知，.
.
18.（12分）
解：（1）由已知.
.
.
（2）.
又，
.
令，
.
當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào).
的最大值為.
19.（12分）
（1）證明：圓臺(tái)可以看做是由平行于圓錐底面的平面去截圓錐而得到，所以圓臺(tái)的母線也就是生成這個(gè)圓臺(tái)的圓錐相應(yīng)母線的一部分.
母線與母線的延長(zhǎng)線必交于一點(diǎn)，
四點(diǎn)共面.
圓面圓面，且平面圓面，平面圓面.
.
（2）解：為等邊三角形，
，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè).
.
設(shè)平面的一個(gè)法向量.則有：
令，則.
底面的一個(gè)法向量，
因?yàn)榻孛媾c下底面所成的夾角大小為，
所以，
，
，又坐標(biāo)為.
，
.
異面直線與所成角的余弦是.
20.（12分）
解：（1）.
.
.即.
當(dāng)時(shí)，，滿足上式.
.
（2）由（1）知：.
，
.
.
.
21.（12分）
解：（1）依題意得
解得，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）存在點(diǎn)，使，點(diǎn)的坐標(biāo)為.理由如下：
直線過(guò)點(diǎn)，與橢圓交于不同的兩點(diǎn).且都在軸上方.
直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為.
聯(lián)立方程消去可得：
.
設(shè)，則.
，
.
存在點(diǎn)滿足條件.
點(diǎn)坐標(biāo)為.
22.（12分）
（1）解：.
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.
（2）證明：時(shí)，.
令，
則.
令.
i.時(shí)，恒成立，
在上單調(diào)遞增.
又，
存在一個(gè)零點(diǎn)，使.
ii.，
恒成立，
在上單調(diào)遞減.
又，
.
存在零點(diǎn)，使.
，
.
在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減.
又.
，
存在一個(gè)零點(diǎn)，使.
iii.，
恒成立.
在單調(diào)遞減.
恒成立.
在沒(méi)有零點(diǎn).
iv.時(shí)，
下面來(lái)證明當(dāng)時(shí)，.
設(shè).
.
在上單調(diào)遞增，
，
恒成立.
綜上所述，在只有兩個(gè)零點(diǎn).
又是由向右平移一個(gè)單位所得，
在只有兩個(gè)零點(diǎn).題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
D
A
D
B
C
D
題號(hào)
9
10
11
12
答案
AD
BCD
BC
ACD

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