2024年中考數(shù)學沖刺挑戰(zhàn)壓軸題專題匯編(安徽卷)04挑戰(zhàn)壓軸題(解答題二)(原卷版+解析)-試卷下載-教習網(wǎng)

1． (2023·全國）已知拋物線的對稱軸為直線．
（1）求a的值；
（2）若點M（x1，y1），N（x2，y2）都在此拋物線上，且，．比較y1與y2的大小，并說明理由；
（3）設(shè)直線與拋物線交于點A、B，與拋物線交于點C，D，求線段AB與線段CD的長度之比．
2．（安徽省2020年中考數(shù)學試題）在平面直角坐標系中，已知點，直線經(jīng)過點．拋物線恰好經(jīng)過三點中的兩點．
判斷點是否在直線上．并說明理由；
求的值；
平移拋物線，使其頂點仍在直線上，求平移后所得拋物線與軸交點縱坐標的最大值．
3．（安徽省2019年中考數(shù)學試題）一次函數(shù)y=kx+4與二次函數(shù)y=ax2+c的圖像的一個交點坐標為（1,2），另一個交點是該二次函數(shù)圖像的頂點
（1）求k，a，c的值；
（2）過點A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y軸的直線與二次函數(shù)y=ax2+c的圖像相交于B，C兩點，點O為坐標原點，記W=OA2+BC2，求W關(guān)于m的函數(shù)解析式，并求W的最小值.
4．（安徽省2018年中考數(shù)學試題）小明大學畢業(yè)回家鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，第一期培植盆景與花卉各50盆售后統(tǒng)計，盆景的平均每盆利潤是160元，花卉的平均每盆利潤是19元，調(diào)研發(fā)現(xiàn)：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利潤減少2元;每減少1盆，盆景的平均每盆利潤增加2元;②花卉的平均每盆利潤始終不變.
小明計劃第二期培植盆景與花卉共100盆，設(shè)培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景與花卉售完后的利潤分別為W1，W2（單位：元）
（1）用含x的代數(shù)式分別表示W(wǎng)1，W2;
（2）當x取何值時，第二期培植的盆景與花卉售完后獲得的總利潤W最大，最大總利潤是多少?
5． (2023·江蘇·漣水縣義興中學）某超市銷售一種商品，成本每千克40元，規(guī)定每千克售價不低于成本，且不高于80元．經(jīng)市場調(diào)查，每天的銷售量y(千克)與每千克售價x(元)滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分數(shù)據(jù)如下表：
(1)求y與x之間的函數(shù)表達式；
(2)設(shè)商品每天的總利潤為W(元)，求W與x之間的函數(shù)表達式(利潤＝收入－成本)；
(3)試說明(2)中總利潤W隨售價x的變化而變化的情況，并指出售價為多少時獲得最大利潤，最大利潤是多少？
1． (2023·陜西師大附中九年級期末）已知拋物線與x軸交于點A，B（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，頂點為D．
(1)求點B、D的坐標；
(2)若點P是x軸上的動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點Q，是否存在這樣的P，使得以點A、P、Q為頂點的三角形與相似？若存在請求出，點P的坐標；若不存在，請說明理由．
2． (2023·黑龍江·哈爾濱市第四十九中學校九年級開學考試）已知，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線與x軸交于點A、點B，與y軸交于點C，．
(1)如圖1，求m的值；
(2)如圖2，點P是第四象限拋物線上一點，連接PA交y軸于點D，E為PD中點，連接BE，設(shè)點P的橫坐標為t，的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
(3)如圖3，在（2）的條件下，連接CE，F(xiàn)為CE上一點，連接PF，M為拋物線的頂點，連接PM，將射線PM繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，交y軸于點G，交拋物線于點N，若，，求點N的坐標．
3． (2023·四川涼山·九年級期末）某商場出售甲乙兩種商品，出售甲種商品15件，乙種商品20件共獲利390元，出售甲、乙兩種商品各10件共獲利220元．
(1)求甲、乙兩種商品每件的利潤；
(2)商場調(diào)研甲種商品發(fā)現(xiàn)：若按現(xiàn)在售價出售，每周可出售商品100件，如果每件商品的售價每上漲2元，則每周少賣10件，商場要求每周甲商品的銷量不低于80件．設(shè)甲種商品每件價格上漲x（元），銷售數(shù)量為y（件）
①寫出y（件）與x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；
②每件甲商品的利潤為多少元時，每周可獲得最大利潤？最大的利潤是多少元？
4． (2023·河南·模擬預測）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax＋c（a＞0）．
(1)若該圖象經(jīng)過點A（1，0），B（2，4），求這個二次函數(shù)的解析式；
(2)若（x1，y1），（4，y2）在該函數(shù)圖象上，當y2＞y1時，求x1的取值范圍；
(3)該函數(shù)圖象與x軸只有一個交點時，將該圖象向上平移2個單位恰好經(jīng)過點（4，8），當m≤x≤n時，2m≤y≤2n，求m﹣n的值．
5． (2023·黑龍江·牡丹江四中九年級階段練習）一天早晨，佳佳從家出發(fā)勻速步行去學校，媽媽發(fā)現(xiàn)佳佳忘帶數(shù)學書了，于是立即下樓騎車沿佳佳行進路線勻速追趕，媽媽追上佳佳后，立即按原路線返回家中，由于路人漸多，媽媽返回時的速度只是去時的，佳佳則以原速度的1．5倍趕往學校媽媽與佳佳之間的路程y（米）與佳佳從家出發(fā)后步行的時間x（分）之間的關(guān)系如圖所示（佳佳與媽媽交接學習用品耽擱的時間忽略不計），結(jié)合圖象信息解答下列問題：
(1)佳佳步行速度是______，媽媽追佳佳時的速度是______；
(2)求圖象中線段DE所表示的y與x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
(3)直接寫出佳佳出發(fā)多長時間，佳佳與媽媽相距300米的時間．
1． (2023·貴州遵義·九年級期末）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+4（a≠0，a、b為常數(shù)）的圖象與x軸交于點A（﹣1，0），B（6，0），與y軸的正半軸交于點C，過點C的直線y＝﹣x+4與x軸交于點D．
(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)如圖1，點P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個動點，試探究點P的坐標是多少時，△CDP的面積最大，并求出最大面積；
(3)如圖2，點M是二次函數(shù)圖象上一動點，過點M作ME⊥CD于點E，MF//x軸交直線CD于點F，是否存在點M，使得△MEF≌△COD，若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
2． (2023·河南省實驗中學模擬預測）在平面直角坐標系中，已知點，，，拋物線經(jīng)過，，三點中的兩點．
(1)求拋物線的表達式；
(2)點為（1）中所求拋物線上一點，且，求的取值范圍；
(3)一次函數(shù)（其中與（1）中所求拋物線交點的橫坐標分別是和，且，請直接寫出的取值范圍．
3． (2023·四川成都·九年級期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝x+b與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點A(3，n)，與y軸交于點B(0，﹣2)，點P是反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上一動點，過點P作直線PQy軸交直線y＝x+b于點Q，設(shè)點P的橫坐標為t，且0＜t＜3，連接AP，BP．
(1)求k，b的值．
(2)當ABP的面積為3時，求點P的坐標．
(3)設(shè)PQ的中點為C，點D為x軸上一點，點E為坐標平面內(nèi)一點，當以B，C，D，E為頂點的四邊形為正方形時，求出點P的坐標．
4． (2023·江蘇揚州·一模）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，點B坐標為頂點P的坐標為，以AB為直徑作圓，圓心為D，過P向右側(cè)作的切線，切點為C．
(1)求拋物線的解析式；
(2)請通過計算判斷拋物線是否經(jīng)過點C；
(3)設(shè)M，N分別為x軸，y軸上的兩個動點，當四邊形PNMC的周長最小時，請直接寫出M，N兩點的坐標．
5． (2023·福建省福州屏東中學九年級期中）在平面直角坐標系中，拋物線：與x軸交于點A，B（點B在點A的右側(cè)）．拋物線頂點為C點，△ABC為等腰直角三角形．
(1)求此拋物線解析式．
(2)若直線與拋物線有兩個交點，且這兩個交點與拋物線的頂點所圍成的三角形面積等于，求k的值．
(3)若點，且點E，D關(guān)于點C對稱，過點D作直線交拋物線于點M，N，過點E作直線軸，過點N作于點F，求證：點M，C，F(xiàn)三點共線．
售價x/(元/千克)
50
60
70
銷售量y/千克
100
80
60
2024年中考數(shù)學沖刺挑戰(zhàn)壓軸題專題匯編（安徽考卷）
04 挑戰(zhàn)壓軸題（解答題二）
1． (2023·全國）已知拋物線的對稱軸為直線．
（1）求a的值；
（2）若點M（x1，y1），N（x2，y2）都在此拋物線上，且，．比較y1與y2的大小，并說明理由；
（3）設(shè)直線與拋物線交于點A、B，與拋物線交于點C，D，求線段AB與線段CD的長度之比．
【答案】（1）；（2），見解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)對稱軸，代值計算即可
（2）根據(jù)二次函數(shù)的增減性分析即可得出結(jié)果
（3）先根據(jù)求根公式計算出，再表示出，=，即可得出結(jié)論
【詳解】
解：（1）由題意得：
（2）拋物線對稱軸為直線，且
當時，y隨x的增大而減小，
當時，y隨x的增大而增大．
當時，y1隨x1的增大而減小，
時，，時，
同理：時，y2隨x2的增大而增大
時，．
時，

（3）令

令

AB與CD的比值為
【點睛】
本題考查二次函數(shù)的圖像性質(zhì)、二次函數(shù)的解析式、對稱軸、函數(shù)的交點、正確理解二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵，利用交點的特點解題是重點
2．（安徽省2020年中考數(shù)學試題）在平面直角坐標系中，已知點，直線經(jīng)過點．拋物線恰好經(jīng)過三點中的兩點．
判斷點是否在直線上．并說明理由；
求的值；
平移拋物線，使其頂點仍在直線上，求平移后所得拋物線與軸交點縱坐標的最大值．
【答案】（1）點在直線上，理由見詳解；（2）a=-1，b=2；（3）
【分析】
（1）先將A代入，求出直線解析式，然后將將B代入看式子能否成立即可；
（2）先跟拋物線與直線AB都經(jīng)過（0，1）點，且B，C兩點的橫坐標相同，判斷出拋物線只能經(jīng)過A，C兩點，然后將A，C兩點坐標代入得出關(guān)于a，b的二元一次方程組；
（3）設(shè)平移后所得拋物線的對應(yīng)表達式為y=-（x-h）2+k，根據(jù)頂點在直線上，得出k=h+1，令x=0，得到平移后拋物線與y軸交點的縱坐標為-h2+h+1，在將式子配方即可求出最大值．
【詳解】
（1）點在直線上，理由如下：
將A（1，2）代入得，
解得m=1，
∴直線解析式為，
將B（2，3）代入，式子成立，
∴點在直線上；
（2）∵拋物線與直線AB都經(jīng)過（0，1）點，且B，C兩點的橫坐標相同，
∴拋物線只能經(jīng)過A，C兩點，
將A，C兩點坐標代入得，
解得：a=-1，b=2；
（3）設(shè)平移后所得拋物線的對應(yīng)表達式為y=-（x-h）2+k，
∵頂點在直線上，
∴k=h+1，
令x=0，得到平移后拋物線與y軸交點的縱坐標為-h2+h+1，
∵-h2+h+1=-（h-）2+，
∴當h=時，此拋物線與軸交點的縱坐標取得最大值．
【點睛】
本題考查了求一次函數(shù)解析式，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的平移和求最值，求出兩個函數(shù)的表達式是解題關(guān)鍵．
3．（安徽省2019年中考數(shù)學試題）一次函數(shù)y=kx+4與二次函數(shù)y=ax2+c的圖像的一個交點坐標為（1,2），另一個交點是該二次函數(shù)圖像的頂點
（1）求k，a，c的值；
（2）過點A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y軸的直線與二次函數(shù)y=ax2+c的圖像相交于B，C兩點，點O為坐標原點，記W=OA2+BC2，求W關(guān)于m的函數(shù)解析式，并求W的最小值.
【答案】（1）k=-2，a=-2，c=4；（2）, W取得最小值7.
【分析】
（1）把（1,2）分別代入y=kx+4和y=ax2+c，得k+4=-2和a+c=2，然后求出二次函數(shù)圖像的頂點坐標為（0,4），可得c=4，然后計算得到a的值；
（2）由A（0，m）（0＜m＜4）可得OA=m，令y=-2x2+4=m，求出B，C坐標，進而表示出BC長度，將OA，BC代入W=OA2+BC2中得到W關(guān)于m的函數(shù)解析式，求出最小值即可.
【詳解】
解：（1）由題意得，k+4=2，解得k=-2，
∴一次函數(shù)解析式為：y=-2x+4
又二次函數(shù)頂點橫坐標為0，
∴頂點坐標為（0,4）
∴c=4
把（1,2）帶入二次函數(shù)表達式得a+c=2，解得a=-2
（2）由（1）得二次函數(shù)解析式為y=-2x2+4，令y=m，得2x2+m-4=0
∴，設(shè)B，C兩點的坐標分別為（x1，m）（x2，m），則，
∴W=OA2+BC2=
∴當m=1時，W取得最小值7
【點睛】
本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，將二次函數(shù)圖像與直線的交點問題轉(zhuǎn)化為求一元二次方程的解，得到B，C坐標是解題的關(guān)鍵.
4．（安徽省2018年中考數(shù)學試題）小明大學畢業(yè)回家鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，第一期培植盆景與花卉各50盆售后統(tǒng)計，盆景的平均每盆利潤是160元，花卉的平均每盆利潤是19元，調(diào)研發(fā)現(xiàn)：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利潤減少2元;每減少1盆，盆景的平均每盆利潤增加2元;②花卉的平均每盆利潤始終不變.
小明計劃第二期培植盆景與花卉共100盆，設(shè)培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景與花卉售完后的利潤分別為W1，W2（單位：元）
（1）用含x的代數(shù)式分別表示W(wǎng)1，W2;
（2）當x取何值時，第二期培植的盆景與花卉售完后獲得的總利潤W最大，最大總利潤是多少?
【答案】（1）W1=-2x2+60x+8000，W2=-19x+950；（2）當x=10時，W總最大為9160元.
【解析】
【分析】（1）第二期培植的盆景比第一期增加x盆，則第二期培植盆景（50+x）盆，花卉（50-x）盆，根據(jù)盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利潤減少2元;每減少1盆，盆景的平均每盆利潤增加2元，②花卉的平均每盆利潤始終不變，即可得到利潤W1，W2與x的關(guān)系式；
（2）由W總=W1+W2可得關(guān)于x的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得.
【詳解】（1）第二期培植的盆景比第一期增加x盆，則第二期培植盆景（50+x）盆，花卉[100-(50+x)]=（50-x）盆，由題意得
W1=(50+x)(160-2x)=-2x2+60x+8000，
W2=19(50-x)=-19x+950；
（2）W總=W1+W2=-2x2+60x+8000+（-19x+950）=-2x2+41x+8950，
∵-2＜0，=10.25，
故當x=10時，W總最大，
W總最大=-2×102+41×10+8950=9160.
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，弄清題意，找準數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.
5． (2023·江蘇·漣水縣義興中學）某超市銷售一種商品，成本每千克40元，規(guī)定每千克售價不低于成本，且不高于80元．經(jīng)市場調(diào)查，每天的銷售量y(千克)與每千克售價x(元)滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分數(shù)據(jù)如下表：
(1)求y與x之間的函數(shù)表達式；
(2)設(shè)商品每天的總利潤為W(元)，求W與x之間的函數(shù)表達式(利潤＝收入－成本)；
(3)試說明(2)中總利潤W隨售價x的變化而變化的情況，并指出售價為多少時獲得最大利潤，最大利潤是多少？
【答案】(1)y＝－2x＋200 (2)W＝－2x2＋280x－8 000(3)售價為70元時，獲得最大利潤，這時最大利潤為1 800元．
【解析】
【分析】
（1）用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達式；
（2）利用利潤的定義，求與之間的函數(shù)表達式；
（3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求極值.
【詳解】
解：(1)設(shè)，由題意，得，解得，∴所求函數(shù)表達式為.
(2).
(3)，其中，∵，
∴當時，隨的增大而增大，當時，隨的增大而減小，當售價為70元時，獲得最大利潤，這時最大利潤為1800元.
考點：二次函數(shù)的實際應(yīng)用.
1． (2023·陜西師大附中九年級期末）已知拋物線與x軸交于點A，B（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，頂點為D．
(1)求點B、D的坐標；
(2)若點P是x軸上的動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點Q，是否存在這樣的P，使得以點A、P、Q為頂點的三角形與相似？若存在請求出，點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)點B（3，0），點D（1，-4）；
(2)存在這樣的P，使得以點A、P、Q為頂點的三角形與相似，點P的坐標為（0，0）或（，0）或（，0）或（6，0）．
【解析】
【分析】
（1）令y=0，解一元二次方程，將二次函數(shù)配方為頂點式即可；
（2）存在這樣的P，使得以點A、P、Q為頂點的三角形與相似，過D作DE⊥y軸于E，先確定△COB為等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理求出BC=，∠OCB=∠OBC=45°，再確定△DCE為等腰直角三角形，CD=，∠ECD=∠EDC=45°，可證△BCD為直角三角形分以下四種情況點P在點A左側(cè)，PQ為長直角邊，使得以點A、P、Q為頂點的三角形與相似得出△PQA∽△CBD，當點P在點A右側(cè)，對稱軸與x軸交點左側(cè)，PQ為長直角邊，使得以點A、P、Q為頂點的三角形與相似得出△PQA∽△CBD，當點P在對稱軸與x軸交點右側(cè)，點B左側(cè)，AP為長直角邊，使得以點A、P、Q為頂點的三角形與相似，得出△PAQ∽△CBD，當點P在點B右側(cè)，AP為長直角邊，使得以點A、P、Q為頂點的三角形與相似，得出△PAQ∽△CBD，AP為短直角邊，使得以點A、P、Q為頂點的三角形與相似，得出△PQA∽△CBD，根據(jù)相似得出比例式，代入數(shù)據(jù)計算即可．
(1)
解：令y=0，，
因式分解得：，
轉(zhuǎn)化為，
解得，
∵點A在點B左側(cè)
∴點B（3，0）
∴點D（1，-4）；
(2)
解：存在這樣的P，使得以點A、P、Q為頂點的三角形與相似
過D作DE⊥y軸于E，
∵OB=OC=3，∠COB=90°
∴BC=，∠OCB=∠OBC=45°，
∵點D（1，-4），DE⊥y軸
∴點E（0，-4），∠CED=90°
∴CE=-3-（-4）=1，DE=1-0=1，
∴DE=CE，
∴CD=，∠ECD=∠EDC=45°，
∴∠BCD=180°-∠OCB-∠DCE=180°-45°-45°=90°，
∵∠QPA=90°，PQ=，
分以下四種情況
設(shè)點P（x，0）則點Q的坐標為（x，）
∴PQ=，，
∴，，
∴當，即或時，，
∴當或時，，當時，
點P在點A左側(cè)，PQ為長直角邊，使得以點A、P、Q為頂點的三角形與相似
∴△PQA∽△CBD，
∴，即
解得x=-1,或x=0（舍去），點P（-1，0）點A，P，Q三點重合，不成三角形舍去，
當點P在點A右側(cè)，對稱軸與x軸交點左側(cè)，
PQ為長直角邊，使得以點A、P、Q為頂點的三角形與相似
∴△PQA∽△CBD，
∴，即
解得x=-1(舍去)，x=0,點P（0，0），
當點P在對稱軸與x軸交點右側(cè)，點B左側(cè)，
AP為長直角邊，使得以點A、P、Q為頂點的三角形與相似，
∴△PAQ∽△CBD，
∴，即
解得x=-1(舍去)，x=,點P（，0），
當點P在點B右側(cè)，
AP為長直角邊，使得以點A、P、Q為頂點的三角形與相似，
∴△PAQ∽△CBD，
∴，即
解得x=-1(舍去)，x=,點P（，0），
AP為短直角邊，使得以點A、P、Q為頂點的三角形與相似，
∴△PQA∽△CBD，
∴，即
解得x=-1(舍去)，x=6，點P（6，0），
綜合得出存在這樣的P，使得以點A、P、Q為頂點的三角形與相似，點P的坐標為（0，0）或（，0）或（，0）或（6，0）．
【點睛】
本題考查拋物線與兩軸交點坐標，頂點坐標，配方為頂點式，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形判定，三角形相似的性質(zhì)，解一元二次方程，掌握拋物線與兩軸交點坐標，頂點坐標，配方為頂點式，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形判定，三角形相似的性質(zhì)，解一元二次方程，分類思想的應(yīng)用使問題得以完整全面解決．
2． (2023·黑龍江·哈爾濱市第四十九中學校九年級開學考試）已知，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線與x軸交于點A、點B，與y軸交于點C，．
(1)如圖1，求m的值；
(2)如圖2，點P是第四象限拋物線上一點，連接PA交y軸于點D，E為PD中點，連接BE，設(shè)點P的橫坐標為t，的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
(3)如圖3，在（2）的條件下，連接CE，F(xiàn)為CE上一點，連接PF，M為拋物線的頂點，連接PM，將射線PM繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，交y軸于點G，交拋物線于點N，若，，求點N的坐標．
【答案】(1)m=2
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）先求拋物線與y軸交點C，在根據(jù)，確定點B的坐標，從而利用待定系數(shù)法求出m的值
（2）根據(jù)拋物線確定點P為（t，），再用待定系數(shù)法求出直線PA為，從而確定點D的坐標，最后根據(jù)中點確定點E的坐標表示出
的面積為
（3）根據(jù)坐標，利用待定系數(shù)法分別確定直線EC和直線PM，從而得出EC∥PM，∠DCE=∠PHC，然后根據(jù)得，四邊形PFCH是等腰梯形，PF=CH=t，又因為所以，G（0，），從而得出直線PN為，最后根據(jù)得出（舍去），確定點N的坐標為
(1)
解：∵拋物線與y軸交于點C
∴點C（0，3）
∴OC=3
∵
∴OB=3
∴點B（3，0）
∵拋物線與x軸交于點B
∴0=-9+3m+3
即m=2
(2)
∵m=2
∴拋物線為
∴點A（-1，0）
∴AB=4
∵點P的橫坐標為t，且點P在拋物線上
∴點P為（t，）
設(shè)直線PA為
∴
解得
∴直線PA為
∴點D為（0，3 -t）
∵E為PD中點
∴
∵點P在第四象限
∴點E也在第四象限
∴
∴的面積為
(3)
如圖，
∵點M是拋物線的頂點
∴M（1,4）
設(shè)直線PM為
∴
解得
∴直線PM為
設(shè)直線CE為
∴
解得
∴直線CE為
∴CE∥PM
∴∠DCE=∠PHC
∵
∴
∴四邊形PFCH是等腰梯形
∴PF=CH
∵C（0,3）,H（0,3+t）
∴PF=CH=t
∵
∴
∴G（0，）
設(shè)直線PN為
∴
解得
∴直線PN為
∵拋物線與直線PN交于點N
解得（舍去），
當，
所以，點N的坐標為
【點睛】
本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)，坐標中點，一元二次方程以及兩直線平行的條件，而解決本題的關(guān)鍵在正確的表示各點的坐標和利用待定系數(shù)法求函數(shù).
3． (2023·四川涼山·九年級期末）某商場出售甲乙兩種商品，出售甲種商品15件，乙種商品20件共獲利390元，出售甲、乙兩種商品各10件共獲利220元．
(1)求甲、乙兩種商品每件的利潤；
(2)商場調(diào)研甲種商品發(fā)現(xiàn)：若按現(xiàn)在售價出售，每周可出售商品100件，如果每件商品的售價每上漲2元，則每周少賣10件，商場要求每周甲商品的銷量不低于80件．設(shè)甲種商品每件價格上漲x（元），銷售數(shù)量為y（件）
①寫出y（件）與x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；
②每件甲商品的利潤為多少元時，每周可獲得最大利潤？最大的利潤是多少元？
【答案】(1)甲種商品每件的利潤為10元，乙種商品每件的利潤為12元
(2)①；②每件甲商品的利潤為14元時，每周可獲得最大利潤，最大的利潤是1120元
【解析】
【分析】
（1）設(shè)甲種商品每件的利潤為元，乙種商品每件的利潤為元，可得，即可解得答案；
（2）①根據(jù)題意得，由每周甲商品的銷量不低于80件，可得，即可得答案；②設(shè)甲商品的總利潤為元，可得，由二次函數(shù)性質(zhì)可得答案．
(1)
解：設(shè)甲種商品每件的利潤為元，乙種商品每件的利潤為元，
根據(jù)題意得：，
解得，
答：甲種商品每件的利潤為10元，乙種商品每件的利潤為12元；
(2)
①根據(jù)題意得：，
每周甲商品的銷量不低于80件，
，
解得，
（件與（元之間的函數(shù)關(guān)系式為；
②設(shè)甲商品的總利潤為元，
根據(jù)題意得：，
，在對稱軸直線左側(cè)，
隨的增大而增大，
時，最大，最大值為，
此時，
答：每件甲商品的利潤為14元時，每周可獲得最大利潤，最大的利潤是1120元．
【點睛】
本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出等量關(guān)系列方程組和函數(shù)關(guān)系式，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．
4． (2023·河南·模擬預測）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax＋c（a＞0）．
(1)若該圖象經(jīng)過點A（1，0），B（2，4），求這個二次函數(shù)的解析式；
(2)若（x1，y1），（4，y2）在該函數(shù)圖象上，當y2＞y1時，求x1的取值范圍；
(3)該函數(shù)圖象與x軸只有一個交點時，將該圖象向上平移2個單位恰好經(jīng)過點（4，8），當m≤x≤n時，2m≤y≤2n，求m﹣n的值．
【答案】(1)y＝4x2﹣8x+4
(2)﹣2＜x1＜4
(3)-3
【解析】
【分析】
(1)利用待定系數(shù)法解答即可；
(2)利用拋物線的解析式求得拋物線的對稱軸，利用拋物線的對稱性得到點(4,y2)關(guān)于對稱軸x=1的對稱點為(?2,y2)，從而根據(jù)已知條件確定出點(x1,y1)的大致位置，結(jié)論可得；
(3)利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式，根據(jù)拋物線的對稱性，利用分類討論的思想方法得到m，n的關(guān)系式，從而求出m，n的值，即可求得．
(1)
解：∵該圖象經(jīng)過點A（1，0），B（2，4），
∴．
解得：．
∴這個二次函數(shù)的解析式為y＝4x2﹣8x+4．
(2)
解：∵x1，
∴二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的對稱軸為直線x＝1．
∴點（4，y2）關(guān)于對稱軸x＝1的對稱點為（﹣2，y2）．
∵a＞0，
∴拋物線y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）開口向上．
∵點（x1，y1），（4，y2）在該函數(shù)圖象上，且y2＞y1，
∴點（x1，y1）在（4，y2）與（﹣2，y2）之間．
∴﹣2＜x1＜4．
∴x1的取值范圍為：﹣2＜x1＜4．
(3)
解：∵將該圖象向上平移2個單位恰好經(jīng)過點（4，8），
∴原拋物線一定經(jīng)過點（4，6）．
∴16a﹣8a+c＝6．
∵該函數(shù)圖象與x軸只有一個交點，
∴該函數(shù)圖象的頂點在x軸上．
∵二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的對稱軸為直線x＝1，
∴該函數(shù)圖象的頂點為（1，﹣a+c）．
∴﹣a+c＝0．
∴．
解得：．
∴原拋物4線的解析式為，
∴平移后的拋物線的解析式為，頂點為（1，2）．
當m＜n＜1時，y隨x的增大而減小，
∵m＜n，
∴2m＜2n．
∵當m≤x≤n時，2m≤y≤2n，
∴，
解得：無解．
當1≤m＜n時，y隨x的增大而增大，
∵m＜n，
∴2m＜2n．
∵當m≤x≤n時，2m≤y≤2n，
∴，
解得：．
∴m﹣n＝﹣3．
【點睛】
本題主要考查了待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線的平移的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式是解題關(guān)鍵．
5． (2023·黑龍江·牡丹江四中九年級階段練習）一天早晨，佳佳從家出發(fā)勻速步行去學校，媽媽發(fā)現(xiàn)佳佳忘帶數(shù)學書了，于是立即下樓騎車沿佳佳行進路線勻速追趕，媽媽追上佳佳后，立即按原路線返回家中，由于路人漸多，媽媽返回時的速度只是去時的，佳佳則以原速度的1．5倍趕往學校媽媽與佳佳之間的路程y（米）與佳佳從家出發(fā)后步行的時間x（分）之間的關(guān)系如圖所示（佳佳與媽媽交接學習用品耽擱的時間忽略不計），結(jié)合圖象信息解答下列問題：
(1)佳佳步行速度是______，媽媽追佳佳時的速度是______；
(2)求圖象中線段DE所表示的y與x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
(3)直接寫出佳佳出發(fā)多長時間，佳佳與媽媽相距300米的時間．
【答案】(1)50米/分鐘；150米/分鐘；
(2)（）；
(3)6分鐘或12分鐘或分鐘．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意和圖像，列出一元一次方程，解方程即可求出答案；
（2）由題意，先求出點E的坐標，然后利用待定系數(shù)法即可求出解析式；
（3）根據(jù)題意，佳佳與媽媽相距300米可分為3種情況，分別求出每一種情況的時間即可
(1)
解：根據(jù)圖像，設(shè)佳佳的速度為m米/分鐘，則有
，
解得：；
設(shè)媽媽追佳佳時的速度是n米/分鐘，則
，
解得：；
∴佳佳步行速度是50米/分鐘；媽媽追佳佳的速度為150米/分鐘；
故答案為：50米/分鐘；150米/分鐘；
(2)
解：由圖可知，點E表示媽媽已經(jīng)回到家，則
媽媽回家所用的時間為：（分鐘），
∴點E的橫坐標為：，
此時佳佳走過的路程為：（米），
∴點E的縱坐標為1312.5；
設(shè)線段DE的解析式為，則
把點D（15，0），點E（22.5，1312.5）代入，得
，解得，
∴；
∴自變量x的取值范圍是；
∴（）；
(3)
解：根據(jù)題意，
①當佳佳出發(fā)300米，媽媽在家沒有出發(fā)時，有
（分鐘）；
②當媽媽追佳佳時相距300米，有
，
解得：；
③當媽媽返回家途中，與佳佳相距300米，有
，
解得：，
∴此時的時間是（分鐘）；
綜合上述，佳佳與媽媽相距300米的時間為：6分鐘或12分鐘或分鐘．
【點睛】
本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能夠理解函數(shù)圖象各個拐點的實際意義求解．
1． (2023·貴州遵義·九年級期末）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+4（a≠0，a、b為常數(shù)）的圖象與x軸交于點A（﹣1，0），B（6，0），與y軸的正半軸交于點C，過點C的直線y＝﹣x+4與x軸交于點D．
(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)如圖1，點P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個動點，試探究點P的坐標是多少時，△CDP的面積最大，并求出最大面積；
(3)如圖2，點M是二次函數(shù)圖象上一動點，過點M作ME⊥CD于點E，MF//x軸交直線CD于點F，是否存在點M，使得△MEF≌△COD，若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)P（,），最大面積為
(3)M（2，8）或M（5，4）
【解析】
【分析】
（1）將A（?1，0），B（6，0）代入y＝ax2＋bx＋4，即可求解；
（2）過點P作PG⊥x軸交直線CD于點G，設(shè)P（t，），則G（t，），由S△CDP＝S△PCG?S△PDG＝×PG×3＝?（t?）2＋，即可求解；
（3）由題意可得FM＝5，設(shè)M（m，），則F（m?5，），再由F點在直線CD上，即可求m的值，進而確定M點的坐標．
(1)
解：將A（?1，0），B（6，0）代入y＝ax2＋bx＋4，
∴，
∴，
∴
(2)
過點P作PG⊥x軸交直線CD于點G，
設(shè)P（t，），則G（t，），，
∴GP＝
令y＝0，則x＝3，
∴D（3，0），
∵S△CDP＝S△PCG?S△PDG＝×PG×3＝?（t?）2＋，，
∴當t＝時，S△CDP有最大值
此時P（,）；
(3)
存在點M，使得△MEF≌△COD，理由如下：
∵ME⊥CD，
∴∠MEF＝90°，
∵MF∥x軸，
∴∠FME＝∠CDO，
∵△MEF≌△COD，
∴MF＝CD，
∵OC＝4，OD＝3，
∴CD＝5，
∴FM＝5，
設(shè)M（m，），則F（m?5，），
∵F點在直線CD上，
∴＝
∴m＝2或m＝5，
∴M（2，8）或M（5，4）．
【點睛】
本題是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2． (2023·河南省實驗中學模擬預測）在平面直角坐標系中，已知點，，，拋物線經(jīng)過，，三點中的兩點．
(1)求拋物線的表達式；
(2)點為（1）中所求拋物線上一點，且，求的取值范圍；
(3)一次函數(shù)（其中與（1）中所求拋物線交點的橫坐標分別是和，且，請直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
（2）根據(jù)拋物線圖象上點的坐標特征，即可求得；
（3）根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得．
(1)
解：由題意可知：拋物線經(jīng)過，兩點，
．
解得：，
拋物線的表達式為：；
(2)
解：拋物線，
頂點坐標為，
當時，；當時，，
當時，；
(3)
解：，
拋物線開口向下，與軸的交點為，，
一次函數(shù)，
一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，
一次函數(shù)（其中與（1）中所求拋物線交點的橫坐標分別是和，且，
一次函數(shù)經(jīng)過一、三、四象限，
，
．
【點睛】
本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)和二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)．
3． (2023·四川成都·九年級期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝x+b與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點A(3，n)，與y軸交于點B(0，﹣2)，點P是反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上一動點，過點P作直線PQy軸交直線y＝x+b于點Q，設(shè)點P的橫坐標為t，且0＜t＜3，連接AP，BP．
(1)求k，b的值．
(2)當ABP的面積為3時，求點P的坐標．
(3)設(shè)PQ的中點為C，點D為x軸上一點，點E為坐標平面內(nèi)一點，當以B，C，D，E為頂點的四邊形為正方形時，求出點P的坐標．
【答案】(1)b=-2，k=3
(2)
(3)或
【解析】
【分析】
(1)將點B代入y=x+b，求得b，進而求得y=x-2，將A點坐標代入求得n；
(2)表示出PQ的長，根據(jù)PQ(xA-xB)=3求得t，進而得出點P的坐標；
(3)分為BC為邊點D在x軸正半軸上和在負半軸上，以及BC為對角線兩種情況．當BC為邊時，點D在x軸正半軸上時，過點C作CF⊥y軸，作DG⊥CF，證明△BCF≌△CGD，進而得出CF=OF，從而求得t的值，另外情況類似方法求得．
(1)
解：∵直線y=x+b過點B(0，-2)，
∴0+b=-2，
∴b=-2；
∵直線y=x-2過點A(3，n)，
∴n=3-2=1，
∴A(3，1)，
∵y＝過點A(3，1)，
∴k=xy=3×1=3．
(2)
解：設(shè)，Q(t，t-2)，A(3，1)，B(0，-2)，
∴，
∵，其中分別表示A、B、P三點的橫坐標，
∴，
解得，經(jīng)檢驗是原方程的解，
∴．
(3)
解：，Q(t，t-2)，的中點，
分類討論：
情況一：當BC為邊且點D在x軸正半軸上，作CF⊥OB于F，作DG⊥CF于G，如下圖1所示：
∴∠BFC=∠G=90°，
∴∠FBC+∠FCB=90°，
∵∠BCD=90°，
∴∠DCG+∠FCB=90°，
∴∠FBC=∠DCG，
∵BC=CD，
∴△BFC≌△CGD（AAS），
∴CF=DG，
∵OF=DG，
∴OF=CF，
即，解得(舍去)，經(jīng)檢驗，是原方程的解，
∴此時P點坐標為；
情況二：當BC為邊且點D在x軸負半軸上，過B點作FG⊥y軸于B，作DF⊥GF于F，作CG⊥GF于點G，如下圖2所示：
同情況一中思路，同理可證：△DFB≌△BGC(AAS)，
∴BG=DF=2，
∴t=2，
此時P點坐標為；
情況三：當BC為對角線時，過D作FG⊥x軸，過C作CF⊥FG于F，過B作BG⊥FG于G，設(shè)PQ交x軸于N，如下圖3所示：
同理可證：△CFD≌△DGB(AAS),
∴CF=DG=OB=DN=2，BG=DF=DO=CN=，
又∵ON=DN-DO，
∴，
解出：，經(jīng)檢驗，是原方程的解，
∴此時P點坐標為；
綜上所述，P點坐標為或．
【點睛】
本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)關(guān)系式，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是正確分類，畫出圖形，根據(jù)線段之間的和、差關(guān)系列出方程求解．
4． (2023·江蘇揚州·一模）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，點B坐標為頂點P的坐標為，以AB為直徑作圓，圓心為D，過P向右側(cè)作的切線，切點為C．
(1)求拋物線的解析式；
(2)請通過計算判斷拋物線是否經(jīng)過點C；
(3)設(shè)M，N分別為x軸，y軸上的兩個動點，當四邊形PNMC的周長最小時，請直接寫出M，N兩點的坐標．
【答案】(1)；
(2)見解析；
(3)M點坐標為：，N點坐標為：
【解析】
【分析】
（1）可設(shè)頂點式，將頂點為，點代入求出拋物線的解析式；
（2）首先求出D點坐標，再利用CD等于圓O半徑為，由，得出C點坐標即可，進而判斷拋物線是否經(jīng)過點C即可；
（3）作C關(guān)于x軸對稱點，P關(guān)于y軸對稱點，連接，與x軸，y軸交于M、N點，此時四邊形PNMC周長最小，求出直線的解析式，求出圖象與坐標軸交點坐標即可．
(1)
解:設(shè)拋物線的解析式為把，，代入得；，
把，代入，解得，
∴拋物線的解析式為：，即：；
(2)
解:如圖,
作拋物線的對稱軸，
把代入解得，，
∴A點坐標為，
∴，
∴，
∴D點坐標為，而拋物線的對稱軸為直線，
∴點D在直線上，
過點C作，軸，垂足分別為E，F(xiàn)，連接DC，
∵PC是的切線，
∴，在中
∵，
∴，
解直角三角形CDE，可得，，
∴C點坐標為，
把代入得：，
∴點C在拋物線上；
(3)
解：如圖2，作點C關(guān)于x軸的對稱點，點P關(guān)于y軸的對稱點，連接，分別交x軸，y軸于M，N兩點，
此時四邊形PNMC的周長最小，
∵C點坐標為，
∴點坐標為，
∵P的坐標為，
∴的坐標為，
代入中，，
解得：，
則直線的解析式為：，
當，，
故N點坐標為：，
當，則，
解得：，
故M點坐標為：．
【點睛】
本題考查了用頂點式求二次函數(shù)的解析式以及利用對稱性求四邊形的最小值,利用軸對稱找到M,N的位置是解題的關(guān)鍵.
5． (2023·福建省福州屏東中學九年級期中）在平面直角坐標系中，拋物線：與x軸交于點A，B（點B在點A的右側(cè)）．拋物線頂點為C點，△ABC為等腰直角三角形．
(1)求此拋物線解析式．
(2)若直線與拋物線有兩個交點，且這兩個交點與拋物線的頂點所圍成的三角形面積等于，求k的值．
(3)若點，且點E，D關(guān)于點C對稱，過點D作直線交拋物線于點M，N，過點E作直線軸，過點N作于點F，求證：點M，C，F(xiàn)三點共線．
【答案】(1)
(2)或5
(3)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）令可得A(1，0)，B(3，0)，利用對稱軸，代入拋物線解析式求出C(2，－a)，因為△ABC為等腰直角三角形，所以C到AB的距離等于AB的一半且a

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