廣西柳州市第十五中學(xué)2023年九年級(jí)中考四模數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1. 的絕對(duì)值為（）
A. B. C. D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，熟記運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．根據(jù)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是其相反數(shù)進(jìn)行作答即可．
【詳解】解：的絕對(duì)值為6，
故選：D．
2. 下面四幅圖是我國(guó)一些博物館的標(biāo)志，其中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A.既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
B.不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
C.不是中心對(duì)稱圖形，也不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
D.不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
故選：A
【點(diǎn)睛】本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念，如果一個(gè)圖形繞一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，能和自身完全重合，則這個(gè)圖形是中心對(duì)稱圖形，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，兩部分能完全重合，則這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．
3. 詩詞“坐地日行八萬里，巡天遙看一千河”中的“八萬里”用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）
A. 里B. 里C. 里D. 里
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，n為整數(shù)，確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于等于10時(shí)，n是正數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值小于1時(shí)n是負(fù)數(shù)；由此進(jìn)行求解即可得到答案．
【詳解】解：八萬里里，
故選：A．
4. 下列事件是必然事件的是（）
A. 沒有水分，種子發(fā)芽B. 拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面向上
C. 打開電視，正播廣告D. 如果a、b都是實(shí)數(shù)，那么
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件；不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行分析即可．
【詳解】解：A．沒有水分，種子發(fā)芽是確定事件中的不可能事件，故不符合題意；
B．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面向上是隨機(jī)事件，故不符合題意；
C．打開電視，正播廣告是隨機(jī)事件，故不符合題意；
D．如果a、b都是實(shí)數(shù)，那么是確定事件中必然事件，故符合題意；
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是事件的分類，事件分為確定事件和不確定事件（隨機(jī)事件），確定事件又分為必然事件和不可能事件．
5. 矩形具有但菱形不一定具有的性質(zhì)是（）
A. 對(duì)邊平行且相等B. 對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)
C. 對(duì)角線互相垂直D. 對(duì)角線相等
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)矩形和菱形的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可．
【詳解】解：矩形的性質(zhì)有：①矩形的對(duì)邊平行且相等，
②矩形的四個(gè)角都是直角，
③矩形的對(duì)角線互相平分且相等，
菱形的性質(zhì)有：①菱形的對(duì)邊平行，菱形的四條邊都相等，
②菱形的對(duì)角相等，
③菱形的對(duì)角線互相平分且垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角，
所以矩形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是對(duì)角線相等，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形和菱形的性質(zhì)，能熟記矩形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．
6. 如圖，直線，將一個(gè)含角的三角尺按如圖所示的位置放置，若，則的度數(shù)為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作，先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，再證明，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角相等即可求解．
【詳解】解：如圖，作，
∵三角尺是含角的三角尺，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等求解．
7. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（3，-4）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)是（）
A. （3，4）B. （-3，-4）C. （-3，4）D. （-4，3）
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)直角坐標(biāo)系和軸對(duì)稱的性質(zhì)分析，即可得到答案．
【詳解】點(diǎn)A（3，-4）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)是：（-3，-4）
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角坐標(biāo)系、軸對(duì)稱的性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握坐標(biāo)、軸對(duì)稱的性質(zhì)，從而完成求解．
8. 如圖，五線譜是由等距離、等長(zhǎng)度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C都在橫線上，若線段，則線段的長(zhǎng)是（）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可．
【詳解】解：∵五線譜是由等距離、等長(zhǎng)度的五條平行橫線組成的，
∴，
∵，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
9. 某小組在一次“在線測(cè)試”中做對(duì)的題數(shù)分別是，對(duì)于這組數(shù)據(jù)，下列判斷錯(cuò)誤的是（）
A. 眾數(shù)是B. 中位數(shù)是C. 平均數(shù)是D. 方差是
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)，方差的定義求解判斷即可．
【詳解】解：把這組數(shù)據(jù)從小到大排列為，處在最中間的數(shù)是8，
∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為8，故B不符合題意；
∵這組數(shù)據(jù)中8出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，
∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為8，故A不符合題意；
這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故C不符合題意；
這組數(shù)據(jù)的方差為，故D符合題意；
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)，方差，熟知平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)，方差的定義是解題的關(guān)鍵．
10. 我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中記載：“今有綾七尺，羅九尺，共價(jià)適等；只云羅每尺價(jià)比綾每尺少錢三十六文，問各錢價(jià)若干？”意思是：現(xiàn)在有一匹7尺長(zhǎng)的綾布和一匹9尺長(zhǎng)的羅布恰好一樣貴，只知道每尺羅布比綾布便宜文，問兩種布每尺各多少錢？設(shè)綾布每尺x文，羅布每尺y文，那么可列方程組為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)“7尺長(zhǎng)綾布和一匹9 尺長(zhǎng)的羅布恰好一樣貴”和“每尺羅布比綾布便宜文”列出方程組即可．
【詳解】解：根據(jù)題意得：
；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了列二元一次方程組，靈活找出等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．
11. 如圖，點(diǎn)O是半圓圓心，BE是半圓的直徑，點(diǎn)A，D在半圓上，且，，過點(diǎn)D作于點(diǎn)C，則陰影部分的面積是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如圖：連接，根據(jù)已知條件可得是等邊三角形，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形的面積求解即可．
【詳解】解：如圖：連接，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∵與與是等底等高的三角形，
∴．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形面積的計(jì)算，判斷出△AOD與△ABD與△AOB是等底等高的三角形，且△AOB是等邊三角形，掌握扇形的面積公式是解題關(guān)鍵．
12. 如圖是一個(gè)按某種規(guī)律排列的數(shù)陣：根據(jù)規(guī)律，自然數(shù)2021應(yīng)該排在從上向下數(shù)的的第行，是該行中的從左向右數(shù)的的第個(gè)數(shù)，那么的值是（）
A. 131B. 130C. 129D. 128
【答案】B
【解析】
【分析】由題意易得每行的最后一個(gè)數(shù)是這個(gè)行的行數(shù)的平方，第行的數(shù)字個(gè)數(shù)是，由此規(guī)律可進(jìn)行求解m和n的值，然后問題可求解．
【詳解】解：由題意得：每行的最后一個(gè)數(shù)是這個(gè)行的行數(shù)的平方，第行的數(shù)字個(gè)數(shù)是，則有：
∵，
∴2021在第45行，
∵，
∴第45行最后一個(gè)數(shù)字是2025，第45行有個(gè)數(shù)字，第一個(gè)數(shù)字是，
∴2021是第85個(gè)數(shù)字，
∴，
∴，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字規(guī)律，解題的關(guān)鍵是由題意得到一般規(guī)律進(jìn)行求解即可．
二、填空題（每小題2分，共6小題，共12分）
13. 因式分解：______．
【答案】##
【解析】
【分析】先提公因式，再利用平方差公式繼續(xù)分解即可解答．
詳解】解：
＝
＝
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，一定要注意如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，必須先提公因式．
14. 如圖，若隨機(jī)閉合開關(guān)，，中的兩個(gè)，則能讓兩燈泡同時(shí)發(fā)光的概率為______
【答案】
【解析】
【分析】首先根據(jù)題意列出表格，然后由表格求得所有等可能結(jié)果和能讓兩盞燈泡同時(shí)發(fā)光的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．
【詳解】解：列表如下：
由表格可知一共有6種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中能讓兩燈泡同時(shí)發(fā)光的結(jié)果數(shù)有2種，
∴能讓兩燈泡同時(shí)發(fā)光的概率為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．注意樹狀圖法與列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；注意概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
15. 關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 _____．
【答案】且m≠2
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義以及根的判別式的意義得到且，求出的取值范圍即可．
【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
且，
且，
且．
故答案為：且．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了根的判別式以及一元二次方程的意義的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則根的判別式，此題難度不大．
16. 如圖，直線與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A，B，與x軸交于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)C，若，則k=______．
【答案】
【解析】
【分析】連接，由軸于點(diǎn)C，得出軸，即可得出，再根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可得出，解得．
【詳解】解：連接，
∵過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)C，
∴軸，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，考查了同底等高的三角形面積相等，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，明確是解題的關(guān)鍵．
17. 如圖，四邊形為矩形，，，連接，分別以A，C為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)P，Q，連接分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，則線段的長(zhǎng)為______．

【答案】
【解析】
【分析】連接，根據(jù)作圖可知：垂直平分，推出四邊形是平行四邊形，設(shè)，勾股定理求出的長(zhǎng)，在中，勾股定理求出的長(zhǎng)，即可得解．
【詳解】解：∵四邊形為矩形，，，
∴，，
∴，
連接，

由作圖可知：垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
設(shè)，則：，
在中，，解得：；
在中，，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，中垂線的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理．解題的關(guān)鍵是根據(jù)作圖得到垂直平分．
18. 如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=，點(diǎn)E為邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為EC的中點(diǎn)，連接BE，點(diǎn)G在BE上，且EF=GF，在點(diǎn)E從點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A的過程中，點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為_______．
【答案】
【解析】
【分析】連接，，取的中點(diǎn)，連接，證明在圓上，進(jìn)而可得，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得是定值，進(jìn)而可得點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后求得的長(zhǎng)度即可．
【詳解】如圖，連接，，取中點(diǎn)，連接
四邊形是矩形，AB=4，AD=，
,
是的中點(diǎn)，
在以為圓心，為直徑的圓上，
是的中點(diǎn)，則中，
的在以為半徑，為圓心的弧上運(yùn)動(dòng)
當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，如圖，
點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是直角，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角度，求弧長(zhǎng)，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明、推理過程或演算步驟）
19. 計(jì)算：．
【答案】
【解析】
【分析】先化簡(jiǎn)二次根式，再進(jìn)行乘除運(yùn)算，最后進(jìn)行加減運(yùn)算．
【詳解】解：
=
=
=．
【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì)．
20. 先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
【答案】-x-3y；-2
【解析】
【分析】首先把分子分母中能分解因式的分解因式，然后進(jìn)行約分，最后合并同類項(xiàng)并代值計(jì)算．
【詳解】解：
=
=x-y-2x-2y
=-x-3y，
當(dāng)x=3，y=-時(shí)，
原式=-3-3×（-）
=-2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，式子化到最簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵．
21. 如圖，點(diǎn)D和點(diǎn)C在線段BE上，，，．求證：．
【答案】見解析
【解析】
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)證（SAS）即可求證；
【詳解】證明：∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
在和中
∵
∴（SAS）．
∴
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的全等證明、平行線的性質(zhì)，掌握相關(guān)知識(shí)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
22. 隨著時(shí)代發(fā)展，人們乘坐公交車支付車票的方式更加多樣、便捷．某校數(shù)學(xué)實(shí)踐小組設(shè)計(jì)了一份公交車票支付方式調(diào)查問卷，要求每位被調(diào)查人選且只選一種最喜歡的支付方式．現(xiàn)將調(diào)查結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)并繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．
根據(jù)所給的信息解答下列問題；
（1）這次活動(dòng)共調(diào)查了______人；在扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示“微信”支付的扇形圓心角的度數(shù)為______；
（2）將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；
（3）小明和小亮都沒有公交卡，在乘車中，想從“微信”“支付寶”“現(xiàn)金”“云閃付”四種支付方式中選一種方式進(jìn)行支付，請(qǐng)用畫樹狀圖或列表格的方法，求出兩人恰好選擇同一種支付方式的概率．
【答案】（1）200，
（2）見解析（3）兩人恰好選擇同一種支付方式的概率為．
【解析】
【分析】（1）用微信支付的人數(shù)除以所占的百分比得到調(diào)查的總?cè)藬?shù)，然后用乘以喜歡用微信的人數(shù)的百分比得到“微信”支付的扇形圓心角的度數(shù)；
（2）先計(jì)算出用公交卡和現(xiàn)金支付的人數(shù)，然后補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（3）畫樹狀圖展示所有16種等可能的結(jié)果數(shù)，找出兩人恰好選擇同一種支付方式的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．
【小問1詳解】
解：（人），
所以這次活動(dòng)共調(diào)查了200人；
在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，表示“微信”支付的扇形圓心角的度數(shù)；
故答案為：200，；
【小問2詳解】
解：用公交卡支付的人數(shù)為（人），
用現(xiàn)金支付的人數(shù)為（人），
條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充為：
；
【小問3詳解】
解：小明和小亮用甲和乙表示，“微信”“支付寶”“現(xiàn)金”“云閃付”四種支付方式分別用A，B，C，D表示，畫樹狀圖如下：
由樹狀圖可知，共有16種等可能的結(jié)果數(shù)，其中小明和小亮兩人恰好選擇同一種支付方式的有4種結(jié)果，
所以兩人恰好選擇同一種支付方式的概率為．
【點(diǎn)睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計(jì)算事件A或事件B的概率．也考查了條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖．
23. 隨著夏季的來臨，某家電超市計(jì)劃購進(jìn)甲、乙兩種品牌電風(fēng)扇進(jìn)行銷售．在采購時(shí)發(fā)現(xiàn)，用10000元采購甲品牌電風(fēng)扇的臺(tái)數(shù)與用8000元采購乙品牌電風(fēng)扇的臺(tái)數(shù)相等，一臺(tái)甲品牌電風(fēng)扇的進(jìn)價(jià)比一臺(tái)乙品牌電風(fēng)扇的進(jìn)價(jià)高出100元．
（1）求甲、乙兩種品牌電風(fēng)扇每臺(tái)的進(jìn)價(jià)；
（2）該超市計(jì)劃購進(jìn)這兩種品牌的電風(fēng)扇共50臺(tái)，并且甲品牌臺(tái)數(shù)不超過乙品牌臺(tái)數(shù)的2倍．若甲、乙兩種品牌電風(fēng)扇每臺(tái)的售價(jià)分別為650元和500元，要使這兩種品牌的電風(fēng)扇售完后超市獲取的利潤(rùn)最大，應(yīng)怎樣安排購進(jìn)數(shù)量，并求出最大利潤(rùn)．
【答案】（1）甲品牌電風(fēng)扇每臺(tái)的進(jìn)價(jià)是500元，乙品牌電風(fēng)扇每臺(tái)的進(jìn)價(jià)是400元
（2）購進(jìn)甲品牌電風(fēng)扇33臺(tái)，乙品牌電風(fēng)扇17臺(tái)，兩種品牌的電風(fēng)扇售完后該超市獲得的最大利潤(rùn)為6650元
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，列出分式方程并求解即可；
（2）根據(jù)題意，列出關(guān)系式再通過不等式判斷最值即可．
【小問1詳解】
解：設(shè)乙品牌電風(fēng)扇每臺(tái)的進(jìn)價(jià)為x元，則甲品牌電風(fēng)扇每臺(tái)的進(jìn)價(jià)為元．
根據(jù)題意，得．
解，得．
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解．
此時(shí)，．
答：甲品牌電風(fēng)扇每臺(tái)的進(jìn)價(jià)是500元，乙品牌電風(fēng)扇每臺(tái)的進(jìn)價(jià)是400元．
【小問2詳解】
設(shè)購進(jìn)甲品牌的電風(fēng)扇m臺(tái)，兩種品牌的電風(fēng)扇全部售完后，可獲利w元．
根據(jù)題意，得，解，得．
．
∵，
∴w隨m的增大而增大．
∵，
∴當(dāng)m取最大整數(shù)33時(shí)，w取得最大值．
此時(shí)，，．
答：購進(jìn)甲品牌電風(fēng)扇33臺(tái)，乙品牌電風(fēng)扇17臺(tái)，兩種品牌的電風(fēng)扇售完后該超市獲得的最大利潤(rùn)為6650元．
【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用、不等式的應(yīng)用，正確解讀題意列出關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
24. 如圖，是的直徑，C為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．為切線，D為切點(diǎn)，于點(diǎn)H，交于點(diǎn)E．

（1）求證：；
（2）若，，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）見解析（2）
【解析】
【分析】（1）連接，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)得到，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，通過等量代換即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形中位線定理，得到，設(shè)，，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可求得的長(zhǎng)，即可求得的長(zhǎng)；再根據(jù)相似三角形的判定，可證得，利用相似三角形的性質(zhì)及勾股定理，即可求得半徑的長(zhǎng)．
【小問1詳解】
證明：如圖：連，

，
為直徑，
，
，
，
，
為切線，
，，
，
，
；
【小問2詳解】
解：，，
點(diǎn)H是的中點(diǎn)，
，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，
是的中位線，
，，
，
設(shè)，則，
，
，
，
，
，
解得，
，
，
，
，，
為的中點(diǎn)，
，
在中，．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，平行線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
25. 問題情境：在綜合實(shí)踐課上，老師讓大家動(dòng)手操作三角形紙片的折疊問題，“智慧”小組提供了如下折疊方法：
如圖①，經(jīng)過點(diǎn)A 的直線折疊紙片，使得邊落在邊上，折痕為，交于點(diǎn)D，得到圖②，再將紙片展平在一個(gè)平面上，得到圖③．再次折疊．紙使得A 與點(diǎn)D重合，折痕為，得到圖④，再次將紙片展平在一個(gè)平面上，連接，得到圖⑤．
操作與發(fā)現(xiàn)：（1）證明四邊形是菱形．
操作與探究：（2）在圖⑤中，有求的長(zhǎng)．
操作與實(shí)踐：（3）若中，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．
【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）由折疊可知，，，再證明，推出，則可證明四邊形是平行四邊形，即可證明四邊形是菱形；
（2）設(shè)與相交于點(diǎn)O，先由三角形內(nèi)角和定理得到，
∵四邊形是菱形，再由菱形的性質(zhì)得到，，，，則由含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可得；
（3）先證明菱形是正方形，再由，求出，則．
【詳解】解：（1）由折疊可知，，，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形．
∵，
∴四邊形是菱形；
（2）設(shè)與相交于點(diǎn)O，
∵，
∴，
∵四邊形是菱形，
∴，，，，
∴，
∴；
（3）∵，
∴菱形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與判斷，正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等等，熟知菱形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．
26. 如圖1，拋物線與x軸分別交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P坐標(biāo)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖2，將拋物線 x 軸上方的圖象沿x軸翻折，翻折后的圖象和原拋物線圖象組成一個(gè)新的圖象（如圖 2實(shí)線部分和虛線部分，），記為圖象 L．若直線與該新圖象L恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，請(qǐng)求出此時(shí) n 的取值范圍．
（3）在（2）件下的新圖象L，連接，若點(diǎn)D在新圖象L上且求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【答案】（1）
（2）n的值為或
（3）或
【解析】
【分析】（1）把，，代入，求出a、b、c的值，即可得出函數(shù)解析式；
（2）先得出將二次函數(shù)圖像x軸上方的部分關(guān)于x軸翻折后的函數(shù)解析式為，然后進(jìn)行分類討論：①當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，②當(dāng)不經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，即可解答；
（3）過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，推出，由圖可知，點(diǎn)D在點(diǎn)B左邊，進(jìn)行分類討論：①當(dāng)點(diǎn)D在上時(shí)，連接，過點(diǎn)D做x軸的垂線，垂足為點(diǎn)F，設(shè)，則，根據(jù)，列出方程求出t的值即可； ②當(dāng)點(diǎn)D在上時(shí)，同理可得，即可解答．
【小問1詳解】
解：把，，代入得：
，
解得：，
∴拋物線的解析式為；
【小問2詳解】
解：將二次函數(shù)圖像x軸上方的部分關(guān)于x軸翻折后的函數(shù)解析式為，
①當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，
把代入得：，
解得：，
∴，
聯(lián)立和得：
，
則，
解得：，，
∴與相交于，
聯(lián)立和得：
，
則，
解得：，
∴與相交于，
∴當(dāng)時(shí)，直線與該新圖象L恰好有三個(gè)公共點(diǎn)；
②當(dāng)不經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，
由圖可知，將向下平移n個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，直線與該新圖象L恰好有三個(gè)公共點(diǎn)
∴與有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
聯(lián)立得：，
則，
∴，
解得：，
綜上：n的值為或；
【小問3詳解】
解：過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，
∵，
∴，
由圖可知，點(diǎn)D在點(diǎn)B左邊，
①當(dāng)點(diǎn)D在上時(shí)，連接，過點(diǎn)D做x軸的垂線，垂足為點(diǎn)F，
設(shè)，則，
∵點(diǎn)P坐標(biāo)，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得：（與點(diǎn)B重合，舍去），
∴，
②當(dāng)點(diǎn)D在上時(shí)，
設(shè)，則，
同理可得：，即，
解得：（與點(diǎn)B重合，舍去），
∴，
綜上：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，求二次函數(shù)解析式，解直角三角形，二次函數(shù)和一次函數(shù)交點(diǎn)問題．熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理，正確畫出輔助線，是解題的關(guān)鍵．
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）

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