考法一 復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部
【例1-1】（2023·貴州遵義·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部是（ ）
A．B．C．D．
【例1-2】（2023·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測(cè)）已知，若的虛部等于實(shí)部的兩倍，則實(shí)數(shù)（ ）
A．3B．C．D．
【變式】
1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（ ）
A．B．3C．D．4
2．（2023·遼寧鞍山·鞍山一中?？级＃┤鬷是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部等于（ ）
A．2B．C．D．
3（2023·河南·長(zhǎng)葛市第一高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)，則的實(shí)部為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·福建寧德·?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)，若復(fù)數(shù)的虛部為3（其中為虛數(shù)單位），則（ ）
A．B．C．D．3
考法二 共軛復(fù)數(shù)
【例2-2】（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【例2-3】（2023·全國(guó)·唐山市第十一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)（ ）
A．B．C．D．
【變式】
1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知，則（ ）
A．B．C．0D．1
3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）若，則（ ）
A．B．C．D．
考法三 相等復(fù)數(shù)
【例3-1】（2023·新疆·統(tǒng)考三模）已知，其中，為虛數(shù)單位，則（ ）
A．B．1C．D．2
【例3-2】（2023·甘肅金昌·永昌縣第一高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則（ ）
A．B．C．D．
【變式】
1．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)，其中，為實(shí)數(shù)，則（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，則（ ）
A．-1B．0 ·C．1D．2
3．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知（為虛數(shù)單位），則（ ）
A．B．C．D．
考法四 復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)
【例4-1】（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）若復(fù)數(shù)z滿足，則（ ）
A．1B．5C．7D．25
【例4-2】．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）（ ）
A．1B．2C．D．5
【變式】
1．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）若，則（ ）
A．1B．2C．D．
2．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則（ ）.
A．B．C．2D．1
3（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)，則（ ）
A．0B．C．1D．2
考法五 在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的象限
【例5-1】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)z滿足，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【例5-2】（2023·河北秦皇島·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則實(shí)數(shù)的范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【變式】
1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
2．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·河南開(kāi)封·統(tǒng)考三模）“”是“復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
考法六 復(fù)數(shù)的分類
【例6-1】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)（），則（ ）
A．B．2C．D．
【例6-2】（2023·河南信陽(yáng)·信陽(yáng)高中?？寄M預(yù)測(cè)）已知，復(fù)數(shù)，是實(shí)數(shù)，則（ ）
A．5B．10C．D．
【變式】
1．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值是（ ）
A．-1B．1C．0或-1D．0或1
2．（2023·山西運(yùn)城·山西省運(yùn)城中學(xué)校?？级＃┮阎獮樘摂?shù)單位，若為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)（ ）
A．B．4C．2D．
3．（2023·河南·統(tǒng)考三模）復(fù)數(shù)純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）
A．B．C．4D．1
考法七 在復(fù)數(shù)的范圍內(nèi)解方程
【例7-1】（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的兩根，則的值為（ ）
A．-3B．-2C．2D．3
【例7-2】（2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，為實(shí)數(shù)，（i為虛數(shù)單位）是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則（ ）
A．0B．1C．2D．4
【變式】
1．（2023·重慶·統(tǒng)考三模）設(shè)，是方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩個(gè)解，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·遼寧沈陽(yáng)·沈陽(yáng)市第一二〇中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知（是虛數(shù)單位）是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則（ ）
A．9B．1C．D．
3．（2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知方程有實(shí)根b，且，則復(fù)數(shù)z等于（ ）
A．B．C．D．
考法八 與復(fù)數(shù)相關(guān)的軌跡
【例8】．（2023·河北滄州·?？既＃┰O(shè)復(fù)數(shù)滿足，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（ ）
A．B．
C．D．
【變式】
1．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位為純虛數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為（ ）
A．圓B．一條線段C．兩條直線D．不含端點(diǎn)的4條射線
2．（2023·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿足在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則下列為真命題的是（ ）．
A．若，則點(diǎn)在圓上
B．若，則點(diǎn)在橢圓上
C．若，則點(diǎn)在雙曲線上
D．若，則點(diǎn)在拋物線上
考法九 最值
【例9-1】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，且，若，則的最大值是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【變式】
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿足，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·四川遂寧·高二射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為（ ）
A．1B．3C．D．
3．（2023·上海·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)且，滿足，則的取值范圍為_(kāi)____．
考法十 復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)用
【例10】（2023秋·遼寧·高三東北育才學(xué)校校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）（多選）設(shè)復(fù)數(shù)，且,其中為確定的復(fù)數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（ ）.
A．若，則是實(shí)數(shù)
B．若，則存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)使得
C．若 ，則 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是射線
D．若，則
【變式】
1．（2023秋·遼寧撫順）（多選）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則在第二象限
B．若為純虛數(shù)，則在虛軸上
C．若，則點(diǎn)的集合所構(gòu)成的圖形的面積為
D．若，互為共軛復(fù)數(shù)，則是實(shí)數(shù)
2．（2023春·河北石家莊）（多選）下列命題中正確的是（ ）
A．若，則
B．若復(fù)數(shù)滿足，則
C．若，則復(fù)數(shù)一定為實(shí)數(shù)
D．若復(fù)數(shù)滿足，則最大值為
3．（2023秋·廣東河源·高三河源市河源中學(xué)校考階段練習(xí)）（多選）已知復(fù)數(shù)z，，，是z的共軛復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．若，則
C．D．若，則的最小值為1
一、單選題
1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的共軛復(fù)數(shù)（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）（ ）
A．B．1C．D．
3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，其中為實(shí)數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）若．則（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知，且，其中a，b為實(shí)數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）若，則（ ）
A．B．C．1D．2
8．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，則（ ）
A．B．C．D．
9．（2021·全國(guó)·高考真題）已知，則（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·遼寧撫順·?？寄M預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，，，若，則z的虛部為（ ）
A．-3B．3C．-4D．4
11．（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）下列關(guān)于復(fù)數(shù)的說(shuō)法，正確的是（ ）
A．復(fù)數(shù)是最小的純虛數(shù)
B．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，模為1的復(fù)數(shù)共有和四個(gè)
C．與是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)
D．虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)
12．（2023·福建福州·福州四中?？寄M預(yù)測(cè)）歐拉公式由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)，其將自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，虛數(shù)單位與三角函數(shù)，聯(lián)系在一起，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)的天橋”，若復(fù)數(shù)，則z的虛部為（ ）
A．B．1C．D．
13．（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A．的實(shí)部為3B．的虛部為1
C．D．在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限
14．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知（a，，i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)（ ）
A．2B．C．D．6
15．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知是關(guān)于方程的一個(gè)根，則（ ）
A．B．
C．D．
16．（2023·遼寧撫順·校考模擬預(yù)測(cè)）已知，其中a，b為實(shí)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
17．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z滿足，則（ ）
A．1B．C．D．1或
18．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A．B．C．D．
19．（2023·河北保定·河北省唐縣第一中學(xué)?？级＃┮阎獜?fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
20．（2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)，，且z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則（ ）
A．4B．C．D．
21（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）設(shè)復(fù)數(shù)滿足為純虛數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
22．（2023·全國(guó)·學(xué)軍中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A．2022B．2023C．D．
23（2023·重慶·校聯(lián)考三模）已知方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有一根為，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
24．（2023·河南信陽(yáng)·信陽(yáng)高中?？寄M預(yù)測(cè)）已知是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
25．（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解得方程的兩根為，則（ ）
A．4B．1C．2D．3
26．（2023春·云南）已知復(fù)數(shù)，和滿足，若，則的最大值為（ ）
A．B．3C．D．1
27．（2023春·河北石家莊 ）復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的最小值為（ ）
A．3B．4C．5D．6
28．（2023·山東）設(shè)，則滿足的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)構(gòu)成圖形的面積是（ ）
A．B．C．D．
29．（2023春·寧夏銀川 ）設(shè)復(fù)數(shù)，滿足，，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，則三角形的面積為（ ）
A．3B．C．2D．
30．（2023秋·四川遂寧·高二射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為（ ）
A．1B．3C．D．
二、多選題
31．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考二模）已知為虛數(shù)單位，下列關(guān)于復(fù)數(shù)的命題正確的有（ ）
A．B．復(fù)數(shù)的虛部為
C．若，互為共軛復(fù)數(shù)，則D．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則
32．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，，則（ ）
A．任意，均有B．任意，均有
C．存在，使得D．存在，使得
33．（2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，為復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則或
34．（2023·海南·海南中學(xué)?？既＃┮阎獜?fù)數(shù)，復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A．
B．
C．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是
D．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則
35．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)z，，是復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
36．（2023·浙江寧波·鎮(zhèn)海中學(xué)校考二模）下面四個(gè)命題中的真命題為（ ）
A．若復(fù)數(shù)滿足，則
B．若復(fù)數(shù)滿足，則
C．若復(fù)數(shù)，滿足，則
D．若復(fù)數(shù)，則
37．（2023春·湖南常德·高三常德市一中?？茧A段練習(xí)）已知為虛數(shù)單位，以下四種說(shuō)法中正確的是（ ）
A．若，則
B．若，且，則
C．若，則復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限
D．已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為直線
38．（2023秋·山東·高二濟(jì)南市歷城第二中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）若復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（ ）
A．為純虛數(shù)的充要條件是且B．
C．若，則D．若，則
39．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）（多選）在復(fù)平面內(nèi)，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則
B．若復(fù)數(shù)z滿足，則
C．若復(fù)數(shù)，則z為純虛數(shù)的充要條件是且
D．若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的集合是以原點(diǎn)O為圓心，以1為半徑的圓
40．（2023秋·遼寧 ）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（其中是虛數(shù)單位），則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．的虛部為B．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限
C．D．若，則
三、填空題
41．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）已知是虛數(shù)單位，化簡(jiǎn)的結(jié)果為 ．
42．（2023·吉林白山·撫松縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家棣莫弗提出了公式：．據(jù)此公式，復(fù)數(shù)的虛部為 ．
43．（2023·四川成都·校聯(lián)考二模）若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為 ．
44．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，，若為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為 .
45．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考三模）已知為虛數(shù)單位，且，則的最大值是 .
46．（2023·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預(yù)測(cè)）復(fù)數(shù)滿足，則 .
47．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則 .
48．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，且滿足，O為原點(diǎn)，，求的取值范圍 .
49（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)滿足的實(shí)部與虛部之比為，其中是虛數(shù)單位，，，則的最小值為 .
（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知三個(gè)復(fù)數(shù)，并且，所對(duì)應(yīng)的向量，滿足，則的取值范圍是
專題02 復(fù)數(shù)（選填題10種考法）
考法一 復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部
【例1-1】（2023·貴州遵義·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，故復(fù)數(shù)的虛部是.故選：C
【例1-2】（2023·貴州畢節(jié)·校考模擬預(yù)測(cè)）已知，若的虛部等于實(shí)部的兩倍，則實(shí)數(shù)（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)椋?br>又的虛部等于實(shí)部的兩倍，所以，解得.故選：D
【變式】
1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?br>所以，
所以的虛部為3．
故選：B．
2．（2023·遼寧鞍山·鞍山一中?？级＃┤鬷是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部等于（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【解析】，
復(fù)數(shù)的虛部等于．
故選：B．
3（2023·河南·長(zhǎng)葛市第一高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)，則的實(shí)部為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】：因?yàn)?，所以?br>所以，所以的實(shí)部為.故選：A.
4．（2023·福建寧德·?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)，若復(fù)數(shù)的虛部為3（其中為虛數(shù)單位），則（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【解析】復(fù)數(shù)，
因?yàn)槠涮摬繛?，所以，可得.故選：A.
考法二 共軛復(fù)數(shù)
【例2-2】（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，則，所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為.故選：C
【例2-3】（2023·全國(guó)·唐山市第十一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，得，所以.故選：B
【變式】
1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意可得，
則.
故選：B.
2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知，則（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【解析】因?yàn)?，所以，即?br>故選：A．
3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
故選 ：C
考法三 相等復(fù)數(shù)
【例3-1】（2023·新疆·統(tǒng)考三模）已知，其中，為虛數(shù)單位，則（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【解析】，則，
則，解得，故選：D.
【例3-2】（2023·甘肅金昌·永昌縣第一高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)復(fù)數(shù)，則，
則，則，，
所以．
故選：C.
【變式】
1．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)，其中，為實(shí)數(shù)，則（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【解析】，∴，，.
故選：A
2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，則（ ）
A．-1B．0 ·C．1D．2
【答案】C
【解析】因?yàn)椋?br>所以，解得：．故選：C.
3．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知（為虛數(shù)單位），則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，而為實(shí)數(shù)，故，
故選：B.
考法四 復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)
【例4-1】（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）若復(fù)數(shù)z滿足，則（ ）
A．1B．5C．7D．25
【答案】B
【解析】由題意有，故．
故選：B．
【例4-2】．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）（ ）
A．1B．2C．D．5
【答案】C
【解析】由題意可得，則.故選：C.
【變式】
1．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）若，則（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【解析】，則，有，
∴.
故選：D
2．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則（ ）.
A．B．C．2D．1
【答案】C
【解析】由，得，
則，所以.
故選：C.
3（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)，則（ ）
A．0B．C．1D．2
【答案】A
【解析】，
故選：A
考法五 在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的象限
【例5-1】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)z滿足，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】A
【解析】由，可得，
所以，故z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.
故選：A.
【例5-2】（2023·河北秦皇島·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則實(shí)數(shù)的范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由，
復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則，解得，故選：C．
【變式】
1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】A
【解析】因?yàn)椋?br>則所求復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限.
故選：A.
2．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】將整理化簡(jiǎn)可得，
所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，
由點(diǎn)位于第四象限可得，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：A
3．（2023·河南開(kāi)封·統(tǒng)考三模）“”是“復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?br>又復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，
所以，解得，
因此是必要不充分條件，
故選：B
考法六 復(fù)數(shù)的分類
【例6-1】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)（），則（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【解析】由題意，，
在中，
∵z為純虛數(shù)，
∴，解得：，
∴，，
故選：C．
【例6-2】（2023·河南信陽(yáng)·信陽(yáng)高中校考模擬預(yù)測(cè)）已知，復(fù)數(shù)，是實(shí)數(shù)，則（ ）
A．5B．10C．D．
【答案】C
【解析】，故，解得，故.
故選：C
【變式】
1．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值是（ ）
A．-1B．1C．0或-1D．0或1
【答案】A
【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，
所以，解得：.
故選：A.
2．（2023·山西運(yùn)城·山西省運(yùn)城中學(xué)校?？级＃┮阎獮樘摂?shù)單位，若為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)（ ）
A．B．4C．2D．
【答案】B
【解析】，
要使為實(shí)數(shù)，需滿足，所以.
故選：B.
3．（2023·河南·統(tǒng)考三模）復(fù)數(shù)純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）
A．B．C．4D．1
【答案】C
【解析】為純虛數(shù)，
所以，故.故選：C
考法七 在復(fù)數(shù)的范圍內(nèi)解方程
【例7-1】（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的兩根，則的值為（ ）
A．-3B．-2C．2D．3
【答案】D
【解析】解法一：由，得，，
所以；
解法二：方程，由韋達(dá)定理可得.
故選：D
【例7-2】（2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，為實(shí)數(shù)，（i為虛數(shù)單位）是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則（ ）
A．0B．1C．2D．4
【答案】D
【解析】由是關(guān)于的方程的一個(gè)根，
則是關(guān)于的方程的一個(gè)根，
則，，
即，，則，故選：D.
【變式】
1．（2023·重慶·統(tǒng)考三模）設(shè)，是方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩個(gè)解，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由方程得，由求根公式得根為，
不妨設(shè)，.
，A錯(cuò)誤；
，B錯(cuò)誤；
，C錯(cuò)誤；
令，得或，
所以，也是方程的兩個(gè)根，所以D正確.
故選：D.
2．（2023·遼寧沈陽(yáng)·沈陽(yáng)市第一二〇中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知（是虛數(shù)單位）是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則（ ）
A．9B．1C．D．
【答案】B
【解析】已知（是虛數(shù)單位）是關(guān)于的方程的一個(gè)根，
則，即，即，
解得，故.
故選：．
3．（2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知方程有實(shí)根b，且，則復(fù)數(shù)z等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由b是方程）的根可得，
整理可得：，所以，解得，
所以．故選：A
考法八 與復(fù)數(shù)相關(guān)的軌跡
【例8】．（2023·河北滄州·?？既＃┰O(shè)復(fù)數(shù)滿足，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】復(fù)數(shù)滿足，則，∴，故選：D
【變式】
1．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位為純虛數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為（ ）
A．圓B．一條線段C．兩條直線D．不含端點(diǎn)的4條射線
【答案】D
【解析】由題意可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，
所以，
因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，解得或，
故在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為不含端點(diǎn)的4條射線.故選：D.
2．（2023·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿足在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)?，可知?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為到點(diǎn)的距離為3，
則，即.
故選：C.
3．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則下列為真命題的是（ ）．
A．若，則點(diǎn)在圓上
B．若，則點(diǎn)在橢圓上
C．若，則點(diǎn)在雙曲線上
D．若，則點(diǎn)在拋物線上
【答案】D
【解析】表示點(diǎn)與之間的距離，
表示點(diǎn)與之間的距離，記，，
對(duì)于A，，表示點(diǎn)到、距離相等，則點(diǎn)在線段的中垂線上，故A錯(cuò)誤；
或由，整理得，所以點(diǎn)在，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由得，這不符合橢圓定義，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若，，這不符合雙曲線定義，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若，則，整理得，為拋物線，故D正確.
故選：D.
考法九 最值
【例9-1】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，且，若，則的最大值是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】D
【解析】設(shè)，
因?yàn)?，故?br>因?yàn)?，所以?br>故，
當(dāng)時(shí)，有最大值為2．故選：D．
【變式】
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿足，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】復(fù)數(shù)滿足，
則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，
則橢圓短半軸長(zhǎng)為，橢圓方程為，
表示橢圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，
當(dāng)點(diǎn)位于橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)時(shí)，取值大值2；
當(dāng)點(diǎn)位于橢圓短軸上的頂點(diǎn)時(shí)，取值小值；
故的取值范圍為，
故選：D
2．（2023秋·四川遂寧·高二射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為（ ）
A．1B．3C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，
因?yàn)閺?fù)數(shù)滿足，
所以由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，點(diǎn)到點(diǎn)和的距離相等，
所以在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的軌跡為，
又表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，
所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最小值，
當(dāng)為時(shí)，到定點(diǎn)的距離最小，最小值為1，
所以的最小值為1，故選：A．
3．（2023·上海·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)且，滿足，則的取值范圍為_(kāi)____．
【答案】
【解析】設(shè)，
，則，
所以，
，所以，
即對(duì)應(yīng)點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上.
，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，
與關(guān)于對(duì)稱，
所以點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上，
表示與兩點(diǎn)間的距離，
圓與圓相交，圓心距為，如圖所示，
所以的最小值為，最大值為，
所以的取值范圍為.
故答案為：
考法十 復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)用
【例10】（2023秋·遼寧·高三東北育才學(xué)校校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）（多選）設(shè)復(fù)數(shù)，且,其中為確定的復(fù)數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（ ）.
A．若，則是實(shí)數(shù)
B．若，則存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)使得
C．若 ，則 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是射線
D．若，則
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A中，若，因?yàn)?，則，可得，
設(shè)，則，所以A正確；
對(duì)于B中，由A得，設(shè)，若，
則，
只要或，選項(xiàng)B就不正確；
例如：，此時(shí)，
可表示為或，
所以表示方法不唯一，所以B錯(cuò)誤.
對(duì)于C中，若，則，可得，
則，所以且，
設(shè)，則，其中，
則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量方向共線，且長(zhǎng)度是倍，
故在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是射線（且與方向共線），所以C正確.
對(duì)于D中，若，可得，同理，
由，即，可得，
即，
即，即，
即，
因?yàn)?，所以成立?br>所以成立，所以D正確.
故選：ACD.
【變式】
1．（2023秋·遼寧撫順）（多選）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則在第二象限
B．若為純虛數(shù)，則在虛軸上
C．若，則點(diǎn)的集合所構(gòu)成的圖形的面積為
D．若，互為共軛復(fù)數(shù)，則是實(shí)數(shù)
【答案】BD
【解析】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)?，則，
所以在坐標(biāo)軸上，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B項(xiàng)，若為純虛數(shù)，則（），則（）在虛軸上，故B項(xiàng)正確；
對(duì)于C項(xiàng)，設(shè)（），因?yàn)?，所以，即?br>則點(diǎn)的集合所構(gòu)成的圖形是圓心為，半徑為3的圓及其內(nèi)部，
所以點(diǎn)的集合所構(gòu)成的圖形面積為，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)，則，所以，故D項(xiàng)正確．
故選：BD.
2．（2023春·河北石家莊）（多選）下列命題中正確的是（ ）
A．若，則
B．若復(fù)數(shù)滿足，則
C．若，則復(fù)數(shù)一定為實(shí)數(shù)
D．若復(fù)數(shù)滿足，則最大值為
【答案】ACD
【解析】A選項(xiàng)，由于，
根據(jù)復(fù)數(shù)相等的知識(shí)可知，A選項(xiàng)正確.
B選項(xiàng)，若，則，但，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
C選項(xiàng)，設(shè)，
由得，
則，解得，所以為實(shí)數(shù)，C選項(xiàng)正確.
D選項(xiàng)，由于，所以對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，
半徑為的圓，而表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，
所以最大值為，D選項(xiàng)正確.

故選：ACD
3．（2023秋·廣東河源·高三河源市河源中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）已知復(fù)數(shù)z，，，是z的共軛復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．若，則
C．D．若，則的最小值為1
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A，設(shè)，則，故A正確；
對(duì)于B，令，滿足，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，設(shè)，，則
，所以，故C正確；
對(duì)于D，設(shè)，則，
即，表示以為圓心，半徑為1的圓，
表示圓上的點(diǎn)到的距離，故的最小值為，故D正確.
故選：ACD
一、單選題
1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的共軛復(fù)數(shù)（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，，
由共軛復(fù)數(shù)的定義可知，.故選：D
2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【解析】故選：C.
3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，故選：D.
4．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，其中為實(shí)數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)镽，，所以，解得：．
故選：A.
5．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）若．則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)?，所以，所以?br>故選：D.
6．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知，且，其中a，b為實(shí)數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
由,結(jié)合復(fù)數(shù)相等的充要條件為實(shí)部、虛部對(duì)應(yīng)相等，
得,即
故選:
7．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）若，則（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【解析】由題設(shè)有，故，故，
故選：D
8．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)，則，則，
所以，，解得，因此，.
故選：C.
9．（2021·全國(guó)·高考真題）已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，
.
故選：B.
10．（2023·遼寧撫順·?？寄M預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，，，若，則z的虛部為（ ）
A．-3B．3C．-4D．4
【答案】A
【解析】由題意得，
所以，解得或，
因?yàn)閺?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，所以舍去，
故，虛部為-3．
故選：A.
11．（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）下列關(guān)于復(fù)數(shù)的說(shuō)法，正確的是（ ）
A．復(fù)數(shù)是最小的純虛數(shù)
B．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，模為1的復(fù)數(shù)共有和四個(gè)
C．與是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)
D．虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)
【答案】C
【解析】虛數(shù)不能比大小，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于復(fù)數(shù)，但凡滿足，其模均為1，顯然不僅四個(gè)，比如時(shí)，，故B錯(cuò)誤；由共軛復(fù)數(shù)的定義可知C正確；
原點(diǎn)也在虛軸上，但不表示純虛數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：C
12．（2023·福建福州·福州四中?？寄M預(yù)測(cè)）歐拉公式由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)，其將自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，虛數(shù)單位與三角函數(shù)，聯(lián)系在一起，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)的天橋”，若復(fù)數(shù)，則z的虛部為（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)椋?br>因?yàn)?，所以z的虛部為.
故選：D.
13．（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A．的實(shí)部為3B．的虛部為1
C．D．在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限
【答案】C
【解析】因?yàn)?，所以?br>所以復(fù)數(shù)的實(shí)部為，虛部為，故A、B錯(cuò)誤；
復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限，故D錯(cuò)誤；
，故C正確.
故選：C
14．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知（a，，i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)（ ）
A．2B．C．D．6
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∴，解得，
所以．
故選:B．
15．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四中學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）已知是關(guān)于方程的一個(gè)根，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)槭顷P(guān)于方程的一個(gè)根，
所以，即，
所以，解得.
故選：B
16．（2023·遼寧撫順·校考模擬預(yù)測(cè)）已知，其中a，b為實(shí)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】D
【解析】由，可得，
則，解之得，則，
其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，該點(diǎn)位于第四象限.
故選：D
17．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z滿足，則（ ）
A．1B．C．D．1或
【答案】A
【解析】設(shè)，，
，，
，，
.
故選：A
18．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】法一：由已知得，
．
法二：由已知得，故，即．
.
故選：B．
19．（2023·河北保定·河北省唐縣第一中學(xué)?？级＃┮阎獜?fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
由題意可知,解得：．
故選：D．
20．（2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)，，且z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則（ ）
A．4B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?br>所以，解得，
又z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，所以．
故選：B.
21（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）設(shè)復(fù)數(shù)滿足為純虛數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)，
則
，
依題意得，即，
則.
故選：A
22．（2023·全國(guó)·學(xué)軍中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A．2022B．2023C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)，
則，
由題意可得：
可得關(guān)于的方程的根為，
故，
整理得，
即，
令，可得，
且2022為偶數(shù)，所以.
故選：B.
23（2023·重慶·校聯(lián)考三模）已知方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有一根為，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】B
【解析】：因?yàn)榉匠淘趶?fù)數(shù)范圍內(nèi)有一根為，
所以，整理得，
所以，
則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限．
故選：B．
24．（2023·河南信陽(yáng)·信陽(yáng)高中?？寄M預(yù)測(cè)）已知是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】B
【解析】因?yàn)槭顷P(guān)于的方程的一個(gè)根，
所以方程的另外一個(gè)根為，
則，
所以，
所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.
故選：B.
25．（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解得方程的兩根為，則（ ）
A．4B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】由題意，在中，解得：，∴，
故選：C.
26．（2023春·云南）已知復(fù)數(shù)，和滿足，若，則的最大值為（ ）
A．B．3C．D．1
【答案】B
【解析】根據(jù)題意，得，
當(dāng)，，時(shí)，，此時(shí)，
所以.故選：B.
27．（2023春·河北石家莊 ）復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的最小值為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】，∴，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心1為半徑的圓上，
表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的點(diǎn)間距離，
又，
所以的最小值是，
故選：B．
28．（2023·山東）設(shè)，則滿足的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)構(gòu)成圖形的面積是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)，，則，
因?yàn)?，所以，則，
所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)位于以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為到半徑為之間的圓環(huán)部分（包括圓上的點(diǎn)），
所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)構(gòu)成圖形的面積.故選：C
29．（2023春·寧夏銀川 ）設(shè)復(fù)數(shù)，滿足，，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，則三角形的面積為（ ）
A．3B．C．2D．
【答案】D
【解析】設(shè)，，
則，
所以，，，，
所以，
即，
所以，
又，，
在中，過(guò)作，垂足為，
則為中點(diǎn)，即，
所以，
所以.
故選：D.

30．（2023秋·四川遂寧·高二射洪中學(xué)校考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為（ ）
A．1B．3C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，
因?yàn)閺?fù)數(shù)滿足，
所以由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，點(diǎn)到點(diǎn)和的距離相等，
所以在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的軌跡為，
又表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，
所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最小值，
當(dāng)為時(shí)，到定點(diǎn)的距離最小，最小值為1，
所以的最小值為1，故選：A．
二、多選題
31．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考二模）已知為虛數(shù)單位，下列關(guān)于復(fù)數(shù)的命題正確的有（ ）
A．B．復(fù)數(shù)的虛部為
C．若，互為共軛復(fù)數(shù)，則D．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則
【答案】ACD
【解析】對(duì)A，因?yàn)?，A正確；
對(duì)B，復(fù)數(shù)的虛部為1，B不正確；
對(duì)C，令，，，，所以，故C正確；
對(duì)D，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，且，即，故D正確．
故選：ACD
32．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，，則（ ）
A．任意，均有B．任意，均有
C．存在，使得D．存在，使得
【答案】AD
【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可知不能與實(shí)數(shù)比大小，故B錯(cuò)誤；
由復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可得，
易知，且不能同時(shí)取得等號(hào)，故，即A正確；
即動(dòng)點(diǎn)E到動(dòng)點(diǎn)F的距離，顯然E在拋物線上，F(xiàn)在單位圓上，如圖所示，

當(dāng)時(shí)，，故D正確；
若存在，使得，則，
由上知，即上述方程組無(wú)解，故C錯(cuò)誤；
故選：AD
33．（2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，為復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則或
【答案】AC
【解析】A：根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義，本選項(xiàng)正確；
B：取，，滿足，但，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C：設(shè)，，，由，得，即，，所以，即，故本選項(xiàng)正確；
D：取，，則，，此時(shí)且，故D不正確．
故選：AC
34．（2023·海南·海南中學(xué)校考三模）已知復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A．
B．
C．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是
D．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則
【答案】AB
【解析】由已知，其對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，C錯(cuò)；，A正確；
由知對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以對(duì)應(yīng)點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上，，
因此，B正確；對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，因此,故D錯(cuò)誤，
故選：AB.
35．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)z，，是復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】BC
【解析】若，設(shè)，所以，
則不一定為，故A錯(cuò)誤；
若，設(shè)，所以，
則不一定為，故B正確；
若，設(shè)，，
則，，故C正確；
若，設(shè)，，，
，所以，
即，不一定為，故D錯(cuò)誤；
故選：BC.
36．（2023·浙江寧波·鎮(zhèn)海中學(xué)?？级＃┫旅嫠膫€(gè)命題中的真命題為（ ）
A．若復(fù)數(shù)滿足，則
B．若復(fù)數(shù)滿足，則
C．若復(fù)數(shù)，滿足，則
D．若復(fù)數(shù)，則
【答案】AD
【解析】A選項(xiàng)，設(shè)，，則，故，
則，故A為真命題；
B選項(xiàng)，復(fù)數(shù)滿足，但，故命題B為假命題；
C選項(xiàng)，若復(fù)數(shù)，滿足，但，故命題C為假命題；
D選項(xiàng)，若復(fù)數(shù)，則，故D為真命題.
故選：AD
37．（2023春·湖南常德·高三常德市一中?？茧A段練習(xí)）已知為虛數(shù)單位，以下四種說(shuō)法中正確的是（ ）
A．若，則
B．若，且，則
C．若，則復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限
D．已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為直線
【答案】BCD
【解析】若，滿足，但不成立，故A錯(cuò)誤；
若，則，又，則，故B正確；
若，則，
則復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限，故C正確；
若復(fù)數(shù)滿足，設(shè)，
則，所以，
所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為直線，故D正確．
故選：BCD．
38．（2023秋·山東·高二濟(jì)南市歷城第二中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）若復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（ ）
A．為純虛數(shù)的充要條件是且B．
C．若，則D．若，則
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A，為純虛數(shù)的充要條件是且，A正確；
對(duì)于B，取，則，而，所以，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，所以，C正確；
對(duì)于D，表示對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，表示對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，故，D正確.
故選：ACD.

39．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）（多選）在復(fù)平面內(nèi)，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則
B．若復(fù)數(shù)z滿足，則
C．若復(fù)數(shù)，則z為純虛數(shù)的充要條件是且
D．若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的集合是以原點(diǎn)O為圓心，以1為半徑的圓
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A，復(fù)數(shù)， A正確；
對(duì)于B，令，滿足，而，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，復(fù)數(shù)，則z為純虛數(shù)的充要條件是且，C正確；
對(duì)于D，令復(fù)數(shù)，由，得，
因此復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的集合是以原點(diǎn)O為圓心，以1為半徑的圓，D正確．
故選：ACD
40．（2023秋·遼寧 ）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（其中是虛數(shù)單位），則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．的虛部為B．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限
C．D．若，則
【答案】BC
【解析】由已有，
∴的虛部是，A錯(cuò)誤；
對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)是，在第四象限，B正確；
，C正確；
，故對(duì)應(yīng)點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上（含內(nèi)部）
又，所以的最大值是，D錯(cuò)．
故選：BC．
三、填空題
41．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）已知是虛數(shù)單位，化簡(jiǎn)的結(jié)果為 ．
【答案】/
【解析】由題意可得.
故答案為：.
42．（2023·吉林白山·撫松縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家棣莫弗提出了公式：．據(jù)此公式，復(fù)數(shù)的虛部為 ．
【答案】
【解析】依題意，
，
故所求復(fù)數(shù)的虛部為．
故答案為：.
43．（2023·四川成都·校聯(lián)考二模）若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為 ．
【答案】1
【解析】設(shè)，則，
由，得，
所以，所以，得，
所以復(fù)數(shù)的虛部為1．
故答案為：1.
44．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，，若為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為 .
【答案】
【解析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可得，因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，則且，解得，
所以復(fù)數(shù)的虛部為.
故答案為：.
45．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考三模）已知為虛數(shù)單位，且，則的最大值是 .
【答案】
【解析】設(shè)，
由的幾何意義知：對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，即，
的幾何意義為點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，
.
故答案為：.
46．（2023·上海浦東新·華師大二附中校考模擬預(yù)測(cè)）復(fù)數(shù)滿足，則 .
【答案】
【解析】設(shè)，則，
所以則，
所以，解得：，所以，
故.
故答案為：
47．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則 .
【答案】
【解析】令，則，
令，則，
兩式相加可得，
兩式相減得，
將以上兩式相加即得：
，
故答案為：
48．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，且滿足，O為原點(diǎn)，，求的取值范圍 .
【答案】
【解析】設(shè)，復(fù)平面中一點(diǎn)，則有
即在以為圓心，1為半徑的圓周上或圓內(nèi)，

設(shè)直線AB與圓交于E、F兩點(diǎn)，則，
而為在上的投影，
由圖可知，則，
，
所以，
故答案為：
49（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)滿足的實(shí)部與虛部之比為，其中是虛數(shù)單位，，，則的最小值為 .
【答案】
【解析】】由于，
于是，
又的實(shí)部與虛部之比為，因此，即，
于是復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圓上，圓心的坐標(biāo)為.
令點(diǎn)的坐標(biāo)為，如圖所示，

于是就有（轉(zhuǎn)化為斜率，代數(shù)問(wèn)題幾何化），因此當(dāng)直線與圓相切時(shí)最小，
其最小值為，因此的最小值為.
故答案為：.
50．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知三個(gè)復(fù)數(shù)，并且，所對(duì)應(yīng)的向量，滿足，則的取值范圍是 .
【答案】
【解析】由，得，
以向量，的方向分別為復(fù)平面內(nèi)軸的正方向建立直角坐標(biāo)系，如圖，

由，得，則，令復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，有，
由，得復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)圓心，1為半徑的圓，
因此，當(dāng)且僅當(dāng)反向共線時(shí)取等號(hào)，
，當(dāng)且僅當(dāng)同向共線時(shí)取等號(hào)，
所以的取值范圍是.
故答案為：

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