1.若分式的值為，則的值為( )
A. B. C. D.
2.下列長度的條線段，能首尾依次相接組成三角形的是( )
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
3.若，則下列結(jié)論不一定成立的是( )
A. B. C. D.
4.下列命題是真命題的是( )
A. 對應(yīng)角相等的三角形全等B. 相等的角是對頂角
C. 等腰三角形的兩底角相等D. 若，則
5.不等式的解集在數(shù)軸上表示正確的是( )
A. B.
C. D.
6.下列說法錯誤的是( )
A. 的平方根是B. 的立方根是
C. 的平方根是D. 是的一個平方根
7.計算的結(jié)果是( )
A. B. C. D.
8.如圖，是上一點，交于點，，，若，，則的長是( )
A. B. C. D.
9.若關(guān)于的不等式組有解，則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
10.已知，如圖，在中，是鈍角，依下列步驟進(jìn)行尺規(guī)作圖：
以為圓心，為半徑畫??；
以為圓心，為半徑畫弧，交前弧于點；
連接，交延長線于點．
明明同學(xué)依據(jù)作圖，寫出了下面四個結(jié)論，其中正確的是( )
A. B.
C. D.
二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。
11.若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是______．
12.在，，，，中無理數(shù)的個數(shù)是______個
13.某紅外線波長為，用科學(xué)記數(shù)法表示這個數(shù)是______．
14.已知實數(shù)，滿足，則等于______．
15.如圖，在中，邊上的垂直平分線交于點，交于點，，的周長為，則的長為______．
16.當(dāng) ______時，解分式方程會出現(xiàn)增根．
17.由于木質(zhì)衣架沒有柔性，在掛置衣服的時候不太方便操作．小明設(shè)計了一種衣架，在使用時能輕易收攏，然后套進(jìn)衣服后松開即可．如圖，衣架桿，若衣架收攏時，，如圖，則此時，兩點之間的距離是______．
18.如圖，在中，設(shè)，與的平分線交于點，得；與的平分線相交于點，得；；與的平分線相交于點，得，則度數(shù)是______．
三、解答題：本題共8小題，共66分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
19.本小題分
計算：．
20.本小題分
如圖，在中，，，點是邊上的一點，連接，，求的度數(shù)．
21.本小題分
先化簡，再求值：，其中．
22.本小題分
解不等式組，并寫出它的所有非負(fù)整數(shù)解．
23.本小題分
已知：如圖，在中，，過點作，垂足為在射線上截取，過點作，交的延長線于點．
求證：≌；
若，，求的長．
24.本小題分
某商店購進(jìn)、兩種商品，購買個商品比購買個商品多花元，并且花費元購買商品和花費元購買商品的數(shù)量相等．
求購買一個商品和一個商品各需要多少元；
商店準(zhǔn)備購買、兩種商品共個，若商品的數(shù)量不少于商品數(shù)量的倍，并且購買、商品的總費用不低于元且不高于元，那么商店有哪幾種購買方案？
25.本小題分
閱讀下列解題過程：，，
請回答下列問題：
觀察上面的解答過程，請寫出 ______；
請你用含為正整數(shù)的關(guān)系式表示上述各式子的變形規(guī)律；
利用上面的解法，請化簡：．
26.本小題分
已知，如圖，在中，，，點是的中點，點是邊上一點于點，交于點．

若，則 ______度；
求證：；
如圖，，垂足為點，的延長線交的延長線于點，請找出圖中與相等的線段，并證明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
此題主要考查了分式的值為零的條件，正確把握定義是解題關(guān)鍵．
直接利用分式的值為，則分子為，進(jìn)而得出答案．
【解答】
解：因為分式的值為，
所以且，
解得：．
故選：．
2.【答案】
解：三角形三邊關(guān)系，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，
，，，
，無法圍成三角形，故此選項A錯誤；
B.，，，
，能圍成三角形，故此選項B正確；
C.，，，
，無法圍成三角形，故此選項C錯誤；
D.，，，
，無法圍成三角形，故此選項D錯誤．
故選：．
根據(jù)三角形三邊關(guān)系，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，分別判斷出即可．
此題主要考查了三角形三邊關(guān)系，此定理應(yīng)用比較廣泛，同學(xué)們應(yīng)熟練應(yīng)用此定理．
3.【答案】
解：當(dāng)，時，此時，故A錯誤．
故選：．
根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求出答案．
本題考查不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運用不等式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．
4.【答案】
解：對應(yīng)角相等的三角形相似，但不一定全等，故A是假命題，不符合題意；
相等的角不一定是對頂角，故B是假命題，不符合題意；
等腰三角形的兩底角相等，故C是真命題，符合題意；
若，則或或，故D是假命題，不符合題意；
故選：．
根據(jù)全等三角形的定義、對頂角的定義、等腰三角形的性質(zhì)等判斷求解即可．
本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題；經(jīng)過推理論證的真命題稱為定理．
5.【答案】
解：不等式的解集在數(shù)軸上表示，
故選：．
根據(jù)不等式解集在數(shù)軸上的表示方法進(jìn)行判斷即可．
本題考查在數(shù)軸上表示不等式的解集，掌握不等式解集在數(shù)軸上的表示方法是正確解答的前提．
6.【答案】
解：、的平方根是，故A符合題意．
B、的立方根是，故B不符合題意．
C、，的平方根是，故C不符合題意．
D、是的平方根，故D不符合題意．
故選：．
根據(jù)平方根與立方根的定義即可求出答案．
本題考查平方根與立方根，解題的關(guān)鍵是熟練正確理解平方根與立方根的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．
7.【答案】
解：原式，
故選：．
根據(jù)二次根式的運算法則即可求出答案．
本題考查二次根式，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次根式的運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．
8.【答案】
解：，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
．
故選：．
根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出，，根據(jù)全等三角形的判定，得出≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出，根據(jù)，，即可求線段的長．
本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，能判定≌是解此題的關(guān)鍵，解題時注意運用全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．
9.【答案】
解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
關(guān)于的不等式組有解，
，
解得：，
故選：．
先根據(jù)不等式的性質(zhì)求出不等式的解集，再根據(jù)不等式組有解得出，再求出不等式的解集即可．
本題考查了解一元一次不等式組和解一元一次不等式，能得出關(guān)于的不等式是解此題的關(guān)鍵．
10.【答案】
解：由作法得，，
垂直平分，
平分，
．
故選：．
利用作法得到，，則垂直平分，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可判斷平分．
本題考查了作圖復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了平行線的性質(zhì)．
11.【答案】
解：根據(jù)二次根式的性質(zhì)可知，，
解得．
故答案為：．
根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可直接求解．
本題主要考查二次根式的性質(zhì)，二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．
12.【答案】
解：，，是整數(shù)，屬于有理數(shù)；
是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)；
是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)；
無理數(shù)有，共個．
故答案為：．
無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．
此題考查了無理數(shù)的定義．解題的關(guān)鍵是掌握無理數(shù)的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)．如，，每兩個之間依次多個等形式．
13.【答案】
解：．
故答案為：．
用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)整數(shù)指數(shù)冪．
本題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的的個數(shù)所決定．
14.【答案】
解：由題意得，，，
解得，，
所以，．
故答案為：．
根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出、，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計算即可得解．
本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個非負(fù)數(shù)的和為時，這幾個非負(fù)數(shù)都為．
15.【答案】
解：是的垂直平分線，
，
的周長，
，的周長為，
，
解得，
故答案為：．
根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得，然后求出的周長，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計算即可得解．
本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并求出的周長是解題的關(guān)鍵．
16.【答案】
解：分式方程會出現(xiàn)增根，
則即，
，
去分母得，，
將代入得，
即當(dāng)時，原分式方程會出現(xiàn)增根．
故答案為：．
分式方程的增根使分式中分母為，所以分式方程會出現(xiàn)增根只能是，增根不符合原分式方程，但是適合分式方程去分母后的整式方程，于是將代入該分式方程去分母后的整式方程中即可求出的值．
本題考查了分式方程增根的概念，增根是使最簡公分母等于，不適合原分式方程，但是適合去分母后的整式方程．
17.【答案】
解：連接．
，．
是等邊三角形．
．
故答案為：．
連接利用等邊三角形的判定可得結(jié)論．
本題考查了等邊三角形，掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
18.【答案】
解：是的外角，
．
是的平分線，是的平分線，
，，
是的外角，
．
同理，可得：，，，，，
為正整數(shù)，
．
故答案為：．
利用三角形的外角性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，可得出，同理，可得出，，，，，再根據(jù)角的變化，即可找出為正整數(shù)，進(jìn)而可得出．
本題考查了三角形的外角性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及規(guī)律型：數(shù)字的變化類，根據(jù)各角之間的關(guān)系，找出“為正整數(shù)”是解題的關(guān)鍵．
19.【答案】解：原式

．
【解析】根據(jù)立方根，算術(shù)平方根，平方差公式進(jìn)行計算即可求解．
本題考查實數(shù)的運算和平方差公式，熟記運算法則是解題的關(guān)鍵．
20.【答案】解：，
，
，
，
．
【解析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理算出的度數(shù)，再由等腰三角形的性質(zhì)解答即可．
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
21.【答案】解：原式

，
當(dāng)時，
原式
．
【解析】先通分算括號內(nèi)的，把除化為乘，化簡后把的值代入計算即可．
本題考查分式化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的基本性質(zhì)，把所求式子化簡．
22.【答案】解：，
解得，
解得．
則不等式組的解集是：．
則非負(fù)整數(shù)解是：，、．
【解析】本題考查了一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，解集的規(guī)律：同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到．
首先解每個不等式，兩個不等式的解集的公共部分就是不等式組的解集，然后確定非負(fù)整數(shù)解即可．
23.【答案】證明：，
，
，
，
在和中，
，
≌；
解：≌，
，，
．
【解析】由同角的余角相等得到，根據(jù)“”定理即可證得≌；
根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求得答案．
本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解決問題的關(guān)鍵．
24.【答案】解：設(shè)購買一個商品需要元，則購買一個商品需要元，
依題意，得：，
解得：，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，
．
答：購買一個商品需要元，購買一個商品需要元．
設(shè)購買商品個，則購買商品個，
依題意，得：，
解得：．
為整數(shù)，
或，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
商店有種購買方案，方案：購進(jìn)商品個、商品個；方案：購進(jìn)商品個、商品個．
【解析】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．
設(shè)購買一個商品需要元，則購買一個商品需要元，根據(jù)數(shù)量總價單價結(jié)合花費元購買商品和花費元購買商品的數(shù)量相等，即可得出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論；
設(shè)購買商品個，則購買商品個，根據(jù)商品的數(shù)量不少于商品數(shù)量的倍并且購買、商品的總費用不低于元且不高于元，即可得出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出的取值范圍，再結(jié)合為整數(shù)即可找出各購買方案．
25.【答案】
解：
；
故答案為：．
觀察前面例子的過程和結(jié)果得：；
反復(fù)運用得
．
觀察所給例子得出答案；運用的答案先對的每項化簡去掉分母，再把中間相鄰的兩項兩兩相消得到的答案．
此題主要考查二次根式的運算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件找到規(guī)律并運用規(guī)律去掉式子中的分母再相消進(jìn)行求解．
26.【答案】
解：點是中點，，，
，，
，
，
又，
，
又，
，
故答案為：；
證明：點是中點，，
，
，，
，
，
又，
，
又，
，
在和中，
≌，
；
解：．
證明：，，
，，
，
又，
在和中，
≌，
．
根據(jù)題意得到三角形為等腰直角三角形，且為斜邊上的中線，利用三線合一得到垂直于，且為角平分線，得到，再利用同角的余角相等得到一對角相等，，利用得到三角形與三角形全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得證；
結(jié)合證明≌，即可解決問題；
證明≌，即可解決問題．
此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．

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