1．下面四個英文字母圖案，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2．若函數(shù)y＝（m+2）x2+3mx+1是二次函數(shù)，則（ ）
A．m≥﹣2B．m≠2C．m≠﹣2D．m＝﹣2
3．在拋物線y＝x2﹣3x﹣4上的一個點是（ ）
A．B．（3，﹣4）C．（﹣3，﹣1）D．（﹣2，﹣8）
4．方程2x2＝3x﹣18化為一般形式后一次項系數(shù)和常數(shù)項分別為（ ）
A．3、﹣6B．﹣3、18C．﹣3、6D．3、﹣18
5．如圖，四邊形ABCD是邊長為5的正方形，E是DC上一點，DE＝1，將△ADE繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)到與△ABF重合，則EF＝（ ）
A．B．C．5D．2
6．根據(jù)下列表格對應(yīng)值：
判斷關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一個解x的范圍是（ ）
A．2.1＜x＜2.2B．2.2＜x＜2.3C．2.3＜x＜2.4D．2.4＜x＜2.5
7．如圖，拋物線與直線y2＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）兩點，則不等式y(tǒng)1＜y2的解集為（ ）
A．x＞﹣1B．x＜3C．x＜﹣3或x＞1D．﹣1＜x＜3
8．為豐富鄉(xiāng)村文體生活，某區(qū)準(zhǔn)備組織首屆“美麗鄉(xiāng)村”籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都賽一場），計劃安排28場比賽，設(shè)邀請x個球隊參加比賽，可列方程得（ ）
A．B．
C．x（x﹣1）＝28D．x（x+1）＝28
9．如圖是拋物線型拱橋，當(dāng)拱頂離水面2m時，水面寬4m，如果水面上升1m，那么水面寬度為（ ）m．
A．2B．C．D．
10．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的如圖所示，對稱軸是直線x＝﹣2，拋物線與x軸的一個交點在點（﹣4，0）和點（﹣3，0）之間，其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論：
①4a﹣b＝0，
②b2＞4ac，
③a+b+c＜0，
④若點（﹣5，n）在二次函數(shù)的圖象上，則關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的兩個根分別是﹣5，1．
其中正確的是（ ）
A．①③④B．③④C．①③D．①②③④
二、填空題（每小題3分，共18分）
11．已知m是方程x2﹣3x﹣2＝0的一個根，則代數(shù)式﹣3m2+9m+5的值是 ．
12．如圖是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的部分圖象，由圖象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是 ．
13．已知坐標(biāo)系中點A（﹣2，a）和點B（b，3）關(guān)于原點中心對稱，則a+b＝ ．
14．由于疫情得到緩和，餐飲行業(yè)逐漸回暖，某家餐廳重新開張，開業(yè)第一天收入約為3020元，之后兩天的收入按相同的增長率增長，第三天收入約為4350元．設(shè)每天的增長率為x，根據(jù)題意可列方程為 ．
15．拋物線y＝x2﹣5x+6與x軸交于A、B兩點，則AB的長為 ．
16．如圖是足球守門員在O處開出一記手拋高球后足球在空中運動到落地的過程，它是一條經(jīng)過A、M、C三點的拋物線．其中A點離地面1.4米，M點是足球運動過程中的最高點，離地面3.2米，離守門員的水平距離為6米，點C是球落地時的第一點．那么足球第一次落地點C距守門員的水平距離為 米．
三、解答題（共72分）
17．解方程：
（1）（x﹣5）2﹣36＝0；
（2）x2+2x﹣3＝0．
18．指出函數(shù)y＝﹣x2+2x+1的開口方向，對稱軸和頂點，怎樣移動拋物線y＝﹣x2就可以得到拋物線y＝﹣x2+2x+1？
19．如圖所示的正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點均在格點上，請在所給直角坐標(biāo)系中按要求畫圖：
（1）作出△ABC關(guān)于坐標(biāo)原點O成中心對稱的△A1B1C1；
（2）作出以點A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的△AB2C2；
（3）點C2的坐標(biāo)為 ．
20．某?！吧镅袑W(xué)”活動小組在一次野外研學(xué)實踐時，發(fā)現(xiàn)某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支．若主干、支干和小分支的總數(shù)是91，求這種植物每個支干長出的小分支個數(shù)是多少？
21．已知關(guān)于x的一元二次方程mx2+2（m+1）x+m﹣1＝0有實數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）若該方程的兩個實數(shù)根分別為x1、x2，且x12+x22＝27，求m的值．
22．某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，那么每天可售出500千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價不變的情況下，若每千克漲價1元，則日銷售量將減少20千克．
（1）現(xiàn)該商場要保證這種水果每天盈利6000元，同時又要顧客得到實惠，那么每千克應(yīng)漲價多少元？
（2）若該商場單純從經(jīng)濟(jì)角度看，這種水果每千克漲價多少元，能使商場獲利最大？最大利潤是多少？
23．如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+2x﹣3的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點D（﹣2，﹣3）在拋物線上．
（1）請直接寫出A、B、C三點的坐標(biāo)；
（2）拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得△PAD周長最小，若存在，求出P點的坐標(biāo)；
（3）若點M是直線AC下方的拋物線上的一動點，過M作y軸的平行線與線段AC交于點N，求線段MN的最大值．
24．如圖1，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，點D、E分別在邊AB、AC上，AD＝AE，連接BE，點M、N、P分別為DE、BE、BC的中點．
（1）觀察猜想．
圖1中，線段NM、NP的數(shù)量關(guān)系是 ，∠MNP的大小為 ．
（2）探究證明
把△ADE繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接MP、BD、CE，判斷△MNP的形狀，并說明理由；
（3）拓展延伸
把△ADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD＝1，AB＝3，請求出△MNP面積的最大值．
25．拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），且A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點C，C點的坐標(biāo)為（0，﹣2），連接BC，以BC為邊，點O為對稱中心作菱形BDEC．點P是x軸上的一個動點，設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，0），過點P作x軸的垂線交拋物線于點Q，交BD于點M．
（1）求拋物線的解析式；
（2）x軸上是否存在一點P，使三角形PBC為等腰三角形，若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）當(dāng)點P在線段OB上運動時，試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形？請說明理由．
參考答案
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1．下面四個英文字母圖案，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
解：A、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；
B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項正確；
C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；
D、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項錯誤．
故選：B．
【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．
2．若函數(shù)y＝（m+2）x2+3mx+1是二次函數(shù)，則（ ）
A．m≥﹣2B．m≠2C．m≠﹣2D．m＝﹣2
【分析】利用二次函數(shù)的定義得到m+2≠0，然后解不等式和方程得到滿足條件的m的值．
解：根據(jù)題意得m+2≠0，
解得m≠﹣2，
故選：C．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的定義：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量，a、b、c是常量．
3．在拋物線y＝x2﹣3x﹣4上的一個點是（ ）
A．B．（3，﹣4）C．（﹣3，﹣1）D．（﹣2，﹣8）
【分析】把x的值代入，計算函數(shù)值，比較，等于給定的函數(shù)值即可．
解：當(dāng)時，，
∴選項A不符合題意；
當(dāng)x＝3時，y＝32﹣3×3﹣4＝﹣4，
∴選項B符合題意；
當(dāng)x＝﹣3時，y＝（﹣3）2﹣3×（﹣3）﹣4＝14≠﹣1，
∴選項C不符合題意；
當(dāng)x＝﹣2時，y＝（﹣2）2﹣3×（﹣2）﹣4＝6≠﹣8，
∴選項D不符合題意；
故選：B．
【點評】本題考查了圖象與點的關(guān)系，熟練掌握圖象過點，則點的坐標(biāo)滿足函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．
4．方程2x2＝3x﹣18化為一般形式后一次項系數(shù)和常數(shù)項分別為（ ）
A．3、﹣6B．﹣3、18C．﹣3、6D．3、﹣18
【分析】方程2x2＝3x﹣18化為一般形式后，根據(jù)相關(guān)定義作答．
解：如果方程2x2＝3x﹣18化為一般形式是：2x2﹣3x+18＝0，其一次項系數(shù)和常數(shù)項分別為﹣3、18．
故選：B．
【點評】此題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數(shù)項．其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項．
5．如圖，四邊形ABCD是邊長為5的正方形，E是DC上一點，DE＝1，將△ADE繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)到與△ABF重合，則EF＝（ ）
A．B．C．5D．2
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)求出FC、CE，根據(jù)勾股定理計算即可．
解：由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，△ADE≌△ABF，
∴∠ABF＝∠D＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABF+∠ABC＝180°，
∴C，B，F(xiàn)共線，
根據(jù)題意得：BC＝5，BF＝DE＝1，
∴FC＝6，CE＝4，
∴EF＝＝＝2．
故選：D．
【點評】本題考查的是旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．根據(jù)下列表格對應(yīng)值：
判斷關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一個解x的范圍是（ ）
A．2.1＜x＜2.2B．2.2＜x＜2.3C．2.3＜x＜2.4D．2.4＜x＜2.5
【分析】從表格中的數(shù)據(jù)可以看出，當(dāng)x＝2.3時，y＝﹣0.01；當(dāng)x＝2.4時，y＝0.06，函數(shù)值由負(fù)數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，此過程中存在方程ax2+bx+c＝0的一個根．
解：∵當(dāng)x＝2.3時，y＝﹣0.01；當(dāng)x＝2.4時，y＝0.06，
∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一個解x的范圍是2.3＜x＜2.4，
故選：C．
【點評】本題考查了估算一元二次方程的近似值，對題目的正確估算是建立在對二次函數(shù)圖象和一元二次方程關(guān)系正確理解的基礎(chǔ)上的．
7．如圖，拋物線與直線y2＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）兩點，則不等式y(tǒng)1＜y2的解集為（ ）
A．x＞﹣1B．x＜3C．x＜﹣3或x＞1D．﹣1＜x＜3
【分析】根據(jù)二次函數(shù)與不等式的關(guān)系可得答案．
解：由題意知：y1＜y2表示二次函數(shù)的圖象在直線的下方，
∴根據(jù)圖象可得﹣1＜x＜3，
故選：D．
【點評】本題主要考查了二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，根據(jù)y1＜y2表示二次函數(shù)的圖象在直線的下方是解題的關(guān)鍵．
8．為豐富鄉(xiāng)村文體生活，某區(qū)準(zhǔn)備組織首屆“美麗鄉(xiāng)村”籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都賽一場），計劃安排28場比賽，設(shè)邀請x個球隊參加比賽，可列方程得（ ）
A．B．
C．x（x﹣1）＝28D．x（x+1）＝28
【分析】利用比賽的總場數(shù)＝參賽隊伍數(shù)×（參賽隊伍數(shù)﹣1）÷2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
解：根據(jù)題意得：x（x﹣1）＝28．
故選：A．
【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
9．如圖是拋物線型拱橋，當(dāng)拱頂離水面2m時，水面寬4m，如果水面上升1m，那么水面寬度為（ ）m．
A．2B．C．D．
【分析】根據(jù)題意得到拋物線過點（2，﹣2），設(shè)拋物線解析式為y＝ax2，求出拋物線解析式，進(jìn)而可求水面上升1米，水面的寬．
解：建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示：
∵當(dāng)拱頂離水面2m時，水面寬4m，
∴拋物線過點（2，﹣2），
設(shè)拋物線解析式為y＝ax2，將點（2，﹣2）代入，得4a＝﹣2，
解得，
∴拋物線的解析式為，
當(dāng)水面上升1m即中y＝﹣2+1＝﹣1時，得，
解得，
∴水面上升1m時水面寬度為，
故選：C．
【點評】本題考查拋物線的應(yīng)用，考查待定系數(shù)法求拋物線的解析式，解題的關(guān)鍵是正確設(shè)定函數(shù)解析式．
10．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的如圖所示，對稱軸是直線x＝﹣2，拋物線與x軸的一個交點在點（﹣4，0）和點（﹣3，0）之間，其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論：
①4a﹣b＝0，
②b2＞4ac，
③a+b+c＜0，
④若點（﹣5，n）在二次函數(shù)的圖象上，則關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的兩個根分別是﹣5，1．
其中正確的是（ ）
A．①③④B．③④C．①③D．①②③④
【分析】由拋物線對稱軸為直線x＝﹣2可得a與b的數(shù)量關(guān)系，從而判斷①，由拋物線與x軸有兩個交點則Δ＝b2﹣4ac＞0可判斷②，由拋物線與x軸的交點范圍及拋物線的對稱性可判斷③，由拋物線經(jīng)過（﹣5，n），（1，n）可判斷④．
解：∵拋物線對稱軸為直線，
∴b＝4a，即4a﹣b＝0，①正確
．∵拋物線與x軸有兩個交點，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac有，②正確．
∵拋物線與x軸的一個交點在點（﹣4，0）和點（﹣3，0）之間，稱軸是直線x＝﹣2，
∴拋物線與x軸的另一交點在（﹣1，0），（0，0）之間，
∴x＝1時，y＝a+b+c＜0，③正確．
∵（﹣5，n）在拋物線y＝ax2+bx+c上，稱軸是直線x＝﹣2，
∴（1，n）也在拋物線y＝ax2+bx+c上，
∴ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的兩個根分別是﹣5，1．④正確．
故選：D．
【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．
二、填空題（每小題3分，共18分）
11．已知m是方程x2﹣3x﹣2＝0的一個根，則代數(shù)式﹣3m2+9m+5的值是 ﹣1 ．
【分析】把x＝m代入方程得出m2﹣3m＝2，把﹣3m2+9m+5化成﹣3（m2﹣3m）+5，代入求出即可．
解：∵m是方程x2﹣3x﹣2＝0的一個根，
∴m2﹣3m﹣2＝0，
∴m2﹣3m＝2，
∴﹣3m2+9m+5
＝﹣3（m2﹣3m）+5
＝﹣3×2+5
＝﹣1，
故答案為：﹣1．
【點評】本題考查了一元二次方程的解的應(yīng)用，用了整體代入思想，即把m2﹣3m當(dāng)作一個整體來代入．
12．如圖是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的部分圖象，由圖象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是 x＜﹣1或x＞5 ．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出函數(shù)圖象與x軸的另一交點，再寫出x軸下方部分的x的取值范圍即可．
解：由圖可知，對稱軸為直線x＝2，與x軸的一個交點坐標(biāo)為（5，0），
∴函數(shù)圖象與x軸的另一交點坐標(biāo)為（﹣1，0），
∴ax2+bx+c＜0的解集是x＜﹣1或x＞5．
故答案為：x＜﹣1或x＞5．
【點評】本題考查了二次函數(shù)與不等式，此類題目利用數(shù)形結(jié)合的思想求解更加簡便，求出函數(shù)圖象與x軸的另一交點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
13．已知坐標(biāo)系中點A（﹣2，a）和點B（b，3）關(guān)于原點中心對稱，則a+b＝ ﹣1 ．
【分析】直接利用關(guān)于原點對稱點的性質(zhì)，得出a，b的值，即可得出答案．
解：∵坐標(biāo)系中點A（﹣2，a）和點B（b，3）關(guān)于原點中心對稱，
∴b＝2，a＝﹣3，
則a+b＝2﹣3＝﹣1．
故答案為：﹣1．
【點評】此題主要考查了關(guān)于原點對稱點的性質(zhì)，正確掌握橫縱坐標(biāo)的符號關(guān)系是解題關(guān)鍵．
14．由于疫情得到緩和，餐飲行業(yè)逐漸回暖，某家餐廳重新開張，開業(yè)第一天收入約為3020元，之后兩天的收入按相同的增長率增長，第三天收入約為4350元．設(shè)每天的增長率為x，根據(jù)題意可列方程為 3020（1+x）2＝4350 ．
【分析】利用第三天的收入＝第一天的收入×（1+增長率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
解：依題意得：3020（1+x）2＝4350．
故答案為：3020（1+x）2＝4350．
【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
15．拋物線y＝x2﹣5x+6與x軸交于A、B兩點，則AB的長為 1 ．
【分析】首先求出拋物線與x軸的交點，進(jìn)而得出AB的長．
解：當(dāng)y＝0，則0＝x2﹣5x+6，
解得：x1＝2，x2＝3，
故AB的長為：3﹣2＝1．
故答案為：1．
【點評】此題主要考查了拋物線與x軸的交點，得出圖象與x軸交點是解題關(guān)鍵．
16．如圖是足球守門員在O處開出一記手拋高球后足球在空中運動到落地的過程，它是一條經(jīng)過A、M、C三點的拋物線．其中A點離地面1.4米，M點是足球運動過程中的最高點，離地面3.2米，離守門員的水平距離為6米，點C是球落地時的第一點．那么足球第一次落地點C距守門員的水平距離為 14 米．
【分析】設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣6）2+3.2，將點A（0，1.4）代入求出a的值即可得解析式，求出y＝0時x的值即可得．
解：設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣6）2+3.2，
將點A（0，1.4）代入，得：36a+3.2＝1.4，
解得：a＝﹣0.05，
則拋物線的解析式為y＝﹣0.05（x﹣6）2+3.2；
當(dāng)y＝0時，﹣0.05（x﹣6）2+3.2＝0，
解得：x1＝﹣2（舍），x2＝14，
所以足球第一次落地點C距守門員14米．
故答案為：14．
【點評】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及將實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題的能力．
三、解答題（共72分）
17．解方程：
（1）（x﹣5）2﹣36＝0；
（2）x2+2x﹣3＝0．
【分析】（1）先把方程變形為（x﹣5）2＝36，再把方程兩邊開方得到x﹣5＝±6，然后解兩個一次方程即可；
（2）先利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為x+3＝0或x﹣1＝0，然后解兩個一次方程即可．
解：（1）（x﹣5）2﹣36＝0，
（x﹣5）2＝36，
x﹣5＝±6，
所以x1＝﹣1，x2＝11；
（2）x2+2x﹣3＝0，
（x+3）（x﹣1）＝0，
x+3＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝﹣3，x2＝1．
【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．
18．指出函數(shù)y＝﹣x2+2x+1的開口方向，對稱軸和頂點，怎樣移動拋物線y＝﹣x2就可以得到拋物線y＝﹣x2+2x+1？
【分析】將所給函數(shù)解析式化為頂點式，即可得出開口方向、對稱軸及頂點坐標(biāo)，將y＝﹣x2和y＝﹣x2+2x+1轉(zhuǎn)化為頂點式即可解決問題．
解：由題知，
y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，
所以函數(shù)y＝﹣x2+2x+1的開口向下，對稱軸為直線x＝1，頂點坐標(biāo)為（1，2）；
根據(jù)“左加右減，上加下減”的平移法則可知，
將拋物線y＝﹣x2向右平移1個單位可得拋物線y＝﹣（x﹣1）2，
再向上平移2個單位可的拋物線y＝﹣（x﹣1）2+2．
所以將拋物線y＝﹣x2向右平移1個單位，再向上平移2個單位可得拋物線y＝﹣x2+2x+1．
【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與幾何變換，熟知二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
19．如圖所示的正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點均在格點上，請在所給直角坐標(biāo)系中按要求畫圖：
（1）作出△ABC關(guān)于坐標(biāo)原點O成中心對稱的△A1B1C1；
（2）作出以點A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的△AB2C2；
（3）點C2的坐標(biāo)為 （﹣2，3） ．
【分析】（1）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)找到點A1、B1、C1，連接A1B1、B1C1、A1C1即可得到答案；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找到B2、C2，連接AB2、B2C2、AC2即可得到答案；
（3）根據(jù)（2）的圖形即可得到答案．
解：（1）由題意可得，根據(jù)中心對稱的性質(zhì)找到點A1、B1、C1，連接A1B1、B1C1、A1C1，如圖所示．
（2）如圖，三角形AB2C2如圖所示．
（3）由（2）可得，
C2（﹣2，3），
故答案為：（﹣2，3）．
【點評】本題考查作中心對稱圖形及旋轉(zhuǎn)作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握中心對稱圖形的定義及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．
20．某?！吧镅袑W(xué)”活動小組在一次野外研學(xué)實踐時，發(fā)現(xiàn)某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支．若主干、支干和小分支的總數(shù)是91，求這種植物每個支干長出的小分支個數(shù)是多少？
【分析】設(shè)這種植物每個支干長出的小分支個數(shù)是x，根據(jù)主干、支干和小分支的總數(shù)是91，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案．
解：設(shè)這種植物每個支干長出的小分支個數(shù)是x，
根據(jù)題意，可得1+x+x2＝91，
整理得 x2+x﹣90＝0，
解得x1＝9，x2＝﹣10（不合題意，舍去），
答：這種植物每個支干長出的小分支個數(shù)是9．
【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
21．已知關(guān)于x的一元二次方程mx2+2（m+1）x+m﹣1＝0有實數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）若該方程的兩個實數(shù)根分別為x1、x2，且x12+x22＝27，求m的值．
【分析】（1）根據(jù)根的判別式得出m≠0且Δ＝[2（m+1）]2﹣4m（m﹣1）≥0，再求出答案即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2＝﹣，x1?x2＝，根據(jù)x12+x22＝27得出（x1+x2）2﹣2x1?x2＝27，求出[﹣]2﹣2×＝27，再求出m即可．
解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程mx2+2（m+1）x+m﹣1＝0有實數(shù)根，
∴m≠0且Δ＝[2（m+1）]2﹣4m（m﹣1）≥0，
解得：m≥﹣且m≠0，
即m的取值范圍是m≥﹣且m≠0；
（2）∵x1，x2是方程mx2+2（m+1）+m﹣1＝0的兩根，
∴x1+x2＝﹣，x1?x2＝，
∵x12+x22＝27，
∴（x1+x2）2﹣2x1?x2＝27，
∴[﹣]2﹣2×＝27，
整理得：25m2﹣10m﹣4＝0，
解得：m＝，
經(jīng)檢驗m＝都符合m≥﹣且m≠0，
∴m＝或．
【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式，能熟記根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的兩根為x1，x2，則x1+x2＝﹣，x1?x2＝．
22．某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，那么每天可售出500千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價不變的情況下，若每千克漲價1元，則日銷售量將減少20千克．
（1）現(xiàn)該商場要保證這種水果每天盈利6000元，同時又要顧客得到實惠，那么每千克應(yīng)漲價多少元？
（2）若該商場單純從經(jīng)濟(jì)角度看，這種水果每千克漲價多少元，能使商場獲利最大？最大利潤是多少？
【分析】（1）設(shè)每千克應(yīng)漲價x元，根據(jù)每千克水果的利潤×銷售量＝總利潤列出方程，解方程求出x的值，再取較小的值即可；
（2）設(shè)每千克漲價x元時總利潤為y元，根據(jù)每千克水果的利潤×銷售量＝總利潤列出函數(shù)解析式，由函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．
解：（1）設(shè)每千克應(yīng)漲價x元，
根據(jù)題意得：（10+x）（500﹣20x）＝6000，
解得x＝5或x＝10，
為了使顧客得到實惠，
∴x＝5，
答：要保證每天盈利6000元，同時又使顧客得到實惠，那么每千克應(yīng)漲價5元；
（2）設(shè)每千克漲價x元時總利潤為y元，
則y＝（10+x）（500﹣20x）＝﹣20x2+300x+5000＝﹣20（x﹣7.5）2+6125，
∵﹣20＜0，
∴當(dāng)x＝7.5時，y取得最大值，最大值為6125，
答：若該商場單純從經(jīng)濟(jì)角度看，每千克這種水果漲價7.5元，能使商場獲利最大，最大利潤為6125元．
【點評】本題考查二次函數(shù)和一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是找到等量關(guān)系列出函數(shù)解析式和方程．
23．如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+2x﹣3的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點D（﹣2，﹣3）在拋物線上．
（1）請直接寫出A、B、C三點的坐標(biāo)；
（2）拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得△PAD周長最小，若存在，求出P點的坐標(biāo)；
（3）若點M是直線AC下方的拋物線上的一動點，過M作y軸的平行線與線段AC交于點N，求線段MN的最大值．
【分析】（1）令y＝0得到x2+2x﹣3＝0，解方程即可求出A，B坐標(biāo)，令x＝0即可求出點C的坐標(biāo)；
（2）點A關(guān)于函數(shù)對稱軸的對稱點為點B，連接PD交函數(shù)對稱軸于點P，則點P為所求點，即可求解；
（3）先求出直線AC解析式，設(shè)N橫坐標(biāo)為x，用含x的代數(shù)式表示線段MN，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
解：（1）令y＝0，得x2+2x﹣3＝0，
即（x﹣1）（x+3）＝0
解得x1＝1，x2＝﹣2
∴A（﹣3，0），B（1，0），
令x＝0，得y＝﹣3
∴C（0，﹣3）；
（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴函數(shù)的對稱軸為：x＝﹣1，
點A關(guān)于函數(shù)對稱軸的對稱點為點B，
∴PA＝PB，
∵△PAD周長＝AD+PD+AP＝AD+PD+PB≥AD+BD，
∴當(dāng)點P在線段BD上時，△PAD周長最小，
連接BD交二次函數(shù)對稱軸于點P，則點P為所求點，如圖1，
設(shè)直線BD的表達(dá)式為y＝kx+b，
將點D、B的坐標(biāo)代入y＝kx+b得：，
解得：，
故BD的函數(shù)表達(dá)式為：y＝x﹣1，
當(dāng)x＝﹣1時，y＝﹣2，
即點P（﹣1，﹣2）；
（3）設(shè)直線AC的解析式為y＝ax+t，如圖2，
把點A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax+t中，
解得，
所以直線AC解析式為y＝﹣x﹣3．
設(shè)N橫坐標(biāo)為x，則yN＝﹣x﹣3，，
∴，
∴MN的最大值為．
【點評】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)綜合運用，涉及到直線的待定系數(shù)法求解析式，軸對稱﹣最短問題，及二次函數(shù)的最值等，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．
24．如圖1，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，點D、E分別在邊AB、AC上，AD＝AE，連接BE，點M、N、P分別為DE、BE、BC的中點．
（1）觀察猜想．
圖1中，線段NM、NP的數(shù)量關(guān)系是 NM＝NP ，∠MNP的大小為 60° ．
（2）探究證明
把△ADE繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接MP、BD、CE，判斷△MNP的形狀，并說明理由；
（3）拓展延伸
把△ADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD＝1，AB＝3，請求出△MNP面積的最大值．
【分析】（1）先證明由AB＝AC，AD＝AE，得BD＝CE，再由三角形的中位線定理得NM與NP的數(shù)量關(guān)系，由平行線性質(zhì)得∠MNP的大小；
（2）先證明△ABD≌△ACE得BD＝CE，再由三角形的中位線定理得NM＝NP，由平行線性質(zhì)得∠MNP＝60°，再根據(jù)等邊三角形的判定定理得結(jié)論；
（3）由BD≤AB+AD，得MN≤2，再由等邊三角形的面積公式得△MNP的面積關(guān)于MN的函數(shù)關(guān)系式，再由函數(shù)性質(zhì)求得最大值便可．
解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝CE，
∵點M、N、P分別為DE、BE、BC的中點，
∴MN＝BD，PN＝CE，MN∥AB，PN∥AC，
∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBA，∠ENP＝∠AEB，
∴∠MNE+∠ENP＝∠ABE+∠AEB，
∵∠ABE+∠AEB＝180°﹣∠BAE＝60°，
∴∠MNP＝60°，
故答案為：NM＝NP；60°；
（2）△MNP是等邊三角形．
理由 如下：由旋轉(zhuǎn)可得，∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵點M、N、P分別為DE、BE、BC的中點．
∴MN＝BD，PN＝CE，MN∥BD，PN∥CE，
∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBD，∠BPN＝∠BCE，
∴∠ENP＝∠NBP+∠NPB＝∠NBP+∠ECB，
∵∠EBD＝∠ABD+∠ABE＝∠ACE+∠ABE，
∴∠MNP＝∠MNE+∠ENP＝∠ACE+∠ABE+∠EBC+∠EBC+∠ECB＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴△MNP是等邊三角形；
（3）根據(jù)題意得，BD≤AB+AD，即BD≤4，
∴MN≤2，
∴△MNP的面積＝＝，
∴△MNP的面積的最大值為．
【點評】本題是三角形的一個綜合題，主要考查了等邊三角形的判定，三角形的中位線定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵證明三角形全等和運用三角形中位線定理使已知與未知聯(lián)系起來．
25．拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），且A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點C，C點的坐標(biāo)為（0，﹣2），連接BC，以BC為邊，點O為對稱中心作菱形BDEC．點P是x軸上的一個動點，設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，0），過點P作x軸的垂線交拋物線于點Q，交BD于點M．
（1）求拋物線的解析式；
（2）x軸上是否存在一點P，使三角形PBC為等腰三角形，若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）當(dāng)點P在線段OB上運動時，試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形？請說明理由．
【分析】（1）拋物線與x軸交于A（﹣1，0），B（4，0）兩點，故拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），即﹣4a＝﹣2，解得：a＝，即可求解；
（2）分PB＝PC、PB＝BC、PC＝BC三種情況，分別求解即可；
（3）直線BD的解析式為y＝﹣x+2；如圖，當(dāng)MQ＝DC時，四邊形CQMD是平行四邊形，則（﹣m+2）﹣（m2﹣m﹣2）＝2﹣（﹣2），即可求解．
解：（1）由題意可設(shè)拋物線的解析式為：y＝ax2+bx﹣2，
∵拋物線與x軸交于A（﹣1，0），B（4，0）兩點，
故拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），
即﹣4a＝﹣2，解得：a＝，
∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣x﹣2；
（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，0），
則PB2＝（m﹣4）2，PC2＝m2+4，BC2＝20，
①當(dāng)PB＝PC時，（m﹣4）2＝m2+4，解得：m＝；
②當(dāng)PB＝BC時，同理可得：m＝4±2；
③當(dāng)PC＝BC時，同理可得：m＝±4（舍去4），
故點P的坐標(biāo)為：（，0）或（4+2，0）或（4﹣2，0）或（﹣4，0）；
（3）∵C（0，﹣2）
∴由菱形的對稱性可知，點D的坐標(biāo)為（0，2），
設(shè)直線BD的解析式為y＝kx+2，又B（4，0）
解得k＝﹣，
∴直線BD的解析式為y＝﹣x+2；
則點M的坐標(biāo)為（m，﹣m+2），點Q的坐標(biāo)為（m，m2﹣m﹣2），
如圖，當(dāng)MQ＝DC時，四邊形CQMD是平行四邊形
∴（﹣m+2）﹣（m2﹣m﹣2）＝2﹣（﹣2），
解得m1＝0（不合題意舍去），m2＝2，
∴當(dāng)m＝2時，四邊形CQMD是平行四邊形．
【點評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、勾股定理的運用、平行四邊形性質(zhì)、圖形的面積計算等，其中（2），要注意分類求解，避免遺漏．
x
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
ax2+bx+c
﹣0.12
﹣0.03
﹣0.01
0.06
0.18
x
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
ax2+bx+c
﹣0.12
﹣0.03
﹣0.01
0.06
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