1．下面的圖形是用數(shù)學家名字命名的，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A．斐波那契螺旋線B．笛卡爾心形線
C．趙爽弦圖D．科克曲線
2．下列所給的方程中，沒有實數(shù)根的是（ ）
A．x2+x＝0B．5x2﹣4x﹣1＝0
C．3x2﹣4x+1＝0D．4x2﹣5x+2＝0
3．將二次函數(shù)y＝x2的圖象先向右平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，可以得到函數(shù)（ ）的圖象．
A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x﹣1）2﹣2
C．y＝（x+1）2+2D．y＝（x+1）2﹣2
4．在一次酒會上，每兩人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，則參加酒會的人數(shù)為（ ）
A．9人B．10人C．11人D．12人
5．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一個根，則6m2﹣9m+2018的值為（ ）
A．2018B．2019C．2020D．2021
6．用一段20米長的鐵絲在平地上圍成一個長方形，求長方形的面積y（平方米）和長方形的一邊的長x（米）的關系式為（ ）
A．y＝﹣x2+20xB．y＝x2﹣20xC．y＝﹣x2+10xD．y＝x2﹣10x
7．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1cm，將Rt△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到Rt△AB′C′，使點C′落在AB邊上，連接BB′，則BB′的長度是（ ）
A．2cmB．1cmC．cmD．2cm
8．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中不正確的是（ ）
A．圖象開口向下
B．x＝﹣1時，函數(shù)有最大值
C．方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1
D．x＞1時，函數(shù)y隨x的增大而減小
9．已知一次函數(shù)y＝x+c的圖象如圖，則二次函數(shù)y＝ax2+bx+c在平面直角坐標系中的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．如圖，將函數(shù)y＝（x﹣2）2+1的圖象沿y軸向上平移得到一條新函數(shù)的圖象，其中點A（1，m），B（4，n）平移后的對應點分別為點A'、B'．若曲線段AB掃過的面積為9（圖中的陰影部分），則新圖象的函數(shù)表達式是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空題（共6小題）
11．在平面直角坐標系中，把點P（3，0）繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，所得到的對應點Q的坐標為 ．
12．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的兩根，則x1+x2﹣x1x2＝ ．
13．已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是拋物線y＝3（x+2）2+m﹣12上的點，則y1，y2，y3的大小關系為 ．
14．如圖，某單位準備將院內(nèi)一塊長30m，寬20m的長方形花園中修兩條縱向平行和一條橫向彎折的小道，剩余的地方種植花草，如圖，要使種植花草的面積為532m2，設小道進出口的寬度為xm，根據(jù)條件，可列出方程： ．
15．若函數(shù)y＝mx2﹣6x+1（m是常數(shù)）的圖象與x軸只有一個交點，m的值為 ．
16．如圖1，△ABC中，AB＞AC，D是邊BC上的動點．設B、D兩點之間的距離為x，A、D兩點之間的距離為y，表示y與x的函數(shù)關系的圖象如圖2所示，則線段AB的長為 ．
三、解答題（共9小題）
17．解下列一元二次方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）（x﹣4）2＝10（x﹣4）．
18．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c經(jīng)過點A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．
（1）求該二次函數(shù)的解析式．
（2）利用圖象的特點填空：
①方程ax2+bx+c＝﹣3的解為 ．
②不等式ax2+bx+c＞0的解集為 ．
19．如圖，正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點均在格點上，其中B（﹣2、2）、請在所給的直角坐標系中按要求解答下列問題：
（1）△A1B1C1與△ABC關于坐標原點O成中心對稱，則B1的坐標為 ；
（2）△A1B1C1的面積為 ；
（3）將△ABC繞某點逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，其對應點分別為A2（﹣1，﹣2），B2（1，﹣3），則旋轉(zhuǎn)中心的坐標為 ，并在網(wǎng)格中畫出旋轉(zhuǎn)后的△A2B2C2．
20．2022年2月4日至20日，第24屆冬奧會在北京和張家口舉辦，這是中國歷史上第一次舉辦冬奧會，吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜愛．某廠家1月份生產(chǎn)10萬個“冰墩墩”，1月底因市場對“冰墩墩“需求量大增，為滿足市場需求，工廠決定從2月份開始擴大產(chǎn)量，3月份產(chǎn)量達到12.1萬個．已知2月份和3月份產(chǎn)量的月平均增長率相同．
（1）求“冰墩墩”產(chǎn)量的月平均增長率；
（2）按照（1）中的月平均增長率，預計4月份的產(chǎn)量為多少個？
21．如圖，拋物線的頂點為C（1，9），與x軸交于A，B（4，0）兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線與y軸交點為D，求S△BCD．
22．已知平行四邊形ABCD的兩邊AB、BC的長是關于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的兩個實數(shù)根．
（1）當m為何值時，四邊形ABCD是菱形？求出這時菱形的邊長；
（2）若AB的長為2，那么平行四邊形ABCD的周長是多少？
23．在Rt△POQ中，OP＝OQ＝2，M是斜邊PQ的中點，把一三角尺的直角頂點放在點M處，以M為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)三角尺，三角尺的兩直角邊與Rt△POQ的兩直角邊分別交于點A，B．
（1）求證：MA＝MB；
（2）在旋轉(zhuǎn)三角尺的過程中，四邊形AOBM的面積大小是否有變化？若沒有變化，請求出四邊形AOBM的面積；若有變化，請說明理由；
（3）連接AB，在旋轉(zhuǎn)三角尺的過程中，△AOB周長的最小值是 ．
24．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的頂點坐標（1，﹣4）交x軸于A、B兩點，與y軸交于C（0，﹣3），若拋物線上有一點D，∠ACD＝45°．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在對稱軸上有一點P，連結(jié)PA、PC、AC，求△PAC周長最短時，點P的坐標；
（3）求點D的坐標．
25．平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2﹣3ax+1與y軸交于點A．
（1）求點A的坐標及拋物線的對稱軸；
（2）當﹣1≤x≤2時，y的最大值為3，求a的值；
（3）已知點P（0，2），Q（a+1，1）．若線段PQ與拋物線只有一個公共點，結(jié)合函數(shù)圖象，求a的取值范圍．
參考答案
一、選擇題（共10小題）
1．下面的圖形是用數(shù)學家名字命名的，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A．斐波那契螺旋線B．笛卡爾心形線
C．趙爽弦圖D．科克曲線
【分析】根據(jù)把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．
解：A．不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
B．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
C．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
D．既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故此選項符合題意；
故選：D．
【點評】此題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原來的圖形重合．
2．下列所給的方程中，沒有實數(shù)根的是（ ）
A．x2+x＝0B．5x2﹣4x﹣1＝0
C．3x2﹣4x+1＝0D．4x2﹣5x+2＝0
【分析】分別計算出判別式Δ＝b2﹣4ac的值，然后根據(jù)△的意義分別判斷即可．
解：A、Δ＝12﹣4×1×0＝1＞0，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根；
B、Δ＝（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）＝36＞0，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根；
C、Δ＝（﹣4）2﹣4×3×1＝4＞0，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根；
D、Δ＝（﹣5）2﹣4×4×2＝﹣7＜0，所以方程沒有實數(shù)根．
故選：D．
【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當Δ＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0，方程沒有實數(shù)根．
3．將二次函數(shù)y＝x2的圖象先向右平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，可以得到函數(shù)（ ）的圖象．
A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x﹣1）2﹣2
C．y＝（x+1）2+2D．y＝（x+1）2﹣2
【分析】先確定拋物線y＝x2的頂點坐標為（0，0），再利用點平移的規(guī)律得到點（0，0）平移后所得對應點的坐標為（1，﹣2），然后利用頂點式寫出平移后所得拋物線的函數(shù)關系式．
解：拋物線y＝x2的頂點坐標為（0，0），把點（0，0）向右平移1個單位，再向下平移2個單位所得對應點的坐標為（1，﹣2），所以平移后所得拋物線的函數(shù)關系式是y＝（x﹣1）2﹣2．
故選：B．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．
4．在一次酒會上，每兩人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，則參加酒會的人數(shù)為（ ）
A．9人B．10人C．11人D．12人
【分析】設參加酒會的人數(shù)為x人，根據(jù)每兩人都只碰一次杯且一共碰杯55次，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．
解：設參加酒會的人數(shù)為x人，
根據(jù)題意得：x（x﹣1）＝55，
整理，得：x2﹣x﹣110＝0，
解得：x1＝11，x2＝﹣10（不合題意，舍去）．
答：參加酒會的人數(shù)為11人．
故選：C．
【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
5．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一個根，則6m2﹣9m+2018的值為（ ）
A．2018B．2019C．2020D．2021
【分析】由已知可得2m2﹣3m﹣1＝0，再化簡所求代數(shù)為6m2﹣9m+2018＝3（2m2﹣3m）+2018，即可求解．
解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一個根，
∴2m2﹣3m﹣1＝0，
∴2m2﹣3m＝1，
∴6m2﹣9m+2018
＝3（2m2﹣3m）+2018
＝3×1+2018
＝3+2018
＝2021，
故選：D．
【點評】本題考查二元一次方程的解，熟練掌握二元一次方程的解與二元一次方程的關系是解題的關鍵．
6．用一段20米長的鐵絲在平地上圍成一個長方形，求長方形的面積y（平方米）和長方形的一邊的長x（米）的關系式為（ ）
A．y＝﹣x2+20xB．y＝x2﹣20xC．y＝﹣x2+10xD．y＝x2﹣10x
【分析】先由長方形一邊的長度為x米，周長為20米，得出另外一邊的長度為（10﹣x）米，再利用長方形的面積公式可得答案．
解：∵長方形一邊的長度為x米，周長為20米，
∴長方形的另外一邊的長度為（10﹣x）米，
則長方形的面積y＝x（10﹣x）＝﹣x2+10x，
故選：C．
【點評】本題主要考查根據(jù)實際問題列二次函數(shù)的關系式，根據(jù)實際問題確定二次函數(shù)關系式關鍵是讀懂題意，建立二次函數(shù)的數(shù)學模型來解決問題．需要注意的是實例中的函數(shù)圖象要根據(jù)自變量的取值范圍來確定．
7．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1cm，將Rt△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到Rt△AB′C′，使點C′落在AB邊上，連接BB′，則BB′的長度是（ ）
A．2cmB．1cmC．cmD．2cm
【分析】由直角三角形的性質(zhì)得到AB＝2AC＝2cm，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)得到AB′＝BB′．
解：∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1cm，
∴AC＝AB，則AB＝2AC＝2cm．
又由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，AC′＝AC＝AB，B′C′⊥AB，
∴B′C′是△ABB′的中垂線，
∴AB′＝BB′．
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知AB＝AB′＝BB′＝2cm．
故選：A．
【點評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和含30度角的直角三角形，此題實際上是利用直角三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)將所求線段BB'與已知線段AC的長度聯(lián)系起來求解的．
8．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中不正確的是（ ）
A．圖象開口向下
B．x＝﹣1時，函數(shù)有最大值
C．方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1
D．x＞1時，函數(shù)y隨x的增大而減小
【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象得出圖象的開口向下，與y軸的交點在y軸的正半軸上，對稱軸是直線x＝﹣1，并利用拋物線的對稱性逐個判斷即可．
解：∵圖象的開口向下，對稱軸是直線x＝﹣1，
∴x＝﹣1時，函數(shù)有最大值，當x＞﹣1時，y隨x的增大而增大，
故A，B，D正確；
∵對稱軸是直線x＝﹣1，拋物線與x軸的交點為（1，0），
∴拋物線與x軸的另一交點為（﹣3，0），
方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，
故C錯誤．
故選：C．
【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能根據(jù)圖象得出正確信息是解此題的關鍵，用了數(shù)形結(jié)合思想．
9．已知一次函數(shù)y＝x+c的圖象如圖，則二次函數(shù)y＝ax2+bx+c在平面直角坐標系中的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限，即可得出＞0、c＞0，由此即可得出：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象對稱軸x＝﹣＜0，與y軸的交點在y軸正正半軸，再對照四個選項中的圖象即可得出結(jié)論．
解：觀察函數(shù)圖象可知：＞0、c＞0，
∴二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象對稱軸x＝﹣＜0，與y軸的交點在y軸正正半軸．
故選：C．
【點評】本題考查了一次函數(shù)的圖象以及二次函數(shù)的圖象，根據(jù)一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限，找出＞0、c＞0是解題的關鍵．
10．如圖，將函數(shù)y＝（x﹣2）2+1的圖象沿y軸向上平移得到一條新函數(shù)的圖象，其中點A（1，m），B（4，n）平移后的對應點分別為點A'、B'．若曲線段AB掃過的面積為9（圖中的陰影部分），則新圖象的函數(shù)表達式是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征求出A、B兩點的坐標，再過A作AC∥x軸，交B′B的延長線于點C，則C（4，1），AC＝4﹣1＝3，根據(jù)平移的性質(zhì)以及曲線段AB掃過的面積為9（圖中的陰影部分），得出AA′＝3，然后根據(jù)平移規(guī)律即可求解．
解：∵函數(shù)y＝（x﹣2）2+1的圖象過點A（1，m），B（4，n），
∴m＝（1﹣2）2+1＝1，n＝（4﹣2）2+1＝3，
∴A（1，1），B（4，3），
過A作AC∥x軸，交B′B的延長線于點C，則C（4，1），
∴AC＝4﹣1＝3，
∵曲線段AB掃過的面積為9（圖中的陰影部分），
∴AC?AA′＝3AA′＝9，
∴AA′＝3，
即將函數(shù)y＝（x﹣2）2+1的圖象沿y軸向上平移3個單位長度得到一條新函數(shù)的圖象，
∴新圖象的函數(shù)表達式是y＝（x﹣2）2+4．
故選：D．
【點評】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換以及平行四邊形面積求法等知識，根據(jù)已知得出AA′是解題關鍵．
二、填空題（共6小題）
11．在平面直角坐標系中，把點P（3，0）繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，所得到的對應點Q的坐標為 （0，﹣3） ．
【分析】利用圖象法解決問題即可．
解：P（3，0）在x軸的正半軸上，
由旋轉(zhuǎn)可知，OP＝OQ，OP⊥OQ，
∴Q點在y軸的負半軸上，
∴Q（0，﹣3），
故答案為：（0，﹣3）．
【點評】本題考查坐標與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)，解題的的關鍵是正確作出圖形，屬于中考?？碱}型．
12．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的兩根，則x1+x2﹣x1x2＝ 1 ．
【分析】直接根據(jù)根與系數(shù)的關系得出x1+x2、x1x2的值，再代入計算即可．
解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的兩根，
∴x1+x2＝4，x1x2＝3．
則x1+x2﹣x1x2＝4﹣3＝1．
故答案為：1．
【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與系數(shù)的關系，關鍵是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝﹣，x1?x2＝．
13．已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是拋物線y＝3（x+2）2+m﹣12上的點，則y1，y2，y3的大小關系為 y3＞y1＞y2 ．
【分析】先求出拋物線的對稱軸和開口方向，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)比較即可．
解：∵拋物線y＝3（x+2）2+m﹣12的開口向上，對稱軸是直線x＝﹣2，
∴當x＞﹣2時，y隨x的增大而增大，
∴（﹣3，y1）關于對稱軸直線x＝﹣2的對稱點是（﹣1，y1），
∵﹣2＜﹣1＜1，
∴y3＞y1＞y2，
故答案為：y3＞y1＞y2．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征和二次函數(shù)的性質(zhì)，能熟記二次函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關鍵．
14．如圖，某單位準備將院內(nèi)一塊長30m，寬20m的長方形花園中修兩條縱向平行和一條橫向彎折的小道，剩余的地方種植花草，如圖，要使種植花草的面積為532m2，設小道進出口的寬度為xm，根據(jù)條件，可列出方程： x2﹣35x+34＝0 ．
【分析】設小道進出口的寬度為xm，根據(jù)矩形的面積以及平行四邊形的面積結(jié)合種植花草的面積為532m2，即可列出關于x的一元二次方程，整理后即可得出結(jié)論．
解：設小道進出口的寬度為xm，
根據(jù)題意，得：30×20﹣20×2x﹣30x+2x?x＝532，
整理，得：x2﹣35x+34＝0．
故答案為：x2﹣35x+34＝0．
【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，根據(jù)數(shù)量關系列出關于x的一元二次方程是解題的關鍵．
15．若函數(shù)y＝mx2﹣6x+1（m是常數(shù)）的圖象與x軸只有一個交點，m的值為 0或9 ．
【分析】分m＝0和m≠0兩種情況考慮，當m＝0時，一次函數(shù)與x軸只有一個交點；當m≠0時，由二次函數(shù)圖象與x軸只有一個交點結(jié)合根的判別式即可得出關于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．綜上即可得出結(jié)論．
解：當m＝0時，直線y＝﹣6x+1與x軸只有一個交點；
當m≠0時，∵二次函數(shù)y＝mx2﹣6x+1（m是常數(shù)）的圖象與x軸只有一個交點，
∴二元一次方程mx2﹣6x+1＝0有兩個相同的根，
∴△＝（﹣6）2﹣4m＝36﹣4m＝0，
解得：m＝9．
綜上所述：m的值為0或9．
故答案為：0或9．
【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點以及根的判別式，分m＝0和m≠0兩種情況考慮是解題的關鍵．
16．如圖1，△ABC中，AB＞AC，D是邊BC上的動點．設B、D兩點之間的距離為x，A、D兩點之間的距離為y，表示y與x的函數(shù)關系的圖象如圖2所示，則線段AB的長為 2 ．
【分析】從圖象看，當x＝1時，y＝，即BD＝1時，AD＝，當x＝7時，y＝，即BD＝7時，C、D重合，此時y＝AD＝AC＝，則CD＝6，即當BD＝1時，△ADC為以點A為頂點腰長為的等腰三角形，進而求解．
解：從圖象看，當x＝1時，y＝，即BD＝1時，AD＝，
當x＝7時，y＝，即BD＝7時，C、D重合，此時y＝AD＝AC＝，則CD＝6，
即當BD＝1時，△ADC為以點A為頂點腰長為的等腰三角形，如圖：
過點A作AH⊥BC于點H，
在Rt△ACH中，AC＝，CH＝DH＝CD＝3，
∴AH＝2，
在Rt△ABH中，AB＝＝＝2，
故答案為：2．
【點評】本題考查的是動點問題的函數(shù)圖象，此類問題關鍵是：弄清楚不同時間段，圖象和圖形的對應關系，進而求解．
三、解答題（共9小題）
17．解下列一元二次方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）（x﹣4）2＝10（x﹣4）．
【分析】（1）先把方程的左邊分解因式，即可得出兩個一元一次方程，再求出方程的解即可；
（2）移項后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，再求出方程的解即可．
解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
x﹣5＝0或x+1＝0，
x1＝5，x2＝﹣1；
（2）（x﹣4）2＝10（x﹣4），
（x﹣4）2﹣10（x﹣4）＝0，
（x﹣4）（x﹣4﹣10）＝0，
x﹣4＝0或x﹣4﹣10＝0，
x1＝4，x2＝14．
【點評】本題考查了解一元二次方程，能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題的關鍵．
18．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c經(jīng)過點A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．
（1）求該二次函數(shù)的解析式．
（2）利用圖象的特點填空：
①方程ax2+bx+c＝﹣3的解為 x＝0或2 ．
②不等式ax2+bx+c＞0的解集為 x＜﹣1或x＞3 ．
【分析】（1）將A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）三點的坐標分別代入y＝ax2+bx+c，然后解方程組即可解決；
（2）①根據(jù)拋物線的對稱性即可求出x的解；②從題中圖象中找出y＞0的自變量x的值即可．
【解答】（1）解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）三點，
∴，解得，
∴二次函數(shù)的解析式為：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）①∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴對稱軸為直線x＝1，
∴點C（0，﹣3）與點（2，﹣3）關于直線x＝1對稱，
∴方程ax2+bx+c＝﹣3的解為x＝0或2，
故答案為x＝0或2；
②從圖象可知y＞0時，x的取值為x＜﹣1或x＞3，
∴不等式ax2+bx+c＞0的解集為x＜﹣1或x＞3，
故答案為x＜﹣1或x＞3．
【點評】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)與不等式，數(shù)形結(jié)合是解題的關鍵．
19．如圖，正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點均在格點上，其中B（﹣2、2）、請在所給的直角坐標系中按要求解答下列問題：
（1）△A1B1C1與△ABC關于坐標原點O成中心對稱，則B1的坐標為 （2，2） ；
（2）△A1B1C1的面積為 ；
（3）將△ABC繞某點逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，其對應點分別為A2（﹣1，﹣2），B2（1，﹣3），則旋轉(zhuǎn)中心的坐標為 （0，﹣1） ，并在網(wǎng)格中畫出旋轉(zhuǎn)后的△A2B2C2．
【分析】（1）利用中心對稱變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應點A1，B1，C1即可；
（2）把三角形的面積看成矩形的面積減去周圍的三個三角形面積即可；
（3）對應點連線的垂直平分線的交點即為旋轉(zhuǎn)中心，畫出圖形即可解決問題．
解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求，，則B1的坐標為（2，2）；
故答案為：（2，2）；
（2）△A1B1C1的面積為＝2×3﹣×1×2﹣×1×2﹣×1×3＝；
故答案為：；
（3）如圖，△A2B2C2即為所求，旋轉(zhuǎn)中心P的坐標為（0，﹣1）；
故答案為：（0，﹣1）．
【點評】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，三角形的面積等知識，解題的關鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．
20．2022年2月4日至20日，第24屆冬奧會在北京和張家口舉辦，這是中國歷史上第一次舉辦冬奧會，吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜愛．某廠家1月份生產(chǎn)10萬個“冰墩墩”，1月底因市場對“冰墩墩“需求量大增，為滿足市場需求，工廠決定從2月份開始擴大產(chǎn)量，3月份產(chǎn)量達到12.1萬個．已知2月份和3月份產(chǎn)量的月平均增長率相同．
（1）求“冰墩墩”產(chǎn)量的月平均增長率；
（2）按照（1）中的月平均增長率，預計4月份的產(chǎn)量為多少個？
【分析】（1）設“冰墩墩”產(chǎn)量的月平均增長率為x，根據(jù)1月份及3月份的產(chǎn)量，列出方程即可求解；
（2）結(jié)合（1）按照這個增長率，根據(jù)3月份產(chǎn)量達到12.1萬個，即可求出預計4月份平均日產(chǎn)量．
解：（1）設“冰墩墩”產(chǎn)量的月平均增長率為x，根據(jù)題意，得
10（1+x）2＝12.1．
解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%，
答：“冰墩墩”產(chǎn)量的月平均增長率為10%；
（2）12.1×（1+0.1）＝13.31（萬個）．
答：預計4月份的產(chǎn)量為13.31萬個．
【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
21．如圖，拋物線的頂點為C（1，9），與x軸交于A，B（4，0）兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線與y軸交點為D，求S△BCD．
【分析】（1）先把解析式設為頂點式y(tǒng)＝a（x﹣1）2+9，再把B（4，0）代入解析式求出a的值即可；
（2）由函數(shù)解析式求出D點坐標，再用待定系數(shù)法求直線BD的解析式，再求出對稱軸與BD的交點E的坐標，然后用分割法求△BCD面積．
解：（1）由題意可設拋物線解析式為y＝a（x﹣1）2+9，
把B（4，0）代入解析式得：a（4﹣1）2+9＝0，
解得a＝﹣1，
∴拋物線的解析式y(tǒng)＝﹣（x﹣1）2+9；
（2）設對稱軸直線x＝1與直線BD相交于E，如圖所示：
令x＝0，則y＝8，
∴D（0，8），
設直線BD的解析式為y＝kx+b，
則，
解得，
∴直線BD的解析式為y＝﹣2x+8，
∴當x＝1時，y＝﹣2+8＝6，
∴E（1，6），
∴CE＝9﹣6＝3，
∴S△BCD＝CE?OB＝×3×4＝6．
【點評】本題考查拋物線與x軸的交點，關鍵是用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．
22．已知平行四邊形ABCD的兩邊AB、BC的長是關于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的兩個實數(shù)根．
（1）當m為何值時，四邊形ABCD是菱形？求出這時菱形的邊長；
（2）若AB的長為2，那么平行四邊形ABCD的周長是多少？
【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)，結(jié)合根的判別式Δ＝b2﹣4ac＝0，即可得出關于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，將其代入原方程中，解之即可得出這時菱形的邊長；
（2）利用一元二次方程的解，可求出m的值，利用根與系數(shù)的關系，可求出AB+BC的長，再利用平行四邊形的周長計算公式，即可求出結(jié)論．
解：（1）∵菱形ABCD的兩邊AB、BC的長是關于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的兩個實數(shù)根，
∴Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣）＝0，
解得：m1＝m2＝1，
∴當m＝1時，四邊形ABCD是菱形．
當m＝1時，原方程為x2﹣x+＝0，即（x﹣）2＝0，
解得：x1＝x2＝，
∴這時菱形的邊長為．
（2）∵平行四邊形ABCD的兩邊AB、BC的長是關于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的兩個實數(shù)根，且AB的長為2，
∴x＝2是關于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的實數(shù)根，
將x＝2代入原方程得22﹣2m+﹣＝0，
解得：m＝，
∴原方程為x2﹣m+1＝0，
∴AB+BC＝，
∴平行四邊形ABCD的周長為2（AB+BC）＝2×＝5．
【點評】本題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關系、一元二次方程的解、平行四邊形的性質(zhì)以及菱形的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，找出根的判別式Δ＝0；（2）代入x＝2，求出m的值．
23．在Rt△POQ中，OP＝OQ＝2，M是斜邊PQ的中點，把一三角尺的直角頂點放在點M處，以M為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)三角尺，三角尺的兩直角邊與Rt△POQ的兩直角邊分別交于點A，B．
（1）求證：MA＝MB；
（2）在旋轉(zhuǎn)三角尺的過程中，四邊形AOBM的面積大小是否有變化？若沒有變化，請求出四邊形AOBM的面積；若有變化，請說明理由；
（3）連接AB，在旋轉(zhuǎn)三角尺的過程中，△AOB周長的最小值是 2+ ．
【分析】（1）過點M作ME⊥OP于點E，作MF⊥OQ于點F，可得四邊形OEBF是矩形，根據(jù)三角形的中位線定理可得ME＝MF，再根據(jù)同角的余角相等可得∠AME＝∠BMF，再利用“角邊角”證明△AME和△BMF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等即可證明；
（2）利用四邊形AOBM的面積等于正方形OEMF的面積解決問題即可．
（3）根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AE＝BF，設OA＝x，OP＝OQ＝2a表示出AE為a﹣x，即BF的長度，然后表示出OB＝a+（a﹣x）＝2a﹣x，再利用勾股定理列式求出AM，然后根據(jù)等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的倍表示出AB的長度，然后根據(jù)三角形的周長公式列式判斷出△AOB的周長隨AB的變化而變化，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求出周長最小時的x的值，然后解答即可．
【解答】（1）證明：如圖，過點M作ME⊥OP于點E，作MF⊥OQ于點F，
∵∠O＝90°，
∴四邊形OEMF是矩形，
∵M是PQ的中點，OP＝OQ，∠O＝90°，
∴ME＝OQ，MF＝OP，
∴ME＝MF，
∴四邊形OEMF是正方形，
∵∠AME+∠AMF＝90°，∠BMF+∠AMF＝90°，
∴∠AME＝∠BMF，
在△AME和△BMF中，
，
∴△AME≌△BMF（ASA），
∴MA＝MB；
（2）解：四邊形AOBM的面積不發(fā)生變化；
理由：∵△AME≌△BMF（ASA），
∴S△MAE＝S△MFB，
∴S四邊形AOBM＝S正方形OEMF＝S△BOQ．
（3）解：由（1）證得△AME≌△BMF（ASA），
∴AE＝BF，
設OA＝x，
∵OP＝OQ＝2，
∴AE＝1﹣x，
∴OB＝OF+BF＝1+（1﹣x）＝2﹣x，
在Rt△AME中，AM＝＝，
∵∠AMB＝90°，MA＝MB，
∴AB＝AM＝?＝，
∴△AOB的周長＝OA+OB+AB
＝x+（2﹣x）+，
＝2+，
∵x是一個變量，
∴△AOB的周長有變化，
當x＝1時，△AOB的周長最小是2+．
故答案為：2+．
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角的性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股定理的應用，以及二次函數(shù)的最值問題，作出輔助線，把動點問題轉(zhuǎn)化為固定的三角形，構(gòu)造出全等三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．
24．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的頂點坐標（1，﹣4）交x軸于A、B兩點，與y軸交于C（0，﹣3），若拋物線上有一點D，∠ACD＝45°．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在對稱軸上有一點P，連結(jié)PA、PC、AC，求△PAC周長最短時，點P的坐標；
（3）求點D的坐標．
【分析】（1）設拋物線的表達式為y＝a（x﹣1）2﹣4，將點C（0，﹣3）代入求出a＝1，則可得出答案；
（2）根據(jù)題意得出直線CB與對稱軸的交點為點P時，△PAC周長的最小，由拋物線的對稱軸為x＝1即可求出答案；
（3）過A作AK⊥AC交CD于點K，作KH⊥x軸于點H，證明△OAC≌△HKA，可得K（2，1），用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式，與拋物線聯(lián)立解交點即可得出D的坐標；
解：（1）設拋物線的表達式為y＝a（x﹣1）2﹣4，
將點C（0，﹣3）代入得：
4a﹣4＝0，
解得a＝1，
∴拋物線表達式為：y＝（x﹣1）2﹣4，
即y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如圖1，
∵點B、A關于拋物線對稱軸對稱，
∴取直線CB與對稱軸的交點為點P時，△PAC周長的最小，
∵拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，
∴當y＝0時，x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵C（0，﹣3），
設直線BC的解析式為y＝mx+n，
∴，
∴，
∴直線CB的解析式為y＝x﹣3，
∵拋物線的對稱軸為x＝1，
當x＝1時，y＝1﹣3＝﹣2，
∴P（1，﹣2）；
②如圖2，過A作AK⊥AC交CD于點K，作KH⊥x軸于點H，
∵∠ACD＝45°，
∴AC＝AK，
∵∠AOC＝∠KHA＝90°，∠ACO＝90°﹣∠OAC＝∠KAH，
∴△OAC≌△HKA（AAS），
∴AH＝CO＝3，KH＝OA＝1，
∴K（2，1），
設直線CD的解析式為y＝kx﹣3，
∴2k﹣3＝1，
∴k＝2，
∴直線CD的解析式為y＝2x﹣3，
聯(lián)立，
解得x＝0（舍去），或x＝4，
∴D（4，5）．
【點評】本題考查了二次的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，拋物線與x軸的交點，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．
25．平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2﹣3ax+1與y軸交于點A．
（1）求點A的坐標及拋物線的對稱軸；
（2）當﹣1≤x≤2時，y的最大值為3，求a的值；
（3）已知點P（0，2），Q（a+1，1）．若線段PQ與拋物線只有一個公共點，結(jié)合函數(shù)圖象，求a的取值范圍．
【分析】（1）令x＝0可求點A坐標，將拋物線解析式化為頂點式可求對稱軸．
（2）根據(jù)拋物線開口方向及對稱軸為直線，分類討論x＝﹣1時y取最大值或拋物線頂點縱坐標為最大值．
（3）由點P為頂點，點Q在直線y＝1上運動，通過數(shù)形結(jié)合求解．
解：（1）令x＝0，則y＝1，
∴A（0，1），
∵，
∴拋物線的對稱軸為．
（2）∵，
∴拋物線頂點坐標為（，），
①當a＞0時，拋物線開口向上，
∵﹣（﹣1）＞2﹣，
∴x＝﹣1時，y＝a+3a+1＝4a+1為最大值，
即4a+1＝3，
解得a＝．
②當a＜0時，拋物線開口向下，
時，y取最大值．
∴，
解得．
綜上所述，或．
（3）∵拋物線y＝ax2﹣3ax+1的對稱軸為．
設點A關于對稱軸的對稱點為點B，
∴B（3，1）．
∵Q（a+1，1），
∴點Q，A，B都在直線y＝1上．
①當a＞0時，如圖，
當點Q在點A的左側(cè)（包括點A）或點Q在點B的右側(cè)（包括點B）時，線段PQ與拋物線只有一個公共點．
∴a+1≤0或a+1≥3．
∴a≤﹣1（不合題意，舍去）或a≥2．
②當a＜0時，如圖，當Q在點A與點B之間（包括點A，不包括點B）時，線段PQ與拋物線只有一個公共點．
∴0≤a+1＜3．
∴﹣1≤a＜2．
又∵a＜0，
∴﹣1≤a＜0．
綜上所述，a的取值范圍為﹣1≤a＜0或a≥2．
【點評】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，解題關鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，通過分類討論及數(shù)形結(jié)合的方法求解．

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