2022-2023學(xué)年廣東省廣州市海珠區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷  第I卷（選擇題） 一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）下列圖形中，既是中心對稱又是軸對稱的圖形是(    )A.  B.  C.  D. 下列函數(shù)中，二次函數(shù)是(    )A.  B.
C.  D. 用配方法解方程，配方正確的是(    )A.  B.  C.  D. 某種植基地年蔬菜產(chǎn)量為噸，預(yù)計年蔬菜產(chǎn)量達到噸，求蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率，設(shè)蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率為，則可列方程為(    )A.  B.
C.  D. 拋物線可以由拋物線平移得到，則下列平移過程正確的是(    )A. 先向左平移個單位，再向上平移個單位
B. 先向左平移個單位，再向下平移個單位
C. 先向右平移個單位，再向下平移個單位
D. 先向右平移個單位，再向上平移個單位關(guān)于二次函數(shù)，下列說法中正確的是(    )A. 圖象的開口向上 B. 當(dāng)時，隨的增大而增大
C. 圖象的頂點坐標(biāo)是 D. 當(dāng)時，有最小值是二次函數(shù)的圖象與軸有交點，則的取值范圍是(    )A.  B. 且 C.  D. 且如圖，在同一平面內(nèi)，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置．若，，則的度數(shù)為(    )A.
B.
C.
D. 下列命題：若時，一元二次方程一定有實數(shù)根；若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則方程也一定有兩個不相等實數(shù)根；若二次函數(shù)，當(dāng)取、時，函數(shù)值相等，則當(dāng)取時函數(shù)值為；若，則二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的公共點的個數(shù)是或，其中正確結(jié)論的個數(shù)是(    )A. 個 B. 個 C. 個 D. 個如圖，已知的頂點坐標(biāo)分別為，，，若二次函數(shù)的圖象與陰影部分含邊界一定有公共點，則實數(shù)的取值范圍是(    )
A.  B.  C.  D. 第II卷（非選擇題） 二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）直角坐標(biāo)系中，點繞原點順時針旋轉(zhuǎn)的對稱點是______．若是二次函數(shù)，則______．已知方程的一根為，則方程的另一根為______．如圖，四邊形內(nèi)接于，已知，則等于______ ．
 拋物線的圖象為，關(guān)于軸對稱的圖象為，和組成的圖象與直線有個公共點時，的范圍或值是______．已知，二次函數(shù)在上有最小值，則______． 三、解答題（本大題共9小題，共72.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）本小題分
解方程：
；
．本小題分
如圖，三個頂點的坐標(biāo)分別為，，．
請畫出關(guān)于原點中心對稱的，并寫出，，的坐標(biāo)；
請畫出關(guān)于軸對稱的，則與有什么位置關(guān)系？
本小題分
如圖，在中，，，，弦，垂足為點，求的長度．
本小題分
如圖，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象交于和．
直接寫出兩個函數(shù)的解析式；
點為直線下方拋物線上一個動點，過作軸與交于點，當(dāng)為最大值時，求點坐標(biāo)．
本小題分
如圖，在一張長，寬的長方形硬紙片，裁去角上四個小正方形之后，折成如圖的無蓋紙盒，若紙盒的底面積是，則紙盒的高是多少？
本小題分
已知拋物線：．
求證：無論為何值，與軸總有兩個不同的交點，；
若，求的值；
若，請直接寫出的值．本小題分
某企業(yè)設(shè)計了一款工藝品，每件的成本是元．據(jù)市場調(diào)查，銷售單價是元時，每天的銷售量是件，而銷售單價每降低元，每天就可多售出件，但要求銷售單價不得低于成本．現(xiàn)公司決定降價出售．
求出每天的銷售利潤元與銷售單價元之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量的取值范圍；
如果該企業(yè)每天的總成本不超過元，那么銷售單價為多少元時，每天的銷售利潤最大？每天的總成本每件的成本每天的銷售量本小題分
【閱讀理解】
六中珠江中學(xué)初三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組，在做圓的課題學(xué)習(xí)探究時發(fā)現(xiàn)：
三角形有五心：重心、外心、內(nèi)心、垂心、旁心，其中的外心、內(nèi)心、旁心是我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)的圓的“心”而找“心”所用的工具“垂直平分線”和“角平分線”是年級學(xué)習(xí)內(nèi)容．小組同學(xué)做了以下摘要記錄
重心：三角形三條中線的交點叫做三角形重心，它是力的平衡點，重心是中線的三等分點．
外心：三角形外接圓的圓心，外心為三角形三邊的垂直平分線的交點，外心到三頂點距離相等．
內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心，內(nèi)心為三角形三條內(nèi)角平分線的交點，內(nèi)心到三角形三邊距離相等．
【實踐探究】
圖，已知中，，，．
作出的角平分線交點尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡；過作，垂足為不需尺規(guī)作圖；以為圓心，為半徑作出的內(nèi)切圓．
求出的面積；
求出內(nèi)切圓的半徑的長度．
圖，已知中，，，，
作出的三邊垂直平分線的交點尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡；連接；以為圓心，為半徑作出的外接圓．
以為原點，所在的直線為軸點在點右方；建立直角坐標(biāo)系，求點坐標(biāo)．
求出外接圓的半徑的長度．
 本小題分
已知拋物線與軸交于、兩點，點在點的左邊，與軸交于點．
求點、的坐標(biāo)；
點是拋物線上一點，且，求點的坐標(biāo)；
將拋物線向上平移個單位，交線段于點，，若，求的值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項符合題意；
B.不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
C.是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
D.不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
故選：．
根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進行判斷即可．
本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)度后與自身重合．
 2.【答案】 【解析】解：、是一次函數(shù)，故此選項不符合題意；
B、是二次函數(shù)，故此選項符合題意；
C、是一次函數(shù)，故此選項不符合題意；
D、不是二次函數(shù)，故此選項不符合題意．
故選：．
根據(jù)二次函數(shù)的定義：形如為常數(shù)且，逐一判斷即可解答．
本題考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
 3.【答案】 【解析】解：，
，
，
故選：．
根據(jù)一元二次方程的配方法即可求出答案．
本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運用一元二次方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．
 4.【答案】 【解析】解：依題意得：．
故選：．
利用該種植基地年蔬菜產(chǎn)量該種植基地年蔬菜產(chǎn)量蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．
本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】解：拋物線向左平移個單位可得到拋物線，
拋物線，再向下平移個單位即可得到拋物線．
故平移過程為：先向左平移個單位，再向下平移個單位．
故選：．
根據(jù)“左加右減，上加下減”的原則進行解答即可．
本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．
 6.【答案】 【解析】解：，
圖象開口向下，有最大值，圖象的對稱軸是軸，頂點，
故選項A、、B錯誤，
當(dāng)時，隨的增大而減小，故選項C正確，符合題意；
故選：．
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可以判斷各個選項中的說法是否正確．
本題考查二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)、最值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
 7.【答案】 【解析】解：二次函數(shù)的圖象與軸有交點，
方程有實數(shù)根，
即，，由于是二次函數(shù)，故，
則的取值范圍是且．
故選：．
利用有實數(shù)根，根據(jù)判別式可求出取值范圍．
本題考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系．
 8.【答案】 【解析】解：將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
故選：．
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，由等腰三角形的性質(zhì)可求，由三角形內(nèi)角和定理可求解．
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練運用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：當(dāng)時，，則方程一定有實數(shù)根，是真命題；
方程有兩個不相等的實數(shù)根，若，則方程沒有兩個不相等實數(shù)根，原命題是假命題；
若二次函數(shù)，當(dāng)取、時，函數(shù)值相等，則當(dāng)取時函數(shù)值為，是假命題；
若，則二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的公共點的個數(shù)是或，是真命題；
故選：．
利用一元二次方程的根的判別式等知識分別判斷后即可確定正確的選項．
本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解一元二次方程的根的判別式等知識，難度不大．
 10.【答案】 【解析】解：拋物線與軸的交點為，

，
當(dāng)與是對稱點時，拋物線的對稱軸的位置在最右邊，
對稱軸時，二次函數(shù)的圖象與陰影部分含邊界一定有公共點，
．
故選：．
因為，根據(jù)題意得出對稱軸時，二次函數(shù)的圖象與陰影部分含邊界一定有公共點．
本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題時，利用了二次函數(shù)對稱軸的位置列不等式來求的取值范圍，并利用數(shù)形結(jié)合的思想．
 11.【答案】 【解析】解：如圖，點的對應(yīng)點的坐標(biāo)為．

故答案為：．
利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)作出點的對應(yīng)點可得結(jié)論．
本題考查旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是正確作出圖形，屬于中考?？碱}型．
 12.【答案】 【解析】解：由題意得：，且，
解得：，
故答案為：．
根據(jù)二次函數(shù)定義可得，且，再解出的值即可．
此題主要考查了二次函數(shù)定義，解題的關(guān)鍵是掌握一般地，形如、、是常數(shù)，的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中、是變量，、、是常量，是二次項系數(shù)，是一次項系數(shù)，是常數(shù)項．、、是常數(shù)，也叫做二次函數(shù)的一般形式．
 13.【答案】 【解析】解：設(shè)方程的另一根為，
方程的一根為，
，
解得，
方程的另一個根為，
故答案為：．
設(shè)方程的另一根為，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，即可確定另一個根．
本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的解，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
 14.【答案】 【解析】解：四邊形是的內(nèi)接四邊形，
，

．
．
故答案為：．
根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求得，利用圓周角定理，得．
此題主要考查了圓周角定理以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，得出的度數(shù)是解題關(guān)鍵．
 15.【答案】或 【解析】解：由題意可知，當(dāng)直線經(jīng)過拋物線與軸的交點時，和組成的圖象與直線有個公共點，當(dāng)直線與拋物線有一個公共點時，和組成的圖象與直線有個公共點，
拋物線與軸的交點為，
把代入得，；
令，整理得，
則，
解得，
綜上，和組成的圖象與直線有個公共點時，的值是或，
故答案為：或．
由題意可知，當(dāng)直線經(jīng)過拋物線與軸的交點時，和組成的圖象與直線有個公共點，當(dāng)直線與拋物線有一個公共點時，和組成的圖象與直線有個公共點，把交點代入，求得，令，由，即可求得．
本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，明確當(dāng)直線經(jīng)過拋物線與軸的交點時，和組成的圖象與直線有個公共點，當(dāng)直線與拋物線有一個公共點時，和組成的圖象與直線有個公共點是解題的關(guān)鍵．
 16.【答案】或 【解析】解：配方得，故函數(shù)圖象開口向上，且對稱軸為．
當(dāng)，即時，當(dāng)時，，解得或舍；
當(dāng)，即時，當(dāng)時，，解得；
當(dāng)時，當(dāng)時，，即
，
此種情況不存在，．
綜上所述，的值是或．
故答案是：或．
分析函數(shù)圖象的開口方向和對稱軸，進而可分析出函數(shù)在上的增減性，結(jié)合函數(shù)的最小值為，分類討論可求出滿足條件的值．
本題考查的知識點是二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．
 17.【答案】解：，
，
或，
所以，；
，
，
或，
所以，． 【解析】利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為或，然后解兩個一元一次方程即可；
利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為或，然后解兩個一元一次方程即可．
本題考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
 18.【答案】解：如圖所示：，即為所求，、、；

如圖所示：即為所求．
根據(jù)圖形可知：與的位置關(guān)系是關(guān)于軸對稱． 【解析】直接利用關(guān)于原點對稱點的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置進而得出答案；
直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置，進而得出答案．
此題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換，正確得出對應(yīng)點位置是解題關(guān)鍵．
 19.【答案】解：如圖，過點作于點，過點作于點．

，，，，
，
，，
，，
，，
，
，
四邊形是矩形，
，
，
． 【解析】如圖，過點作于點，過點作于點證明四邊形是矩形，求出，，再利用勾股定理求解．
本題考查勾股定理垂徑定理，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．
 20.【答案】解：把代入，得，
解得：，
，
，
，
把、代入，得：，
解得：，
；
如圖，設(shè)，則，

，
，
當(dāng)時，有最大值，此時，點的坐標(biāo)為 【解析】運用待定系數(shù)法即可求得答案；
設(shè)，則，可得，再運用二次函數(shù)的最值即可求得答案．
本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法等知識，解題的關(guān)鍵是要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，屬于中考常考題型．
 21.【答案】解：設(shè)紙盒的高是，根據(jù)題意得：
，
解得：，不合題意，舍去，
答：紙盒的高是． 【解析】設(shè)紙盒的高是，根據(jù)長方形的面積公式列出算式，再進行求解即可．
此題考查一元二次方程的實際運用，掌握長方形的面積計算公式是解決問題的關(guān)鍵．
 22.【答案】證明：由題意得：，
無論為何值，與軸總有兩個不同的交點，；

解：令，解得，，
則，即，
解得：或；

解：當(dāng)點在點的左側(cè)時，
當(dāng)點、均在軸右側(cè)時，
，
，解得，
當(dāng)點、在軸兩側(cè)時，
則，解得，
故或．
當(dāng)點在點的右側(cè)時，
同理可得：或；
綜上，或． 【解析】由題意得：，即可求解；
由，即，即可求解；
分點、均在軸右側(cè)，點、在軸兩側(cè)兩種情況，分別求解即可．
主要考查了拋物線與軸的交點，二次函數(shù)的性質(zhì)，解答時，要分類討論，以防漏解．
 23.【答案】解：由題意得：


，
每件工藝品的成本是元，且銷售單價不得低于成本，
，
每天的銷售利潤與銷售單價之間的函數(shù)關(guān)系式為；
該企業(yè)每天的總成本不超過元，
，
解得：，
由得，
，
，
拋物線開口向下，
對稱軸直線為，
在對稱軸的右側(cè)，隨的增大而減小，
而當(dāng)時，該企業(yè)每天的總成本不超過元，
當(dāng)時，有最大值，最大值為：元，
故當(dāng)銷售單價為元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤為元． 【解析】根據(jù)利潤等于單件的利潤乘以銷售量列出函數(shù)關(guān)系式，并根據(jù)題意寫出自變量的取值范圍；
根據(jù)每天的總成本不超過元求出自變量的取值范圍，再根據(jù)中解析式和函數(shù)的性質(zhì)求最大值即可．
本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是找出等量關(guān)系，寫出函數(shù)解析式．
 24.【答案】解：如圖所示；
過作于，
，
，
，
，
的面積；
連接，
設(shè)與切于點，與切于點，
連接，，
則，，
，是的角平分線，
，
，
；
如圖所示，點即為所求；
過作于，
，
，
解得，
，
點坐標(biāo)為；
延長交于，連接，
則，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
外接圓的半徑的長度為． 【解析】根據(jù)作角平分線的作法作出圖形即可；
過作于，根據(jù)勾股定理和三角形的面積公式即可得到結(jié)論；
連接，設(shè)與切于點，與切于點，連接，，則，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角形面積公式即可得到結(jié)論；
根據(jù)線段垂直平分線的作法作出圖形即可；
過作于，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；
延長交于，連接，則，根據(jù)等腰直角三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．
本題是圓的綜合題，考查了三角形的外接圓與外心，三角形的內(nèi)接圓與內(nèi)心，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形面積的計算，正確地作出圖形是解題的關(guān)鍵．
 25.【答案】解：，解得：，
故拋物線的表達式為：，
令，解得：或，
故點、的坐標(biāo)分別為：、；
當(dāng)點在下方時，
，則，
則直線的表達式為：，
聯(lián)立并解得：或，
故點；
當(dāng)點在上方時，
過點作交于點，交于點，

直線的表達式為：
則的表達式為：，
聯(lián)立并解得：，故點，點的坐標(biāo)為：，
則直線的表達式為：，
聯(lián)立并解得：或舍去，
故點的坐標(biāo)為：，
綜上，點的坐標(biāo)為：或；

如圖，拋物線平移后的圖象為虛線部分，

則拋物線的表達式為：，
設(shè)點、的坐標(biāo)分別為：、、，
則，，，
，，
∽，
，
而，，，
即，
即，而，
故，
解得：不合題意的值已舍去． 【解析】，解得：，故拋物線的表達式為：，即可求解；
當(dāng)點在下方時，，則，則直線的表達式為：，聯(lián)立并解得：或，即可求解；當(dāng)點在上方時，的表達式為：，點，點的坐標(biāo)為：，即可求解；
證明∽，則，即可求解．
本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、圖象的平移、三角形形似等，其中，要注意分類求解，避免遺漏．
 

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