1．下列各組中的四條線段成比例的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，4cmB．2cm，3cm，4cm，5cm
C．2cm，3cm，4cm，6cmD．3cm，4cm，6cm，9cm
2．下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．任意兩個(gè)矩形都相似
B．任意兩個(gè)正六邊形都相似
C．任意兩個(gè)正方形都相似
D．有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的菱形相似
3．用配方法解方程3x2+2x﹣1＝0，配方后的方程是（ ）
A．3（x﹣1）2＝0B．（x+）2＝
C．（x+）2＝D．（x+）2＝
4．觀察表格中數(shù)據(jù)，一元二次方程x2﹣3x﹣4.6＝0的一個(gè)近似解為（ ）
A．﹣1.073B．﹣1.089C．﹣1.117D．﹣1.123
5．在一個(gè)不透明的盒子中裝有20個(gè)黃、白兩種顏色的乒乓球，除顏色外其它都相同，小明進(jìn)行了多次摸球試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸到白色乒乓球的頻率穩(wěn)定在0.2左右，由此可知盒子中黃色乒乓球的個(gè)數(shù)可能是（ ）
A．2個(gè)B．4個(gè)C．18個(gè)D．16個(gè)
6．如圖所示，在平行四邊形紙片上作隨機(jī)扎針試驗(yàn)，針頭扎在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為（ ）
A．B．C．D．
7．如圖，AC、BD是四邊形ABCD的兩條對(duì)角線，順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)得到四邊形EFGH，要使四邊形EFGH為矩形，應(yīng)添加的條件是（ ）
A．AC⊥BDB．AB＝CDC．AB∥CDD．AC＝BD
8．如圖，在菱形ABCD中，直線MN分別交AB、CD、AC于點(diǎn)M、N和O，且AM＝CN，連接BO．若∠OBC＝65°，則∠DAC為（ ）
A．65°B．30°C．25°D．20°
9．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的兩個(gè)根，則+的值是（ ）
A．1B．C．﹣1D．﹣
10．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，P是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD．于點(diǎn)F，連接AP，EF，給出下列結(jié)論：
①PD＝PF；
②四邊形PECF的周長(zhǎng)為8；
③△APD一定是等腰三角形；
④AP＝EF．
其中結(jié)論正確的有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
二、填空題（每小題3分，共15分）
11．如圖，已知l1∥l2∥l3，直線AB分別交l1、l2、l3于A、E、B點(diǎn)，直線CD分別交l1、l2、l3于C、F、D三點(diǎn)，且AE＝2，BE＝4，則的值為 ．
12．已知＝＝（b+d≠0），則的值為 ．
13．若一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)為0，它的一個(gè)根為2，則該方程為 ．
14．小明所在的學(xué)校準(zhǔn)備在國(guó)慶節(jié)當(dāng)天舉辦一個(gè)大型的聯(lián)歡會(huì)，為此小明設(shè)計(jì)了如圖所示的A，B兩個(gè)轉(zhuǎn)盤和同學(xué)們做“配紫色”（紅、藍(lán)可配成紫色）的游戲，試問使用這兩個(gè)轉(zhuǎn)盤可以配成紫色的概率是 ．
15．如圖，在△ABC中，AB＝8cm，∠ABC＝30°，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿射線AB方向以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，沿射線BC方向以4cm/s的速度移動(dòng)．如果P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，問：經(jīng)過 秒后△PBQ的面積等于7cm2．
三、解答題（16—18每題6分，19—21每題8分，22—23題10分，24題13分，共75分）
16．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?x（x﹣2）＝x﹣2．
17．如圖，E為平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC上一點(diǎn)，AE：EC＝1：3，BE的延長(zhǎng)線交CD的延長(zhǎng)線于G，交AD于F，求證：BF：FG＝1：2．
18．如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，AE＝EC，分別在圖1和圖2中按要求僅用無刻度的直尺畫圖．（保留畫圖痕跡）
（1）在圖1中，畫出∠DAE的平分線；
（2）在圖2中，畫出∠AEC的平分線EF，交AD于點(diǎn)F，并說明理由．
19．商店將進(jìn)貨為8元的商品按每件10元售出，每天可銷售200件，現(xiàn)在采用提高商品售價(jià)減少銷售量的辦法增加利潤(rùn)，如果這種商品按每件的銷售價(jià)每提高1元其銷售量就減少20件，問應(yīng)將每件漲價(jià)多少元時(shí)，才能使每天利潤(rùn)為700元？
20．有五個(gè)封裝后外觀完全相同的紙箱，且每個(gè)紙箱內(nèi)各裝有一個(gè)西瓜，其中，所裝西瓜的重量分別為6kg，6kg，7kg，7kg，8kg．現(xiàn)將這五個(gè)紙箱隨機(jī)擺放．
（1）若從這五個(gè)紙箱中隨機(jī)選1個(gè)，則所選紙箱里西瓜的重量為6kg的概率是 ；
（2）若從這五個(gè)紙箱中隨機(jī)選2個(gè)，請(qǐng)利用列表或畫樹狀圖的方法，求所選兩個(gè)紙箱里西瓜的重量之和為15kg的概率．
21．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0．
（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（2）若方程有一個(gè)根是負(fù)整數(shù)，求正整數(shù)m的值．
22．如圖，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，點(diǎn)E為邊AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)F，使AF＝AE，且CF、DE相交于點(diǎn)G．
（1）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí)，證明：四邊形DFEC是平行四邊形；
（2）當(dāng)CG＝2時(shí)，求AE的長(zhǎng)．
23．[綜合與實(shí)踐]：閱讀材料，并解決以下問題．
[學(xué)習(xí)研究]：北師大版教材九年級(jí)上冊(cè)第39頁介紹了我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中關(guān)于一元二次方程的幾何解法：以x2+2x﹣35＝0為例，構(gòu)造方法如下：
首先將方程x2+2x﹣35＝0變形為x（x+2）＝35，然后畫四個(gè)長(zhǎng)為x+2，寬為x的矩形，按如圖（1）所示的方式拼成一個(gè)“空心”大正方形，則圖中大正方形的面積可表示為（x+x+2）2，還可表示為四個(gè)矩形與一個(gè)邊長(zhǎng)為2的小正方形面積之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4，因此，可得新方程：（x+x+2）2＝144，∵x表示邊長(zhǎng)，∴2x+2＝12，即x＝5，遺憾的是，這樣的做法只能得到方程的其中一個(gè)正根．
[類比遷移]；小明根據(jù)趙爽的辦法解方程x2+3x﹣4＝0，請(qǐng)你幫忙畫出相應(yīng)的圖形，將其解答過程補(bǔ)充完整：
第一步：將原方程變形為x2+3x﹣4＝0，即x（ ）＝4；
第二步：利用四個(gè)面積可用x表示為 的全等矩形構(gòu)造“空心”大正方形（請(qǐng)?jiān)诋媹D區(qū)畫出示意圖，標(biāo)明各邊長(zhǎng)），并寫出完整的解答過程：
第三步：
[拓展應(yīng)用]，一般地對(duì)于形如：x2+ax＝b一元二次方程可以構(gòu)造圖2來解，已知圖2是由4個(gè)面積為3的相同矩形構(gòu)成，中間圍成的正方形面積為4．那么此方程的系數(shù)a＝ ，b＝ ，求得方程的一個(gè)正根為 ．
24．綜合與實(shí)踐
問題情境：
在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，OE⊥AC交BC于點(diǎn)E，連接AE，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)．
探究發(fā)現(xiàn)：
（1）如圖1，直接寫出∠OBF和∠ACB的數(shù)量關(guān)系： ；
探究拓展：
（2）勤奮小組的同學(xué)們?cè)谏渚€FB上任取一點(diǎn)P，將射線OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得射線OQ，使∠POQ＝∠AEC，與射線BC交于點(diǎn)Q．在如圖2中，猜想并證明線段OP與線段OQ之間的數(shù)量關(guān)系．
探究拓廣：
（3）在（2）的條件下，若∠ACB＝30°，，當(dāng)∠COQ＝15°時(shí)，直接寫出FP的長(zhǎng)度．
參考答案
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1．下列各組中的四條線段成比例的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，4cmB．2cm，3cm，4cm，5cm
C．2cm，3cm，4cm，6cmD．3cm，4cm，6cm，9cm
【分析】根據(jù)比例線段的概念，讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等即可得出答案．
解：A、∵1×4≠2×3，∴四條線段不成比例，不符合題意；
B、∵2×5≠3×4，∴四條線段不成比例，不符合題意；
C、∵2×6＝3×4，∴四條線段成比例，符合題意；
D、∵3×9≠4×6，∴四條線段成比例，不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了比例線段，理解成比例線段的概念，注意在線段兩兩相乘的時(shí)候，要讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等進(jìn)行判斷．
2．下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．任意兩個(gè)矩形都相似
B．任意兩個(gè)正六邊形都相似
C．任意兩個(gè)正方形都相似
D．有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的菱形相似
【分析】根據(jù)相似圖形的定義，對(duì)應(yīng)的角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等對(duì)每個(gè)命題進(jìn)行判斷．
解：A、任意兩個(gè)矩形的對(duì)應(yīng)角相等，但對(duì)應(yīng)邊的比不一定成比例，所以不一定相似，符合題意；
B、任意兩個(gè)正六邊形的對(duì)應(yīng)角都是60°，對(duì)應(yīng)邊的比成比例，所以一定相似，不符合題意；
C、任意兩個(gè)正方形的對(duì)應(yīng)角都是90°，對(duì)應(yīng)邊的比成比例，所以一定相似，不符合題意；
D、一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)菱形滿足滿足四個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等，四條邊對(duì)應(yīng)成比例，所以一定相似，不符合題意．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似圖形的判定，掌握相似多邊形各自的判定方法是解題的關(guān)鍵．
3．用配方法解方程3x2+2x﹣1＝0，配方后的方程是（ ）
A．3（x﹣1）2＝0B．（x+）2＝
C．（x+）2＝D．（x+）2＝
【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方可得到結(jié)果．
解：方程3x2+2x﹣1＝0，
變形得：x2+x＝，
配方得：x2+x+＝，即（x+）2＝，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
4．觀察表格中數(shù)據(jù)，一元二次方程x2﹣3x﹣4.6＝0的一個(gè)近似解為（ ）
A．﹣1.073B．﹣1.089C．﹣1.117D．﹣1.123
【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可得出“當(dāng)x＝﹣1.12時(shí)，x2﹣3x＝4.61；當(dāng)x＝﹣1.11時(shí)，x2﹣3x＝4.56．”即可得出結(jié)論．
解：當(dāng)x＝﹣1.12時(shí)，x2﹣3x＝4.61；當(dāng)x＝﹣1.11時(shí)，x2﹣3x＝4.56．
∴一元二次方程x2﹣3x﹣4.6＝0的一個(gè)近似解為﹣1.117．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圖象法求一元二次方程的近似根，熟練掌握用圖象法求一元二次方程的近似根的方法是解題的關(guān)鍵．
5．在一個(gè)不透明的盒子中裝有20個(gè)黃、白兩種顏色的乒乓球，除顏色外其它都相同，小明進(jìn)行了多次摸球試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸到白色乒乓球的頻率穩(wěn)定在0.2左右，由此可知盒子中黃色乒乓球的個(gè)數(shù)可能是（ ）
A．2個(gè)B．4個(gè)C．18個(gè)D．16個(gè)
【分析】在同樣條件下，大量反復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從比例關(guān)系入手，設(shè)出未知數(shù)列出方程求解．
解：設(shè)袋中有黃球x個(gè)，由題意得＝0.2，
解得x＝16．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題利用了用大量試驗(yàn)得到的頻率可以估計(jì)事件的概率．關(guān)鍵是利用黃球的概率公式列方程求解得到黃球的個(gè)數(shù)．
6．如圖所示，在平行四邊形紙片上作隨機(jī)扎針試驗(yàn)，針頭扎在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為（ ）
A．B．C．D．
【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出對(duì)角線所分的四個(gè)三角形面積相等，再求出概率即可．
解：∵四邊形是平行四邊形，
∴對(duì)角線把平行四邊形分成面積相等的四部分，
利用中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)可得，△AOB≌△COD，
則圖中陰影部分面積＝S四邊形，
∴針頭扎在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了幾何概率，以及平行四邊形的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝相應(yīng)的面積與總面積之比．
7．如圖，AC、BD是四邊形ABCD的兩條對(duì)角線，順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)得到四邊形EFGH，要使四邊形EFGH為矩形，應(yīng)添加的條件是（ ）
A．AC⊥BDB．AB＝CDC．AB∥CDD．AC＝BD
【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到EF＝AC，EF∥AC，GH＝AC，GH∥AC，EH∥BD，得到四邊形EFGH為平行四邊形，根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形解答即可．
解：∵E、F、G、H分別為AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，
∴EF＝AC，EF∥AC，GH＝AC，GH∥AC，EH∥BD，
∴EF＝GH，EF∥GH，
∴四邊形EFGH為平行四邊形，
當(dāng)AC⊥BD時(shí)，EF⊥EH，則四邊形EFGH為矩形，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是中點(diǎn)四邊形，掌握三角形中位線定理、矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
8．如圖，在菱形ABCD中，直線MN分別交AB、CD、AC于點(diǎn)M、N和O，且AM＝CN，連接BO．若∠OBC＝65°，則∠DAC為（ ）
A．65°B．30°C．25°D．20°
【分析】由全等三角形的性質(zhì)可證△AOM≌△CON，可得AO＝CO，由等腰三角形的性質(zhì)可得BO⊥AC，即可求解．
解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB＝BC，BC∥AD，
∴∠MAO＝∠NCO，∠BCA＝∠CAD，
在△AOM和△CON中，
，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴AO＝CO，
∵AB＝BC，
∴BO⊥AC，
∴∠BCO＝90°﹣∠OBC＝25°＝∠DAC，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
9．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的兩個(gè)根，則+的值是（ ）
A．1B．C．﹣1D．﹣
【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，然后利用整體代入的方法計(jì)算即可．
解：根據(jù)題意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，
則+＝＝＝﹣．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
10．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，P是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD．于點(diǎn)F，連接AP，EF，給出下列結(jié)論：
①PD＝PF；
②四邊形PECF的周長(zhǎng)為8；
③△APD一定是等腰三角形；
④AP＝EF．
其中結(jié)論正確的有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【分析】①根據(jù)正方形的對(duì)角線平分對(duì)角的性質(zhì)，得△DPF是等腰直角三角形，在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝PF2+PF2＝2PF2，即可判斷①；②先證明四邊形PECF為矩形，根據(jù)等腰直角三角形和矩形的性質(zhì)可得其周長(zhǎng)為2BC，即可判斷②；③根據(jù)P的任意性可以判斷△APD不一定是等腰三角形，即可判斷③；④四邊形PECF為矩形，通過正方形的軸對(duì)稱性，即可判斷④．
解：∵PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F，CD⊥BC，
∴PF∥BC，
∴∠DPF＝∠DBC，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DBC＝45°，
∴∠DPF＝∠DBC＝45°，
∴∠PDF＝∠DPF＝45°，
∴PF＝EC＝DF，
在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝PF2+PF2＝2PF2，
∴．
故①正確；
②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四邊形PECF為矩形，
∴四邊形PECF的周長(zhǎng)＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8，
故②正確；
③∵點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)，∠ADP＝45°，
∴當(dāng)∠PAD＝45°或67.5°或90°時(shí)，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，
故③錯(cuò)誤．
④連接PC，
∵四邊形PECF為矩形，
∴PC＝EF，
∵正方形為軸對(duì)稱圖形，BD所在直線是它的一條對(duì)稱軸，
∴AP＝PC，
∴AP＝EF，
故④正確；
綜上所述：正確的結(jié)論是①②④，共三個(gè)；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，熟練掌握正方形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（每小題3分，共15分）
11．如圖，已知l1∥l2∥l3，直線AB分別交l1、l2、l3于A、E、B點(diǎn)，直線CD分別交l1、l2、l3于C、F、D三點(diǎn)，且AE＝2，BE＝4，則的值為 ．
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可解決問題．
解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵AE＝2，BE＝4，
∴＝＝，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理，屬于中考?？碱}型．
12．已知＝＝（b+d≠0），則的值為 ．
【分析】根據(jù)合比的性質(zhì)即可求解．
解：∵＝＝（b+d≠0），
∴＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例線段，解題的關(guān)鍵是利用比例的基本性質(zhì)．
13．若一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)為0，它的一個(gè)根為2，則該方程為 x2﹣2x＝0 ．
【分析】直接利用已知要求得出符合題意的方程．
解：由題意可得，該方程的一般形式為：x2﹣2x＝0．
故答案為：x2﹣2x＝0．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．
14．小明所在的學(xué)校準(zhǔn)備在國(guó)慶節(jié)當(dāng)天舉辦一個(gè)大型的聯(lián)歡會(huì)，為此小明設(shè)計(jì)了如圖所示的A，B兩個(gè)轉(zhuǎn)盤和同學(xué)們做“配紫色”（紅、藍(lán)可配成紫色）的游戲，試問使用這兩個(gè)轉(zhuǎn)盤可以配成紫色的概率是 ．
【分析】先畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出可以配成紫色的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．
解：畫樹狀圖為：
共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中可以配成紫色的結(jié)果數(shù)為3，
所以可以配成紫色的概率＝＝．
故答案為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列表法或樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果求出n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式求出事件A或B的概率．
15．如圖，在△ABC中，AB＝8cm，∠ABC＝30°，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿射線AB方向以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，沿射線BC方向以4cm/s的速度移動(dòng)．如果P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，問：經(jīng)過 1或7或4+ 秒后△PBQ的面積等于7cm2．
【分析】過點(diǎn)Q作QE⊥AB于點(diǎn)E，則QE＝BQ，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，AP＝t cm，BQ＝4t cm，PB＝|8﹣t|cm，QE＝2t cm，根據(jù)△PBQ的面積等于7cm2，即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．
解：過點(diǎn)Q作QE⊥AB于點(diǎn)E，則QE＝BQ，如圖所示.
當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，AP＝t cm，BQ＝4t cm，PB＝|8﹣t|cm，QE＝2t cm，
依題意得：|8﹣t|?2t＝7．
當(dāng)0＜t≤8時(shí)，t2﹣8t+7＝0，
解得：t1＝1，t2＝7；
當(dāng)t＞8時(shí)，t2﹣8t﹣7＝0，
解得：t1＝4﹣（不符合題意，舍去），t2＝4+．
∴經(jīng)過1或7或4+秒后，△PBQ的面積等于7cm2．
故答案為：1或7或4+．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（16—18每題6分，19—21每題8分，22—23題10分，24題13分，共75分）
16．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?x（x﹣2）＝x﹣2．
【分析】先移項(xiàng)，再利用提公因式法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個(gè)關(guān)于x的一元一次方程，再進(jìn)一步求解即可．
解：∵3x（x﹣2）＝x﹣2，
∴3x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（3x﹣1）＝0，
則x﹣2＝0或3x﹣1＝0，
解得x1＝2，x2＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇簡(jiǎn)便的方法．
17．如圖，E為平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC上一點(diǎn)，AE：EC＝1：3，BE的延長(zhǎng)線交CD的延長(zhǎng)線于G，交AD于F，求證：BF：FG＝1：2．
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)證明△ABE∽△CGE，△ABF∽△DGF，得到AB：CG＝AE：EC＝1：3，進(jìn)而得到AB＝λ，DG＝2λ，這是解決該題的關(guān)鍵結(jié)論；運(yùn)用△ABF∽△DGF，列出比例式即可解決問題．
【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CG，AB＝CD（設(shè)為λ），
∴△ABE∽△CGE，△ABF∽△DGF，
∴AB：CG＝AE：EC＝1：3，
∴CG＝DG+λ＝3λ，DG＝2λ；
∵△ABF∽△DGF，
∴BF：FG＝AB：DG＝λ：（2λ）＝1：2．
【點(diǎn)評(píng)】該題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是深入觀察圖形結(jié)構(gòu)，大膽猜測(cè)推理，科學(xué)求解論證．
18．如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，AE＝EC，分別在圖1和圖2中按要求僅用無刻度的直尺畫圖．（保留畫圖痕跡）
（1）在圖1中，畫出∠DAE的平分線；
（2）在圖2中，畫出∠AEC的平分線EF，交AD于點(diǎn)F，并說明理由．
【分析】（1）連接AC，利用AD∥BC得到∠DAC＝∠ECA，利用EA＝EC得到∠ECA＝∠EAC，所以∠DAC＝∠EAC，即AC平分∠DAE；
（2）連接BD交AC于點(diǎn)O，延長(zhǎng)EO交AD于F，利用等腰三角形的性質(zhì)可得到EF平分∠AEC．
解：（1）如圖1，AC為所作；
（2）如圖2，EF為所作；
理由如下：
∵四邊形ABCD為矩形，
∴OA＝OC，
∵EA＝EC，
∴EO平分∠AEC，
即EF平分∠AEC．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了矩形的性質(zhì)．
19．商店將進(jìn)貨為8元的商品按每件10元售出，每天可銷售200件，現(xiàn)在采用提高商品售價(jià)減少銷售量的辦法增加利潤(rùn)，如果這種商品按每件的銷售價(jià)每提高1元其銷售量就減少20件，問應(yīng)將每件漲價(jià)多少元時(shí)，才能使每天利潤(rùn)為700元？
【分析】根據(jù)等量關(guān)系“每件利潤(rùn)×銷量＝700”列出方程，解方程即可．
解：設(shè)應(yīng)將每件售價(jià)提高x元時(shí)，才能使每天利潤(rùn)為700元，
（x+10﹣8）（200﹣20x）＝700，
解得：x1＝3，x2＝5．
答：應(yīng)將每件售價(jià)提高3元或5元時(shí)，才能使每天利潤(rùn)為700元．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．
20．有五個(gè)封裝后外觀完全相同的紙箱，且每個(gè)紙箱內(nèi)各裝有一個(gè)西瓜，其中，所裝西瓜的重量分別為6kg，6kg，7kg，7kg，8kg．現(xiàn)將這五個(gè)紙箱隨機(jī)擺放．
（1）若從這五個(gè)紙箱中隨機(jī)選1個(gè)，則所選紙箱里西瓜的重量為6kg的概率是 ；
（2）若從這五個(gè)紙箱中隨機(jī)選2個(gè)，請(qǐng)利用列表或畫樹狀圖的方法，求所選兩個(gè)紙箱里西瓜的重量之和為15kg的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）畫樹狀圖，共有20種等可能的結(jié)果，其中所選兩個(gè)紙箱里西瓜的重量之和為15kg的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．
解：（1）若從這五個(gè)紙箱中隨機(jī)選1個(gè)，則所選紙箱里西瓜的重量為6kg的概率是，
故答案為：；
（2）畫樹狀圖如下：
共有20種等可能的結(jié)果，其中所選兩個(gè)紙箱里西瓜的重量之和為15kg的結(jié)果有4種，
∴所選兩個(gè)紙箱里西瓜的重量之和為15kg的概率為＝．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
21．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0．
（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（2）若方程有一個(gè)根是負(fù)整數(shù)，求正整數(shù)m的值．
【分析】（1）先計(jì)算根的判別式的值得到Δ＝（m﹣6）2≥0，然后根據(jù)根的判別式的意義得到結(jié)論；
（2）利用求根公式得到x1＝m﹣4，x2＝2，則m﹣4＜0，從而得到正整數(shù)m的值．
【解答】（1）證明：∵Δ＝（m﹣2）2﹣4（2m﹣8）
＝m2﹣12m+36
＝（m﹣6）2≥0，
∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）解：x＝＝，
∴x1＝m﹣4，x2＝2，
∵方程有一個(gè)根是負(fù)整數(shù)，
∴m﹣4＜0，
∴正整數(shù)m的值為1或2或3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．
22．如圖，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，點(diǎn)E為邊AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)F，使AF＝AE，且CF、DE相交于點(diǎn)G．
（1）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí)，證明：四邊形DFEC是平行四邊形；
（2）當(dāng)CG＝2時(shí)，求AE的長(zhǎng)．
【分析】（1）利用平行四邊形的判定定理：兩邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，
（2）利用三角形相似，求出此時(shí)FG的長(zhǎng)，再借助直角三角形勾股定理求解．
【解答】（1）證明：連接DF，CE，如圖所示：
，
∵E為AB中點(diǎn)，
∴AE＝AF＝AB，
∴EF＝AB＝CD，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴EF∥CD，
∴四邊形DFEC是平行四邊形．
（2）解：作CH⊥BH，設(shè)AE＝FA＝m，如圖所示，
，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD∥EF，
∴△CDG∽△FEG，
∴，
∴FG＝2m，
在Rt△CBH中，∠CBH＝60°，BC＝2，
sin60°＝，CH＝，
cs60°＝，BH＝1，
在Rt△CFH中，CF＝2+2m，CH＝，F(xiàn)H＝3+m，
CF2＝CH2+FH2，
即（2+2m）2＝（）2+（3+m）2，
整理得：3m2+2m﹣8＝0，
解得：m1＝，m2＝﹣2（舍去），
∴．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行四邊形的判定，菱形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是借助銳角三角比和勾股定理求解．
23．[綜合與實(shí)踐]：閱讀材料，并解決以下問題．
[學(xué)習(xí)研究]：北師大版教材九年級(jí)上冊(cè)第39頁介紹了我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中關(guān)于一元二次方程的幾何解法：以x2+2x﹣35＝0為例，構(gòu)造方法如下：
首先將方程x2+2x﹣35＝0變形為x（x+2）＝35，然后畫四個(gè)長(zhǎng)為x+2，寬為x的矩形，按如圖（1）所示的方式拼成一個(gè)“空心”大正方形，則圖中大正方形的面積可表示為（x+x+2）2，還可表示為四個(gè)矩形與一個(gè)邊長(zhǎng)為2的小正方形面積之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4，因此，可得新方程：（x+x+2）2＝144，∵x表示邊長(zhǎng)，∴2x+2＝12，即x＝5，遺憾的是，這樣的做法只能得到方程的其中一個(gè)正根．
[類比遷移]；小明根據(jù)趙爽的辦法解方程x2+3x﹣4＝0，請(qǐng)你幫忙畫出相應(yīng)的圖形，將其解答過程補(bǔ)充完整：
第一步：將原方程變形為x2+3x﹣4＝0，即x（ x+3 ）＝4；
第二步：利用四個(gè)面積可用x表示為 長(zhǎng)為x+3，寬為x 的全等矩形構(gòu)造“空心”大正方形（請(qǐng)?jiān)诋媹D區(qū)畫出示意圖，標(biāo)明各邊長(zhǎng)），并寫出完整的解答過程：
第三步：
[拓展應(yīng)用]，一般地對(duì)于形如：x2+ax＝b一元二次方程可以構(gòu)造圖2來解，已知圖2是由4個(gè)面積為3的相同矩形構(gòu)成，中間圍成的正方形面積為4．那么此方程的系數(shù)a＝ ±2 ，b＝ 3 ，求得方程的一個(gè)正根為 1或3 ．
【分析】[類比遷移]根據(jù)趙爽的辦法解答即可；
[拓展應(yīng)用]根據(jù)題意把x2+ax＝b，變形為x（x+a）＝b，根據(jù)圖2由4個(gè)面積為3的相同矩形構(gòu)成，中間圍成的正方形面積為4，即可得到答案．
解：[類比遷移]
第一步：將原方程變形為x2+3x﹣4＝0，即x（x+3）＝4；
第二步：利用四個(gè)面積可用x表示為長(zhǎng)為x+3，寬為x的全等矩形構(gòu)造“空心”大正方形（請(qǐng)?jiān)诋媹D區(qū)畫出示意圖，標(biāo)明各邊長(zhǎng)），
畫四個(gè)長(zhǎng)為x+3，寬為x的矩形，按如圖所示的方式拼成如圖，拼成一個(gè)“空心”大正方形，則圖中大正方形的面積可表示為（x+x+3）2，還可表示為四個(gè)矩形與一個(gè)邊長(zhǎng)為3的小正方形面積之和，即4x（x+3）+32＝4×4+9，因此，可得新方程：（x+x+3）2＝25，
∵x表示邊長(zhǎng)，
∴2x+3＝5，即x＝1，
第三步：方程的一個(gè)正根為x＝1；
故答案為：x+3；長(zhǎng)為x+3，寬為x；
[拓展應(yīng)用]
∵x2+ax＝b，
∴x（x+a）＝b，
∴四個(gè)小矩形的面積各為b，大正方形的面積是（x+x+a）2，其中它又等于四個(gè)矩形的面積加上中間小正方形的面積，即4×b+a2，
∵圖2是由4個(gè)面積為3的相同矩形構(gòu)成，中間圍成的正方形面積為4，
∴b＝3，a2＝4，
解得：b＝3，a＝±2，
當(dāng)a＝2時(shí)，（x+x+2）2＝4×3+4，2x+2＝4，x＝1，方程的一個(gè)正根為1；
當(dāng)a＝﹣2時(shí)，（x+x﹣2）2＝4×3+4，2x﹣2＝4，x＝3，方程的一個(gè)正根為3．
綜上所述，方程的一個(gè)正根為1或3．
故答案為：±2，3，1或3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解一元二次方程，能知道系數(shù)a，b與各圖形面積的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
24．綜合與實(shí)踐
問題情境：
在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，OE⊥AC交BC于點(diǎn)E，連接AE，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)．
探究發(fā)現(xiàn)：
（1）如圖1，直接寫出∠OBF和∠ACB的數(shù)量關(guān)系： ∠OBF＝∠ACB ；
探究拓展：
（2）勤奮小組的同學(xué)們?cè)谏渚€FB上任取一點(diǎn)P，將射線OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得射線OQ，使∠POQ＝∠AEC，與射線BC交于點(diǎn)Q．在如圖2中，猜想并證明線段OP與線段OQ之間的數(shù)量關(guān)系．
探究拓廣：
（3）在（2）的條件下，若∠ACB＝30°，，當(dāng)∠COQ＝15°時(shí)，直接寫出FP的長(zhǎng)度．
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得OA＝OC，可得EA＝EC，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出OB＝OC，即：∠ACB＝∠OBC，再根據(jù)三角形的中位線定理得出OF∥BC，OF＝CE，進(jìn)而得出OF＝BF，即可得出結(jié)論；
（2）只要證明△BOP≌△COQ（ASA），即可解決問題．
（3）分兩種情形：如圖2中，當(dāng)點(diǎn)Q在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3中，當(dāng)點(diǎn)Q在線段BC上時(shí)，作OH⊥BC于H．分別求解即可解決問題．
解：（1）∠OBF＝∠ACB，
證明：如圖1中，連接OF．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，OA＝OC，OB＝OC，
∵OE⊥AC，
∴EA＝EC，
∵OB＝OC，
∴∠ACB＝∠OBC，
∵∠ABC＝90°，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，
∴BF＝EA＝EC，
∵OA＝OC，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，
∴OF∥BC，OF＝CE，
∴OF＝BF，∠BOF＝∠OBC，
∴∠OBF＝∠BOF，
∴∠OBF＝∠OBC＝∠ACB，
故答案為：∠OBF＝∠ACB；
（2）OP＝OQ，
證明：如圖2中，
∵OC＝OB，EA＝EC，
∴∠ACB＝∠OBC＝∠CAE，
∴∠COB＝∠AEC，
∵∠POQ＝∠AEC，
∴∠COB＝∠POQ，
∴∠BOP＝∠COQ，
∵∠OBF＝∠ACB，
∴∠PBO＝∠QCO，
∵OB＝OC，
∴△BOP≌△COQ（ASA），
∴OP＝OQ．
（3）如圖2中，當(dāng)點(diǎn)Q在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，
∵∠ACB＝30°＝∠COQ+∠Q，∠COQ＝15°，
∴∠COQ＝∠Q＝15°，
∴OC＝CQ＝AC＝AB＝，
∵△BOP≌△COQ，
∴BP＝CQ＝，
在Rt△ABE中，AB＝，∠AEB＝2∠ACB＝60°，
∴AE＝2，
∵F是AE的中點(diǎn)，
∴BF＝AE＝1，
∴FP＝BF+BP＝1+；
如圖3中，當(dāng)點(diǎn)Q在線段BC上時(shí)，作OH⊥BC于H．
∵∠COQ＝15°，∠ACB＝30°，
∴∠OQH＝15°+30°＝45°，
∴OH＝HQ＝AB＝，
∴CH＝，
∴BP＝CQ＝，
∵BF＝1，
∴FP＝BF﹣BP＝1﹣＝，
綜上所述，F(xiàn)P的長(zhǎng)度為1+或．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線定理，三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．
x
﹣1.13
﹣1.12
﹣1.11
﹣1.10
﹣1.09
﹣1.08
﹣1.07
x2﹣3x
4.67
4.61
4.56
4.51
4.46
4.41
4.35
x
﹣1.13
﹣1.12
﹣1.11
﹣1.10
﹣1.09
﹣1.08
﹣1.07
x2﹣3x
4.67
4.61
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