1．（3分）剪紙文化是我國最古老的民間藝術(shù)之一．下列剪紙圖案中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是
A．B．
C．D．
2．（3分）下列運算正確的是
A．B．C．D．
3．（3分）一把直尺和一個含角的直角三角板按如圖方式放置，若，則
A．B．C．D．
4．（3分）實數(shù)，，在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，下列式子正確的是
A．B．C．D．
5．（3分）如圖所示的幾何體是由5個大小相同的小正方體組成的，它的主視圖是
A．B．
C．D．
6．（3分）一元二次方程的兩根為，，則的值為
A．B．C．3D．
7．（3分）的三邊長，，滿足，則是
A．等腰三角形B．直角三角形
C．銳角三角形D．等腰直角三角形
8．（3分）若一個點的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的3倍，則稱這個點為“三倍點”，如：，，等都是“三倍點”．在的范圍內(nèi)，若二次函數(shù)的圖象上至少存在一個“三倍點”，則的取值范圍是
A．B．C．D．
二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分，只要求把最后結(jié)果填寫在答題卡的相應(yīng)區(qū)域內(nèi).）
9．（3分）因式分解： ．
10．（3分）計算： ．
11．（3分）用數(shù)字0，1，2，3組成個位數(shù)字與十位數(shù)字不同的兩位數(shù)，其中是偶數(shù)的概率為 ．
12．（3分）如圖，正八邊形的邊長為4，以頂點為圓心，的長為半徑畫圓，則陰影部分的面積為 （結(jié)果保留．
13．（3分）如圖，點是正方形內(nèi)的一點，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到．若，則 度．
14．（3分）如圖，在四邊形中，，，，，點在線段上運動，點在線段上，，則線段的最小值為 ．
三、解答題（本題共78分，把解答或證明過程寫在答題卡的相應(yīng)區(qū)城內(nèi).）
15．（6分）解不等式組．
16．（6分）先化簡，再求值：，其中，滿足．
17．（6分）如圖，在中，平分，交于點，平分，交于點．求證：．
18．（6分）無人機在實際生活中的應(yīng)用越來越廣泛．如圖所示，某人利用無人機測量大樓的高度，無人機在空中點處，測得點距地面上點80米，點處的俯角為，樓頂點處的俯角為，已知點與大樓的距離為70米（點，，，在同一平面內(nèi)），求大樓的高度（結(jié)果保留根號）．
19．（7分）某班學(xué)生以跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)為載體，綜合運用體育、數(shù)學(xué)、生物學(xué)等知識，研究體育課的運動負荷．在體育課基本部分運動后，測量統(tǒng)計了部分學(xué)生的心率情況，按心率次數(shù)（次分鐘），分為如下五組：組：，組：，組，組：，組：．其中組數(shù)據(jù)為：73，65，74，68，74，70，66，56．
根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)繪制了不完整的統(tǒng)計圖（如圖所示），請結(jié)合統(tǒng)計圖解答下列問題：
（1）組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是 ，眾數(shù)是 ；在統(tǒng)計圖中組所對應(yīng)的扇形圓心角是 度；
（2）補全學(xué)生心率頻數(shù)分布直方圖；
（3）一般運動的適宜心率為（次分鐘），學(xué)校共有2300名學(xué)生，請你依據(jù)此次跨學(xué)科研究結(jié)果，估計大約有多少名學(xué)生達到適宜心率？
20．（7分）如圖，已知坐標(biāo)軸上兩點，，連接，過點作，交反比例函數(shù)在第一象限的圖象于點．
（1）求反比例函數(shù)和直線的表達式；
（2）將直線向上平移個單位，得到直線，求直線與反比例函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)．
21．（10分）某學(xué)校為美化學(xué)校環(huán)境，打造綠色校園，決定用籬笆圍成一個一面靠墻（墻足夠長）的矩形花園，用一道籬笆把花園分為，兩塊（如圖所示），花園里種滿牡丹和芍藥．學(xué)校已定購籬笆120米．
（1）設(shè)計一個使花園面積最大的方案，并求出其最大面積；
（2）在花園面積最大的條件下，，兩塊內(nèi)分別種植牡丹和芍藥，每平方米種植2株，已知牡丹每株售價25元，芍藥每株售價15元，學(xué)校計劃購買費用不超過5萬元，求最多可以購買多少株牡丹？
22．（10分）如圖，為的直徑，是圓上一點，是的中點，弦，垂足為點．
（1）求證：；
（2）是上一點，，，求；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)是的平分線時，求的長．
23．（10分）（1）如圖1，在矩形中，點，分別在邊，上，，垂足為點．求證：．
【問題解決】
（2）如圖2，在正方形中，點，分別在邊，上，，延長到點，使，連接．求證：．
【類比遷移】
（3）如圖3，在菱形中，點，分別在邊，上，，，，求的長．
24．（10分）已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，其對稱軸為．
（1）求拋物線的表達式；
（2）如圖1，點是線段上的一動點，連接，，將沿直線翻折，得到△，當(dāng)點恰好落在拋物線的對稱軸上時，求點的坐標(biāo)；
（3）如圖2，動點在直線上方的拋物線上，過點作直線的垂線，分別交直線，線段于點，，過點作軸，垂足為，求的最大值．
2023年山東省菏澤市中考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確選項的序號涂在答題卡的相應(yīng)位置.
1．（3分）剪紙文化是我國最古老的民間藝術(shù)之一．下列剪紙圖案中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
【解答】解：．原圖既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項符合題意；
．原圖是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
．原圖既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
．原圖是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不合題意．
故選：．
2．（3分）下列運算正確的是
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法法則、積的乘方法則以及完全平方公式分別判斷即可．
【解答】解：、原式，故本選項計算錯誤，不符合題意；
、原式，故本選項計算正確，符合題意；
、原式，故本選項計算錯誤，不符合題意；
、原式，故本選項計算錯誤，不符合題意；
故選：．
3．（3分）一把直尺和一個含角的直角三角板按如圖方式放置，若，則
A．B．C．D．
【分析】由平行線的性質(zhì)可得，從而可求．
【解答】解：如圖，
由題意得：，
，，
，
．
故選：．
4．（3分）實數(shù)，，在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，下列式子正確的是
A．B．C．D．
【分析】由數(shù)軸可得，然后得出，，，與0的大小關(guān)系，再根據(jù)有理數(shù)乘法法則進行判斷即可．
【解答】解：由數(shù)軸可得，
則，，，，
那么，，，，
則，，均不符合題意，符合題意，
故選：．
5．（3分）如圖所示的幾何體是由5個大小相同的小正方體組成的，它的主視圖是
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)主視圖是從物體正面看所得到的圖形解答即可．
【解答】解：從正面看有三列，從左到右小正方形的個數(shù)分別為2、1、1．
故選：．
6．（3分）一元二次方程的兩根為，，則的值為
A．B．C．3D．
【分析】直接根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出、的值，再代入計算即可．
【解答】解：一元二次方程的兩根為，，
；．
．
故選：．
7．（3分）的三邊長，，滿足，則是
A．等腰三角形B．直角三角形
C．銳角三角形D．等腰直角三角形
【分析】由等式可分別得到關(guān)于、、的等式，從而分別計算得到、、的值，再由 的關(guān)系，可推導(dǎo)得到為直角三角形．
【解答】解：由題意得，
解得，
，且，
為等腰直角三角形，
故選：．
8．（3分）若一個點的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的3倍，則稱這個點為“三倍點”，如：，，等都是“三倍點”．在的范圍內(nèi)，若二次函數(shù)的圖象上至少存在一個“三倍點”，則的取值范圍是
A．B．C．D．
【分析】由題意得，三倍點所在的直線為，根據(jù)二次函數(shù)的圖象上至少存在一個“三倍點”轉(zhuǎn)化為和至少有一個交點，求△，再根據(jù)和時兩個函數(shù)值大小即可求出．
【解答】解：由題意得，三倍點所在的直線為，
在的范圍內(nèi)，二次函數(shù)的圖象上至少存在一個“三倍點”，
即在的范圍內(nèi)，二次函數(shù)和至少有一個交點，
令，整理得，，
則△，解得，
把代入得，代入得，
，解得；
把代入得，代入得，
，解得，
綜上，的取值范圍為：．
故選：．
二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分，只要求把最后結(jié)果填寫在答題卡的相應(yīng)區(qū)域內(nèi).）
9．（3分）因式分解： ．
【分析】原式提取，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式，
故答案為：
10．（3分）計算： 1 ．
【分析】首先計算零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值和絕對值，然后計算乘法，最后從左向右依次計算，求出算式的值即可．
【解答】解：
．
故答案為：1．
11．（3分）用數(shù)字0，1，2，3組成個位數(shù)字與十位數(shù)字不同的兩位數(shù)，其中是偶數(shù)的概率為 ．
【分析】畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，其中是偶數(shù)的結(jié)果有5種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：畫樹狀圖如下：
共有9種等可能的結(jié)果，其中是偶數(shù)的結(jié)果有5種，
是偶數(shù)的概率為，
故答案為：．
12．（3分）如圖，正八邊形的邊長為4，以頂點為圓心，的長為半徑畫圓，則陰影部分的面積為 （結(jié)果保留．
【分析】先根據(jù)正八邊形的性質(zhì)求出圓心角的度數(shù)，再根據(jù)扇形面積的計算方法進行計算即可．
【解答】解：由題意得，，，
，
故答案為：．
13．（3分）如圖，點是正方形內(nèi)的一點，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到．若，則 80 度．
【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，從而可得，最后利用三角形的外角性質(zhì)進行計算，即可解答．
【解答】解：四邊形是正方形，
，
，
，
由旋轉(zhuǎn)得：，，
，
是的一個外角，
，
故答案為：80．
14．（3分）如圖，在四邊形中，，，，，點在線段上運動，點在線段上，，則線段的最小值為 ．
【分析】設(shè)的中點為，以為直徑畫圓，連接交于，證得，于是得到點在以為直徑的半圓上運動，當(dāng)點運動到與是交點時，線段有最小值，據(jù)此解答即可．
【解答】解：設(shè)的中點為，以為直徑畫圓，連接交于，
，
，
，
，
，
點在以為直徑的半圓上運動，當(dāng)點運動到與是交點時，線段有最小值，
，
，
，
線段的最小值為，
故答案為：．
三、解答題（本題共78分，把解答或證明過程寫在答題卡的相應(yīng)區(qū)城內(nèi).）
15．（6分）解不等式組．
【分析】先解出每個不等式的解集，即可得到不等式組的解集．
【解答】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
該不等式組的解集是．
16．（6分）先化簡，再求值：，其中，滿足．
【分析】利用分式的相應(yīng)的法則對式子進行化簡，再代入相應(yīng)的值運算即可．
【解答】解：
，
，
，
原式．
17．（6分）如圖，在中，平分，交于點，平分，交于點．求證：．
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，，，進而利用角平分線得出，利用證明與全等解答即可．
【解答】證明：四邊形是平行四邊形，
，，，
平分，交于點，平分，交于點，
，
在與中，
，
，
．
18．（6分）無人機在實際生活中的應(yīng)用越來越廣泛．如圖所示，某人利用無人機測量大樓的高度，無人機在空中點處，測得點距地面上點80米，點處的俯角為，樓頂點處的俯角為，已知點與大樓的距離為70米（點，，，在同一平面內(nèi)），求大樓的高度（結(jié)果保留根號）．
【分析】過作于，過作于，而，則四邊形是矩形，先解，求出，，得到的長度，再解，得到的長
即可解決問題．
【解答】解：如圖所示：
過作于，過作于，而，
則四邊形是矩形，
，，
由題意可得：，，，，
，，
，
，
，
大樓的高度為．
19．（7分）某班學(xué)生以跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)為載體，綜合運用體育、數(shù)學(xué)、生物學(xué)等知識，研究體育課的運動負荷．在體育課基本部分運動后，測量統(tǒng)計了部分學(xué)生的心率情況，按心率次數(shù)（次分鐘），分為如下五組：組：，組：，組，組：，組：．其中組數(shù)據(jù)為：73，65，74，68，74，70，66，56．
根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)繪制了不完整的統(tǒng)計圖（如圖所示），請結(jié)合統(tǒng)計圖解答下列問題：
（1）組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是 69 ，眾數(shù)是 ；在統(tǒng)計圖中組所對應(yīng)的扇形圓心角是 度；
（2）補全學(xué)生心率頻數(shù)分布直方圖；
（3）一般運動的適宜心率為（次分鐘），學(xué)校共有2300名學(xué)生，請你依據(jù)此次跨學(xué)科研究結(jié)果，估計大約有多少名學(xué)生達到適宜心率？
【分析】（1）分別根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)的定義可得組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)；用組頻數(shù)除以組所占百分比可得樣本容量，用乘組數(shù)據(jù)所占比例可得在統(tǒng)計圖中組所對應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)；
（2）先求出組頻數(shù)，即可補全學(xué)生心率頻數(shù)分布直方圖；
（3）用2300乘樣本中組和組所占百分比即可．
【解答】解：（1）把組數(shù)據(jù)從小到大排列為：56，65，66，68，70，73，74，74，
故組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是：，眾數(shù)是74；
由題意得，樣本容量為：，
在統(tǒng)計圖中組所對應(yīng)的扇形圓心角是：．
故答案為：69，74，54；
（2）組頻數(shù)為：，
補全學(xué)生心率頻數(shù)分布直方圖如下：
（3）（名，
答：估計大約有1725名學(xué)生達到適宜心率．
20．（7分）如圖，已知坐標(biāo)軸上兩點，，連接，過點作，交反比例函數(shù)在第一象限的圖象于點．
（1）求反比例函數(shù)和直線的表達式；
（2）將直線向上平移個單位，得到直線，求直線與反比例函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)．
【分析】（1）過點作軸于點，先證，求出點的坐標(biāo)，即可求出反比例函數(shù)的解析式和直線的解析式；
（2）先求出直線的解析式，然后與反比例函數(shù)的解析式組成方程組，求出方程組的解即得出直線與反比例函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)．
【解答】解：（1）如圖，過點作軸于點，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，，，
，
，
，
，
點的坐標(biāo)是，
反比例函數(shù)過點，
，
反比例函數(shù)的解析式為；
設(shè)直線的解析式為，
其圖象經(jīng)過點，
，
解得，
直線的解析式為；
（2）將直線向上平移個單位，得到直線，
直線的解析式為，
由題意得，，
解得，，
直線與反比例函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)為或．
21．（10分）某學(xué)校為美化學(xué)校環(huán)境，打造綠色校園，決定用籬笆圍成一個一面靠墻（墻足夠長）的矩形花園，用一道籬笆把花園分為，兩塊（如圖所示），花園里種滿牡丹和芍藥．學(xué)校已定購籬笆120米．
（1）設(shè)計一個使花園面積最大的方案，并求出其最大面積；
（2）在花園面積最大的條件下，，兩塊內(nèi)分別種植牡丹和芍藥，每平方米種植2株，已知牡丹每株售價25元，芍藥每株售價15元，學(xué)校計劃購買費用不超過5萬元，求最多可以購買多少株牡丹？
【分析】（1）設(shè)垂直于墻的邊為米，根據(jù)矩形面積公式得：，由二次函數(shù)性質(zhì)可得答案；
（2）設(shè)購買牡丹株，根據(jù)學(xué)校計劃購買費用不超過5萬元，列不等式可解得答案．
【解答】解：（1）設(shè)垂直于墻的邊為米，圍成的矩形面積為平方米，則平行于墻的邊為米，
根據(jù)題意得：，
，
當(dāng)時，取最大值1200，
，
垂直于墻的邊為20米，平行于墻的邊為60米，花園面積最大為1200平方米；
（2）設(shè)購買牡丹株，則購買芍藥株，
學(xué)校計劃購買費用不超過5萬元，
，
解得，
最多可以購買1400株牡丹．
22．（10分）如圖，為的直徑，是圓上一點，是的中點，弦，垂足為點．
（1）求證：；
（2）是上一點，，，求；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)是的平分線時，求的長．
【分析】（1）由是的中點得由垂徑定理得得到，根據(jù)同圓中，等 弧對等弦即可證明；
（2）連接，證明，設(shè)的半徑為，利用相似三角形的性質(zhì)得，，由勾股定理求得，得到，即可得到；
（3）過點作 交于點，證明是等腰直角三角形，解直角三角形得到，由 得到，解得，即可求解．
【解答】（1）證明：是 的中點，
，
且為的直徑，
，
，
；
（2）解：連接，
，
，
為的直徑，
，
，
，
，
，
設(shè)的半徑為，
則，
解得，經(jīng)檢驗，是方程的根，
，
，
，
，
；
（3）解：如圖，過點作交于點，
，
，是 的平分線，
，
，
，
，
，
．
23．（10分）（1）如圖1，在矩形中，點，分別在邊，上，，垂足為點．求證：．
【問題解決】
（2）如圖2，在正方形中，點，分別在邊，上，，延長到點，使，連接．求證：．
【類比遷移】
（3）如圖3，在菱形中，點，分別在邊，上，，，，求的長．
【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得，再證，即可得出結(jié)論；
（2）證，得，再證，得，然后由平行線的性質(zhì)得，即可得出結(jié)論；
（3）延長至點，使，連接，，得，，再證是等邊三角形，得，即可解決問題．
【解答】（1）證明：四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）證明：四邊形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，
點在的延長線上，
，
又，
，
，
，
，
；
（3）解：如圖3，延長至點，使，連接，
四邊形是菱形，
，，
，
，
，，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
即的長為3．
24．（10分）已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，其對稱軸為．
（1）求拋物線的表達式；
（2）如圖1，點是線段上的一動點，連接，，將沿直線翻折，得到△，當(dāng)點恰好落在拋物線的對稱軸上時，求點的坐標(biāo)；
（3）如圖2，動點在直線上方的拋物線上，過點作直線的垂線，分別交直線，線段于點，，過點作軸，垂足為，求的最大值．
【分析】（1）由題易得的值，再根據(jù)對稱軸求出的值，即可解答；
（2）過作軸的垂線，垂足為求出和的坐標(biāo)，得到，由，推出，解直角三角形得到的長，即可解答；
（3）求得所在直線的解析式為，設(shè)，設(shè)所在直線的解析式為：，得，令，解得，分別表示出和，再 對 進行化簡計算，配方成頂點式即可求解．
【解答】解：（1）拋物線與軸交于點，
，
對稱軸為，
，，
拋物線的解析式為；
（2）如圖，過作軸的垂線，垂足為，
令，
解得：，，
，，
，
由翻折可得，
對稱軸為，
，
，
，，
，
在中，，
；
（3）設(shè)所在直線的解析式為，
把、坐標(biāo)代入得：，
解得：，
，
，
，
，
直線與軸所成夾角為，
設(shè)，
設(shè)所在直線的解析式為：，
把點代入得，
，
令，則，
解得，
，
，
，
點在直線上方，
，
當(dāng)時，的最大值為．

相關(guān)試卷

2020年山東省菏澤市中考數(shù)學(xué)試卷：

這是一份2020年山東省菏澤市中考數(shù)學(xué)試卷，共27頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2023年山東省菏澤市中考數(shù)學(xué)試卷：

這是一份2023年山東省菏澤市中考數(shù)學(xué)試卷，共30頁。試卷主要包含了填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2023年山東省菏澤市中考數(shù)學(xué)試卷：

這是一份2023年山東省菏澤市中考數(shù)學(xué)試卷，共6頁。試卷主要包含了填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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