滿分120分 時(shí)間120分鐘
一、選擇題（每題3分共30分．在每個(gè)小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)最符合題意，請(qǐng)將正確的答案選項(xiàng)填入答題卡相應(yīng)的位置．）
1. 第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日至10月8日在杭州成功舉行，中國(guó)運(yùn)動(dòng)健兒發(fā)揚(yáng)拼搏精神，共獲得201金再次金牌榜蟬聯(lián)第一．下列體育運(yùn)動(dòng)圖標(biāo)是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：A選項(xiàng)：沿一條直線折疊，直線兩旁的部分不能夠互相重合，故不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；
B選項(xiàng)：沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，故是軸對(duì)稱圖形，符合題意；
C選項(xiàng)：沿一條直線折疊，直線兩旁的部分不能夠互相重合，故不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；
D選項(xiàng)：沿一條直線折疊，直線兩旁的部分不能夠互相重合，故不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意．
故選：B
2. 若分式有意義，則x的取值范圍是（ ）
A. B. 且C. D.
【答案】D
解析：解：∵分式有意義，
∴，
解得：；
故選D
3. 下列各式計(jì)算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解析：解：A、，故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
B、，故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
C、，故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
D、，故原選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；
故選：D．
4. 信息課上，小文同學(xué)利用計(jì)算機(jī)軟件繪制了美麗的蝴蝶，如圖，在繪圖過(guò)程中，小文建立平面直角坐標(biāo)系，先畫出一半圖形，利用對(duì)稱性畫出另一半．若圖中點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則其關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：解：若圖中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則其關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為．
故選：A．
5. 下列各式左到右的變形正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：解：當(dāng)時(shí)，，故A不符合題意；
，故B符合題意；
，原變形不準(zhǔn)確，故C不符合題意；
，故D不符合題意；
故選：B．
6. 計(jì)算的結(jié)果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：
．
故選：C
7. 下列各式因式分解正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
解析：解：A、原式不能分解，故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
B、，故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
C、，故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
D、，故原選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；
故選：D．
8. 若是完全平方式，則的值是（ ）
A. B. C. 10D. 5
【答案】A
解析：解：∵，
∴，
故選A．
9. 如圖，螳螂亦稱刀螂，無(wú)脊椎動(dòng)物，屬肉食性昆蟲，在螳螂的示意圖中，．是等腰三角形，，，則的度數(shù)為（ ）
A. 32°B. 48°C. 44°D. 30°
【答案】B
解析：解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，如圖：
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
故選：B．
10. 如圖，在等邊三角形中，邊上的中線，E是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)E，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，的最小值是（ ）
A. 6B. 4C. 3D. 2
【答案】A
解析：解：如圖：連接，
是等邊三角形，是中線，
垂直平分，
，
，
當(dāng)點(diǎn)C，點(diǎn)E，點(diǎn)F三點(diǎn)共線，且時(shí)，值最小，即的值最?。?br>此時(shí)：是等邊三角形，，，
，
即的最小值是6，
故選A．
二、填空題（本大題共5小題，每題3分，共15分）
11. 已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和7，則它的周長(zhǎng)等于__________．
【答案】17
解析：解：當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為3，底邊長(zhǎng)為7時(shí)，，不滿足三角形三邊關(guān)系，不符合題意；
當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為7，底邊長(zhǎng)為3時(shí)，，滿足三角形三邊關(guān)系，此時(shí)周長(zhǎng)為；
綜上所述，它的周長(zhǎng)等于17，
故答案為：17．
12. 若，，則的值為__________．
【答案】
解析：解：，，
，
故答案為：．
13. 因式分解：（2x+y）2﹣（x+2y）2=_____．
【答案】3（x+y）（x﹣y）
解析：（2x+y）2﹣（x+2y）2
=（2x+y+x+2y）（2x+y﹣x﹣2y）
=（3x+3y）（x﹣y）
=3（x+y）（x﹣y），
故答案為3（x+y）（x﹣y）．
14. 觀察下列各式探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律；
；；；，…
用含正整數(shù)的等式表示你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律為__________________．
【答案】
解析：解：∵；；；，，……，
∴；；；，，……，
由此發(fā)現(xiàn)規(guī)律為．
故答案為：
15. 如圖，在中，邊的垂直平分線與的平分線交于點(diǎn)．交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．，．則的長(zhǎng)是__________．
【答案】7
解析：解：如圖，連接，
，
垂直平分，
，
平分，，，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案為：．
三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
16. 計(jì)算：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）
（2）
（3）
【小問(wèn)1解析】
解：
【小問(wèn)2解析】
解：
【小問(wèn)3解析】
17. 下面是小紅練習(xí)冊(cè)上的一道題目的解答過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．
………………第一步
………………第二步
………………第三步
①第一步運(yùn)用了哪些乘法公式，請(qǐng)用字母表示出來(lái)__________、__________．
②小紅的解答過(guò)程從第 步開始出錯(cuò)，錯(cuò)誤原因是__________；請(qǐng)你直接寫出正確的答案．
【答案】①，；②二；括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，去括號(hào)后，括號(hào)內(nèi)的第二項(xiàng)沒(méi)有變號(hào)；
解析：解：①由題意得：第一步運(yùn)用了完全平方公式和平方差公式，即，，
故答案為：，；
②小紅的解答過(guò)程從第二步開始出錯(cuò)，錯(cuò)誤原因是括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，去括號(hào)后，括號(hào)內(nèi)的第二項(xiàng)沒(méi)有變號(hào)；

；
故答案為：二；括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，去括號(hào)后，括號(hào)內(nèi)的第二項(xiàng)沒(méi)有變號(hào)．
18. 如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，與相交于點(diǎn)O，，，．
（1）求證：；
（2）若，，求的度數(shù)．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）
【小問(wèn)1解析】
證明：∵，
∴，
∵
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴；
【小問(wèn)2解析】
由（1）得，
，
∴．
19. “筑牢民生之基，增強(qiáng)百姓幸福感”，平城區(qū)如火如荼地進(jìn)行著社區(qū)環(huán)境的改善，提升老百姓的生活品質(zhì)，如圖，某小區(qū)內(nèi)有一塊長(zhǎng)為米，寬為米的長(zhǎng)方形地塊，小區(qū)計(jì)劃在中間留一塊邊長(zhǎng)為米的正方形地塊修建一座假山，然后將剩余陰影部分進(jìn)行綠化．
（1）求綠化部分的面積（用含的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)，時(shí)，求綠化部分的面積．
【答案】（1）綠化面積是平方米
（2）綠化面積是40平方米
【小問(wèn)1解析】
解：依題意得：
平方米，
答：綠化面積是平方米；
【小問(wèn)2解析】
解：當(dāng)，時(shí)，
（平方米），
答：綠化面積是40平方米．
20. 已知：如圖中，，，平分，平分，過(guò)作直線平行于，交，于，．
（1）求證：是等腰三角形；
（2）求的周長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）
【小問(wèn)1解析】
證明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴等腰三角形；
【小問(wèn)2解析】
∵，
∴
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴
．
21. 尺規(guī)作圖：有一塊土地形狀是三角形，其中，．
（1）在圖1中，要把這塊三角形的土地均勻分給甲、乙兩家農(nóng)戶，要使這兩家農(nóng)戶所得土地是面積相等的等腰三角形，請(qǐng)用無(wú)刻度直尺和圓規(guī)畫出分法；（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）在圖2中，要把這塊三角形的土地均勻分給甲、乙、丙三家農(nóng)戶，要使這三家農(nóng)戶所得土地的大小、形狀都相同，請(qǐng)用無(wú)刻度直尺和圓規(guī)畫出分法．（保留作圖痕跡，不寫作法）
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）見(jiàn)解析
【小問(wèn)1解析】
解：如圖，、即所求，
，
由作圖可得：為的中點(diǎn)，
，
，
為的中線，
，，
、均為等腰三角形且面積相等；
【小問(wèn)2解析】
解：如圖，、、即為所求，
，
由作圖可得：垂直平分，
，，，
，
，
在中，，，
，
，，
，
，
，
、、即為所求．
22. 閱讀材料
乘法公式是多項(xiàng)式乘法的特殊情形，都可以用圖形表示說(shuō)明，
知識(shí)再現(xiàn)
如圖1，大正方形的面積有兩種表示方法．
方法一：大正方形可以看作是邊長(zhǎng)為的正方形，則大正方形的面積可以表示為 ；
方法二：大正方形的面積還可以看作是兩個(gè)正方形的面積與兩個(gè)長(zhǎng)方形的和，即，，，的和，則大正方形的面積可以表示為__________；
所以圖1中大正方形的面積可以說(shuō)明的乘法公式是__________（請(qǐng)用字母表示）；
經(jīng)驗(yàn)總結(jié)
乘法公式可以從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度進(jìn)行探究，并通過(guò)公式的變形或圖形的轉(zhuǎn)化可以解決很多數(shù)學(xué)問(wèn)題．
例如：如圖1，已知，，求的值．
方法一：解：∵，∴，即：，又∵，∴．
方法二：解：∵，即大正方形的面積為9，∵，∴，
∴．即．
應(yīng)用遷移
如圖2，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，以、為邊向兩邊作正方形，連接，若，兩正方形的面積和，求的面積．（用兩種方法解答）

【答案】；；；的面積為
解析：解：知識(shí)再現(xiàn)
方法一：大正方形可以看作是邊長(zhǎng)為的正方形，則大正方形的面積可以表示為；
方法二：大正方形的面積還可以看作是兩個(gè)正方形的面積與兩個(gè)長(zhǎng)方形的和，即，，，的和，則大正方形的面積可以表示為；
所以圖1中大正方形的面積可以說(shuō)明的乘法公式是；
故答案為：；；；
應(yīng)用遷移：
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，正方形的邊長(zhǎng)為b，
方法一：由于，兩正方形的面積和，
∴，，
∵，即，
∴，
∴陰影部分的面積為，即的面積為6；
方法二：如圖，

∵，即，
∴大正方形的面積為49，
又∵，
∴，即，
∴，
∴的面積為．
23. 某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時(shí)，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．
（1）如圖1．已知：在中，，，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，直線l，直線l，垂足分別點(diǎn)D、E．證明：．
（2）組員小明對(duì)圖2進(jìn)行了探究，若，，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．直線l，直線l，垂足分別為點(diǎn)D、E．他發(fā)現(xiàn)線段、、之間也存在著一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出段、、之間的數(shù)量關(guān)系，
（3）數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵(lì)他們運(yùn)用這個(gè)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題：
如圖3，過(guò)的邊、向外作正方形和正方形（正方形的4條邊都相等，4個(gè)角都是直角），是邊上的高，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）
（3）
【小問(wèn)1解析】
證明：∵直線l，直線l，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴
∴，，
∴；
【小問(wèn)2解析】
∵直線l，直線l，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴
∴，，
∴；
【小問(wèn)3解析】
如圖，過(guò)作于，的延長(zhǎng)線于，
∴
∵，，
∴
在和中，
，
∴
∴，，
同理可得：
∴，，
即：，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；

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