一、選擇題
1．若集合,則( )
A.B.C.D.R
2．已知向量,,則“”是“”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
3．若偶函數(shù)在上是增函數(shù),則( )
A.B.
C.D.
4．筒車是我國古代發(fā)明的一種灌溉工具,因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保,至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用(圖1),明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理(圖2).現(xiàn)有一個半徑為3米的筒車按逆時針方向每分鐘旋轉(zhuǎn)1圈,筒車的軸心距離水面的高度為2米,設(shè)筒車上的某個盛水筒P到水面的距離為d(單位:米)(在水面下則d為負(fù)數(shù)),若以盛水筒P剛浮出水面為初始時刻,經(jīng)過t秒后,下列命題正確的是( )(參考數(shù)據(jù):)
①,其中,且,
②,其中,且,
③當(dāng)時,盛水筒P再次進(jìn)入水中,
④當(dāng)時,盛水筒P到達(dá)最高點
A.①③B.②③C.②④D.①④
5．如圖所示,點C在線段BD上,且,則( )
A.B.C.D.
6．設(shè),,,則a,b,c的大小關(guān)系是( )
A.B.C.D.
7．若,,,,則( )
A.B.C.D.
8．定義在R上的函數(shù)滿足,且,若函數(shù)有5個零點,則實數(shù)的取值范圍是( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9．下列命題正確的是( )
A.若,則B.若正數(shù)a,b滿足,則
C.若,,則D.若,則
10．下列各式中,值為的是( )
A.B.C.D.
11．函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示,則( )
A.該函數(shù)的解析式為
B.是該函數(shù)圖象的一個對稱中心
C.該函數(shù)的減區(qū)間是,
D.把函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的倍,縱坐標(biāo)不變,再向左平移,可得到該函數(shù)圖象
12．已知函數(shù)是R上的偶函數(shù),,當(dāng)時,,則( )
A.
B.當(dāng)時,
C.對不等式恒成立.則a的最大值為
D.曲線與曲線在上有1516個公共點
三、填空題
13．已知向量,滿足,,且,的夾角為,則______
14．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),對任意,,有,若,則的解集為________.
15．先將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,再將所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?縱坐標(biāo)不變,所得圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對稱,若函數(shù)在上恰有兩個零點,且在上單調(diào)遞增,則的取值范圍是________.
16．已知,若方程有四個不同的解,則的取值范圍是___________.
四、解答題
17．已知向量,,.
（1）求證:A,B,D三點共線.
（2）若,求x的值.
18．已知函數(shù).
（1）若函數(shù)定義域為R,求a的取值范圍;
（2）若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.
19．已知定義域為R的奇函數(shù),且時.
（1）求時的解析式;
（2）求證:在上增函數(shù);
（3）解關(guān)于的不等式.
20．已知函數(shù),,且將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象.
（1）若函數(shù)是奇函數(shù),求的值;
（2）若,當(dāng)時函數(shù)取得最大值,求值.
21．已知函數(shù)的圖象如圖所示.
（1）求函數(shù)的對稱中心;
（2）先將函數(shù)圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍(橫坐標(biāo)不變),然后將得到的函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),最后將所得圖象向左平移個單位后得到函數(shù)的圖象.若對任意的恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.
22．定義非零向量的“相伴函數(shù)”為,向量稱為函數(shù)的“相伴向量”(其中O為坐標(biāo)原點).記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為S.
（1）設(shè),請問函數(shù)是否存在相伴向量,若存在,求出與共線的單位向量;若不存在,請說明理由.
（2）已知點滿足:,向量的“相伴函數(shù)”在處取得最大值,求的取值范圍.
參考答案
1．答案：B
解析：由于,所以,則,又,
所以.
故選:B.
2．答案：B
解析：充分性:若,則,所以不一定成立;
必要性:若,則,所以.選B.
3．答案：D
解析：是偶函數(shù),
又在上是增函數(shù),
,即.
故選:D
4．答案：C
解析：根據(jù)題意作出示意圖,如圖所示,其中O為筒車的軸心的位置,AC為水面,過O作于點D,P為筒車經(jīng)過t秒后的位置,連接OP,過P作于點B,筒車的角速度為,
由題意可知,,
所以
所以,
因為,
所以,其中,且,所以①錯誤,②正確,
對于③,當(dāng)時,,,,所以,故盛水筒P沒有進(jìn)入水中,所以③錯誤,
對于④,當(dāng)時,,,即,所以,所以盛水筒P到達(dá)最高點,所以④正確,
故選:C
5．答案：C
解析：因為,所以,
因為,
所以,即.
故選:C.
6．答案：B
解析：因為,,則,
又因為,,則
所以,
故選:B.
7．答案：C
解析：因為,,所以,
所以,.
又,所以.
所以,.
故選:C.
8．答案：D
解析：由得,所以是周期為的周期函數(shù)作出函數(shù)的圖象如圖所示,直線經(jīng)過點,由圖知,當(dāng)直線夾在直線與直線PB之間時,與函數(shù)的圖象有5個交點,
易知,,則,,
所以.
故選:D.
9．答案：ABD
解析：對A,且,不等式兩邊同時乘以,
即得:,故A正確;
對B,正數(shù)a,b滿足,
則當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,故B正確;
對C,若,,,,則滿足,,但,故C錯誤;
對D,,,故D正確;
故選:ABD
10．答案：ABC
解析：對于A,,故A正確;
對于B,,故B正確:
對于C,,故C正確;
對于D,
,故D錯誤;
故選:ABC
11．答案：AD
解析：由題意,可得且,
所以,即,又,所以,
所以,
由圖象可知,當(dāng)時,,
所以,,所以,,
又,所以,
所以,故A正確;
當(dāng)時,,
所以不是該函數(shù)圖象的一個對稱中心,故B錯誤;
由,,解得,,
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,,故C錯誤;
函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的倍,縱坐標(biāo)不變,得,
再向左平移,得,故D正確.
故選:AD.
12．答案：AB
解析：由,故,
所以,故的周期為4,又,,
,A正確;
若,則,
若,則,
若,則,B正確;
由上分析可得函數(shù)圖象如下:
由,則,要使恒成立,
由圖知:,即,故a無最大值,C錯誤;
由解析式及其圖象:上有3個交點,
所以在上有1515個公共點,在有2個公共點,
故共有1517個公共點,D錯誤.
故選:AB.
13．答案：
解析：因為向量,滿足,,且,的夾角為,
所以.
故答案為:
14．答案：
解析：已知是定義在上的奇函數(shù),則,且
又對任意且,都有,
不妨設(shè),則,所以,即,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,則函數(shù)在上單調(diào)遞增,
又,所以,
則函數(shù)的大致圖象如下圖:
根據(jù)圖象可得不等式的解集為:.
故答案為:.
15．答案：
解析：函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,得到的圖象,
再將圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?縱坐標(biāo)不變,得到的圖象,因為函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于x軸對稱,
所以,
因為,所以,
又因為在恰有2個零點,且,,
所以,解得,
令,,得,,令,得在上單調(diào)遞增,所以,
所以,又,解得.
綜上所述,,故的取值范圍是.
故答案為:
16．答案：
解析：作出函數(shù)的圖象,如下圖所示:
方程有四個不同的解,
則,,所以,
則,
設(shè),所以,
因為,所以,則,
則的取值范圍為,
故答案為:.
17．答案：（1）證明見解析
（2）1
解析：（1）證明:,故A,B,D三點共線;
（2）,,
則有,即,解得
18．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）,則
（2）因為函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),
故只需在上單調(diào)遞減,且.
則且,
解得且.故.
19．答案：（1）
（2）證明見解析
（3）
解析：（1）當(dāng)時,,,
因為奇函數(shù),,時,,
所以.
（2）設(shè),
,
,,,,
所以在上為增函數(shù);
（3）因為,,由（2）可得,
,
即,所以,
所以不等式的解集為.
20．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）由題得,
將的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象,則,
若函數(shù)是奇函數(shù),則.
因為,所以,
從而,解得;
（2）由題知,則,,
從而,,
因此,
因為,且,所以,
因此,,
所以,
所以.
21．答案：（1）,
（2）
解析：（1）由圖可知:,所以,所以,,
又,
所以,.
所以.
令,,
則,.
所以的對稱中心為,.
（2）由題.
當(dāng)時,.
因為對任意的恒成立,
則.
所以.
22．答案：（1）存在,或
（2）
解析：（1）因為
,
所以,函數(shù)存在相伴向量,,
所以,與共線的單位向量為或
（2）的“相伴函數(shù)”,
因為在處取得最大值,
所以,當(dāng),,即,時,有最大值,
所以,,
所以,
因為,,
所以,
所以,
令,則,
因為均為上的單調(diào)遞減函數(shù),
所以在上單調(diào)遞減,
所以,
所以,,
所以,的取值范圍為.

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