一、選擇題
1．已知復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位）,則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
2．已知向量,,且,那么等于( )
A.B.C.D.
3．已知集合,,若,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )
A.B.C.D.
4．若,,則的值為( )
A.B.C.D.
5．已知a,b,,且,關(guān)于x的不等式的解集為,則關(guān)于x的不等式的解集為( )
A.B.C.D.
6．一艘海輪從A處出發(fā),以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東的方向直線航行,2小時(shí)后到達(dá)B處,在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是南偏東,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東,那么B,C兩點(diǎn)間的距離是( )
A.海里B.海里C.海里D.海里
7．在中,,,,點(diǎn)D為邊BC上靠近B的三等分點(diǎn),則的值為( )
A.B.C.D.4
8．在中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若,,則面積的最大值為( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．下列說(shuō)法正確的是( )
A.若,且,則
B.若,為復(fù)數(shù),則
C.設(shè),是非零向量,若,則
D.設(shè),為復(fù)數(shù),若,則
10．在中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,則下列結(jié)論正確的是( )
A.若,則
B.若,則
C.若,則是等腰三角形
D.若為銳角三角形,則
11．在平行四邊形ABCD中,E是BC上的點(diǎn),,F是CD的中點(diǎn),且,,,則下列說(shuō)法正確的是( )
A.B.
C.D.
12．在銳角中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,,且,則下列結(jié)論正確的是( )
A.B.C.D.
三、填空題
13．已知函數(shù),則的單調(diào)增區(qū)間為_______.
14．在中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若,,則的值為_______.
15．已知函數(shù),若,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______.
16．在中,G滿足,過(guò)G的直線與AB,AC分別交于M,N兩點(diǎn).若,,則的最小值為_______.
四、解答題
17．已知復(fù)數(shù),,其中i為虛數(shù)單位.
（1）若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù),求m的值;
（2）若,求m的值.
18．已知向量,滿足,,且.
（1）若,求實(shí)數(shù)的值;
（2）求與的夾角的余弦值.
19．在中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且.
（1）求角A的大小;
（2）若,D是線段AC上的一點(diǎn),,,求c.
20．已知向量,,設(shè)函數(shù).
（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間;
（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為6,求實(shí)數(shù)a的值.
21．對(duì)于定義在D上函數(shù),如果存在實(shí)數(shù),使得,那么稱是函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).已知函數(shù).
（1）若,求的不動(dòng)點(diǎn);
（2）若函數(shù)恰有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn),,且,求正數(shù)a的取值范圍.
22．如圖,某小區(qū)有一塊空地,其中,,,小區(qū)物業(yè)擬在中間挖一個(gè)小池塘,E,F在邊BC上(E,F不與B,C重合,且E在B,F之間),且.
（1）若,求EF的值;
（2）為節(jié)省投入資金,小池塘的面積需要盡可能的小.設(shè),試確定的值,使得的面積取得最小值,并求出面積的最小值.
參考答案
1．答案：D
解析：由,可得,
故復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限,
故選:D
2．答案：C
解析：由題設(shè),故,則.
故選:C
3．答案：A
解析：,,
因?yàn)?所以A為B的子集,
所以.
故選:A.
4．答案：D
解析：因?yàn)?所以,
所以,
所以
.
故選:D.
5．答案：C
解析：因?yàn)椴坏仁?的解集為,
所以且即,
不等式等價(jià)于,
即,,解得或,
所以不等式的解集為:,
故選:C.
6．答案：A
解析：由題設(shè)可得如下示意圖,且,,即,
由圖知:,則,又,
所以,則海里.
故選:A
7．答案：B
解析：如下圖所示:
,
由平面向量數(shù)量積的定義可得,
因此,
.
故選:B.
8．答案：B
解析：由正弦定理得:
由余弦定理得:,即
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即,,時(shí)取等號(hào),
,
則,所以面積的最大值.
故選:B
9．答案：BC
解析：A:且,只能說(shuō)明,但,不一定相等,錯(cuò)誤;
B:令,,a,b,c,,
,則,
,則,
所以,正確;
C:由,則,即,正確;
D:復(fù)數(shù),,滿足,但,錯(cuò)誤;
故選:BC
10．答案：ABD
解析：對(duì)于選項(xiàng)A,在中,大邊對(duì)大角,若,則,
根據(jù)正弦定理可得,選項(xiàng)A正確;
同理,選項(xiàng)B正確;
對(duì)于選項(xiàng)C,若,由正弦定理可得,
即,所以即或即,
所以為等腰角三角形或直角三角形,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;
對(duì)于選項(xiàng)D,若為銳角三角形,則,,
又正弦函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù),
,即,選項(xiàng)D正確.
故選:ABD.
11．答案：AC
解析：由題設(shè),①,
②,
所以①2②得即,
②①得,故,A正確,B錯(cuò)誤;
所以
,
故,故C正確,D錯(cuò)誤.
故選:AC
12．答案：ACD
解析：由正弦邊角關(guān)系知:,則,
所以,而,則,A正確;
由上知:,即,B錯(cuò)誤,C正確;
由知:,則,
又,故,則,即,D正確.
故選:ACD
13．答案：
解析：令,即,
由,則y在上遞增,在上遞減,
綜上,y上遞增,在上遞減,而在定義域上遞增,
所以的單調(diào)增區(qū)間為.
故答案為:
14．答案：2
解析：根據(jù)正弦定理可知,,
所以,
而,
所以.
故答案為:2
15．答案：
解析：由,且定義域?yàn)镽,
所以為奇函數(shù),則,
根據(jù)在R上均為減函數(shù),故也為減函數(shù),
所以,則
故答案為:
16．答案：
解析：取BC中點(diǎn)D,連接GD,如圖,
由可得,即,
所以A,G,D三點(diǎn)共線且,即G為的重心,
所以,
因?yàn)镸,G,N三點(diǎn)共線,
所以,
又,,,
所以,當(dāng)且僅當(dāng),
即,時(shí),等號(hào)成立,
故答案為:
17．答案：（1）或
（2）
解析：（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)z為純虛數(shù),所以滿足,解得:或.
（2）設(shè),則,將其代入,
則,整理得:,
且,解得:,或,
或,
解得:
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因?yàn)?,且,
所以,所以,
因?yàn)?
所以,解得;
（2）因?yàn)?,由（1）得,
所以,
,
設(shè)與的夾角為,則.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）因?yàn)?
所以由正弦定理可得,,
即,
所以,
因?yàn)?所以.
（2）設(shè),則,
所以,解得,,
所以,
由正弦定理,,所以.
20．答案：（1）
（2）或
解析：（1）因?yàn)?,
所以
由,得,,
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為
（2）
,
令,
因?yàn)?所以,且,
所以,
當(dāng)即時(shí),當(dāng)時(shí)y有最大值,此時(shí),解得不合題意;
當(dāng)即,當(dāng)時(shí)有最大值,此時(shí),解得符合題意;
當(dāng)即,當(dāng)時(shí)y有最大值,此時(shí),解得符合題意;
綜上,a的值為或.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）由題設(shè),定義域?yàn)镽,若,即,
所以,可得,故是的不動(dòng)點(diǎn).
（2）令,且,
所以,整理得,
令,則,即方程在上有兩個(gè)不相等的根,且,
若開口向上且對(duì)稱軸,
,則,故.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）由題意可得,
設(shè),則,
在中,由余弦定理,
則,即,
由正弦定理,可得,
即,可得,
在中,,
,
由正弦定理,可得,
故.
故EF的值.
（2）設(shè),則,,
由正弦定理,可得,
在中,由正弦定理,可得,
故的面積
,
,,,
,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,
故面積的最小值.

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