1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，則A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣1，1，2}D．{1，2}
2．（5分）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足iz＝1+i（i是虛數(shù)單位），則|z|＝（ ）
A．B．2C．D．
3．（5分）已知tanα＝2，則cs2α＝（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）某戶居民今年上半年每月的用水量（單位：t）如下：
小明在錄入數(shù)據(jù)時(shí)，不小心把一個(gè)數(shù)據(jù)9.6錄成96，則這組數(shù)據(jù)中沒(méi)有發(fā)生變化的量是（ ）
A．平均數(shù)B．中位數(shù)C．極差D．標(biāo)準(zhǔn)差
5．（5分）已知m，n是空間兩條不重合的直線，α，β是兩個(gè)不重合的平面，則下列命題錯(cuò)誤的是（ ）
A．m∥α，m?β，α∩β＝n，則m∥n
B．m∥n，m∥α，n?α，則n∥α
C．α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n
D．α⊥β，m⊥α，n⊥β，則m⊥n
6．（5分）在梯形ABCD中，若，且，則x+y＝（ ）
A．B．2C．D．3
7．（5分）已知正實(shí)數(shù)m，n滿足m+n＝2，則下列不等式恒成立的為（ ）
A．lnm+lnn≥0B．m2+n2≤2C．2D．
8．（5分）已知函數(shù)f（x）＝ex+e﹣x+lg|x|，則不等式f（x+1）＞f（2x﹣1）的解集為（ ）
A．（0，2）B．
C．（0，3）D．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
（多選）9．（5分）已知函數(shù)，則（ ）
A．f（x）的最小正周期為π
B．f（x）的圖象關(guān)于對(duì)稱
C．f（x）的圖象關(guān)于對(duì)稱
D．f（x）在上單調(diào)遞減
（多選）10．（5分）將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲兩次，記事件A＝“第一次出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，事件B＝“兩次點(diǎn)數(shù)之積為偶數(shù)”，事件C＝“兩次點(diǎn)數(shù)之和為5”，則（ ）
A．事件A∪B是必然事件
B．事件A與事件B是互斥事件
C．事件B包含事件C
D．事件A與事件C是相互獨(dú)立事件
（多選）11．（5分）用[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如，[﹣1.2]＝﹣2，[1.5]＝1．已知f（x）＝x+[x]，則（ ）
A．
B．f（x）為奇函數(shù)
C．?x1＞x2，使得f（x1）＜f（x2）
D．方程f（x）＝3x﹣1所有根的和為
（多選）12．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，且AB＝BC＝CC1＝2，M為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A．AB1⊥A1M
B．三棱錐C1﹣AMB1的體積不變
C．|A1M|+|C1M|的最小值為
D．當(dāng)M是BC的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)A1，M，C1三點(diǎn)的平面截三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球所得的截面面積為
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（5分）lg2+lg5+π0＝ ．
14．（5分）母線長(zhǎng)為3的圓錐，其側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為 ．
15．（5分）高中數(shù)學(xué)興趣小組計(jì)劃測(cè)量某大廈的高度，選取與底部B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)基測(cè)點(diǎn)C與D．現(xiàn)測(cè)得∠BCD＝15°，∠BDC＝120°，CD＝100米，在點(diǎn)C測(cè)得大廈頂A的仰角∠ACB＝60°，則該大廈高度AB＝ 米（精確到1米）．
參考數(shù)據(jù)：，．
16．（5分）四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，AB＝2，，EF＝1，點(diǎn)P滿足，則的最大值為 ．
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17．（10分）已知函數(shù)f（x）＝sin（2x+θ），其中，且．
（1）求θ；
（2）若，求f（x）的值域．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且b＝2c﹣2acsB．
（1）求A；
（2）若，c＝2b，求△ABC的面積S．
19．（12分）已知函數(shù)f（x）＝lgax（a＞0且a≠1）在[1，8]上的最大值為3．
（1）求a的值；
（2）當(dāng)x∈[1，8]時(shí)，2﹣f（x）﹣f（x）+t?0，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
20．（12分）某工廠引進(jìn)了一條生產(chǎn)線，為了解產(chǎn)品的質(zhì)量情況，現(xiàn)從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品，測(cè)量其技術(shù)參數(shù)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）由頻率分布直方圖，估計(jì)樣本技術(shù)參數(shù)的平均數(shù)和75%分位數(shù)（精確到0.1）；
（2）現(xiàn)從技術(shù)參數(shù)位于區(qū)間[40，50），[50，60），[60，70）的三組中，采用分層抽樣的方法抽取6件產(chǎn)品，再?gòu)倪@6件產(chǎn)品中任選3件產(chǎn)品，記事件A＝“這3件產(chǎn)品中技術(shù)參數(shù)位于區(qū)間[40，50）內(nèi)的產(chǎn)品至多1件”，事件B＝“這3件產(chǎn)品中技術(shù)參數(shù)位于區(qū)間[50，60）內(nèi)的產(chǎn)品至少1件”，求事件A∩B的概率．
21．（12分）如圖，三棱錐P﹣ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C在圓O上，AB為圓O的直徑，且AB＝6，，，平面PAC⊥平面PCB，點(diǎn)E是PB的中點(diǎn)．
（1）證明：平面PAC⊥平面ABC；
（2）點(diǎn)F是圓O上的一點(diǎn)，且點(diǎn)F與點(diǎn)C位于直徑AB的兩側(cè)．當(dāng)EF∥平面PAC時(shí)，作出二面角E﹣BF﹣A的平面角，并求出它的正切值．
22．（12分）已知函數(shù)，g（x）＝kx，f（x）與g（x）的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）用max{α，β}表示α，β中的最大值，設(shè)函數(shù)φ（x）＝max{f（x），g（x）}（1?x?6），用M，m分別表示φ（x）的最大值與最小值，求M，m，并求出M﹣m的取值范圍．
2022-2023學(xué)年廣東省深圳市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，則A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣1，1，2}D．{1，2}
【解答】解：集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，則A∩B＝{1，2}，
故選：D．
2．（5分）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足iz＝1+i（i是虛數(shù)單位），則|z|＝（ ）
A．B．2C．D．
【解答】解：∵iz＝1+i，
∴1﹣i，
∴．
故選：D．
3．（5分）已知tanα＝2，則cs2α＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因tanα＝2，則．
故選：D．
4．（5分）某戶居民今年上半年每月的用水量（單位：t）如下：
小明在錄入數(shù)據(jù)時(shí)，不小心把一個(gè)數(shù)據(jù)9.6錄成96，則這組數(shù)據(jù)中沒(méi)有發(fā)生變化的量是（ ）
A．平均數(shù)B．中位數(shù)C．極差D．標(biāo)準(zhǔn)差
【解答】解：只改變了其中一個(gè)數(shù)據(jù)，根據(jù)平均數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式知，平均數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差均發(fā)生了變化，
實(shí)際數(shù)據(jù)由小到大排序?yàn)椋?.0，5.9，7.7，9.0，9.6，14.9，中位數(shù)為7.7，9.0的平均數(shù)，極差為14.9﹣4.0，
錯(cuò)誤數(shù)據(jù)由小到大排序?yàn)椋?.0，5.9，7.7，9.0，14.9，96，中位數(shù)為7.7，9.0的平均數(shù)，極差為96﹣4.0，
所以中位數(shù)沒(méi)有變化，極差變化了．
故選：B．
5．（5分）已知m，n是空間兩條不重合的直線，α，β是兩個(gè)不重合的平面，則下列命題錯(cuò)誤的是（ ）
A．m∥α，m?β，α∩β＝n，則m∥n
B．m∥n，m∥α，n?α，則n∥α
C．α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n
D．α⊥β，m⊥α，n⊥β，則m⊥n
【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：
對(duì)于A，由平面與平面平行的性質(zhì)，可得A正確；
對(duì)于B，由直線與平面平行的判定定理，可得B正確；
對(duì)于C，m與n的位置關(guān)系不確定，可以平面、相交，也可以異面，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由平面與平面垂直的性質(zhì)，D正確．
故選：C．
6．（5分）在梯形ABCD中，若，且，則x+y＝（ ）
A．B．2C．D．3
【解答】解：∵，∴，
∴，
∴x，y＝1，
∴x+y．
故選：A．
7．（5分）已知正實(shí)數(shù)m，n滿足m+n＝2，則下列不等式恒成立的為（ ）
A．lnm+lnn≥0B．m2+n2≤2C．2D．
【解答】解：對(duì)于A：∵m＞0，n＞0，m+n＝2，∴由基本不等式可得m+n≥2，
∴mn≤1，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝1時(shí)，等號(hào)成立，lnm+lnn＝lnmn≤ln1＝0，故A錯(cuò)誤；
∵2（m2+n2）＝（m2+n2）+（m2+n2）≥m2+n2+2mn＝（m+n）2＝4，
可得m2+n2≥2，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝1時(shí)，等號(hào)成立，B錯(cuò)誤．
對(duì)于C：（）（m+n）（2）（2+2）＝2，
當(dāng)且僅當(dāng)，即m＝n＝1時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；
（）2＝m+n+22（m+n）＝4，因?yàn)椋?br>故，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝1時(shí)，等號(hào)成立，D錯(cuò)誤；
故選：C．
8．（5分）已知函數(shù)f（x）＝ex+e﹣x+lg|x|，則不等式f（x+1）＞f（2x﹣1）的解集為（ ）
A．（0，2）B．
C．（0，3）D．
【解答】解：因?yàn)閒（x）＝ex+e﹣x+lg|x|，x≠0，
所以f（﹣x）＝ex+e﹣x+lg|﹣x|＝ex+e﹣x+lg|x|＝f（x），
即f（x）為偶函數(shù)，
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝ex+e﹣x+lgx，f′（x）＝ex﹣e﹣x，
∵y＝ex與y＝﹣e﹣x在（0，+∞）上均為單調(diào)遞增，
∴y＝ex﹣e﹣x在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴ex﹣e﹣x＞e00，
即當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＝ex﹣e﹣x0恒成立，
∴偶函數(shù)f（x）＝ex+e﹣x+lg|x|在（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴不等式f（x+1）＞f（2x﹣1）?|x+1|＞|2x﹣1|，且x+1≠0，2x﹣1≠0，
解得：0＜x，或x＜2．
即不等式f（x+1）＞f（2x﹣1）的解集為．
故選：B．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
（多選）9．（5分）已知函數(shù)，則（ ）
A．f（x）的最小正周期為π
B．f（x）的圖象關(guān)于對(duì)稱
C．f（x）的圖象關(guān)于對(duì)稱
D．f（x）在上單調(diào)遞減
【解答】解：函數(shù)的最小正周期Tπ，故A正確，
f（）＝cs（2）＝cs0＝1≠0，即函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于不對(duì)稱，故B錯(cuò)誤，
f（）＝cs（2）＝csπ＝﹣1，即f（x）的圖象關(guān)于對(duì)稱，故C正確，
當(dāng)0＜x時(shí)，0＜2x＜π，2x，則f（x）不單調(diào)，故D錯(cuò)誤．
故選：AC．
（多選）10．（5分）將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲兩次，記事件A＝“第一次出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，事件B＝“兩次點(diǎn)數(shù)之積為偶數(shù)”，事件C＝“兩次點(diǎn)數(shù)之和為5”，則（ ）
A．事件A∪B是必然事件
B．事件A與事件B是互斥事件
C．事件B包含事件C
D．事件A與事件C是相互獨(dú)立事件
【解答】解：事件A的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
事件B的基本事件有：（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，2），（3，4），（3，6）（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），
事件C的基本事件有：（1，4），（4，1），（2，3），（3，2），
事件AC的基本事件有：（1，4），（3，2），
A：事件A∪B是必然事件，故正確；
B：因?yàn)锳∩B≠?，所以事件A與事件B不是互斥事件，故錯(cuò)誤；
C．因?yàn)镃?B，所以事件B包含事件C，故正確；
D．因?yàn)?，，，所?P（A）?P（C）＝P（AC），
所以事件A與事件C是相互獨(dú)立事件，故正確；
故選：ACD．
（多選）11．（5分）用[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如，[﹣1.2]＝﹣2，[1.5]＝1．已知f（x）＝x+[x]，則（ ）
A．
B．f（x）為奇函數(shù)
C．?x1＞x2，使得f（x1）＜f（x2）
D．方程f（x）＝3x﹣1所有根的和為
【解答】解：對(duì)于A，由題意可得f（）[]0，故正確；
對(duì)于B，取x＝1.2，則f（1.2）＝1.2+[1.2]＝1.2+1＝2.2，
f（﹣1.2）＝﹣1.2+[﹣1.2]＝﹣1.2﹣2＝﹣3.2≠f（1.2），
所以f（x）不是奇函數(shù)，故錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由[x]的定義可知，?x1＞x2，有[x1]≥[x2]，
所以f（x1）﹣f（x2）＝x1+[x1]﹣x2﹣[x2]＝（x1+x2）+[x1]﹣[x2]＞0，
即f（x1）＞f（x2），故錯(cuò)誤；
對(duì)于D，f（x）＝3x﹣1，即為x+[x]＝3x﹣1，
整理得2x﹣[x]﹣1＝0，
所以[x]＝2x﹣1，
又因?yàn)閤﹣1＜[x]≤x，
所以x﹣1＜2x﹣1≤x，解得0＜x≤1，
當(dāng)x＝1時(shí)，滿足方程，
即x＝1是方程的根，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，x+[x]＝x，
方程可轉(zhuǎn)化為x＝3x﹣1，解得x，
故根的和為，故正確．
故選：AD．
（多選）12．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，且AB＝BC＝CC1＝2，M為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A．AB1⊥A1M
B．三棱錐C1﹣AMB1的體積不變
C．|A1M|+|C1M|的最小值為
D．當(dāng)M是BC的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)A1，M，C1三點(diǎn)的平面截三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球所得的截面面積為
【解答】解：連接A1B，如圖所示，
直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝CC1＝2，
ABA1B1為正方形，AB1⊥A1B，
∠ABC＝90°，BC⊥平面ABB1A1，AB1?平面ABB1A1，BC⊥AB1，
A1B，BC?平面A1BC，A1B∩BC＝B，AB1⊥平面A1BC，
A1M?平面A1BC，AB1⊥A1M，A選項(xiàng)正確；
由直三棱柱的結(jié)構(gòu)特征，，
故三棱錐C1﹣AMB1的體積為定值，B選項(xiàng)正確；
設(shè)BM＝t，0≤t≤2，MC＝2﹣t，
，
，
，
其幾何意義是點(diǎn)和點(diǎn)（2，2）到點(diǎn)（0，t）的距離之和，
最小值為點(diǎn)到點(diǎn)（2，2）的距離，為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
當(dāng)M是BC的中點(diǎn)時(shí)，，
，
，
，設(shè)點(diǎn)C到平面MA1C1的距離為hC，由，
得，
直三棱柱ABC﹣A1B1C1是正方體的一半，外接球的球心為A1C的中點(diǎn)O，外接球的半徑，
點(diǎn)O到平面MA1C1的距離為，
則過(guò)A1，M，C1三點(diǎn)的平面截三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球所得截面圓的半徑為，截面面積為選項(xiàng)正確．
故選：ABD．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（5分）lg2+lg5+π0＝ 2 ．
【解答】解：lg2+lg5+π0
＝lg10+1
＝2．
故答案為：2．
14．（5分）母線長(zhǎng)為3的圓錐，其側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為 π ．
【解答】解：∵母線長(zhǎng)為3的圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角等于，
∴側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)為：32π，
側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)＝底面周長(zhǎng)，即2π＝2πr，∴r＝1，
∴圓錐的高h(yuǎn)2，
∴圓錐體積Vπ×r2×hπ．
故答案為：π．
15．（5分）高中數(shù)學(xué)興趣小組計(jì)劃測(cè)量某大廈的高度，選取與底部B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)基測(cè)點(diǎn)C與D．現(xiàn)測(cè)得∠BCD＝15°，∠BDC＝120°，CD＝100米，在點(diǎn)C測(cè)得大廈頂A的仰角∠ACB＝60°，則該大廈高度AB＝ 212 米（精確到1米）．
參考數(shù)據(jù)：，．
【解答】解：由∠BCD＝15°，∠BDC＝120°，可得∠CBD＝45°，又CD＝100米，
由正弦定理可得，即，可得BC＝50，
在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，所以AB＝BC?tan∠ACB＝50150150×1.414≈212米．
故答案為：212．
16．（5分）四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，AB＝2，，EF＝1，點(diǎn)P滿足，則的最大值為 2 ．
【解答】解：以E為圓心，為半徑作圓，
∵，∴F在圓上，
∵，∴P在圓上，
∴
，
∵F，P都在以E為圓心，為半徑的圓上，
∴AB＝2，
∴2．
故答案為：2．
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17．（10分）已知函數(shù)f（x）＝sin（2x+θ），其中，且．
（1）求θ；
（2）若，求f（x）的值域．
【解答】解：（1）因?yàn)?，代入到f（x）＝sin（2x+θ），
得f（）＝sin（）＝1，其中，
所以；
（2），（2x），
此時(shí)，f（x）∈[，1]．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且b＝2c﹣2acsB．
（1）求A；
（2）若，c＝2b，求△ABC的面積S．
【解答】解：（1）因?yàn)閎＝2c﹣2acsB，
由正弦定理可得2sinC﹣2sinAcsB＝sinB，
而sinC＝sin（A+B）＝sinAcsB+csAsinB，
代入化簡(jiǎn)得2csAsinB＝sinB，
因?yàn)锽∈（0，π），所以sinB＞0，
所以，
因?yàn)锳∈（0，π），
故；
（2）由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccsA，
由（1）可知，又，c＝2b，
代入上式可得，27＝b2+4b2﹣2b×2b，
解得b＝3，c＝6，
所以△ABC的面積SbcsinA．
19．（12分）已知函數(shù)f（x）＝lgax（a＞0且a≠1）在[1，8]上的最大值為3．
（1）求a的值；
（2）當(dāng)x∈[1，8]時(shí)，2﹣f（x）﹣f（x）+t?0，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
【解答】解：（1）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）＝lgax在[1，8]上單調(diào)遞減，
此時(shí)f（x）max＝f（1）＝0≠3，不滿足題意；
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）＝lgax在[1，8]上單調(diào)遞增，
此時(shí)f（x）max＝f（8）＝lga8＝3，
解得a＝2；
（2）令m＝lg2x，
因?yàn)閤∈[1，8]，所以m∈[0，3]，
所以2﹣f（x）﹣f（x）+t≥0?2﹣m﹣m+t≥0?t≥m﹣2﹣m在m∈[0，3]上恒成立，
令g（m）＝m﹣2﹣m，m∈[0，3]，
易知g（m）在[0，3]上為增函數(shù)，
所以g（m）max＝3﹣2﹣3，
所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為[，+∞）．
20．（12分）某工廠引進(jìn)了一條生產(chǎn)線，為了解產(chǎn)品的質(zhì)量情況，現(xiàn)從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品，測(cè)量其技術(shù)參數(shù)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）由頻率分布直方圖，估計(jì)樣本技術(shù)參數(shù)的平均數(shù)和75%分位數(shù)（精確到0.1）；
（2）現(xiàn)從技術(shù)參數(shù)位于區(qū)間[40，50），[50，60），[60，70）的三組中，采用分層抽樣的方法抽取6件產(chǎn)品，再?gòu)倪@6件產(chǎn)品中任選3件產(chǎn)品，記事件A＝“這3件產(chǎn)品中技術(shù)參數(shù)位于區(qū)間[40，50）內(nèi)的產(chǎn)品至多1件”，事件B＝“這3件產(chǎn)品中技術(shù)參數(shù)位于區(qū)間[50，60）內(nèi)的產(chǎn)品至少1件”，求事件A∩B的概率．
【解答】解：（1）由頻率分布直方圖可知，平均數(shù)為：15×0.1+25×0.25+35×0.3+45×0.15+55×0.1+65×0.05+75×0.05＝37.5，
因?yàn)?.1+0.25+0.3＝0.65＜0.75，0.1+0.25+0.3+0.15＝0.8＞0.75，
所以75%分位數(shù)落在[40，50）內(nèi)，設(shè)其為x，
則0.65+（x﹣40）×0.015＝0.75，
解得x≈46.7，
即75%分位數(shù)約為46.7；
（2）采用分層抽樣，根據(jù)三個(gè)區(qū)間的比例關(guān)系3：2：1，依次抽取3個(gè)，2個(gè)，1個(gè)，
區(qū)間[40，50）內(nèi)的3件產(chǎn)品記為a1，a2，a3，
區(qū)間[50，60）內(nèi)的2件產(chǎn)品記為b1，b2，
區(qū)間[60，70）內(nèi)的1件產(chǎn)品記為c，
從這6件產(chǎn)品中任選3件，所有情況為：
（a1，a2，a3），（a1，a2，b1），（a1，a2，b2），（a1，a2，c），（a1，a3，b1），（a1，a3，b2），（a1，a3，c），（a1，b1，b2），（a1，b1，c），（a1，b2，c），（a2，a3，b1），（a2，a3，b2），（a2，a3，c），（a2，b1，b2），（a2，b1，c），（a2，b2，c），（a3，b1，b2，），（a3，b1，c），（a3，b2，c），（b1，b2，c），共20種，
事件A∩B分為：
①?gòu)腫40，50）抽0個(gè)，從[50，60）里面抽2個(gè)，從[60，70）里面抽1個(gè)，
包含基本事件為：（b1，b2，c），共1種，
所以P1，
②從[40，50）抽1個(gè)，從[50，60）里面抽1個(gè)，從[60，70）里面抽1個(gè)，
包含基本事件為：（a1，b1，c），（a1，b2，c），（a2，b1，c），（a2，b2，c），（a3，b1，c），（a3，b2，c），共6種，
所以P2，
③從[40，50）抽1個(gè)，從[50，60）里面抽2個(gè)，從[60，70）里面抽0個(gè)，
包含基本事件為：（a1，b1，b2），（a2，b1，b2），（a3，b1，b2，），共3種，
所以P3，
所以P（A∩B）＝P1+P2+P3．
21．（12分）如圖，三棱錐P﹣ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C在圓O上，AB為圓O的直徑，且AB＝6，，，平面PAC⊥平面PCB，點(diǎn)E是PB的中點(diǎn)．
（1）證明：平面PAC⊥平面ABC；
（2）點(diǎn)F是圓O上的一點(diǎn)，且點(diǎn)F與點(diǎn)C位于直徑AB的兩側(cè)．當(dāng)EF∥平面PAC時(shí)，作出二面角E﹣BF﹣A的平面角，并求出它的正切值．
【解答】解：（1）因?yàn)锳B為圓O的直徑，所以∠ACB＝90°，
由AC2＝AB2﹣BC2，可得AC＝4．因?yàn)椋?br>滿足PA2+PC2＝AC2，所以PA⊥PC．
因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面PCB，平面PAC∩平面PCB＝PC，PA?平面PAC，
所以PA⊥平面PCB，又BC?平面PCB，所以PA⊥BC．
因?yàn)锽C⊥AC，PA，AC?平面PAC，且PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，
因?yàn)锽C?平面ABC，所以平面PAC⊥平面ABC．
（2）取AC的中點(diǎn)O1，連接O1P和O1B，再取O1B的中點(diǎn)M，連接ME．
在平面ABC內(nèi)過(guò)點(diǎn)M作BF的垂線，垂足為點(diǎn)N，連接EN，
則∠ENM即為二面角E﹣BF﹣A的平面角．
證明如下：因?yàn)镻A＝PC，且O1是AC的中點(diǎn)，所以PO1⊥AC．
由（1）知平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PO1?平面PAC，
所以PO1⊥平面ABC．因?yàn)镋M是△PO1B的中位線，則EM∥PO1，
所以EM⊥平面ABC．因?yàn)锽F?平面ABC，所以BF⊥EM．
因?yàn)锽F⊥MN，MN，ME?平面ENM，且MN∩ME＝M，
所以BF⊥平面ENM．又EN?平面ENM，所以BF⊥EN，
由二面角的平面角的定義可知∠ENM即為二面角E﹣BF﹣A的平面角．
連接FM，并延長(zhǎng)FM交BC于點(diǎn)T．由EM是△BPQ的中位線，得EM∥PO1，
PO1?平面PAC，EM?平面PAC，所以EM∥平面PAC．
當(dāng)EF∥平面PAC時(shí)，EM，EF?平面EFM，且EM∩EF＝E，所以平面EFM∥平面PAC．
由平面與平面平行的性質(zhì)定理可知TF∥AC．因?yàn)辄c(diǎn)M是O1B的中點(diǎn)，
所以FT過(guò)點(diǎn)O，由此可知FT＝5．
因?yàn)锳C⊥BC，所以FT⊥BC，且BT＝CT．由FT2+BT2＝BF2，
可知BF，由△FTB∽△FNM得，

所以，，因此，
所以二面角E﹣BF﹣A的平面角的正切值為．
22．（12分）已知函數(shù)，g（x）＝kx，f（x）與g（x）的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）用max{α，β}表示α，β中的最大值，設(shè)函數(shù)φ（x）＝max{f（x），g（x）}（1?x?6），用M，m分別表示φ（x）的最大值與最小值，求M，m，并求出M﹣m的取值范圍．
【解答】解：（1）由題意得，
顯然f（x）≥0，且（0，0）是函數(shù)f（x）與g（x）圖象的一個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)k＜0時(shí)，g（x）＜0在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，與f（x）圖象無(wú)交點(diǎn)；
在區(qū)間（﹣∞，0），g（x）與f（x） 圖象至多有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意．
當(dāng)k＝0時(shí)，函數(shù)f（x）與g（x）圖象有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)（0，0），（4，0），不合題意．
當(dāng)k＞0時(shí)，若函數(shù)f（x）與g（x）圖象有三個(gè)交點(diǎn)，
則方程，kx均有正根，分別為x1＝4（1﹣k），x2＝4（k+1），
由，可得0＜k＜1，
所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是（0，1）；
（2）由（1）可知，當(dāng)k∈（0，1）時(shí)，f（x）與g（x）的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)非零交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1＝4（1﹣k），x2＝4（k+1），
當(dāng)x∈（0，x1）時(shí)，f（x）＞g（x），max{f（x），g（x）}＝f（x），
當(dāng)x∈（x1，x2）時(shí)，f（x）≤g（x），max{f（x），g（x）}＝g（x），
當(dāng)x∈（x2，+∞）時(shí)，f（x）＞g（x），max{f（x），g（x）}＝f（x），
當(dāng)k＜1時(shí)，x1＜1，x2＞6，φ（x）＝g（x）（1≤x≤6），M＝φ（6）＝6k，m＝φ（1）＝k，M﹣m＝5k∈[，5）；
當(dāng)k時(shí)，1＜x1≤2，x2≥6，φ（x），
f（x）在[1，x1）上為增函數(shù)，且g（x）為增函數(shù)，
故φ（x）在[1，6]上為增函數(shù)，M＝φ（6）＝6k，
m＝f（1），M﹣m＝6k∈[，），
當(dāng)k時(shí)，2＜x1＜3，5＜x2＜6，φ（x），
且φ（x）在[1，2]上為增函數(shù)，在[2，x1）上為減函數(shù)，在[x1，6]上為增函數(shù)，
φ（1）＝f（1），φ（x1）＝f（x1）＞f（1），φ（2）＝f（2）＝1，φ（6）＝f（6）＝3＞φ（2），
故M＝φ（6）＝3，m＝f（1），M﹣m；
當(dāng)0＜k時(shí)，3≤x1＜4，4＜x2≤5，φ（x），
且φ（x）在[1，2]上為增函數(shù)，在[2，x1）上為減函數(shù)，在[x1，6]上為增函數(shù)，
φ（1）＝f（1），φ（x1）＝f（x1）≤f（1），φ（2）＝f（2）＝1，φ（6）＝f（6）＝3＞φ（2），
故M＝φ（6）＝3，m＝f（x1）＝f（4﹣4k）＝﹣4k2+4k，M﹣m＝4k2﹣4k+3∈[，3）；
綜上，當(dāng)k＜1時(shí)，M＝6k，m＝k；
當(dāng)k時(shí)，M＝6k，m；
當(dāng)k時(shí)，M＝3，m；
當(dāng)0＜k時(shí)，M＝3，m＝﹣4k2+4k，
所以M﹣m的取值范圍為：[，5）．月份
1月
2月
3月
4月
5月
6月
用水量
9.0
9.6
14.9
5.9
4.0
7.7
月份
1月
2月
3月
4月
5月
6月
用水量
9.0
9.6
14.9
5.9
4.0
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