?2022-2023學(xué)年山東省青島九中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷
一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）
1. 已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=i(a?2i)的虛部與實(shí)部互為相反數(shù)，則實(shí)數(shù)a=(????)
A. ?1 B. ?2 C. 1 D. 2
2. 圓錐和圓柱的底面半徑、高都是R，則圓錐的表面積和圓柱的表面積之比為(????)
A. ( 2+1)：4 B. 2：2 C. 1：2 D. ( 2+1)：2
3. 中國(guó)營(yíng)養(yǎng)學(xué)會(huì)把走路稱(chēng)為“最簡(jiǎn)單、最優(yōu)良的鍛煉方式”，它不僅可以幫助減肥，還可以增強(qiáng)心肺功能、血管彈性、肌肉力量等，如圖為甲、乙兩人在同一星期內(nèi)日步數(shù)的折線統(tǒng)計(jì)圖：
則下列結(jié)論中不正確的是(????)
A. 這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的中位數(shù)為11600
B. 乙的日步數(shù)星期四比星期三增加了1倍以上
C. 這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的平均值大于乙
D. 這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的方差大于乙
4. 已知A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，O是△ABC的重心，點(diǎn)P滿足OP=16OB+16OC+23OA，則△ACP與△BCP面積比為(????)
A. 5：6 B. 1：4 C. 2：3 D. 1：2
5. 如圖，在圓錐SO中，AB，CD為底面圓的兩條直徑，AB∩CD=O，且AB⊥CD，SO=OB=3，SE=14SB.異面直線SC與OE所成角的正切值為(????)
A. 222
B. 53
C. 1316
D. 113
6. 已知100件產(chǎn)品中有5件次品，從這100件產(chǎn)品中任意取出3件，設(shè)E表示事件“3件產(chǎn)品都不是次品”，F(xiàn)表示事件“3件產(chǎn)品全是次品”，G表示事件“3件產(chǎn)品中至少有1件次品”，則下列結(jié)論正確的是(????)
A. F與G互斥 B. E與G互斥但不對(duì)立
C. E，F(xiàn)，G任意兩個(gè)事件均互斥 D. E與G對(duì)立
7. 如圖，在△ABC中，BM=12BC，NC=λAC，直線AM交BN于點(diǎn)Q，若BQ=57BN，則λ=(????)
A. 35
B. 25
C. 23
D. 13
8. 我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)?商功》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱(chēng)為“塹堵”.在如圖所示的“塹堵”ABC?A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，M、N分別是BB1和A1C1的中點(diǎn)，則平面AMN截“塹堵”ABC?A1B1C1所得截面圖形的面積為(????)
A. 2 213 B. 4 213 C. 2 73 D. 4 73

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）
9. 某團(tuán)隊(duì)共有20人，他們的年齡分布如表所示，
年齡
28
29
30
32
36
40
45
人數(shù)
1
3
3
5
4
3
1
有關(guān)這20人年齡的眾數(shù)、極差、百分位數(shù)說(shuō)法正確的有(????)
A. 眾數(shù)是32 B. 眾數(shù)是5 C. 極差是17 D. 25%分位數(shù)是30
10. 已知α，β是兩個(gè)不重合的平面，m，n是兩條不重合的直線，則下列命題正確的是(????)
A. 若m⊥n，m⊥α，n//β，則α⊥β
B. 若m⊥α，n//α，則m⊥n
C. 若m//α，m//n，則n//α
D. 若m//n，α//β，則m與α所成的角和n與β所成的角相等
11. 已知向量a=(cosα,sinα)，b=(2,1)，則下列命題正確的是(????)
A. |a?b|的最大值為 5+1
B. 若|a+b|=|a?b|，則tanα=12
C. 若e是與b共線的單位向量，則e=(2 55, 55)
D. 當(dāng)f(α)=a?b取得最大值時(shí)，tanα=12
12. 已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P為線段BC1上的動(dòng)點(diǎn)，則(????)
A. DP//平面AB1D1
B. D1P+CP的最小值為 1+ 2
C. 直線DP與平面ABCD、平面DCC1D1、平面ADD1A1所成的角分別為α，β，γ，則sin2α+sin2β+sin2γ=1
D. 點(diǎn)C關(guān)于平面AB1D1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M，則M到平面ABCD的距離為43
三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）
13. 已知向量a=(5,5)，b=(λ,1)，若a+b與a?b的夾角是銳角，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為_(kāi)_____．
14. 已知我國(guó)某省二、三、四線城市數(shù)量之比為1：3：6.2022年3月份調(diào)查得知該省二、三、四線城市房產(chǎn)均價(jià)為0.8萬(wàn)元/平方米，方差為11.其中三、四線城市的房產(chǎn)均價(jià)分別為1萬(wàn)元/平方米，0.5萬(wàn)元/平方米，三、四線城市房?jī)r(jià)的方差分別為10，8，則二線城市房產(chǎn)均價(jià)為_(kāi)_____萬(wàn)元/平方米，二線城市房?jī)r(jià)的方差為_(kāi)_____．
15. △ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知3acosA=bcosC+ccosB，b+c=3，則a的最小值為_(kāi)_____．
16. 如圖圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，球的半徑r=4，O1，O2分別為圓柱上、下底面的圓心，O為球心，EF為底面圓O1的一條直徑，若P為球面和圓柱側(cè)面的交線上一動(dòng)點(diǎn)，線段PE與PF的和為PE+PF，則PE+PF的取值范圍為_(kāi)_____ ．


四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
17. (本小題10.0分)
設(shè)向量a，b滿足|a|=|b|=1，且|3a?2b|= 7．
(1)求a與b的夾角；
(2)求|2a+3b|的大?。?br /> 18. (本小題12.0分)
某校從參加高三模擬考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取60名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績(jī)(均為整數(shù))分成六段[90,100)，[100,110)，…，[140,150)后得到如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問(wèn)題：
(1)求分?jǐn)?shù)在[120,130)內(nèi)的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；
(2)估計(jì)本次考試的第50百分位數(shù)；
(3)用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為[110,130)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為6的樣本，將該樣本看成一個(gè)總體，從中任取2個(gè)，求至多有1人在分?jǐn)?shù)段[120,130)內(nèi)的概率．

19. (本小題12.0分)
如圖，在五面體ABCDEF中，面ABCD是正方形，AD⊥DE，AD=4，DE=EF=2，且∠EDC=π3．
(Ⅰ)求證：AD⊥平面CDEF；
(Ⅱ)求直線BD與平面ADE所成角的正弦值；
(Ⅲ)設(shè)M是CF的中點(diǎn)，棱AB上是否存在點(diǎn)G，使得MG//平面ADE？若存在，求線段AG的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．

20. (本小題12.0分)
如圖，四邊形ABCD中，∠DAB=∠DCB=π2，AB=3，BC=2，S△ABC=3 32且∠ABC為銳角．
(1)求DB；
(2)求△ACD的面積．

21. (本小題12.0分)
如圖(1)，六邊形ABCDEF是由等腰梯形ADEF和直角梯形ABCD拼接而成，且∠BAD=∠ADC=90°，AB=AF=EF=ED=2，AD=CD=4，沿AD進(jìn)行翻折，得到的圖形如圖(2)所示，且∠AEC=90°．
(1)求二面角C?AE?D的余弦值；
(2)求四棱錐C?ADEF外接球的體積．
22. (本小題12.0分)
如圖，在△ABC中，AB=mAC(m∈R)，AD是角A的平分線，且AD=kAC(k∈R)．
(1)若m=3，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
(2)若BC=3，m≥2時(shí)，求△ABC的面積的最大值及此時(shí)k的值．


答案和解析

1.【答案】B?
【解析】解：復(fù)數(shù)z=i(a?2i)=2+ai，
∵復(fù)數(shù)z=i(a?2i)的虛部與實(shí)部互為相反數(shù)，
∴2=?a，即a=?2．
故選：B．
根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及實(shí)部、虛部的定義，即可求解．
本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及實(shí)部、虛部的定義，屬于基礎(chǔ)題．

2.【答案】A?
【解析】解：由題意圓錐的表面積為：πR2+12× 2R×2πR=(1+ 2)πR2，
圓柱的表面積為：2πR2+π×2R×R=4πR2，
∴圓錐的全面積與圓柱的全面積之比為：( 2+1)：4．
故選：A．
直接求出圓錐或圓柱的表面積，即可確定二者的比值．
本題考查圓錐、圓柱的表面積，正確應(yīng)用面積公式是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．

3.【答案】B?
【解析】解：對(duì)于A，甲的頻數(shù)從小于大為：2435，7965，9500，11600，12700，16000，16800，
中位數(shù)是11600，故A正確；
對(duì)于B，乙的暑期三步數(shù)7030，星期四12970，
∵129707030≈1.84x?乙，故C正確；
對(duì)于D，S甲2=17[(16000?11000)2+(7965?11000)2+(12700?11000)2+(2435?11000)2+(16800?11000)2+(9500?11000)2+(11600?11000)2]≈147951678.57．
S乙2=17[(14200?10500)2+(12300?10500)2+(7030?10500)2+(12970?10500)2+(5340?10500)2+(11600?10500)2+(10060?10500)2]≈7462842.86，
∴S甲2>S乙2，故D正確．
故選：B．
利用中位數(shù)的定義判斷A；乙的暑期三步數(shù)7030，星期四12970，沒(méi)有增加1倍以上，判斷B；由平均數(shù)定義判斷C；由方差定義判斷D．
本題考查命題真假的判斷，考查折線統(tǒng)計(jì)圖等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．

4.【答案】B?
【解析】解：如圖，

∵O是△ABC的重心，
∴OA+OB+OC=0，∴OB+OC=?OA，
∵OP=16OB+16OC+23OA，
∴6OP=OB+OC+4OA，
∴6OP=3OA，即2OP=OA，
∴點(diǎn)P為OA的中點(diǎn)，
即點(diǎn)P，O為BC邊中線AD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，
∴S△ACP=13S△ACD=16S△ABC，S△BCP=23S△ABC，
∴S△ACPS△BCP=16×32=14．
故選：B．
利用三角形重心的性質(zhì)，可得2OP=OA，從而得到點(diǎn)P，O為BC邊中線的兩個(gè)三等分點(diǎn)，求解即可．
本題主要考查了三角形重心的性質(zhì)，平面向量的線性運(yùn)算，屬于中檔題．

5.【答案】D?
【解析】
【分析】
本題考查了異面直線所成角的定義及求法，直角三角形的邊角關(guān)系，正切函數(shù)的定義，平行線分線段成比例的定理，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
可過(guò)點(diǎn)S作SF//OE，交AB于點(diǎn)F，并連接CF，從而可得出∠CSF(或其補(bǔ)角)為異面直線SC與OE所成的角，根據(jù)條件即可求出SC=3 2,SF=CF= 10，這樣即可得出tan∠CSF的值．
【解答】
解：如圖，過(guò)點(diǎn)S作SF//OE，交AB于點(diǎn)F，連接CF，
則∠CSF(或其補(bǔ)角)即為異面直線SC與OE所成的角，
∵SE=14SB，∴SE=13BE，
又OB=3，∴OF=13OB=1，
SO⊥OC，SO=OC=3，∴SC=3 2；
SO⊥OF，SO=3，OF=1，∴SF= 10；
OC⊥OF，OC=3，OF=1，∴CF= 10，
∴等腰△SCF中，tan∠CSF= ( 10)2?(3 22)23 22= 113．
故選：D．
??
6.【答案】D?
【解析】解：E和G對(duì)立，E和F互斥，
G包含F(xiàn)，
故ABC錯(cuò)誤，D正確．
故選：D．
根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的定義判斷即可．
本題考查了對(duì)立事件和互斥事件的定義，是基礎(chǔ)題．

7.【答案】A?
【解析】解：根據(jù)圖示可知，A，M，Q三點(diǎn)共線，由共線定理可知，
存在實(shí)數(shù)μ使得BQ=μBM+(1?μ)BA，
又BM=12BC,BQ=57BN，所以57BN=12μBC+(1?μ)BA，
又A，N，C三點(diǎn)共線，所以57=12μ+1?μ，解得μ=47，
即可得BN=25BC+35BA，所以(BA+AN)=25(BA+AC)+35BA，
所以AN=25AC，即AC?NC=25AC，可得NC=35AC，
又NC=λAC，即可得λ=35．
故選：A．
由A，M，Q三點(diǎn)共線可得存在實(shí)數(shù)μ使得BQ=μBM+(1?μ)BA，再由A，N，C三點(diǎn)共線可解得μ=47，利用向量的線性運(yùn)算化簡(jiǎn)可得NC=35AC，即λ=35．
本題主要考查平面向量的基本定理，屬于基礎(chǔ)題．

8.【答案】A?
【解析】解：延長(zhǎng)AN，與CC1的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，則P∈平面BB1C1C，
連結(jié)PM，與B1C1交于點(diǎn)E，連結(jié)NE，
得到的四邊形AMEN是平面AMN截“塹堵”ABC?A1B1C1所得截面圖形，
由題意得NE=ME= 173，AM=AN= 5，MN= 6，
∴AMN截“塹堵”ABC?A1B1C1所得截面圖形面積為：
S=12× 6× ( 5)2?( 62)2+12× 6× ( 173)2?( 62)2=2 213．
故選：A．
延長(zhǎng)AN，與CC1的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，則P∈平面BB1C1C，連結(jié)PM，與B1C1交于點(diǎn)E，連結(jié)NE，得到的四邊形AMEN是平面AMN截“塹堵”ABC?A1B1C1所得截面圖形，由此能求出結(jié)果．
本題考查平面截“塹堵”所得截面圖形的面積的求法，考查“塹堵”性質(zhì)、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．

9.【答案】ACD?
【解析】
【分析】
本題考查了眾數(shù)、極差和百分位數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，分別計(jì)算這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、極差和百分位數(shù)即可．
【解答】
解：根據(jù)表中數(shù)據(jù)知，這20個(gè)人年齡的眾數(shù)是32，選項(xiàng)A正確、B錯(cuò)誤；
極差是45?28=17，選項(xiàng)C正確；
因?yàn)?0×25%=5，所以25%分位數(shù)是30，選項(xiàng)D正確．
故選：ACD．
??
10.【答案】BD?
【解析】解：若m⊥n，m⊥α，n//β，可得α//β，或α，β相交，故A錯(cuò)誤；
若m⊥α，n//α，由線面平行和線面垂直的性質(zhì)可得m⊥n，故B正確；
若m//α，m//n，則n可以在α內(nèi)，故C錯(cuò)誤；
由m//n，α//β，由線面角的定義和面面平行的性質(zhì)，可得m與α所成的角和n與β所成的角相等，故D正確．
故選：BD．
由線面垂直和平行的性質(zhì)，以及面面的位置關(guān)系，可判斷A；由線面平行和線面垂直的性質(zhì)，可判斷B；由線面平行的性質(zhì)和面面的位置關(guān)系，可判斷C；由線面角的定義和面面平行的性質(zhì)，可判斷D．
本題考查空間中線線、線面和面面的位置關(guān)系，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題．

11.【答案】AD?
【解析】
【分析】
本題考查向量的模定義，輔助角公式，向量數(shù)量積的定義與性質(zhì)，屬于中檔題．
對(duì)A選項(xiàng)，利用向量的模定義，輔助角公式構(gòu)建α的三角函數(shù)模型，再利用函數(shù)思想即可求解；對(duì)B選項(xiàng)，兩邊平方化簡(jiǎn)得a?b=0，從而建立α的方程，最后求出tanα；對(duì)C選項(xiàng)，根據(jù)單位向量的定義，數(shù)乘的概念即可求解；對(duì)D選項(xiàng)，先利用數(shù)量積定義，輔助角公式化簡(jiǎn)f(α)，即可求解．
【解答】
解：
對(duì)A選項(xiàng)，|a?b|=|(cosα?2,sinα?1)|
= (cosα?2)2+(sinα?1)2= 6?(4cosα+2sinα)
= 6?2 5sin(α+β)，其中tanβ=2，α∈R，
∴當(dāng)sin(α+β)=?1時(shí)，|a?b|取得最大值 6+2 5= 5+1，故A選項(xiàng)正確；
對(duì)B選項(xiàng)，若|a+b|=|a?b|，等式兩邊平方整理得a?b=0，
∴2cosα+sinα=0，∴tanα=?2，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)C選項(xiàng)，與b共線的單位向量e=±b|b|
=±1 5(2,1)=(2 55, 55)或(?2 55,? 55)，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)D選項(xiàng)，∵f(α)=a?b=2cosα+sinα= 5sin(α+θ)，其中tanθ=2，α∈R，
∴當(dāng)α+θ=π2+2kπ，(k∈Z)時(shí)，sin(α+θ)=1，f(α)取得最大值 5，
此時(shí)α=π2?θ+2kπ，k∈Z，其中tanθ=2，
∴tanα=tan(π2?θ+2kπ)=tan(π2?θ)=1tanθ=12，故D選項(xiàng)正確．
故選：AD．
??
12.【答案】ACD?
【解析】解：對(duì)于A，如圖車(chē)接DB，DC1，AB1，AD1，B1D1，

在正方體ABCD?A1B1C1D1中，因?yàn)锳B//DC，AB=D1C1，
所四邊形ABC1D1為平行四邊形，所以AD1//BC1，
又BC1?平面BC1D，AD1?平面BC1D，所以AD1//平面BC1D，
同理可得D1B1//DB，又DB?平面BC1D，D1B1?平面BC1D，
所以D1B1//平面BC1D，由AD1∩D1B1=D1，AD1，D1B1?平面AB1D1，
所以平面BC1D//平面AB1D1，因?yàn)镈P?平面BC1D，所以DP//AB1D，故A正確；
對(duì)于B，如圖將平面D1C1B和平面BC1C展開(kāi)到同一個(gè)平面，連接D1C，

D1P+CP的最小值即為D1C，在正方體可得D1C1⊥平面BC1C，
C1B?平面BC1C，所以D1C1⊥C1B且C1C=BC，C1C⊥BC，所以∠BC1C=π4，
則平面中∠D1C1C=3π4，
由余弦定理得D1C2=D1C12+C1C2?2D1C1?C1C?cos∠DCC=1+1?2×1×1×(? 22)=2+ 2，
即DC= 2+ 2，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，如圖，過(guò)P作PN⊥C1C于N，PE⊥BC于E，PQ⊥平面ADD1A1于Q，
連接OD，DE，DN，PC，
?
由正方體易得PN⊥平面DCC1D1，PE⊥平面ABCD，
又直線DP與平面ABCD、平面DCC1D1、平面ADD1A1所成的角分別為α，β，γ，
sinα=sin∠PDE=PEPD，sinβ=sin∠PDN=PNPD，sinr=sin∠PDQ=PQPD，
則sin2α+sin2β+sin2γ=(PEPD)2+(PNPD)2+(POPD)2=PE2+PN2+PQ2PD2，
因?yàn)镻Q⊥平面ADD1A1，CD⊥平面ADD1A1，則PQ//CD，且PQ=CD，
所以四邊形PQDC為平行四邊形，所以DQ=PC，
又在矩形PNCE中可得PE2+PN2=PE2+BC2=PC2，所以PB2+PN2=DQ2，
在Rt△PQD中，DQ2+PQ2=PD2，所以PE2+PV2+PQ2=PD2，
即sin2α+sin2β+sin2r=1，故C正確；
對(duì)于D，連接AC，D1C，A1C1，連接A1C交平面AB1D1于F，過(guò)F作FH//AC交AC于H，

在正方體中可得，A1C1⊥B1D1，CC1⊥平面A1B1C1D，因?yàn)锽1D1?平面A1B1C1D1，
所以CC1⊥B1D1，CC1∩AC1=C1，CC1，A1C1?平面A1C1C，
所以B1D1⊥平面A1C1C，又A1C?平面A1C1C，
所以B1D1⊥A1C，同理可得AD1⊥A1C，
因?yàn)锳D1∩B1D1=D1，AD，B1D1?平面AB1D1，所以A1C⊥平面AB1D1，即A1F⊥平面AB1D1，
因?yàn)檎叫蔚拿鎸?duì)角線AD1=B1D1=AB1= 2，所以△AB1D1為正三角形，又VA1?AB1D1=VA?A1B1D1，
∴13S△AB1D1?A1F=13S△A1B1D1?AA1，則AF=S△A1B1D1?AA1S△AB1D1=12×1×1×1×112× 2× 2×sinπ3= 33，
因?yàn)檎襟w的體對(duì)角線A1C= 3，所以A1F=13AC，因?yàn)镕H//AC，
所以FHA1A=CFA1C=23，即FH=23，因?yàn)锳A1⊥平面ABCD，
所以F到平面ABCD的距離為23，由于點(diǎn)C關(guān)于平面AB1D1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M，
則F為CM中點(diǎn)，于是M到平面ABCD的距離為43，故D．
故選：ACD．
根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)結(jié)合線面平行判定定理、勾股定理、余弦定理、線面夾角的定義、點(diǎn)到平面的距離，逐項(xiàng)分析解答即可得答案．
本題考查空間幾何體的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，考查推理論證能力，屬中檔題．

13.【答案】(?7,1)∪(1,7)?
【解析】解：a+b=(λ+5,6),a?b=(5?λ,4)，
∵a+b與a?b的夾角是銳角，
∴(a+b)?(a?b)>0，且a+b與a?b不共線，
∴(λ+5)(5?λ)+24>04(λ+5)?6(5?λ)≠0，解得?7

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