1. 已知數(shù)列，1，，，，…，，…，則是它的（ ）.
A. 第22項(xiàng)B. 第23項(xiàng)C. 第24項(xiàng)D. 第28項(xiàng)
【答案】B
【解析】
【分析】
將改寫成的形式，即可確定它的項(xiàng)數(shù).
【詳解】因?yàn)轭}中數(shù)列的第項(xiàng)為，
而，
所以是題中數(shù)列的第23項(xiàng).
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列項(xiàng)數(shù)的確定，屬于基礎(chǔ)題.
2. 的內(nèi)角的對邊分別為成等比數(shù)列，且，則等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
成等比數(shù)列，可得，又，可得，利用余弦定理即可得出．
【詳解】解：成等比數(shù)列，，又，，
則
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)、余弦定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
3. 在等差數(shù)列中，，則此數(shù)列前項(xiàng)的和是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析：利用等差數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可得結(jié)果.
詳解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，，
代入已知可得，即，
故數(shù)列的前項(xiàng)之和
．
故選．
點(diǎn)睛：等差數(shù)列的常用性質(zhì)有：(1)通項(xiàng)公式的推廣： (2)若 為等差數(shù)列，且 ；(3)若是等差數(shù)列，公差為，，則是公差 的等差數(shù)列；(4)數(shù)列也是等差數(shù)列.
4. 某觀察站與兩燈塔的距離分別為米和米，測得燈塔在觀察站西偏北，燈塔在觀察站北偏東，則兩燈塔間的距離為（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】A
【解析】
依題意，作出上圖，∵ ，∴由余弦定理得：，故選A.
5. 若數(shù)列是等比數(shù)列，則下列數(shù)列一定是等比數(shù)列的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析：求出，在A中，不一定是常數(shù)，在B中，可能有零項(xiàng)，在D中，當(dāng)時(shí)，數(shù)列存在負(fù)項(xiàng)，此時(shí)無意義，只有C項(xiàng)滿足等比數(shù)列的定義，并且公比是原數(shù)列公比的倒數(shù)，從而求得結(jié)果.
詳解：因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，
對于A，不一定是常數(shù)，故A不一定是等比數(shù)列；
對于B，可能有項(xiàng)為零，故B不一定是等比數(shù)列；
對于C，利用等比數(shù)列的定義，可知的公比是數(shù)列公比的倒數(shù)，故C項(xiàng)一定是等比數(shù)列；
對于D，當(dāng)時(shí)，數(shù)列存在負(fù)項(xiàng)，此時(shí)無意義，故D項(xiàng)不符合題意；
故選C
點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)等比數(shù)列的判斷問題，在解題的過程中需要對等比數(shù)列的定義牢牢掌握，再者就是對等比數(shù)列的性質(zhì)要熟記，對等比數(shù)列中的項(xiàng)經(jīng)過什么樣的變換還成等比數(shù)列.
6. 中，，則符合條件的三角形有（ ）
A. 個(gè)B. 個(gè)C. 個(gè)D. 個(gè)
【答案】B
【解析】
由正弦定理可得: ,解得sinA= > ，故滿足條件的角A有兩個(gè),一個(gè)鈍角,一個(gè)銳角,應(yīng)選B.
7. 已知函數(shù)，則下列說法不正確的是（ ）
A. 的一個(gè)周期為
B. 的圖象關(guān)于對稱
C. 在上單調(diào)遞減
D. 向左平移個(gè)單位長度后圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱
【答案】D
【解析】
函數(shù)f(x)=sin(x+)，
A. 函數(shù)f(x)的周期為：T=2π，正確．
B. 當(dāng)x=時(shí),f()=?1，正確．
C. 當(dāng)x∈[]時(shí),x+∈[,]，故函數(shù)單調(diào)遞減，正確．
D函數(shù)f(x)向左平移個(gè)單位后函數(shù)的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為：f(x)=sin(x+)，函數(shù)的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故錯(cuò)誤．
故選D
8. 已知{an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，Sn是{an}的前n項(xiàng)和，且9S3＝S6，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為（ ）
A. 或5B. 或5
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由9S3＝S6以及等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式解出公比，再根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式可得數(shù)列的前5項(xiàng)和.
【詳解】設(shè){an}的公比為q，顯然q≠1，由題意得，
所以1＋q3＝9，得q＝2，
所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，前5項(xiàng)和為.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.
9. 在中，，，，則面積是（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】
利用余弦定理可求的長度，從而可求三角形的面積.
【詳解】由余弦定理可得，
故，解得或，
故三角形的面積為或，
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理和三角形的面積公式，注意三角形中共有七個(gè)幾何量（三邊三角以及外接圓的半徑），一般地，知道兩角及一邊，用正弦定理，知道兩邊及一邊所對的角，可以用余弦定理，也可以用正弦定理（結(jié)合要求解的目標(biāo)確定方法），本題屬于基礎(chǔ)題.
10. 設(shè)是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)的和，且，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）．
A. B. 與是的最大值
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)，，可得，，．即可得出結(jié)論．
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
，
，，．
，，，與是的最大值．
因此A，B，D正確．
對于C．，可得，因此不正確．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式及其單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
11. 若兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍（ ）
A. （-1，4）B. C. （4，1）D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)不等式有解，轉(zhuǎn)化為，然后利用“1”的代換，運(yùn)用基本不等式求解最值，最后解出關(guān)于的一元二次不等式即可.
【詳解】∵不等式有解，
∴，
∵，，且，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取“=”，
∴，
故，即，
解得或，
∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式在最值中的應(yīng)用，不等式的有解問題，還考查了轉(zhuǎn)化求解問題的能力，屬于中檔題.
12. 兩千多年前，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題．他們在沙灘上畫點(diǎn)或用小石子表示數(shù)，按照點(diǎn)或小石子能排列的形狀對數(shù)進(jìn)行分類．如下圖中實(shí)心點(diǎn)的個(gè)數(shù)為梯形數(shù)．根據(jù)圖形的構(gòu)成，記此數(shù)列的第項(xiàng)為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
觀察梯形數(shù)的前幾項(xiàng)，得
5=2+3=a1，
9=2+3+4=a2，
14=2+3+4+5=a3，
…
，
由此可得a2013=2+3+4+5+…+2011= ×2014×2017，
∴a2013?5= ×2014×2017?5=1007×2017?5=2019×1006，
本題選擇D選項(xiàng).
二、填空題.
13. 不等式的解集為__________.
【答案】
【解析】
【分析】
把分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為二次不等式，然后根據(jù)一元二次不等式的解法求解即可.
【詳解】不等式等價(jià)于，
解得，
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式不等式的求解，考查了一元二次不等式的求解，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題.
14. 《孫子算經(jīng)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五等諸侯，共分橘子六十顆，人別加三顆.問： 五人各得幾何？”其意思為： 有5個(gè)人分60個(gè)橘子，他們分得的橘子數(shù)成公差為3的等差數(shù)列，問5人各得多少個(gè)橘子.這個(gè)問題中，得到橘子最多的人所得的橘子個(gè)數(shù)是______.
【答案】18
【解析】
【分析】
設(shè)第一個(gè)人分到的橘子個(gè)數(shù)為，由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式能求出得到橘子最少的人所得的橘子個(gè)數(shù)，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出答案．
【詳解】設(shè)第一個(gè)人分到的橘子個(gè)數(shù)為，由題意得，解得，
則.
故答案為：18
【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的首項(xiàng)的求法，考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，是基礎(chǔ)題．
15. 如圖，在中，，是上一點(diǎn)，是上一點(diǎn)，若，，，，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】
過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，再用x表示線段，，，，
，，然后在中，利用余弦定理求得x即可.
【詳解】如圖所示：
過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，
則由題意得：，，，
因?yàn)椋?br>所以，
∵，
，即，
∵，，
∴，∴，
，
，
∴中，由余弦定理得
，
，
又，
，
，
整理得：，
解得：或（舍去），
∴，
解得：.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理的應(yīng)用以及平面幾何的知識，還考查了運(yùn)算及其的能力，屬于中檔題.
16. 把一數(shù)列依次按第一個(gè)括號內(nèi)一個(gè)數(shù)，第二個(gè)括號內(nèi)兩個(gè)數(shù)，第三個(gè)括號內(nèi)三個(gè)數(shù)，第四個(gè)括號內(nèi)一個(gè)數(shù)，…循環(huán)分為（1），（3，5），（7，9，11），（13），（15，17），（19，21，23），（25），…，則第50個(gè)括號內(nèi)各數(shù)之和為__________.
【答案】392
【解析】
【分析】
由題意，每三個(gè)括號算一組，并確定每組中的數(shù)個(gè)數(shù)，再求出第50個(gè)括號里的數(shù)的個(gè)數(shù)以及第一個(gè)數(shù)，然后利用等差數(shù)列求和公式求解.
【詳解】括號里的數(shù)的規(guī)律是：每三個(gè)括號算一組，里面的數(shù)個(gè)數(shù)都是1+2+3=6個(gè)，
所以到第49個(gè)括號時(shí)，共有個(gè)數(shù)，且第50個(gè)括號里的數(shù)有2個(gè)，
又?jǐn)?shù)列是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
所以，
所以第50個(gè)括號里的第一個(gè)數(shù)是，
所以第50個(gè)括號里的數(shù)是，
所以第50個(gè)括號里的數(shù)之和為195+197=392，
故答案為：392.
【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，還考查了觀察、歸納運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.
三、解答題
17. 設(shè)函數(shù)
（1）若對一切實(shí)數(shù)x，恒成立，求m的取值范圍；
（2）若對于，恒成立，求m的取值范圍：
【答案】（1）.（2）
【解析】
【分析】
（1）對進(jìn)行分類討論，利用判別式進(jìn)行求解；
（2）利用參數(shù)分離得到對恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得的值域即可.
【詳解】（1）對恒成立，
若，顯然成立，
若，則，解得.
所以，.
（2）對于，恒成立，即
對恒成立
對恒成立
∴對恒成立，
即求在的最小值，
的對稱軸為，
，，，
可得即.
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、不等式恒成立問題，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意參變分離法的應(yīng)用.
18. 在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知，.
（1）當(dāng)時(shí)，求的面積；
（2）求周長的最大值.
【答案】（1）或；（2）6.
【解析】
試題分析：（1）利用兩角和與差的正弦公式將已知等式化為，分為和兩種情形解出三角形，故而可求出其面積；（2）利用正弦定理將三角形的周長表示為關(guān)于的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可得其最值.
試題解析：（1）由條件得：，∴，∴.①時(shí)，，，∴，②時(shí)，，∴，，∴.
∴或.
（2）設(shè)的外接圓半徑為，∴由正弦定理得：，∴，∴周長 .∵，∴，∴，∴，∴ ，∵，∴∴，∴.
19. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，遞增的等比數(shù)列滿足：．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】（1），，（2）．
【解析】
試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，；，故
由已知求出且，故．
（2）由（1）得
兩式相減得
試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，
，所以
，方程的兩根，
，所以解得
（2），則
將兩式相減得：
所以.
考點(diǎn)：?已知數(shù)列前n項(xiàng)和為求數(shù)列通向公式?錯(cuò)位相減法求數(shù)列前n項(xiàng)和．
20. 在中，內(nèi)角，，所對應(yīng)的邊分別為，，，若.
（1）求角；
（2）若，，為的中點(diǎn)，求的長.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由已知利用余弦定理化簡已知等式可求，結(jié)合是三角形內(nèi)角，可求的值；
（2）由余弦定理可求，由正弦定理可得，求得，值，進(jìn)而利用勾股定理可求的值.
【詳解】（1）由，，
得.
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)榻鞘侨切蝺?nèi)角，
所以；
（2）∵，，
∴由正弦定理得∶，
∴，
∴，
∵，，
∴.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.
21. 已知數(shù)列中，，，且.
（1）求、的值，
（2）設(shè)試用表示，并求的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1），；（2），，，；（3）.
【解析】
【分析】
（1）由數(shù)列中，，，且，分別令和，求出、的值.
（2）當(dāng)時(shí)，，即，則，然后用累乘法求解.
（3）由，然后利用裂項(xiàng)相消法求解.
【詳解】（1）∵數(shù)列中，，，
且
∴，
，
∴，·
（2）當(dāng)時(shí)，,
∴當(dāng)時(shí)，，
故，，
累乘得，
∵，
∴，
（3）∵
，
∴
·
【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和的求法以及累乘法和裂項(xiàng)求和法、兩角差的正弦公式的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題..
22. 如圖所示，是某海灣旅游區(qū)的一角，為營造更加優(yōu)美的旅游環(huán)境，旅游區(qū)管委會決定建立面積為平分千米的三角形主題游戲樂園，并在區(qū)域建立水上餐廳.
已知，.
（1）設(shè)，，用表示，并求的最小值；
（2）設(shè)（為銳角），當(dāng)最小時(shí)，用表示區(qū)域的面積，并求的最小值.
【答案】(1);(2)S= ,8－.
【解析】
試題分析：
(1)首先確定函數(shù)的解析式為結(jié)合均值不等式的結(jié)論可得的最小值是;
(2)結(jié)合題意和三角函數(shù)的性質(zhì)可得S=，利用三角函數(shù)的性質(zhì)可知的最小值是8－.
試題解析：
（1）由S△ACB＝AC·BC·sin∠ACB＝4得，BC＝，
△ACB中，由余弦定理可得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cs∠ACB，
即y2＝x 2＋＋16，
所以y＝
y＝≥＝4，
當(dāng)且僅當(dāng)x2＝，即x＝4時(shí)取等號．
所以當(dāng)x＝4時(shí)，y有最小值4．
（2）由（1）可知，AB＝4，AC＝BC＝4，所以∠BAC＝30°，
在△ACD中，由正弦定理，CD＝＝＝，
在△ACE中，由正弦定理，CE＝＝＝，
所以，S＝CD·CE·sin∠DCE＝＝．
因?yàn)棣葹殇J角，
所以當(dāng)θ＝時(shí)，S有最小值8－4．
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