?2022-2023學年福建省廈門市雙十中學高二下學期期中數(shù)學試題

一、單選題
1．的展開式中，的系數(shù)是（?????）
A．40 B． C．80 D．
【答案】C
【分析】求出通項公式，利用求出，從而得到系數(shù).
【詳解】展開式的通項為，
令，得．所以的系數(shù)是．
故選：C.
2．函數(shù)的圖像大致為（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由函數(shù)為偶函數(shù)可排除AC，再由當時，，排除D，即可得解.
【詳解】設(shè)，則函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，
又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，排除AC；
當時， ，所以，排除D.
故選：B.
3．“碳中和”是指企業(yè)、團體或個人等測算在一定時間內(nèi)直接或間接產(chǎn)生的溫室氣體排放總量，通過植樹造林、節(jié)能減排等形式，以抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放量，實現(xiàn)二氧化碳“零排放”．某“碳中和”研究中心計劃派5名專家分別到A，B，C三地指導“碳中和”工作，每位專家只去一個地方，且每地至少派駐1名專家，則分派方法的種數(shù)為（????）
A．90 B．150 C．180 D．300
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，運用分類討論思想，結(jié)合排列和組合的性質(zhì)進行求解即可.
【詳解】根據(jù)題意有兩種方式：
第一種方式，有一個地方去3個專家，剩下的2個專家各去一個地方，
共有種方法，
第二種方式，有一個地方去1個專家，另二個地方各去2個專家，
共有，
所以分派方法的種數(shù)為，
故選：B
4．若函數(shù)在上為增函數(shù)，則m的取值范圍為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為在恒成立，參變分離求出m的范圍即可.
【詳解】已知函數(shù)在上為增函數(shù)，則在恒成立，
即在恒成立，則，解得.
故選：C.
【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查一次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
5．某校高三年級要從5名男生和2名女生中任選3名代表參加數(shù)學競賽（每人被選中的機會均等），則在男生甲被選中的情況下，男生乙和女生丙至少一個被選中的概率是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出男生甲被選中的概率，再求出男生乙和女生丙至少一個被選中的概率,根據(jù)條件概率的計算公式可求答案.
【詳解】男生甲被選中記作事件，男生乙和女生丙至少一個被選中記作事件，
則：，，
由條件概率公式可得：，
故選：D.
6．閱讀下段文字：“已知為無理數(shù)，若為有理數(shù)，則存在無理數(shù)，使得為有理數(shù)；若為無理數(shù)，則取無理數(shù)，，此時為有理數(shù)．”依據(jù)這段文字可以證明的結(jié)論是（????）
A．是有理數(shù) B．是無理數(shù)
C．存在無理數(shù)a，b，使得為有理數(shù) D．對任意無理數(shù)a，b，都有為無理數(shù)
【答案】C
【分析】根據(jù)給定的條件，提取文字信息即可判斷作答.
【詳解】這段文字中，沒有證明是有理數(shù)條件，也沒有證明是無理數(shù)的條件，AB錯誤；
這段文字的兩句話中，都說明了結(jié)論“存在無理數(shù)a，b，使得為有理數(shù)”，因此這段文字可以證明此結(jié)論，C正確；
這段文字中只提及存在無理數(shù)a，b，不涉及對任意無理數(shù)a，b，都成立的問題，D錯誤.
故選：C
7．已知是偶函數(shù)的導函數(shù)，．若時，，則使得不等式成立的的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】構(gòu)造函數(shù)，分析函數(shù)在上的單調(diào)性，將所求不等式變形為，可得出關(guān)于的不等式，即可得解.
【詳解】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，
所以，函數(shù)為上的奇函數(shù)，
當時，，且不恒為零，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，且該函數(shù)在上也為增函數(shù)，
故函數(shù)在上為增函數(shù)，
因為，則，
由得，可得，解得.
故選：C.
8．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)正面向上和反面向上的概率都為，構(gòu)造數(shù)列，使，記，則且的概率為（?????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先確定對應(yīng)情況，再根據(jù)對應(yīng)情況計算概率.
【詳解】由題意知，當時，說明拋擲次，其中有次正面向上，次反面向上，又因為，所以有兩種情況：前次正面都向上，后中有次正面向上，次反面向上或前次反面都向上，后中有次正面向上，次反面向上，
所以且時的概率為，
故選：C．

二、多選題
9．某校計劃在課外活動中新增攀巖項目，為了解學生對攀巖的喜好和性別是否有關(guān)，面向?qū)W生開展了一次隨機調(diào)查，其中參加調(diào)查的男、女生人數(shù)相同，并繪制如圖所示的等高堆積條形圖，則（????）

A．參與調(diào)查的學生中喜歡攀巖的男生人數(shù)比喜歡攀巖的女生人數(shù)多
B．參與調(diào)查的女生中喜歡攀巖的人數(shù)比不喜歡攀巖的人數(shù)多
C．若參與調(diào)查的男、女生人數(shù)均為100，依據(jù)的獨立性檢驗，認為對攀巖的喜好和性別有關(guān)
D．無論參與調(diào)查的男、女生人數(shù)為多少，依據(jù)的獨立性檢驗，認為對攀巖的喜好和性別有關(guān)
【答案】AC
【分析】根據(jù)條形圖提供數(shù)據(jù)，寫出列聯(lián)表，由此對選項進行分析，結(jié)合確定正確選項.
【詳解】由題意，設(shè)參加調(diào)查的男、女生人數(shù)均為m人，則關(guān)于對攀巖的喜好和性別的抽樣數(shù)據(jù)的列聯(lián)表如下：
單位：人
性別
攀巖
合計
喜歡
不喜歡
男生
0.8m
0.2m
m
女生
0.3m
0.7m
m
合計
1.1m
0.9m
2m
所以參與調(diào)查的學生中喜歡攀巖的男生人數(shù)比喜歡攀巖的女生人數(shù)多，參與調(diào)查的女生中喜歡攀巖的人數(shù)比不喜歡攀巖的人數(shù)少，A正確，B錯誤；，當時，，
所以當參與調(diào)查的男、女生人數(shù)均為100時，根據(jù)的獨立性檢驗，認為對攀巖的喜好和性別有關(guān)，C正確，
和有關(guān)，當時，，所以D錯誤．
故選：AC
10．已知函數(shù)與及其導函數(shù)與的定義域均為，是偶函數(shù)，的圖象關(guān)于點對稱，則（????）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】先證明定理1：若函數(shù)連續(xù)且可導，則圖象關(guān)于直線對稱導函數(shù)圖象關(guān)于點對稱．定理2：若函數(shù)連續(xù)且可導，則圖象關(guān)于點對稱導函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱．令，即可判斷A，D；令，即可判斷B，C．
【詳解】定理1：若函數(shù)連續(xù)且可導，則圖象關(guān)于直線對稱導函數(shù)圖象關(guān)于點對稱．
定理2：若函數(shù)連續(xù)且可導，則圖象關(guān)于點對稱導函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱．
以下證明定理1，定理2：
證明：
若函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，則，
則，所以導函數(shù)圖象關(guān)于點對稱．
若導函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，則，
令，則，則(c為常數(shù))，
又，所以，
則，所以圖象關(guān)于直線對稱．
若函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，則，
則，所以圖象關(guān)于直線對稱．
若導函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，則，
令，則，則(c為常數(shù))，
又，所以，
則，所以圖象關(guān)于點對稱．
故下面可以直接引用以上定理．
由是偶函數(shù)，的圖象關(guān)于點對稱，則有，，
由定理1，則圖象關(guān)于點對稱，所以，
和定理2，則的圖象關(guān)于，所以，
對于A，令，則，所以，故A正確；
對于B，令，則，所以，故B正確；
對于C，令，則，所以，故C正確；
對于D，令，則，所以，故D錯誤．
故選：ABC．
11．如圖，在平行六面體中，，分別是，的中點，以為頂點的三條棱長都是，，則（????）

A．平面
B．
C．四邊形的面積為
D．平行六面體的體積為
【答案】ABD
【分析】根據(jù)線面平行、線面垂直、空間距離、線線角等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】A選項，如圖，連接，

由于分別是的中點，所以，
根據(jù)棱柱的性質(zhì)可知，所以，
由于平面，平面，
所以平面，所以A選項正確.
B選項，因為
，
所以，即，所以B選項正確.
C選項，如圖，連接，

則，

，
即，同理，故四邊形為矩形，
面積為，所以C選項錯誤.
D選項，如圖，過作平面，易知在直線上，
因為平面，故，
過作于，連接，

由，而平面，
得平面，易得，
故，，，
故平行六面體的體積為，
所以D選項正確.
故選：ABD
12．已知雙曲線的左，右焦點分別為、，過的直線與雙曲線的右支交于點、，與雙曲線的漸近線交于點、（、在第一象限，、在第四象限），為坐標原點，則下列結(jié)論正確的是（????）
A．若軸，則的周長為
B．若直線交雙曲線的左支于點，則
C．面積的最小值為
D．的取值范圍為
【答案】BD
【分析】利用雙曲線的定義可判斷A選項；利用平行四邊形的幾何性質(zhì)可判斷B選項；設(shè)直線的方程為，求出、，利用三角形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷C選項；由雙曲線的定義，求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)的單調(diào)性可求得的取值范圍，可判斷D選項.
【詳解】雙曲線的標準方程為，則，

易知點、，雙曲線的漸近線方程為.
對于A選項，當軸，直線的方程為，
聯(lián)立，可得，此時，，
則，
此時，的周長為，A錯；
對于B選項，因為雙曲線關(guān)于原點對稱，則點關(guān)于原點的對稱點也在雙曲線上，
因為若直線交雙曲線的左支于點，則點、關(guān)于原點對稱，
即、的中點均為原點，故四邊形為平行四邊形，
所以，，即，B對；
對于C選項，易知的方程為，的方程為，所以，，
因為直線與雙曲線的右支交于點、，則直線不與軸重合，
設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，
聯(lián)立可得，
則，解得，
由韋達定理可得，，可得，
聯(lián)立可得，即點，
聯(lián)立可得，，即點，
所以，，，
所以，，當且僅當時，等號成立，C錯；
對于D選項，
，
當時，，
當時，，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，
此時，
當時，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，
此時，
綜上所述，的取值范圍是，D對.
故選：BD.
【點睛】方法點睛：圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：
（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；
（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；
（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍

三、填空題
13．已知等比數(shù)列，其前n項和為．若，，則 ．
【答案】或
【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，進而得，再解方程得或，進而得答案.
【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，，
所以，即，
所以，解得或，
所以當時，；
當時，
所以，或.
故答案為：或
14．過拋物線的焦點作直線，交于、兩點，若線段中點的縱坐標為2，則 ．
【答案】8
【分析】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，利用韋達定理求出值，再利用弦長公式，即可求解．
【詳解】解：拋物線方程為，拋物線的焦點坐標為，
設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，可得，易得，
設(shè)，，，，
則，，
，，
則．
故答案為：8．
??
15．甲、乙、丙、丁、戊5名學生進行某種勞動技能比賽，決出第1名到第5名的名次.甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍”，對乙說：“你當然不會是最差的”，從這個回答分析，5人的名次排列共可能有 種不同的情況.（用數(shù)字作答）
【答案】
【分析】由題意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，先排乙，再排甲，其他三名同學在三個位置上全排列，由分步乘法計數(shù)原理即可求解.
【詳解】由題意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，
先排乙，有第二、三、四名3種情況，
再排甲，除第一名和乙排的名次外，甲有3種情況，
其他三名同學排在三位置全排列有種，
由分步乘法計數(shù)原理可知共有種，
故答案為：.
16．已知函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】令，問題轉(zhuǎn)化為與在上有兩個交點，且互為反函數(shù)，交點在上，則它們有交點的臨界情況為與相切，設(shè)切點，利用導數(shù)幾何意義求切點坐標，進而確定臨界情況下的值，即可得出范圍.
【詳解】由題知，
，
令，，
則與在上有兩個交點，
又與互為反函數(shù)，且交點在上，
設(shè)、與相切時，切點為，，
則，解得，

又，所以，
所以當時，和只有一個交點；
??????
當時，此時圖像為，無交點；
??????
當時，此時圖像為，有兩個交點.
??
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了轉(zhuǎn)化思想、導數(shù)的幾何意義，難點是確定臨界值，屬于難題.

四、解答題
17．2022年，是中國共產(chǎn)主義青年團成立100周年，為引導和帶動青少年重溫共青團百年光輝歷程，某校組織全體學生參加共青團百年歷史知識競賽，現(xiàn)從中隨機抽取了100名學生的成績組成樣本，并將得分分成以下6組：，、，、，、、，，統(tǒng)計結(jié)果如圖所示：

(1)試估計這100名學生得分的平均數(shù)；
(2)從樣本中得分不低于70分的學生中，用分層抽樣的方法選取11人進行座談，若從座談名單中隨機抽取3人，記其得分在，的人數(shù)為，試求的分布列和數(shù)學期望．
【答案】(1)70.5分
(2)分布列見解析，

【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖估計平均數(shù)的求法直接解決即可；
（2）求得的可能取值及對應(yīng)概率，完成分布列，根據(jù)期望公式求解即可．
【詳解】（1）由頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)，可得這100名學生得分的平均數(shù)：
分．
（2）由頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)，可得，，，，，的人數(shù)之比為，
在，分組中抽6人，在，分組中抽3人，在，分組中抽取2人，
的可能取值為，
則，
的分布列為：

0
1
2




．
18．設(shè)各項非負的數(shù)列的前項和為，已知，且成等比數(shù)列.
(1)求的通項公式；
(2)若，數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用得出的遞推關(guān)系，從而得數(shù)列從第2項起為等差數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求得，這樣可得通項公式，然后由已知式中令求得，比較后可得結(jié)論；
（2）用錯位相減法求和．
【詳解】（1）當時，，
當時，①，②.
①-②得，即，
∵，∴，
∴數(shù)列從第2項起是公差為1的等差數(shù)列.
∴，
又，，成等比數(shù)列，∴，即，
解得，∴，
∵，∴，適合上式，
∴數(shù)列的通項公式為.
（2），
∴數(shù)列的前項的和為
③
④
③-④得

，
∴.
19．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，底面ABCD，，E為線段PB的中點，F(xiàn)為線段BC上的動點．

(1)證明：平面平面PBC；
(2)若直線AF與平面PAB所成的角的余弦值為，求點P到平面AEF的距離．
【答案】(1)證明見解析
(2)．

【分析】(1)利用面面垂直的判定定理或利用平面的法向量數(shù)量積等于零證明；
(2)利用坐標運算求點到平面的距離，或者用等體積法的思想求解.
【詳解】（1）方法一：
因為底面ABCD，平面ABCD，
所以．

因為ABCD為正方形，所以，
又因為，平面PAB，平面PAB，
所以平面PAB．
因為平面PAB，所以．
因為，E為線段PB的中點，
所以，
又因為，平面PBC，平面PBC，
所以平面PBC．
又因為平面AEF，
所以平面平面PBC．
方法二：
因為底面ABCD，平面PAB，

所以平面底面ABCD
又平面底面，，平面ABCD，
所以平面PAB．
因為平面PAB，所以．
因為，E為線段PB的中點，所以．
因為，平面PBC，平面PBC，
所以平面PBC，
又因為平面AEF，
所以平面平面PBC
解法三：因為底面ABCD，，
以A為坐標原點，以的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，
建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，

則，
設(shè)，則，
所以，，，，
設(shè)為平面AEF的法向量，
則所以取，則，，
則，
設(shè)為平面PBC的法向量，
則所以取，則， ，
則
因為，所以,
所以平面平面PBC.
（2）（基于（1）解法一、二）
因為底面ABCD，，以A為坐標原點，以的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，

則，
易知是平面PAB的法向量
設(shè)，則，所以，，
所以
即，得，所以，
設(shè)為平面AEF的法向量，則
所以平面AEF的法向量，
又因為
所以點P到平面AEF的距離為，

所以點P到平面AEF的距離為．
（另解）由（1）可知，是直線AF與平面PAB所成的角，
所以
解得，故F是BC的中點．
所以，，
的面積為
因為，的面積為
設(shè)點P到平面AEF的距離為h，則有

解得
所以點P到平面AEF的距離為．
（基于（1）解法三）
易知是平面PAB的法向量
所以，
即，解得
所以，
又因為
所以點P到平面AEF的距離為，

所以點P到平面AEF的距離為．
20．為豐富學生的課外活動，學校羽毛球社團舉行羽毛球團體賽，賽制采取5局3勝制，每局都是單打模式，每隊有5名隊員，比賽中每個隊員至多上場一次且上場順序是隨機的，每局比賽結(jié)果互不影響，經(jīng)過小組賽后，最終甲乙兩隊進入最后的決賽，根據(jù)前期比賽的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，甲隊明星隊員對乙隊的每名隊員的勝率均為，甲隊其余4名隊員對乙隊每名隊員的勝率均為.（注：比賽結(jié)果沒有平局）
(1)求甲隊明星隊員在前四局比賽中不出場的前提下，甲乙兩隊比賽4局，甲隊最終獲勝的概率；
(2)求甲乙兩隊比賽3局，甲隊獲得最終勝利的概率；
(3)若已知甲乙兩隊比賽3局，甲隊獲得最終勝利，求甲隊明星隊員上場的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）事件“甲乙兩隊比賽4局甲隊最終獲勝”，事件“甲隊第局獲勝”，利用互斥事件的概率求法求概率即可；
（2）討論上場或不上場兩種情況，應(yīng)用全概率公式求甲隊獲得最終勝利的概率；
（3）利用貝葉斯公式求甲隊明星隊員上場的概率.
【詳解】（1）事件“甲乙兩隊比賽4局甲隊最終獲勝”，
事件“甲隊第局獲勝”，其中相互獨立.
又甲隊明星隊員前四局不出場，故，
，所以.
（2）設(shè)為甲3局獲得最終勝利，為前3局甲隊明星隊員上場比賽，
由全概率公式知，，
因為每名隊員上場順序隨機，故，
，
所以.
（3）由（2），.
21．已知雙曲線：的離心率為，直線：與雙曲線C僅有一個公共點.
(1)求雙曲線的方程
(2)設(shè)雙曲線的左頂點為，直線平行于，且交雙曲線C于M，N兩點，求證：的垂心在雙曲線C上.
【答案】(1)
(2)證明見解析

【分析】（1）由離心率為可得，再聯(lián)立直線與雙曲線利用判別式可得的方程；
（2）設(shè)方程，及的坐標，由過A引的垂線交C于另一點H，可得點H為.再證即可.
【詳解】（1）因為雙曲線的離心率為，所以，即，
所以雙曲線的方程為，
聯(lián)立直線與雙曲線的方程，消去得，
即，
因為與雙曲線C僅有一個公共點，
所以，
解得,
故雙曲線的方程為.
（2）設(shè)，，則滿足
消去得，
所以，，
如圖所示，過A引的垂線交C于另一點H，

則AH的方程為.
代入得，即（舍去）或.
所以點H為.
所以
，

所以，
故為的垂心，得證.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考察直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，屬于壓軸題.先求一條垂線與雙曲線的交點，再證另兩條過交點的直線互相垂直，由此得證，其中化簡斜率關(guān)系是關(guān)鍵，用到了轉(zhuǎn)化及整體消元的思想.
22．已知函數(shù)為的導數(shù).
(1)當時，求的最小值；
(2)當時，恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1)1
(2)

【分析】（1）求導得，令，利用導數(shù)分析的單調(diào)性，進而可得的最小值即可．
（2）令，問題轉(zhuǎn)化為當時，恒成立，分兩種
情況：當時和當時，判斷是否成立即可．
【詳解】（1）由題意，，令，則，
當時，，，所以，從而在上單調(diào)遞增，
則的最小值為，故的最小值0；
（2）由已知得當時，恒成立，
令，，
①當時，若時，由（1）可知，∴為增函數(shù)，
∴恒成立，∴恒成立，即恒成立，
若，令 則，
令，則，
令，則，
∵在在內(nèi)大于零恒成立，∴函數(shù)在區(qū)間為單調(diào)遞增，
又∵，，，
∴上存在唯一的使得，
∴當時，，此時為減函數(shù)，
當時，，此時為增函數(shù)，
又∵，，
∴存在，使得，
∴當時，，為增函數(shù)，當時，，為減函數(shù)，
又∵，，
∴時，，則為增函數(shù)，∴，
∴恒成立，
②當時，在上恒成立，則在上為增函數(shù)，
∵，，
∴存在唯一的使，
∴當時，，從而在上單調(diào)遞減，
∴，
∴，與矛盾，
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.

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