四川省南充市南充高級中學(xué)2024屆高三第二次模擬數(shù)學(xué)（理）試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 設(shè)集合，，則等于（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化簡集合，根據(jù)并集的定義寫出.
【詳解】，
.
故選：D.
2. 復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)運算化簡復(fù)數(shù)，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．
【詳解】，其共軛復(fù)數(shù)為，
在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為第二象限．
故選：B．
3. 在中國文化中，竹子被用來象征高潔、堅韌、不屈的品質(zhì).竹子在中國的歷史可以追溯到遠古時代，早在新石器時代晚期，人類就已經(jīng)開始使用竹子了.竹子可以用來加工成日用品，比如竹簡、竹簽、竹扇、竹筐、竹筒等.現(xiàn)有某飲料廠共研發(fā)了九種容積不同的竹筒用來罐裝飲料，這九種竹筒的容積（單位：L）依次成等差數(shù)列，若，，則（）
A 5.4B. 6.3C. 7.2D. 13.5
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得，進一步利用進行求解即可．
【詳解】為等差數(shù)列，
，故
．
故選：C．
4. 已知都是第二象限角，則“”是“”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)兩者之間的推出關(guān)系可得正確的選項.
【詳解】若，則即，
而都是第二象限角，故，故，
故“”是“”的充分條件.
若，因為都是第二象限角，故，
所以即，
故“”是“”的必要條件，
所以“”是“”的充要條件.
故選：C.
5. 將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則曲線與直線的所有交點中，相鄰交點距離的最小值為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換得，再解方程求解可得答案．
【詳解】函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，
得到函數(shù)的圖象，，
令，，
則，，或，，
即，，或，，
可得，，，，
，，，，
相鄰交點距離的最小值為．
故選：A．
6. 設(shè)m、n是不同的直線，α、β是不同的平面，以下是真命題的為（）
A. 若，，則B. 若，，則
C. 若，，則D. 若，，則
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)空間中點線面的位置關(guān)系，借助于正方體，逐項分析即可.
【詳解】
對于A,如上圖正方體中，設(shè)平面為，
平面為，為，
滿足，，此時，故A錯誤；
對于B，因為，，α、β是不同的平面，則必有，
故B正確；
對于C，如上圖正方體中，設(shè)平面為，
平面為，為，
滿足，，此時，故C錯誤；
對于D，如上圖正方體中，設(shè)平面為，
為，為，
則滿足，，此時，故D錯誤.
故選:B.
7. 已知函數(shù)的局部圖象如圖所示，則的解析式可以是（）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用排除法，根據(jù)奇偶性和在時的函數(shù)值正負可排除.
【詳解】由圖可得的圖象關(guān)于軸對稱，即為偶函數(shù)，
其中A選項，，故為奇函數(shù)，與圖象不符，故排除A；
C選項，，故為奇函數(shù)，與圖象不符，故排除C；
B選項，當(dāng)時，，，則，與圖象不符，故排除B.
故選：D.
8. 的外接圓的圓心為O，半徑為1，，且，則向量在向量方向上的投影為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化簡，可得，則共線，由均在圓上，且為圓心，故為直徑，求得，利用數(shù)量積的幾何意義可得結(jié)果,.
【詳解】
因為，所以，
所以，
所以，
所以共線，
因為均在圓上，且為圓心，故為直徑，長度為2，在圓上直徑所對的角為直角，所以，
因為，所以，
又因為，所以
，如圖所示．
所以向量在向量方向上的投影為.
【點睛】向量的運算有兩種方法，一是幾何運算往往結(jié)合平面幾何知識和三角函數(shù)知識解答，運算法則是：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差）；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）；二是坐標(biāo)運算：建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為解析幾何問題解答（求最值與范圍問題，往往利用坐標(biāo)運算比較簡單）．
9. 甲乙兩位游客慕名來到百色旅游，準(zhǔn)備分別從凌云浩坤湖、大王嶺原始森林、靖西鵝泉和樂業(yè)大石圍天坑4個景點中隨機選擇其中一個，已知甲和乙選擇的景點不同，則甲和乙恰好一人選擇樂業(yè)大石圍天坑的概率為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合古典概型概率公式和排列組合公式，即可求解.
【詳解】則甲和乙恰好一人選擇樂業(yè)大石圍天坑的概率.
故選：C
10. 過雙曲線的左焦點F作的一條切線，設(shè)切點為T，該切線與雙曲線E在第一象限交于點A，若，則雙曲線E的離心率為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】取線段中點，根據(jù)給定條件，結(jié)合雙曲線定義及直角三角形勾股定理求解作答.
【詳解】令雙曲線的右焦點為，半焦距為c，取線段中點，連接，

因為切圓于，則，有，
因為，則有，，
而為的中點，于是，即，，
在中，，整理得，
所以雙曲線E的離心率.
故選：C
11. 設(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，發(fā)現(xiàn)為奇函數(shù)，從而可得的對稱中心為，得到，再通過求導(dǎo)可得與在R上單調(diào)遞增，繼而求解不等式即可.
【詳解】設(shè)，
由，得，
所以為奇函數(shù)，
而，
則其圖象是的圖象向右平移1個單位長度，向上平移3個單位長度得到的，
所以的對稱中心為，所以，
因為，所以，
可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
而，則，
所以恒成立，即在上單調(diào)遞增，
所以在R上單調(diào)遞增，
因為，
得，
所以，解得.
故選：B.
【點睛】本題關(guān)鍵是通過構(gòu)造函數(shù)，利用其奇偶性結(jié)合函數(shù)圖象的平移和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可得到，
即，解出即可.
12. 已知數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，……這個數(shù)列從第3項起，每一項都等于前兩項之和，記前項和為. 給出以下結(jié)論：①，②，③，④.其中正確的個數(shù)為（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】由題意可得，且時，，運用累加法，結(jié)合數(shù)列的遞推式，對各個選項一一判斷，可得結(jié)論．
【詳解】對于①，由，且時，，
可得
，故①錯誤；
對于②，
，故②錯誤；
對于③，
，故③錯誤；
對于④，
，故④正確．
故選：A．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查數(shù)列的遞推式和累加法的運用，關(guān)鍵是反復(fù)利用并項及累加得出結(jié)論.
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分
13. 已知實數(shù)滿足約束條件，則的最小值為__________ .
【答案】13
【解析】
【分析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，平移目標(biāo)函數(shù)，找出最優(yōu)解，即可求出的最小值．
【詳解】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示：
平移目標(biāo)函數(shù)，當(dāng)過點時，取得最小值，
由，得，
所以的最小值為．
故答案為：13．
14. 已知數(shù)列，滿足，且，是函數(shù)的兩個零點，則___．
【答案】64
【解析】
【分析】由，是函數(shù)的兩個零點，可得，進而由遞推關(guān)系依次求解數(shù)列的項結(jié)合即可得解.
【詳解】由，是函數(shù)的兩個零點，可得.
由，得，.
.
故答案為64.
【點睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系，采用的方法數(shù)一一列舉的方式呈現(xiàn)規(guī)律，屬于中檔題.
15. 已知直線l過圓的圓心，且與圓相交于A，B兩點，P為橢圓上一個動點，則的最大值為___________.
【答案】32
【解析】
【分析】求出圓心坐標(biāo)，結(jié)合平面向量的運算推出，再由橢圓性質(zhì)即可得解．
【詳解】由題意，圓，
所以設(shè)圓心，半徑為2，
因為直線過圓的圓心，且與圓相交于，兩點，
所以，
故，
又為橢圓上一個動點，易知為橢圓的左焦點，
故當(dāng)點位于橢圓右頂點時，最大，
此時，
則的最大值為．
故答案為：32．
16. 已知菱形中，對角線，將沿著折疊，使得二面角為，，則三棱錐的外接球的表面積為________.
【答案】
【解析】
【分析】將沿折起后，取中點為，連接，，得到，在中由余弦定理求出的長，進一步求出的長,分別記三角形與的重心為、，記該幾何體的外接球球心為，連接，，證明與全等，求出，再推出，連接，由勾股定理求出，即可得出外接球的表面積.
【詳解】將沿折起后，取中點為，連接，，
則，，
可知即為二面角的平面角，即；
設(shè)，則，
在中，由余弦定理可得：，
即解得，
即，可得，
所以與是邊長為的等邊三角形，
分別記三角形與的重心為、，
則，；；
因為與都是邊長為2的等邊三角形，
所以點是的外心，點是的外心；
記該幾何體的外接球球心為，連接，，
根據(jù)球性質(zhì)，可得平面，平面，
所以與都是直角三角形，且為公共邊，
所以與全等，因此，
所以；
因為，，，平面，
所以平面；
又平面，所以，
連接，則外接球半徑為，
所以外接球表面積為.
故答案為：.
【點睛】思路點睛：求解幾何體外接球體積或表面積問題時，一般需要結(jié)合幾何體結(jié)構(gòu)特征，確定球心位置，求出球的半徑，即可求解；在確定球心位置時，通常需要先確定底面外接圓的圓心，根據(jù)球心和截面外接圓的圓心連線垂直于截面，即可確定球心位置；有時也可將幾何體補型成特殊的幾何體（如長方體），根據(jù)特殊幾何體的外接球，求出球的半徑.
三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.
（一）必考題：共60分
17. 2023年冬，甲型流感病毒來勢洶洶.某科研小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異.在某地的兩類人群中各隨機抽取20人的該項醫(yī)學(xué)指標(biāo)作為樣本，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖，利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值，將該指標(biāo)小于的人判定為陽性，大于或等于的人判定為陰性.此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為.假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，用頻率估計概率.
（1）當(dāng)臨界值時，求漏診率和誤診率；
（2）從指標(biāo)在區(qū)間樣本中隨機抽取2人，求恰好一人是患病者一人是未患病者的概率.
【答案】（1）0.1，0.05
（2）
【解析】
【分析】（1）由頻率分布直方圖計算可得；
（2）利用頻率分布直方圖的特點，再利用列舉法和古典概型的概率公式可求出結(jié)果.
【小問1詳解】
由頻率分布直方圖可知，．
【小問2詳解】
樣本中患病者在指標(biāo)為區(qū)間人數(shù)是，記為；未患病者在指標(biāo)為區(qū)間的人數(shù)是，記為，總?cè)藬?shù)為5人．
從5人中隨機抽取2人有：，共10種情況
抽取的兩人恰好一人是患病者一人是未患病者有，共6種情況
故抽取的兩人恰好一人是患病者一人是未患病者概率為.
18. 在①；②；③；這三個條件中任選一個，補充在下面對問題中，并解答問題.
在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足 .
（1）求；
（2）若的面積為，D為AC的中點，求BD的最小值.
【答案】（1）條件選擇見解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）選①：利用正弦定理邊化角結(jié)合兩角和的正弦化簡求解；選②：利用平方關(guān)系結(jié)合正弦定理角化邊，再利用余弦定理求解；選③：利用正弦定理角化邊得即可求解；
（2）由面積得，結(jié)合余弦定理和基本不等式求最值.
【小問1詳解】
若選擇①：，
由正弦定理可得，
因，,故，，
則有，因,故.
若選擇②：，
則，
由正弦定理可得，
故，
因,故.
若選擇③ ；
由正弦定理可得，，
再由余弦定理得，，即，
，．
【小問2詳解】
，又，
在三角形BCD中，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
的最小值為．
19. 已知多面體中，，且，，.
（1）證明：；
（2）若，求二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）結(jié)合余弦定理先利用線面垂直的判定定理證出平面，再由線面垂直的性質(zhì)定理即可得證；
（2）利用向量法直接求解二面角的余弦值即可.
【小問1詳解】
如圖所示，連接，，
在中，，，，
，
所以可得，即，
同時，可得，同理可得，
又平面，平面，
且，所以平面；
又因為平面，所以．
【小問2詳解】
在中，，且，
即，所以，同時，，
以為原點，的方向分別為軸、軸、軸正方向，
建立空間直角坐標(biāo)系如圖．其中，
所以，
設(shè)向量為平面的法向量，
滿足，即，
不妨令，則，故，
設(shè)向量為平面的法向量，
滿足，即，
不妨令，則，故，
所以，
由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.
20. 已知函數(shù)有三個極值點.
（1）求實數(shù)的取值范圍；
（2）若，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意轉(zhuǎn)化為有三個不等的實數(shù)根，再參數(shù)分離為，轉(zhuǎn)化為與有三個交點，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的圖象，即可求解；
（2）首先由，轉(zhuǎn)化為，，再通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求的取值范圍，再根據(jù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍.
【小問1詳解】
函數(shù)有三個極值點
則有三個不等實根
即方程有三個不等實根，
令，則，
由得，由得或
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，，所以
【小問2詳解】
由（1）知，，
所以，令，則，
令，則
令，則，
即，，故
在上單調(diào)遞增，所以.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的第二問的關(guān)鍵是根據(jù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為求的取值范圍.
21. 已知點是拋物線上的定點，點是上的動點，直線的斜率分別為，且，直線是曲線在點處的切線.
（1）若，求直線的斜率；
（2）設(shè)的外接圓為，試判斷直線與圓的位置關(guān)系，并說明理由.
【答案】（1）
（2）相切，理由見解析
【解析】
【分析】（1）先求出點的坐標(biāo)，設(shè)出點的方程，結(jié)合直線的斜率公式表示出，結(jié)合即可求解；
（2）結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可表示拋物線在點出的切線斜率，結(jié)合直線垂直關(guān)系求出的垂直平分線方程，然后求出圓心坐標(biāo)，結(jié)合直線的斜率與位置關(guān)系即可求解.
【小問1詳解】
若，則，即點的坐標(biāo)為,
設(shè)，則，
同理得
由已知得
直線的斜率
【小問2詳解】
由得，其導(dǎo)函數(shù)，
拋物線在點處的切線的斜率，
又
，
所以，
由（1）知線段的中點坐標(biāo)分別為:
，,
線段的中垂線方程為 ①
同理可得線段的中垂線方程為 ②
由①②消去得
即
代入①得
外接圓的圓心坐標(biāo)為
則直線的斜率
，即，故直線與圓相切.
（二）選考題：共10分. 考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.
22. 在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.
（1）求曲線的極坐標(biāo)系方程；
（2）曲線分別交曲線和曲線于點，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)消參法可得普通方程，進而根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化即可求解，
（2）根據(jù)極坐標(biāo)方程可得，進而根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解.
【小問1詳解】
根據(jù)消參可得曲線的普通方程為，即，
曲線的極坐標(biāo)方程為，即.
【小問2詳解】
，
令，則.
又，
，
，
則的取值范圍為.
23. 已知函數(shù)，.
（1）當(dāng) 時，解不等式；
（2）若存在滿足，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）當(dāng)時，則，分、、三種情況解不等式，綜合可得出原不等式的解集；
（2）分析可知，不等式有解，利用絕對值三角不等式可求得的最小值，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，解之即可.
【小問1詳解】
解：當(dāng)時，，
當(dāng)時，則，解得，此時，；
當(dāng)時，則，解得，此時，；
當(dāng)時，則，解得，此時，.
綜上所述，不等式的解集為.
【小問2詳解】
解：若存在滿足，等價于有解，
由三角不等式可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
只需即可，即，解得.
因此，實數(shù)的取值范圍是.

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