一、單選題
1．已知某物體的運動方程是（的單位為），該物體在時的瞬時加速度是（ ）
A．B．C．D．
2．已知傾斜角為的直線與曲線相切于點，則點的橫坐標為（ ）
A．B．C．D．
3．若點是曲線上任意一點，則點到直線的距離的最小值為（ ）
A．B．C．D．
4．設(shè)函數(shù)在處存在導(dǎo)數(shù)為2，則（ ）
A．2B．1C．D．6
5．已知，則a，b，c大小關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．
6．若函數(shù)在處有極小值，則（ ）
A．B．C．或D．
7．已知曲線存在過坐標原點的切線，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的最大值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A．B．C．D．
10．下列求導(dǎo)運算正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
11．對于函數(shù)，下列說法正確的有（ ）
A．在處取得最小值B．在處取得最大值
C．有兩個不同零點D．
三、填空題
12．已知，則滿足的實數(shù)的取值范圍是 ．
13．已知函數(shù)在上存在極值點，則正整數(shù)的值是
14．已知函數(shù)的最小值為0，則 .
四、解答題
15．已知函數(shù)．
(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當時，求函數(shù)的最大值．
16．已知函數(shù)．
(1)求的解析式；
(2)討論在上的零點個數(shù)．
17．已知函數(shù).
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍.
18．某學(xué)校為創(chuàng)建高品質(zhì)示范高中，準備對校園內(nèi)某一墻角進行規(guī)劃設(shè)計.如圖所示，墻角線和互相垂直，墻角內(nèi)有一景觀，到墻角線、的距離分別為20米、10米，學(xué)校欲過景觀修建一條直線型走廊，其中的兩個端點分別在這兩墻角線上.
(1)為了使三角形花園的面積最小，應(yīng)如何設(shè)計直線型走廊？
(2)考慮到修建直線型走廊的成本，怎樣設(shè)計，才能使走廊的長度最短？
19．己知函數(shù)．
(1)設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)若函數(shù)有兩個極值點，且，求的取值范圍．
參考答案：
1．C
【分析】由題意依次求導(dǎo)代入即可得解.
【詳解】由題意，，
所以.
故選：C.
2．C
【分析】求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解.
【詳解】設(shè)點的橫坐標為為，
，
由題意可得，解得（舍去），
即點的橫坐標為.
故選：C.
3．B
【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得平行于直線與曲線相切的切點坐標，再利用點到直線的距離公式，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，可得，
令，可得，
因為，可得，則，
即平行于直線且與曲線相切的切點坐標為，
由點到直線的距離公式，可得點到直線的距離為.
故選：B.
4．B
【分析】由導(dǎo)數(shù)的概念求解.
【詳解】由已知有，
則.
故選：B
5．D
【分析】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性，進而得到a，b，c的大小關(guān)系.
【詳解】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，則，
令，則，令，得，
因此在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
而，，，
因為，所以，即.
故選：D
6．A
【分析】求得，由，求得或，分別求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)極值點的定義，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，可得，
因為函數(shù)在處取得極小值，可得，解得或，
當時，令，解得或；令，解得，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以在處有極大值，不符合題意，舍去；
當時，令，可得或；令，可得，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以在處有極小值，符合題意，
綜上可得，.
故選：A.
7．B
【分析】設(shè)出切點橫坐標，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點得到關(guān)于的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有實數(shù)根，求得的取值范圍.
【詳解】∵，
∴，
設(shè)切點為，則，切線斜率，
∴切線方程為，
∵切線過原點，
∴，整理得：
∵存在過坐標原點的切線，
∴，解得或，
∴實數(shù)的取值范圍是.
故選：B.
8．C
【分析】依題意，在區(qū)間上恒成立，分離參數(shù)可得實數(shù)a的最大值.
【詳解】由題意，
因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以在區(qū)間上恒成立，即，
令，則，
又，所以，所以在為減函數(shù)，
所以，
所以，即實數(shù)a的最大值是.
故選：C
9．AD
【分析】A選項，根據(jù)函數(shù)奇偶性得到為偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，A正確；B不滿足奇偶性，C不滿足單調(diào)性；D選項，滿足為偶函數(shù)，且求導(dǎo)得到函數(shù)在上單調(diào)遞增，得到答案.
【詳解】A選項，定義域為，
且，故為偶函數(shù)，
且時，單調(diào)遞增，故A正確；
B選項，的定義域為，故不是偶函數(shù)，故B項錯誤；
C選項，時，單調(diào)遞減，故C項錯誤；
D選項，的定義域為R，且，
故是偶函數(shù)，
且時，，函數(shù)單調(diào)遞增，故D項正確.
故選：AD
10．CD
【分析】利用導(dǎo)數(shù)公式及運算法則，求解即可.
【詳解】對于選項A: ,,故選項A錯誤；
對于選項B: ,,故選項B錯誤；
對于選項C: ,,故選項C正確；
對于選項D: ,,故選項D正確；
故選：CD.
11．BD
【分析】利用單調(diào)性求最值判斷A,B，求零點判斷C，先轉(zhuǎn)換到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，在比大小判斷D即可.
【詳解】定義域為，易得，令，,令，，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則的最大值為，故A錯誤，B正確，
令，解得，可得只有一個零點，故C錯誤，
易知，且結(jié)合單調(diào)性知，即成立，故D正確.
故選：BD
12．
【分析】分析函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，將所求不等式變形為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，解之即可.
【詳解】因為，該函數(shù)的定義域為，
，故函數(shù)為奇函數(shù)，
因為對任意的恒成立，
所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，
由可得，
所以，，解得，即實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
13．5
【分析】利用導(dǎo)數(shù)可得導(dǎo)函數(shù)為0時或，則得到的范圍.
【詳解】，
時，或，
因為函數(shù)定義域為，則在左端點處無法取到極值，
，故對于正整數(shù)取5，經(jīng)檢驗滿足題意，
故答案為：5.
14．
【分析】求導(dǎo)，分類討論函數(shù)的單調(diào)性即可求解最值.
【詳解】因為，所以.
若，則在上單調(diào)遞減，無最小值.
若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得.
故答案為：
15．(1)在上為增函數(shù)；在上為減函數(shù)；
(2)
【分析】（1）直接利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）求導(dǎo)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解最值．
【詳解】（1）的定義域為，
當時，，，
當，解得：，
當，解得：．
在上為增函數(shù)；在上為減函數(shù)；
（2）的定義域為，
，
當時，令，得，令時，得，
的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．
.
16．(1)
(2)2
【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)后令可得，即可求得；
（2）根據(jù)函數(shù)解析式對自變量進行分類討論，易知是其中一個零點，再通過構(gòu)造函數(shù)利用零點存在定理即可得出在上有2個零點．
【詳解】（1）（1）．
令可得，解得．
所以．
（2）由（1）中可得，
①當時，有，，
所以恒成立，
所以在上單調(diào)遞減，，
即可得0是的一個零點．
②當時，
設(shè)，則恒成立，
即在上單調(diào)遞增．
又，，
根據(jù)零點存在定理可知，使得．
當時，，所以在上單調(diào)遞減；
當時，，所以在上單調(diào)遞增．
又，所以．
因為，
根據(jù)零點存在定理可知，使得．
綜上所述，在上的零點個數(shù)為2．
【點睛】方法點睛：求解零點個數(shù)問題時要充分利用函數(shù)特征，由導(dǎo)函數(shù)判斷出其單調(diào)性并結(jié)合零點存在定理即可得出零點個數(shù).
17．(1)
(2)
【分析】（1）將代入并求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求的切線方程；
（2）由在上單調(diào)遞增可得，利用參變分離構(gòu)造函數(shù)即可求得，解得的取值范圍是.
【詳解】（1）當時，，
，易知，
所以在點處的切線方程為，即.
（2）令，
因為在上單調(diào)遞增，
則，
即在上恒成立，也即在上恒成立，
令，
則，顯然在上恒成立，
所以可知在上單調(diào)遞減，；
因此只需滿足即可，解得.
綜上，的取值范圍為.
18．(1)，，此時
(2)，，此時最短.
【分析】（1）首先表示直線方程，并求點的坐標，并表示三角形的面積，結(jié)合基本不等式，即可求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果表示，同時構(gòu)造函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求函數(shù)的最值.
【詳解】（1）如圖，以，所在直線為軸和軸建立平面直線坐標系，

并由條件可知，點，
設(shè)直線的方程，
當時，，當時，，
即，，
,
當時，即時，等號成立，
所以面積的最大值為平方米；
此時直線的方程為，即，，
此時
（2）由（1）可知，，
，
設(shè)，，
，，
令，則，
當時，，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，
當時，，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，
所以當時，函數(shù)取得最小值，
所以當，，此時最短.
19．(1)
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)，分類討論，求出的單調(diào)區(qū)間即可求解；
（2）求出，分兩種情況討論的范圍，解不等式可得函數(shù)的減區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的極值；化簡得，設(shè)新函數(shù)，由單調(diào)性可求的值域，從而可得結(jié)果．
【詳解】（1），，
當時，恒成立，在上單調(diào)遞增，
當時，,在上單調(diào)遞增，
，在,上單調(diào)遞減，
又在區(qū)間上存在極值，
則，所以的取值范圍為．
（2），，
若，則恒成立，在上單調(diào)遞增，所以無極值點；
若，則，恒成立，
在上單調(diào)遞增，所以無極值點；
若，則，由得，，，
，故在,上單調(diào)遞減，
或，故在，,上單調(diào)遞增，
所以有極大值點為，極小值點為．
且，，則，
又，
故，
令，
則，
在上單調(diào)遞減，，，
所以的取值范圍為．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)單調(diào)性及極值，第二問注意韋達定理兩元換一元，并求出是關(guān)鍵.

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