平潭新世紀(jì)學(xué)校高二上月考數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．若平面與的法向量分別是，，則平面的位置關(guān)系是（    ）A．平行    B．垂直             C．相交但不垂直 D．無(wú)法確定2．如圖，已知直線，，的斜率分別為，，，則（    ）A．  B．   C．   D．3．如圖所示，在正方體中，已知、分別是和的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值為（    ）A．      B．         C．            D．4．已知，，，若三個(gè)向量共面，則實(shí)數(shù)等于（    ）A． B． C． D．5．“”是“直線與直線平行”的（    ）A．充分不必要條件  B．必要不充分條件  C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知，，則以為鄰邊的平行四邊形的面積為（    ）A．             B．                 C．4            D．87．、分別為與上任意一點(diǎn)，則的最小值為（   ）A． B． C． D．8．已知點(diǎn)，.若直線與線段相交，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．二、多選題9．下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（    ）A．兩條不重合直線，的方向向量分別是，，則B．兩個(gè)不同的平面，的法向量分別是，，則C．直線的方向向量，平面的法向量是，則D．直線的方向向量，平面的法向量是，則 10．已知直線，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．直線的傾斜角是           B．若直線，則C．點(diǎn)到直線的距離是2      D．過(guò)與直線平行的直線方程是11．已知空間中三點(diǎn)，，，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．與是共線向量 B．與同向的單位向量是C．和夾角的余弦值是 D．平面的一個(gè)法向量是12．已知直線過(guò)，且，到直線的距離相等，則的方程可能是（    ）A．  B．    C． D．三、填空題13．直線（為常數(shù)）經(jīng)過(guò)定點(diǎn)______．14．已知和點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)坐標(biāo)為________．15．設(shè)的對(duì)角線和交于為空間任意一點(diǎn)，如圖所示，若，則_______．16．如圖，二面角為，，，過(guò)，分別作的垂線，垂足分別為，，若，，，則的長(zhǎng)度為______.四、解答題17．已知直線，．（1）若，求實(shí)數(shù)的值．（2）當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的值．        18．在正四棱柱中，，為的中點(diǎn).求證：（1）平面.（2）平面.     19．直線l過(guò)點(diǎn)P（4,1），（1）若直線l過(guò)點(diǎn)Q（－1,6），求直線l的方程；（2）若直線l在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍，求直線l的方程．      20．在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，PD⊥平面ABCD，M為PC中點(diǎn)． （1）如果PD＝4，求證：PC⊥平面MAD；（2）當(dāng)BP與平面MBD所成角的正弦值最大時(shí)，求三棱錐D﹣MBC的體積V．         21．如圖，四棱錐中，底面是直角梯形，，，，.（1）求證：平面平面；（2）設(shè)，當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，求的值         22．如圖，高為的等腰梯形，，為的四等分點(diǎn)．現(xiàn)將沿折起，使平面平面，連接、．（1）若，且滿(mǎn)足平面，求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)點(diǎn)為邊中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離．
參考答案1．B【分析】利用法向量垂直即可證明兩平面垂直.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，所以.由分別是平面與的法向量，所以平面⊥.故選：B2．D【分析】根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系判斷．【詳解】由題圖知直線的傾斜角為鈍角，∴.∵直線，的傾斜角為銳角，且的傾斜角較大，∴，∴.故選：D．3．A【分析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得與所成角的余弦值.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，，，，因此，與所成角的余弦值為.故選：A.4．D【分析】若、、三向量共面，我們可以用向量、作基底表示向量，進(jìn)而構(gòu)造關(guān)于的方程，解方程即可求出實(shí)數(shù)的值．【詳解】解：，，與不平行，又、、三向量共面，則存在實(shí)數(shù)，使即，解得故選：．5．C【分析】根據(jù)兩直線平行可知：求出，代入驗(yàn)證，再由充分條件、必要條件的定義即可求解.【詳解】解：當(dāng)兩直線平行，∴，解得或，當(dāng)，兩直線重合，舍去；當(dāng)時(shí)，兩直線平行．所以“”是“直線與直線平行”的充要條件．故選：C6．A【分析】首先計(jì)算兩個(gè)向量的夾角的余弦值，再轉(zhuǎn)化為正弦值，利用面積公式計(jì)算.【詳解】解析：設(shè)向量的夾角為θ，，，于是＝．由此可得．所以以為鄰邊的平行四邊形的面積為.故選：A7．D【分析】求出兩平行直線與之間的距離，即為的最小值.【詳解】直線的方程為，所以，直線與平行，直線與之間的距離為，因此，的最小值為.故選：D.8．D【分析】由直線系方程求出直線l所過(guò)定點(diǎn)C，再由斜率坐標(biāo)公式求出直線l過(guò)點(diǎn)A，B時(shí)的斜率即可作答.【詳解】直線恒過(guò)點(diǎn)，如圖，直線l從經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)的直線CA繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)的直線CB時(shí)，直線l與線段AB都相交，并且斜率逐漸增大，即直線l斜率最小值為直線CA斜率，直線l斜率最大值為直線CB斜率，所以的取值范圍是.故選：D9．AB【分析】A中,根據(jù)兩條不重合直線方向向量共線,判斷兩直線平行；B中,根據(jù)兩個(gè)不同的平面法向量垂直,判斷兩平面垂直；C中,根據(jù)直線的方向向量與平面的法向量垂直,判斷直線與平面平行或在平面內(nèi)；D中,根據(jù)直線的方向向量與平面的法向量共線,判斷直線與平面垂直【詳解】對(duì)于A，兩條不重合直線，的方向向量分別是，，且，所以，選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，兩個(gè)不同的平面α，β的法向量分別是，，且，所以，選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，直線l的方向向量，平面的法向量是且，所以或，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，直線l的方向向量，平面的法向量是且，所以，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AB10．CD【分析】求出直線的斜率可得傾斜角，即可判斷A；利用兩直線垂直的條件可判斷B；利用點(diǎn)到直線的距離公式可判斷C；利用兩直線平行的條件可判斷D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】由可得，所以直線的斜率為，對(duì)于A：因?yàn)橹本€的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，可得，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B：直線的斜率為，因?yàn)?/span>，所以不成立，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C：點(diǎn)到直線的距離是，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：設(shè)與直線平行的直線方程是，則，可得，所以過(guò)與直線平行的直線方程是，故選項(xiàng)D正確；故選：CD.11．BD【分析】根據(jù)共線向量的坐標(biāo)表示可知A錯(cuò)誤；根據(jù)與同向的單位向量為，計(jì)算可知B正確；利用向量夾角公式計(jì)算可知C錯(cuò)誤；根據(jù)法向量的求法可知D正確.【詳解】對(duì)于A，，，可知，與不共線，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，，即與同向的單位向量是，B正確；對(duì)于C，，，即和夾角的余弦值為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，，即平面的一個(gè)法向量為，D正確.故選：BD.12．AC【分析】由條件可知直線平行于直線或過(guò)線段的中點(diǎn),當(dāng)直線時(shí)，利用點(diǎn)斜式求出直線方程；當(dāng)直線經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)時(shí)，利用點(diǎn)斜式可得直線方程.【詳解】由條件可知直線平行于直線或過(guò)線段的中點(diǎn)，當(dāng)直線時(shí)，的斜率為， 的方程是，即；當(dāng)直線經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)時(shí)，的斜率為，的方程是，即， 故選：AC13．【分析】把直線方程化成點(diǎn)斜式即可判斷所經(jīng)過(guò)定點(diǎn).【詳解】，所以直線（為常數(shù)）經(jīng)過(guò)定點(diǎn).故答案為：.14．【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由線段的中點(diǎn)在直線上，，列方程組可求出點(diǎn)坐標(biāo)【詳解】解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：15．4【分析】根據(jù)向量的線性加法運(yùn)算，由為中點(diǎn)，可得，，即可得解.【詳解】由為中點(diǎn)，可得，，所以，所以，故答案為：.16．3【分析】因?yàn)?/span>，，，結(jié)合空間向量距離公式，轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，，，所以，又因?yàn)槎娼?/span>為，所以，所以.故答案為：3.17．（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)兩直線垂直，得到方程，求解即可；（2）根據(jù)兩直線平行得到，求解即可.【詳解】解：（1）∵直線，直線，若，則，∴；（2）當(dāng)時(shí)，，由知：，即或，當(dāng)時(shí)，(舍)，當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足題意，故．18．（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)題意建立如圖空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量、的坐標(biāo)，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求證；（2）求出坐標(biāo)，結(jié)合平面的法向量，由向量共線即可求證．【詳解】根據(jù)題意以所在直線為 軸，以所在直線為 軸，以所在的直線為 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，則，，，，，，，，，（1）設(shè)平面的法向量，，，由，即，取，則，，得，又，因?yàn)?/span>，所以，且平面,所以平面．（2）由（1）可知平面的法向量，，，所以，所以平面．19．（1）；（2）或【分析】（1）由題，此直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，故采用直線的兩點(diǎn)式方程，將P（4,1），Q（－1,6），代入到兩點(diǎn)式方程中，得到直線方程；（2）由題，經(jīng)過(guò)一點(diǎn)的直線可設(shè)為直線的點(diǎn)斜式方程，將點(diǎn)坐標(biāo)代入，得到y－1＝k（x－4），分別將x，y軸上的截距表示出來(lái)，由題中的關(guān)系可得到的關(guān)系式，求解即可.【詳解】解：（1）直線l的方程為＝，化簡(jiǎn)，得x＋y－5＝0. （2）由題意知直線有斜率且不為零，設(shè)直線l的方程為y－1＝k（x－4），l在y軸上的截距為1－4k，在x軸上的截距為4－，故1－4k＝2（4－），得k＝或k＝－2，直線l的方程為或y＝－2x＋9.20．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）通過(guò)證明來(lái)證得平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線與平面所成角的正弦值的最大值求得，進(jìn)而求得三棱錐的體積.【詳解】（1）∵PD⊥平面ABCD，PD?平面PCD，∴平面PCD⊥平面ABCD，∵底面ABCD是正方形，∴AD⊥DC，又AD?平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，∴AD⊥平面PCD，得AD⊥PC，∵PD＝DC＝4，M為PC的中點(diǎn)，∴DM⊥PC，而AD∩DM＝D，∴PC⊥平面MAD；（2）設(shè)DP＝2t，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA、DC、DP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），B（4，4，0），P（0，0，2t），M（0，2，t），＝（4，4，0），＝（0，2，t），，設(shè)平面MBD的法向量為，則，即，取y＝﹣1，得，∴BP與平面MBD所成角的正弦值為|cos＜＞|＝＝（當(dāng)且僅當(dāng)，即t＝2時(shí)等號(hào)成立）．∴三棱錐D﹣MBC的體積．21．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)ABCD是直角梯形，，得到，再由，利用線面垂直和面面垂直的判定定理證明；.（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以向量，，的正方向?yàn)?/span>x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面的一個(gè)法向量和平面PAM的一個(gè)法向量為，根據(jù)二面角的余弦值為，由求解.【詳解】（1）因?yàn)?/span>ABCD是直角梯形，，，所以.又因?yàn)?/span>，，所以平面PAD，又因?yàn)?/span>平面ABCD，所以平面平面ABCD.（2）由（1）知平面PAD，平面PAD，所以，又，所以，即，又，所以平面ABCD，又，即，則以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以向量，，的正方向?yàn)?/span>x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，.則，，，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，由即，令，得，設(shè)，由，得，所以，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，由，得，令，得平面PAM的一個(gè)法向量為，，設(shè)二面角的平面角為，則為銳角，所以，解得或，因?yàn)?/span>，所以.22．（1）；（2）.【分析】（1）連接交于，連接，由線面平行的性質(zhì)定理得，則，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）首先證明平面，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】（1）連接交于，連接.   梯形中，，則，由平面，平面，平面平面，在中，. 即，所以．（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為．因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，在平面中，，所以平面.建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，所以，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，.  則有，即，令，有．.故點(diǎn)到平面的距離為．
 

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