數(shù)學試題
2024.03
注意事項：
1.答卷前，考生務必將自己的姓名?考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知拋物線，則的準線方程為（ ）
A. B. C. D.
2.已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
3.在平面內(nèi)，是兩個定點，是動點，若，則點的軌跡為（ ）
A.橢圓 B.拋物線 C.直線 D.圓
4.若，則（ ）
A. B. C.2 D.
5.在同一直角坐標系中，函數(shù)，且的圖像可能是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知非零向量滿足，若，則與的夾角為（ ）
A. B. C. D.
7.已知函數(shù)，若的最小值為，且，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A. B.
C. D.
8.已知是雙曲線的右焦點，是左支上一點，，當周長最小時，該三角形的面積為（ ）
A. B. C. D.
二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.已知復數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A.若，則
B.若，則在復平面內(nèi)對應的點在第二象限
C.若，則
D.若，復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，則直線（為原點）斜率的取值范圍為
10.下列說法中正確的是（ ）
A.一組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為14
B.某中學有高中生3500人，初中生1500人，為了解學生學習情況.用分層抽樣的方法從該校學生中抽取一個容量為100的樣本，則從的中生中抽取的人數(shù)為70
C.若樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3
D.隨機變量服從二項分布，若方差，則
11.已知函數(shù)的定義域為R，且，若，則下列說法正確的是（ ）
A. B.有最大值
C. D.函數(shù)是奇函數(shù)
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知二項式的展開式中的系數(shù)為15，則___________.
13.在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知，則___________.
14.如圖，在水平放置的底面直徑與高相等的圓柱內(nèi)，放入三個半徑相等的實心小球（小球材質密度），向圓柱內(nèi)注滿水，水面剛好淹沒小球，若圓柱底面半徑為，則球的體積為___________，圓柱的側面積與球的表面積的比值為___________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15.（13分）
如圖，在底面為菱形的直四棱柱中，，分別是的中點.
（1）求證：；
（2）求平面與平面所成夾角的大小.
16.（15分）
某學校為了緩解學生緊張的復習生活，決定舉行一次游戲活動，游戲規(guī)則為：甲箱子里裝有3個紅球和2個黑球，乙箱子里裝有2個紅球和2個黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，且每次游戲結束后將球放回原箱，摸出一個紅球記2分，摸出一個黑球記-1分，得分在5分以上（含5分）則獲獎.
（1）求在1次游戲中，獲獎的概率；
（2）求在1次游戲中，得分的分布列及均值.
17.（15分）
已知圓與軸交于點，且經(jīng)過橢圓的上頂點，橢圓的離心率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）若點為橢圓上一點，且在軸上方，為關于原點的對稱點，點為橢圓的右頂點，直線與交于點的面積為，求直線的斜率.
18.（17分）
已知函數(shù).
（1）若，曲線在點處的切線與直線垂直，證明：；
（2）若對任意的且，函數(shù)，證明：函數(shù)在上存在唯一零點.
19.（17分）
已知各項均不為0的遞增數(shù)列的前項和為，且（，且）.
（1）求數(shù)列的前項和；
（2）定義首項為2且公比大于1的等比數(shù)列為“-數(shù)列”.
證明：①對任意且，存在“-數(shù)列”，使得成立；
②當且時，不存在“-數(shù)列”，使得對任意正整數(shù)成立.
高三一輪檢測
數(shù)學試題參考答案及評分標準
2024.03
一?選擇題：
二?多選題：
三?填空題：
12.6 13. 14.；
四?解答題：
15.（13分）
解：取中點，連接
因為底面為菱形，，
所以
以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
（1）
（2）設平面的法向量為
又
所以即
取，則
為平面的法向量，
設平面與平面的夾角為，則
平面與平面的夾角為
16.（15分）
解：設“在1次游戲中摸出個紅球”為事件
（1）設“在1次游戲中獲獎”為事件，則，且互斥
（2）由題意可知，所有可能取值為
的分布列為
17.（15分）
解：（1）圓過
又圓過
又
橢圓的方程為
（2）（法一）解：設，則
由題知且
則
由解得
又
又
直線的斜率或
（法二）解：如圖，連接
關于原點對稱
三點共線且為中點
又
為的重心
為邊中點
設，則
又
直線的斜率或
18.（17分）
解：（1）
設，則
設，則
單調(diào)遞增
又
存在使得即
當時，單調(diào)遞減
當時，單調(diào)遞增
（2）
在上單調(diào)遞增
又
設，則
令，解得
當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增
當時，，即
，
又
存在，使得
又在上單調(diào)遞增
函數(shù)在上存在唯一零點
19.（17分）
解：（1）
各項均不為0且遞增
化簡得
為等差數(shù)列
（2）證明：設“G-數(shù)列”公比為，且，
①由題意，只需證存在對且成立
即成立
設，則
令，解得，
當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減
存在，使得對任意且成立
經(jīng)檢驗，對任意且均成立
對任意且，存在“G-數(shù)列”使得成立
②由①知，若成立，則成立
當時，取得，取得
由得
不存在
當且時，不存在“G-數(shù)列”使得對任意正整數(shù)成立.題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
D
C
B
C
B
D
題號
9
10
11
答案
ACD
BC
ACD
2
5
8

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