1.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，給出以下條件，其中一定可以推出為等比數(shù)列的條件是（ ）
A. B. C. D.是等比數(shù)列
2.橢圓的焦距為2，則為（ ）
A.5或13 B.5 C.8或10 D.8
3.如圖，在三棱錐中，點(diǎn)滿足，則（ ）
A. B. C.2 D.
4.從甲袋中摸出一個紅球的概率是，從乙袋中摸出一個紅球的概率是，現(xiàn)從兩袋各摸出一個球，記事件A：2個球都是紅球，事件B：2個球中恰有1個紅球，事件C：2個球至少有1個紅球，事件D：2個球不都是紅球，則下列說法正確的是（ ）
A.事件A與事件互斥 B.
C.事件A與事件D對立 D.
5.已知等差數(shù)列與的前項(xiàng)和分別為，，且，則的值為（ ）
A. B. C. D.
6.若斜率為1的直線與曲線和圓都相切，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A.0或2 B.0或 C.2 D.
7.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)成等差數(shù)列.如數(shù)列1，3，6，10，前后兩項(xiàng)之差組成新數(shù)列2，3，4，這樣的數(shù)列稱為二階等差數(shù)列.現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為2，3，5，8，12，17，23則該數(shù)列的第100項(xiàng)為（ ）
A.4862 B.4962 C.4852 D.4952
8.已知等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列，若對任意的，均有恒成立，則的最小值為（ ）
A.2 B. C. D.
二?多選題（本大題共3小題，每題6分，共18分）
9.一家公司為了解客戶對公司新產(chǎn)品的滿意度，隨機(jī)選取了名客戶進(jìn)行評分調(diào)查，根據(jù)評分?jǐn)?shù)進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出的頻率分布直方圖如圖所示，其中有8名客戶的評分?jǐn)?shù)落在內(nèi)，則（ ）
A.圖中的
B.
C.同組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，則評分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為76.2
D.該公司計(jì)劃邀請?jiān)u分?jǐn)?shù)低于第25百分位數(shù)的客戶參與產(chǎn)品改進(jìn)會議，若客戶甲的評分?jǐn)?shù)為71，則甲將會被邀請參與產(chǎn)品改進(jìn)會議
10.下列說法正確的是（ ）
A.已知函數(shù)，則該函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為30
B.已知，在函數(shù)圖象上，若函數(shù)從到平均變化率為，則曲線的割線的傾斜角為
C.已知直線運(yùn)動的汽車速度與時間的關(guān)系是，則時瞬時加速度為7
D.已知函數(shù)，則
11.已知函數(shù)，，動直線l過原點(diǎn)且與曲線相切，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為.則下列說法錯誤的是（ ）
A. B.數(shù)列為等差數(shù)列
C. D.
三?填空題（本大題共3小題，每5分，共15分）
12.設(shè)是隨機(jī)事件，且，則___________.
13.已知點(diǎn)M在拋物線上運(yùn)動，過點(diǎn)M的兩直線，與圓相切，切點(diǎn)分別為A，B，則當(dāng)取最小值時，點(diǎn)M的坐標(biāo)為___________.
14.已知向量在向量上的投影向量的模為，則___________，使為整數(shù)的n的值按照從小到大的順序排列，得到的新數(shù)列的前n項(xiàng)和___________.
四?解答題（本大題共5小題，15題13分，16、17題15分，18、19題17分，共77分）
15.（13分）已知曲線，求
（1）曲線過點(diǎn)的切線方程；
（2）曲線平行于直線的切線方程.
16.（15分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且.
（1）求證：平面；
（2）若，求平面與平面所成角的余弦值；
17.（15分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
（3）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
18.（17分）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為?，左?右頂點(diǎn)分別為?，點(diǎn)在上，.
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）若過焦點(diǎn)且斜率存在的直線與雙曲線的右支交于?兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，試問是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由.
19.（17分）設(shè)是等差數(shù)列，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列.且，，，
（1）求，的通項(xiàng)公式；
（2）記為的前項(xiàng)和，求證：；
（3）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
成都七中萬達(dá)學(xué)校高2025屆高二下學(xué)期3月月考答案
一?選填題
1-8.ACCDDADB
9.ABC 10.BD 11.ABC
12. 13. 14.5；
15.【詳解】（1）因?yàn)榍悬c(diǎn)在曲線上，所以可設(shè)切點(diǎn)為，
則，則切線方程為，
因?yàn)榍芯€過，代入切向方程得：化簡得，
則或
所以曲線過點(diǎn)的切線方程為：或.
（2）直線的斜率為，設(shè)切點(diǎn)為，
則由（2）知切線方程為，
則由切線與直線平行得，即或，
所以切線方程為或，
即或
16.【詳解】（1）證明：連結(jié)OP，BD，如圖：
因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，，
故，又O為AD的中點(diǎn)，故.
在中，，O為AD的中點(diǎn)，所以.
設(shè)，則，，
因?yàn)椋?br>所以.（也可通過來證明），
又因?yàn)?，平面PAD，平面PAD，
所以平面PAD；
（2）因?yàn)?，?br>，平面POB，
所以平面POB，又平面POB，所以.
由（1）得，又由，
所以O(shè)A，OB，OP所在的直線兩兩互相垂直.
故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A，OB，OP所在直線為x軸，y軸，z軸建系，如圖：
設(shè)，則，，，.
所以，，，
由（1）知平面PAD，
故可以取與平行的向量作為平面PAD的法向量.
設(shè)平面PBC的法向量為，
則，即
令，所以.
設(shè)平面PBC與平面PAD所成二面角為θ，顯然為銳角，則
，
所以平面與平面所成二面角的余弦值為.
17.【詳解】（1）當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，依然成立，所以的通項(xiàng)公式是.
（2）由，得，.又.
故是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以.
（3）由（1）（2）知，，
則
.
令①，
②，
①-②得，，，
，.
18.【詳解】（1）解：由點(diǎn)在雙曲線上，可得.
因?yàn)?，所?又，所以，，，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）解：為定值，理由如下：
設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，，
聯(lián)立，可得，
當(dāng)時，直線與雙曲線的漸近線平行，此時直線和雙曲線只有一個交點(diǎn)，不合題意，
故，此時，則，，
由已知可得，可得，則，，所以，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以線段的垂直平分線的方程為.
令在直線的方程中，令得，即，
所以.
又，
在中，由正弦定理得，所以.
在中，由正弦定理得，所以，
所以為定值.
19.【詳解】（1）解：由已知可得，
，
聯(lián)立①②，得，解得或，
因?yàn)槭歉黜?xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，所以，代入①式可得，
所以，；
（2），，，
則
，所以；
（3）
，令
，
則，
，得
，
令
，
.

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