一、選擇題
1．已知復(fù)數(shù),則( )
A.B.C.D.
2．若“”是“”的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )
A.B.C.D.
3．已知向量,若與的夾角為,則( )
A.B.C.D.
4．某旅游團(tuán)計(jì)劃去北京旅游,因時(shí)間原因,要從北京的9個(gè)景點(diǎn)中選出4個(gè)作為主要景點(diǎn),并從余下景點(diǎn)中選出3個(gè)作為備選景點(diǎn),若A,B不能作為主要景點(diǎn),C不能作為備選景點(diǎn),則不同的選法種數(shù)為( )
A.290B.260C.200D.160
5．過圓外一點(diǎn)作圓O的切線,切點(diǎn)分別為A,B,則( )
A.B.C.D.
6．已知,分別是圓柱P的上?下底面,的中心,是以為頂點(diǎn),為底面的圓錐,若圓柱P的體積為,那么圓錐,的公共部分的體積為( )
A.B.C.D.
7．如圖,已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為,,以線段為直徑的圓在第一象限交E于點(diǎn)A,交E的左支于點(diǎn)B,若B為線段的中點(diǎn),則E的離心率為( )
A.B.2C.3D.
8．若,,,則( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．下列結(jié)論正確的是( )
A.在銳角中,恒成立
B.若,則
C.將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,可得到的圖象
D.若函數(shù)在上單調(diào)遞增,則
10．斐波那契數(shù)列又稱為黃金分割數(shù)列,在現(xiàn)代物理?化學(xué)等領(lǐng)域都有應(yīng)用.斐波那契數(shù)列滿足,,則( )
A.,
B.,使得,,成等比數(shù)列
C.,對(duì),,,成等差數(shù)列
D.,
11．已知橢圓,,F為C的左焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),則( )
A.的最小值為B.的最大值為
C.面積的最小值為D.面積的最大值為
三、填空題
12．已知集合中僅有3個(gè)整數(shù),則a的取值范圍為____________.
13．如圖,已知正方體的棱長(zhǎng)為6,長(zhǎng)為6的線段的一個(gè)端點(diǎn)E在棱（不含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)F在正方體的底面內(nèi)運(yùn)動(dòng),則的中點(diǎn)P的軌跡與正方體的面,面,面所圍成的幾何體的表面積是_____________.
14．已知定義在R上的函數(shù)滿足,,若函數(shù)的最大值和最小值分別為M,m,則____________.
四、解答題
15．2023年10月26日,神舟十七號(hào)載人飛船把湯洪波?唐勝杰?江新林送入太空,他們是載人航天工程進(jìn)入空間站應(yīng)用和發(fā)展階段的第二批航天員,他們的輪換和在軌工作也趨于常態(tài)化,主要包括人員和物資的正常輪換補(bǔ)給?空間站組合體平臺(tái)照料?在軌實(shí)（試）驗(yàn)?開展科普及公益活動(dòng)以及異常情況處置等工作.空間站的公益活動(dòng)是與大眾比較接近和感興趣的空間站的工作任務(wù).為了解學(xué)生對(duì)空間站的公益活動(dòng)是否感興趣,某學(xué)校從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取300名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查,得到如下列聯(lián)表中的部分?jǐn)?shù)據(jù)：
已知從這300名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,抽到對(duì)此項(xiàng)活動(dòng)感興趣的學(xué)生的概率為.
(1)將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)空間站開展的公益活動(dòng)感興趣與性別有關(guān)聯(lián)？
(2)該學(xué)校對(duì)參與問卷調(diào)查的學(xué)生按性別,利用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法,從對(duì)此項(xiàng)活動(dòng)感興趣的學(xué)生中抽取7人組成“我國(guó)載人航天事跡”宣傳小組,從這7人中任選3人,隨機(jī)變量X表示3人中女生的人數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附：
參考公式：,其中.
16．在中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,.
(1)求角C;
(2)若,D為邊AB上一點(diǎn),,求CD的最大值.
17．如圖,在中,,,,D,E分別為邊,上一點(diǎn),且,將沿折起到的位置,使得,F為上一點(diǎn),且.
(1)求證：平面;
(2)若H為線段上一點(diǎn)（異于端點(diǎn)）,且二面角的正弦值為,求的值.
18．在平面直角坐標(biāo)系中,一動(dòng)圓過點(diǎn)且與直線相切,設(shè)該動(dòng)圓的圓心C的軌跡為曲線.
(1)求的方程;
(2)設(shè)P為在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過P作曲線的切線,直線過點(diǎn)P且與垂直,與的另外一個(gè)交點(diǎn)為Q,求的最小值.
19．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)當(dāng)時(shí),若,分別為的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn),且,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案
1．答案：C
解析：因?yàn)?所以,
所以.
故選：C.
2．答案：A
解析：因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件,
所有,所以,
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
故選：A.
3．答案：D
解析：由題意得,又,所以,
所以.
故選：D.
4．答案：B
解析：若C入選主要景點(diǎn),有種選法,
若C沒入選主要景點(diǎn),有種選法,
所以故不同的選法種數(shù)為260.
故選：B.
5．答案：A
解析：如圖,由題意知,,,,
所以,根據(jù)圓的對(duì)稱性易知,
則,解得.
故選：A.
6．答案：C
解析：如圖所示,四邊形為圓柱P的軸截面,
圓錐,的公共部分為同底的圓錐和,
設(shè)圓柱P底面圓的半徑為r,高為h,則,
由,得,所以E為和的中點(diǎn),
同理F為和的中點(diǎn),所以,
即圓錐,公共部分的圓錐的底面圓的半徑為,且每個(gè)小圓錐的高為,
所以所求公共部分的體積為.
故選：C.
7．答案：D
解析：連接,,設(shè),,則,
由雙曲線的定義知,
所以,,
在中,由勾股定理,得,即,
所以或（舍）.
在中,由勾股定理,得,即,
所以,所以.
故選：D.
8．答案：B
解析：由題意知,
令,則,
所以在上單調(diào)遞減,又,
所以,即,所以,即,所以,
又,,又,所以,
所以,所以.
故選：B.
9．答案：ABD
解析：對(duì)于A,由題意知,
所以,同理,所以,故A正確;
對(duì)于B,因?yàn)?所以,
所以,所以或所以,
故B正確;
將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得的圖像,故C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,的單調(diào)遞增區(qū)間為,
所以,所以解得,所以,故D正確.
故選：ABD.
10．答案：ACD
解析：對(duì)于A,因?yàn)?
所以
,故A正確;
對(duì)于B,由遞推公式可知,,中有兩個(gè)奇數(shù),一個(gè)偶數(shù),不可能成等比數(shù)列,故B錯(cuò)誤;
對(duì)于C,,所以,
故,,成等差數(shù)列,所以存在,使得,,成等差數(shù)列,故C正確;
對(duì)于D,由,得,
所以
,故D正確.
故選：ACD.
11．答案：ABD
解析：設(shè)C的右焦點(diǎn)為,則,
所以,所以,
當(dāng)P,A,三點(diǎn)共線,且P在線段的延長(zhǎng)線上時(shí),的值最小,,
所以的最小值為,當(dāng)P,A,三點(diǎn)共線,
且P在延長(zhǎng)線上時(shí),最大,且,
故,故A,B均正確;
因?yàn)镕在橢圓內(nèi)部,因此直線與橢圓必相交,當(dāng)P是交點(diǎn)時(shí),顯然的面積為零,因此無最小值,故錯(cuò)誤;
易知直線的方程為,
設(shè)與直線平行且與C相切的直線為,與C的方程聯(lián)立,
得,
由,得,顯然直線與距離較遠(yuǎn),
易求直線與直線間的距離,
當(dāng)P為直線與C的交點(diǎn)時(shí),的面積最大,
此時(shí)其面積為,故D正確.
故選：ABD.
12．答案：
解析：因?yàn)?所以在數(shù)軸上集合A的端點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)1對(duì)稱,
從而A中的三個(gè)整數(shù)為0,1,2,
所以,且,解得.
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為,
故答案為：.
13．答案：
解析：連接DF,則為直角三角形,在中,,P為的中點(diǎn),
連接,則,所以點(diǎn)P在以D為球心,半徑的球面上,
又點(diǎn)P只能落在正方體的表面或其內(nèi)部,所以點(diǎn)P的軌跡的面積等于該球面面積的,
即,又幾何體在正方體的面,面,
面上的部分面積的和為,
故所求幾何體的表面積.
故答案為：.
14．答案：4048
解析：令,得,令,則,
所以,故為奇函數(shù),
所以,.
令,
則,
即為奇函數(shù),所以.
而,
所以.
故答案為：4048
15．答案：(1)填表見解析;認(rèn)為對(duì)該項(xiàng)目感興趣與性別有關(guān)聯(lián)
(2)分布列見解析;期望為
解析：（1）因?yàn)閺倪@300名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,抽到對(duì)此感興趣的學(xué)生的概率為,
所以對(duì)此項(xiàng)活動(dòng)感興趣的學(xué)生數(shù)為人,不感興趣的有90人,
所以列聯(lián)表為：
零假設(shè)為：對(duì)空間站開展的公益活動(dòng)感興趣與性別無關(guān)聯(lián),
根據(jù)列聯(lián)表,經(jīng)計(jì)算得,
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn),我們推斷不成立,
即認(rèn)為對(duì)該項(xiàng)目感興趣與性別有關(guān)聯(lián),此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001.
（2）由分層隨機(jī)抽樣知在抽取的7人中,男生有人,女生有人,
所以隨機(jī)變量X可能的取值為0,1,2,3,
,
,
所以分布列為：
所以.
16．答案：(1)
(2)
解析：（1）因?yàn)?
所以,
所以,
由正弦定理,得,
由余弦定理,得,
因?yàn)?所以.
（2）因?yàn)?且,
所以,
化簡(jiǎn),得,解得,
由（1）,得,即,
由,得,
解得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）,
又,所以.
而,且是關(guān)于的增函數(shù),
所以當(dāng)時(shí),.
17．答案：(1)證明見解析;
(2)或.
解析：（1）連接交于點(diǎn)G,連接,由,得,
在中,由,得,于是,
則,,而又平面CEF,平面,
所以平面.
（2）由,,,,平面,得平面,
又平面,則,又,因此,直線CP,CD,CB兩兩垂直,
以C為坐標(biāo)原點(diǎn),直線CD,CB,CP,分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,
則,,,,
,,,
設(shè),則,
設(shè)平面的法向量,則,
令,得,
設(shè)平面的法向量,則,
令,得,
設(shè)二面角的大小為,則,
解得或,所以或.
18．答案：(1)
(2)
解析：（1）由題意得,點(diǎn)C到點(diǎn)F的距離等于到直線的距離,
由拋物線的定義知,點(diǎn)C的軌跡是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為頂點(diǎn),以為焦點(diǎn)的拋物線,
設(shè),則,所以,
故的方程為.
（2）當(dāng)時(shí),,所以,設(shè),
則,即的斜率為,
因?yàn)?所以的斜率為,
所以的方程為,即,
代入,得.設(shè),
由韋達(dá)定理得,即,代入,
得,即,故,
所以.
令,則,
易知函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
所以,所以.
19．答案：(1)
(2)
解析：（1）當(dāng)時(shí),,所以,
故,又
所以所求切線方程為,即.
（2）,
因?yàn)?所以,
令,得或,令,得,
所以在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
所以在處取得極大值,在處取得極小值,即,.
所以,,
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減,所以.
要使,則.
,
令,則,且,
,
令,當(dāng)時(shí),,
所以在上單調(diào)遞增,所以,
①當(dāng),即時(shí),,所以,
故在上單調(diào)遞減,又,所以當(dāng)時(shí),,符合題意;
②當(dāng)時(shí),則.
首先證明：當(dāng)時(shí),,即證明.
當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,
所以,即.
而,
當(dāng)時(shí),要使,因?yàn)?只需,即需.
當(dāng)時(shí),,只需取,則有.
又,由零點(diǎn)存在定理及在上單調(diào)遞增,
可得存在唯一的,使得.
所以當(dāng)時(shí),,,在上單調(diào)遞增,
所以,這與題設(shè)條件矛盾,所以不符合題意.
綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍為.
對(duì)空間站開展的公益活動(dòng)感興趣
對(duì)空間站開展的公益活動(dòng)不感興趣
合計(jì)
男生
120
女生
60
合計(jì)
0.010
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
對(duì)空間站開展的公益活動(dòng)感興趣
對(duì)空間站開展的公益活動(dòng)不感興趣
合計(jì)
男生
120
30
150
女生
90
60
150
合計(jì)
210
90
300
X
0
1
2
3
P

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