本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時間120分鐘.
注意事項：
1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、考號填寫在答題卡規(guī)定的位置上.
2．答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題號的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干
凈后，再選涂其它答案標(biāo)號
3．答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.
4．考試結(jié)束后，將答題卡交回.
第Ⅰ卷(選擇題，共60分)
一、選擇題
1、已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由題意在，中，
，∴故選：B.
2、已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則為（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】，則.故選：C
3、執(zhí)行如圖所示的程序框圖，將輸出的看成輸入的的函數(shù)，得到函數(shù)，若，則（ ）

A B. C. 或D. 1
【答案】B
4、某射擊運(yùn)動員連續(xù)射擊5次，命中的環(huán)數(shù)（環(huán)數(shù)為整數(shù)）形成的一組數(shù)據(jù)中，中位數(shù)為8，唯一的眾數(shù)為9，極差為3，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（ ）
A．7.6 B．7.8 C．8 D．8.2
【答案】B
5、已知空間中a，b，c是三條不同的直線，，，是三個不同的平面，則下列說法正確的是（ ）．
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，則
【答案】C
6、“”是“是奇函數(shù)”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
7、已知，，則與的夾角等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
8、已知數(shù)列和均為等差數(shù)列，是數(shù)列的前n項和，則（ ）．
A．1B．C．2D．
【答案】B
【解析】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列，
又是關(guān)于n的一次式，可得，
所以，則，故選B．
9、蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圓”等，“蹴“有用腳蹴?踢的含義，“鞠”最早系外包皮革?內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴?踢皮球的活動，類似今日的踢足球活動.已知某“鞠”的表面上有四個點(diǎn)P?A?B?C，其中平面，，則該球的體積為（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
10、為了加強(qiáng)新型冠狀病毒疫情防控，某社區(qū)派遣甲?乙?丙?丁?戊五名志愿者參加，，三個小區(qū)的防疫工作，每人只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少去1人，且甲?乙兩人約定去同一個小區(qū)，則不同的派遣方案共有（ ）
A. 24種B. 36種C. 48種D. 64種
【答案】B
【解析】若按照3：1：1進(jìn)行分配，則有種不同的方案，
若按照2：2：1進(jìn)行分配，則有種不同的方案，故共有36種派遣方案.
故選：B
11、已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】對于A中，函數(shù)為偶函數(shù)，則有，可得，
又由為奇函數(shù)，則，
則有，所以，即，所以A錯誤；
對于B中，函數(shù)為偶函數(shù)，則有，所以B不正確；
對于C中，由，則，
所以是周期為4的周期函數(shù)，所以，所以C正確；
對于D中，由是周期為4的周期函數(shù)，可得，其中結(jié)果不一定為0，所以D錯誤.
故選：C.
12、已知，，則下列命題：①； ②； ③；④，其中真命題的個數(shù)是（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】B
【詳解】因為，，則，.
對于①，，則，從而，，則，則，即，①對；
對于②，，因為，則，，所以，，②錯；
對于③，，所以，，所以，，③錯；
對于④，構(gòu)造函數(shù)，其中，則.當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，則，即，可得，所以，，④對.故選：B.
二、填空題
13、已知等差數(shù)列滿足，，則的前項的和為
【答案】
14、的展開式中，的系數(shù)為
【答案】-40
【解析】的展開式中，的系數(shù)為.
15、已知定義在上的函數(shù)滿足，且是偶函數(shù)，當(dāng)時，，則
【答案】
16、銳角三角形的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，且，則的取值范圍為 .
【答案】
因為，且，所以；由正弦定理得：，所以；又銳角三角形中，，則，即；
所以，由于銳角三角形，所以，解得；所以：
；
由于，則在上遞減，在上遞增；所以在上遞減，于是有，即的取值范圍為.故答案為：
解答題
17、已知數(shù)列滿足，．
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前n項和．
【答案】（1）因為 ①，
所以當(dāng)時， ②．
因為，所以由得，即．所以，即．
由，得，所以，所以．
所以數(shù)列是以-2為首項，-3為公差的等差數(shù)列．
（2）由（1）得，即，
所以．
所以
．
18、如圖，在直三棱柱中，是的中點(diǎn).
(1)證明：平面.
(2)若，求二面角的余弦值.
【答案】（1）證明：連接交于點(diǎn)，則是的中點(diǎn)，連接，又是的中點(diǎn)，所以.
又平面平面，所以平面.
（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)，則，.
設(shè)是平面的法向量，由可得令，得.
設(shè)是平面的法向量，由可得令，得.
所以，即二面角的余弦值為.
19、某單位計劃在一水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機(jī)的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量（年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和，單位：億立方米）都在40以上，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立.
（1）求未來3年中，設(shè)表示流量超過120的年數(shù)，求的分布列及期望；
（2）水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺數(shù)受年入流量限制，并有如下關(guān)系：
若某臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺年利潤為5000萬元，若某臺發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺？
【答案】（1）依題意，，由二項分布可知，.
,,
,,
所以的分布列為：
.
（2）記水電站的總利潤為（單位：萬元），
①假如安裝1臺發(fā)點(diǎn)機(jī)，由于水庫年入流總量大于40，故一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1，對應(yīng)的年利潤，；
②若安裝2臺發(fā)電機(jī)，
當(dāng)時，只一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時，，
當(dāng)時，2臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時，，
.
③若安裝3臺發(fā)電機(jī)，
當(dāng)時，1臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時，，
當(dāng)時，2臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時，，
當(dāng)時，3臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時，，

綜上可知，欲使總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝2臺發(fā)電機(jī).
20、如圖，在平面四邊形中，，，，．

(1)求；
(2)若，求的面積．
【答案】（1）因為，為銳角，所以．因為，，在中，由余弦定理得，即，得．
在中，由正弦定理得，所以，所以，
因為，所以，故，所以；
（2）在中，由正弦定理得，又，，，
即，所以．因為，，，
所以，所以，
所以，所以的面積.
21、已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍.
參考數(shù)據(jù)：，.
【答案】（1）當(dāng)時，，則.令，得；令，得.
故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，調(diào)遞增區(qū)間為；
（2）因為當(dāng)時，恒成立，且，由，可得.因為，所以，設(shè)，則.
設(shè)，則.令，得；令，得.
故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為，，，所以存在，使.
當(dāng)或時，；當(dāng)時，.則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因為，所以對一切的恒成立.
故的取值范圍為.
22、在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），．以為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．
(1)求的直角坐標(biāo)方程；
(2)已知點(diǎn)，設(shè)與的交點(diǎn)為，．當(dāng)時，求的極坐標(biāo)方程．
【答案】（1）因為曲線的極坐標(biāo)方程為，即，因為，所以，
所以的直角坐標(biāo)方程為.
（2）將曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）代入的直角坐標(biāo)方程，整理得，
由的幾何意義可設(shè)，，因為點(diǎn)在內(nèi)，所以方程必有兩個實數(shù)根，
所以，，
因為，所以，
因為，所以，即，所以的普通方程為，則的極坐標(biāo)方程為.
23. 已知函數(shù)，．
（1）求函數(shù)的最小值；
（2）設(shè)，求證：．
【解析】（1）由題設(shè)，而在、、上均能取到最小值，
對于在上遞減，上為常數(shù)，上遞增，且連續(xù)，
所以的最小值在上取得，即時，最小值為.
（2）由，僅當(dāng)取等號，
要證，即證，則，年入流量
發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺數(shù)
1
2
3
0
1
2
3
0.729
0.243
0.027
0.001

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