1.下列圖形中,不是軸對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
2.下列運算正確的是( )
A. 3a2+5a2=8a4B. (a2+3)0=1C. a6?a2=a12D. (2ab2)3=6a3b6
3.在△ABC中,AB=AC=x,BC=5,則腰長x的取值范圍是( )
A. 052C. 525
4.已知一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的3倍,則這個多邊形是( )
A. 九邊形B. 八邊形C. 七邊形D. 六邊形
5.關(guān)于x的分式方程3x=ax?4有解,則字母a的取值范圍是( )
A. a≠3B. a≠0C. a≠3且a≠0D. a=3且a=1
6.如圖,點P、Q是邊長為12cm的等邊△ABC的邊AB、BC上的動點,點P從頂點A,點Q從頂點B同時出發(fā),且它們的速度都為2cm/s,連接AQ、CP交于點M,則在P、Q運動過程中,下列結(jié)論錯誤的是( )
A. BP=CM
B. △ABQ≌△CAP
C. 當(dāng)?shù)?秒或第4秒時,△PBQ為直角三角形
D. ∠CMQ的度數(shù)不變,始終等于60°
二、填空題:本題共6小題,每小題3分,共18分。
7.分解因式:?3m2+12m?12=______.
8.如圖,要使△AOB≌AOC,在∠1=∠2的情況下,還需添加一個條件是______(填一個即可).
9.若2m=a,32n=b,m,n為正整數(shù),則23m+10n=______.
10.已知ab=?1,a+b=2,則式子ab+ba=______.
11.已知△ABC,BC=7cm,BC邊的垂直平分線分別交AC、BC于N、M,若△ABN的周長為13cm,則△ABC的周長等于______cm.
12.已知△ABO關(guān)于x軸對稱,A(3,2),若在坐標(biāo)軸上有一點C(x,y)(x,y均為整數(shù)),且滿足△BOC的面積等于4,則C點的坐標(biāo)為______.
三、計算題:本大題共1小題,共6分。
13.解方程:2x2?4?x2?x=1.
四、解答題:本題共10小題,共78分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟。
14.(本小題6分)
(1)計算:(?9)3×(23)4×6?2.
(2)計算:(2x+1)(4x2?2x+1)?x(8x2?1).
15.(本小題6分)
如圖,已知∠A=∠B,AD=BC,AC和BD相交于點E.求證:∠BDC=∠ACD.
16.(本小題6分)
已知長方形ABCD如圖所示,直線BC上有兩點M、N,且MB=NC,請僅用無刻度的直尺分別在圖(1)和圖(2)中畫出一個不同的等腰三角形OMN.
17.(本小題6分)
先化簡2a+2a?1÷(a+1)+a2?1a2?2a+1,然后a在?1、1、2三個數(shù)中任選一個合適的數(shù)代入求值.
18.(本小題8分)
已知a、b、c是△ABC的三邊長,且滿足a2+b2+2c2=2c(a+b).試判斷△ABC的形狀.
19.(本小題8分)
甲、乙兩人共同計算一道整式乘法:(2x+a)(3x+b),由于甲抄錯了第一個多項式中a的符號,得到的結(jié)果為6x2+11x?10;乙漏抄了第二個多項式中x的系數(shù),得到的結(jié)果為2x2?9x+10,求a,b的值.
20.(本小題8分)
如圖所示:在△ABC中,∠ABC=90°,點D在AC上,點E在△BCD的內(nèi)部,DE平分∠BDC,且BE=CE.
(1)求證:BD=CD;
(2)求證:BD=12AC.
21.(本小題9分)
“閱讀陪伴成長,書香潤澤人生”,萬年縣某學(xué)校為了開展學(xué)生閱讀活動,計劃網(wǎng)購甲、乙兩種圖書.已知甲種圖書每本的價格比乙種圖書每本的價格多5元,且用1600元購買甲種圖書比用900元購買乙種圖書可多買20本.
(1)甲種圖書和乙種圖書的價格各是多少?
(2)根據(jù)學(xué)校實際情況,需一次性網(wǎng)購甲、乙兩種圖書共300本,購買時得知:一次性購買甲乙兩種圖書超過100本時,甲種圖書可按九折優(yōu)惠,乙種圖書可按八折優(yōu)惠.若該校此次用于購買甲、乙兩種圖書的總費用不超過4800元,那么學(xué)校最多可購進甲種圖書多少本?
22.(本小題9分)
關(guān)于x的方程x+1x=c+1c的解是x=c或x=1c;
x+2x=c+2c的解是x=c或x=2c;
x+3x=c+3c的解是x=c或x=3c;
……
(1)請觀察上述方程與解的特征,比較關(guān)于x的方程x+nx=m+nm(m≠0,n≠0)與它們的關(guān)系,猜想它的解是什么?(直接寫出答案)并利用“方程的解”的概念進行驗證.
(2)請利用這個結(jié)論解關(guān)于x的方程:x?2x?3=a?2a?3(a≠3).
23.(本小題12分)
在平面直角坐標(biāo)系中,點A的坐標(biāo)為(2,0),以線段OA為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形AOB,點C為x軸正半軸一動點(OC>2),連接BC,以線段BC為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形CBD,連結(jié)DA并延長交y軸于點E.
(1)△OBC與△ABD全等嗎?判斷并證明你的結(jié)論;
(2)當(dāng)點C運動到什么位置時,以A、E、C為頂點的三角形是等腰三角形?
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解:選項D的圖形不能找到一條直線,使圖形沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合,所以不是軸對稱圖形;
選項A、B、C的圖形能找到一條(或多條)直線,使圖形沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合,所以是軸對稱圖形;
故選:D.
根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合,這個圖形叫做軸對稱圖形,這條直線叫做對稱軸進行分析即可.
本題考查了軸對稱圖形的概念,軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸,圖形兩部分折疊后可重合.
2.【答案】B
【解析】解:A.3a2+5a2=8a2,因此選項A不符合題意;
B.由于a2+3≠0,所以(a2+3)0=1,因此選項B符合題意;
C.a6?a2=a8,因此選項C不符合題意;
D.(2ab2)3=8a3b6,因此選項D不符合題意.
故選:B.
根據(jù)合并同類項法則,零指數(shù)冪,同底數(shù)冪的乘法以及冪的乘方與積的乘方的計算方法逐項進行計算即可.
本題考查合并同類項法則,零指數(shù)冪,同底數(shù)冪的乘法以及冪的乘方與積的乘方,掌握合并同類項法則,零指數(shù)冪,同底數(shù)冪的乘法以及冪的乘方與積的乘方的計算方法是正確解答的關(guān)鍵.
3.【答案】B
【解析】解:∵等腰三角形ABC中,腰長AB=AC=x,底邊BC=5,
∴三角形三邊之間的關(guān)系得:AB+AB>BC,
∴x+x>5,
解得:x>52.
故選:B.
根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系得x+x>5,由此解出即可得出答案.
此題主要考查了等腰三角形的定義,三角形三邊之間的關(guān)系,熟練掌握三角形三邊之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.
4.【答案】B
【解析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式以及外角和定理,正確理解定理是關(guān)鍵.
根據(jù)多邊形的外角和是360°,以及多邊形的內(nèi)角和公式即可求解.
解:設(shè)多邊形的邊數(shù)是n,則(n?2)×180°=3×360°,
解得:n=8.
故選:B.
5.【答案】C
【解析】解:將關(guān)于x的分式方程3x=ax?4的兩邊都乘以x(x?4),得
3(x?4)=ax,
即(3?a)x=12,
由于分式方程有解,
∴a≠3,
又∵分式方程有增根x=0和x=4,
∴當(dāng)x=4時,a=0,
綜上所述x≠3且x≠0.
故選:C.
根據(jù)分式方程的解法以及分式方程的增根可確定a的取值范圍即可.
本題考查分式方程的解,掌握分式方程的解法,理解分式方程增根的意義是正確解答的關(guān)鍵.
6.【答案】A
【解析】解:A、在等邊△ABC中,AB=BC.
∵點P、Q的速度都為2cm/s,
∴AP=BQ,
∴BP=CQ.
只有當(dāng)CM=CQ時,BP=CM.
故A錯誤;
B、∵△ABC是等邊三角形
∴∠ABQ=∠CAP,AB=CA,
又∵點P、Q運動速度相同,
∴AP=BQ,
在△ABQ與△CAP中,
∵AB=CA∠ABQ=∠CAPAP=BQ,
∴△ABQ≌△CAP(SAS).
故B正確;
C、設(shè)時間為t秒,則AP=BQ=tcm,PB=(12?t)cm,
當(dāng)∠PQB=90°時,
∵∠B=60°,
∴PB=2BQ,即12?t=2t,t=4,
當(dāng)∠BPQ=90°時,
∵∠B=60°,
∴BQ=2BP,得t=2(12?t),t=8,
∴當(dāng)?shù)?秒或第8秒時,△PBQ為直角三角形.
故C正確.
D、點P、Q在運動的過程中,∠QMC不變.
理由:∵△ABQ≌△CAP,
∴∠BAQ=∠ACP,
∵∠QMC=∠ACP+∠MAC,
∴∠CMQ=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°.
故D正確;
故選:A.
A、等邊三角形ABC中,AB=BC,而AP=BQ,所以BP=CQ.
B、根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),利用SAS證明△ABQ≌△CAP;
C、設(shè)時間為t秒,則AP=BQ=tcm,PB=(12?t)cm,當(dāng)∠PQB=90°時,因為∠B=60°,所以PB=2BQ,即12?t=2t故可得出t的值,當(dāng)∠BPQ=90°時,同理可得BQ=2BP,即t=2(12?t),由此兩種情況即可得出結(jié)論.
D、由△ABQ≌△CAP根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAQ=∠ACP,從而得到∠CMQ=60°;
此題是一個綜合性題目,主要考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識.熟知等邊三角形的三個內(nèi)角都是60°是解答此題的關(guān)鍵.
7.【答案】?3(m?2)2
【解析】解:?3m2+12m?12
=?3(m2?4m+4)
=?3(m?2)2,
故答案為:?3(m?2)2.
先提公因式,再利用完全平方公式繼續(xù)分解即可解答.
本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用,一定要注意如果多項式的各項含有公因式,必須先提公因式.
8.【答案】OB=OC(或∠B=∠C或∠BAO=∠CAO)答案不唯一
【解析】解:∵∠1=∠2,
∴∠AOB=∠AOC,
∵AO=AO,
∴當(dāng)添加OB=OC時,△AOB≌AOC(SAS);
當(dāng)添加∠B=∠C時,△AOB≌AOC(AAS);
當(dāng)添加∠BAO=∠CAO時,△AOB≌AOC(ASA).
故答案為:OB=OC(或∠B=∠C或∠BAO=∠CAO).答案不唯一
先根據(jù)等角的余角相等得到∠AOB=∠AOC,加上OA為公共邊,所以可根據(jù)“SAS”或“AAS”或“ASA”添加條件.
本題考查了全等三角形的判定:熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關(guān)鍵;選用哪一種方法,取決于題目中的已知條件.
9.【答案】a3b2
【解析】本題考查了冪的乘方和積的乘方,掌握運算法則是解答本題的關(guān)鍵.
根據(jù)冪的乘方和積的乘方的運算法則求解.
解:32n=25n=b,2m=a,
則23m+10n=23m?210n=2m3?25n2=a3?b2=a3b2.
故答案為:a3b2.
10.【答案】?6
【解析】解:∵ab=?1,a+b=2,
∴原式=a2+b2ab=(a+b)2?2abab=4+2?1=?6,
故答案為:?6
原式通分并利用同分母分式的加法法則計算,再利用完全平方公式變形,將已知等式代入計算即可求出值.
此題考查了分式的加減法,熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.
11.【答案】20
【解析】解:∵MN垂直平分BC,
∴BN=CN,
∵△ABN的周長為13cm,
∴AB+AN+BN=13cm,
∴AB+AN+CN=13cm,
即AB+AC=13cm,
∴△ABC的周長=AB+AC+BC=13+7=20(cm).
故答案為:20.
先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到BN=CN,然后利用△ABN的周長為13cm和等線段代換得到AB+AC=13cm,從而可計算出△ABC的周長.
本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì):垂直平分線垂直且平分其所在線段;垂直平分線上任意一點,到線段兩端點的距離相等.
12.【答案】(?4,0)或(4,0)
【解析】解:∵△ABO關(guān)于x軸對稱,點A的坐標(biāo)為(3,2),
∴點B的坐標(biāo)為(3,?2),
又∵在坐標(biāo)軸上有一點C(x,y)(x,y均為整數(shù)),且滿足△BOC的面積等于4,
∴當(dāng)點C在x軸上時,12×OC×2=4,即OC=4,
當(dāng)點C在y軸上時,12×OC×3=4,即OC=83,
∴C點的坐標(biāo)為(?4,0)或(4,0).
故答案為:(?4,0)或(4,0).
根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點的橫坐標(biāo)相等,縱坐標(biāo)互為相反數(shù),可得點B的坐標(biāo)為(3,?2),再根據(jù)△BOC的面積等于4,即可得到點C的坐標(biāo).
本題考查了關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)和三角形的面積,關(guān)鍵是掌握關(guān)于x軸對稱的點的橫坐標(biāo)相等,縱坐標(biāo)互為相反數(shù).
13.【答案】解:去分母得2+x(x+2)=x2?4,
解得x=?3,
檢驗:當(dāng)x=?3時,(x?2)(x+2)≠0,
所以原方程的解為x=?3.
【解析】本題考查了解分式方程:先把方程化為整式方程,解整式方程,然后進行檢驗即可,屬于基礎(chǔ)題.
方程兩邊同乘以(x+2)(x?2)得到整式方程2+x(x+2)=x2?4,可解得x=?3,然后進行檢驗確定分式方程的解.
14.【答案】解:(1)(?9)3×(23)4×6?2
=?36×2434×122×32
=?36×2434×22×32
=?22
=?4;
(2)(2x+1)(4x2?2x+1)?x(8x2?1)
=8x3?4x2+2x+4x2?2x+1?8x3+x
=1+x.
【解析】(1)先根據(jù)有理數(shù)的乘方和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪進行計算,再根據(jù)分?jǐn)?shù)的乘法法則進行計算即可;
(2)先根據(jù)多項式乘多項式和單項式乘多項式法則進行計算,再合并同類項即可.
本題考查了有理數(shù)的乘方,單項式乘多項式,多項式乘多項式,負(fù)整數(shù)指數(shù)冪等知識點,能正確根據(jù)有理數(shù)的乘方、單項式乘多項式、多項式乘多項式、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪定義進行計算是解此題的關(guān)鍵.
15.【答案】證明:在△AED和△BEC中,
∠A=∠B∠AED=∠BECAD=BC,
∴△AED≌△BEC(AAS),
∴ED=EC,
∴∠EDC=∠ECD,即∠BDC=∠ACD.
【解析】首先利用AAS證得△AED≌△BEC,進而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可.
本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定,解答本題的關(guān)鍵是利用AAS證明△AED≌△BEC.
16.【答案】解:連接AC,BD交于O,連接OM,ON,如圖(1),△OMN即為所求;
理由:∵四邊形ABCD是矩形,
∴OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB,
∴∠OBM=∠OCN,
∵BM=CN,
∴△OBM≌△OCN(SAS),
∴OM=ON,
∴△OMN是等腰三角形;
連接MA,ND并延長交于O,如圖(2),△OMN即為所求;
理由:∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠ABM=∠DCN=90°,AB=DC,
∵MB=NC,
∴△ABM≌△DCN(SAS),
∴∠AMB=∠DNC,
∴OM=ON,
∴△OMN是等腰三角形.
【解析】連接AC,BD交于O,連接OM,ON,如圖(1),△OMN即為所求;
連接MA,ND并延長交于O,如圖(2),△OMN即為所求;
本題考查作圖-復(fù)雜作圖,解題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)和全等三角形的判定.
17.【答案】解:原式=2(a+1)a?1?1a+1+(a+1)(a?1)(a?1)2
=2a?1+a+1a?1
=a+3a?1,
當(dāng)a=2(a≠?1,a≠1)時,原式=2+32?1=5.
【解析】先根據(jù)分式混合運算的法則把原式進行化簡,再選取合適的a的值代入進行計算即可.
本題考查的是分式的化簡求值,熟知分式混合運算的法則是解答此題的關(guān)鍵.
18.【答案】解:△ABC是等邊三角形.
理由:
∵a2+b2+2c2=2c(a+b),
∴a2+b2+2c2?2ac?2bc=0.
∴(a2?2ac+c2)+(b2?2bc+c2)=0.
∴(a?c)2+(b?c)2=0.
∴a?c=0且b?c=0.
∴a=c且b=c.
∴a=b=c.
∴△ABC是等邊三角形.
【解析】判斷三角形的形狀,條件里有邊長,需要根據(jù)所給等式判斷出三角形的三邊有什么樣的關(guān)系.把所給等式整理成右邊為0的等式,然后把左邊進行整理,得到兩個非負(fù)數(shù)的和為0,即可得到三角形的三邊有什么樣的關(guān)系,也就判斷出了三角形的形狀.
本題考查了因式分解的應(yīng)用.把所給等式進行合理分組后進行因式分解是解決本題的關(guān)鍵.用到的知識點為:a2?2ab+b2=(a?b)2;兩個非負(fù)數(shù)的和為0,這兩個數(shù)均為0.
19.【答案】解:由題意可知:
甲:(2x?a)(3x+b)=6x2+11x?10,
乙:(2x+a)(x+b)=2x2?9x+10,
∵6x2+11x?10=(2x+5)(3x?2),
∴(2x?a)(3x+b)=(2x+5)(3x?2),
∴a=?5,b=?2,
【解析】根據(jù)題意列出代數(shù)式即可求出答案.
本題考查多項式乘以多項式,屬于基礎(chǔ)題型.
20.【答案】證明:(1)作EM⊥AC于M,EN⊥BD于N.
∵∠EDM=∠EDN,EM⊥AC于M,EN⊥BD于N,
∴EM=EN,
∵CE=BE,
∴Rt△CEM≌Rt△BEN(HL),
∴∠ECM=∠EBN,
∵∠ECB=∠EBC,
∴∠DCB=∠DBC,
∴BD=CD;
(2)∵∠ABC=90°,∠DCB=∠DBC,
又∵∠A+∠ACB=90°,∠DBC+∠ABD=90°,
∴∠A=∠ABD,
∴AD=BD=12AC,
∵BD=CD,
∴BD=12AC.
【解析】(1)作EM⊥AC于M,EN⊥BD于N.只要證明Rt△CEM≌Rt△BEN,推出∠ECM=∠EBN,∠ECB=∠EBC,可得∠DBC=∠DCB,推出DB=DC;
(2)只要證明AD=CD=12AC即可.
本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定、直角三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線,構(gòu)造全等三角形解決問題,屬于中考常考題型.
21.【答案】解:(1)設(shè)甲種圖書的價格是x元,則乙種圖書的價格是(x?5)元,
由題意得:1600x?900x?5=20,
解得:x=20,
經(jīng)檢驗,x=20是原分式方程的解,且符合題意,
∴x?5=20?5=15,
答:甲種圖書的價格是20元,乙種圖書的價格是15元;
(2)設(shè)學(xué)??少忂M甲種圖書m本,則可購進乙種圖書(300?m)本,
由題意得:20×0.9m+15×0.8(300?m)≤4800,
解得:m≤200,
答:學(xué)校最多可購進甲種圖書200本.
【解析】(1)設(shè)甲種圖書的價格是x元,則乙種圖書的價格是(x?5)元,根據(jù)用1600元購買甲種圖書比用900元購買乙種圖書可多買20本.列出分式方程,解方程即可;
(2)設(shè)學(xué)校可購進甲種圖書m本,則可購進乙種圖書(300?m)本,根據(jù)該校此次用于購買甲、乙兩種圖書的總費用不超過4800元,列出一元一次不等式,解不等式即可.
本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是:(1)找準(zhǔn)等量關(guān)系,正確列出分式方程;(2)找出數(shù)量關(guān)系,正確列出一元一次不等式.
22.【答案】解:(1)關(guān)于x的方程x+nx=m+nm(m≠0,n≠0)的解是x1=m,x2=nm,
檢驗:當(dāng)x=m時,左邊=m+nm,右邊=m+nm,左邊=右邊,
所以x=m是方程的解;
當(dāng)x=nm時,左邊=nm+nnm=nm+m,右邊=m+nm,左邊=右邊,
所以x=nm是方程的解;
即關(guān)于x的方程x+nx=m+nm(m≠0,n≠0)的解是x1=m,x2=nm;
(2)x?2x?3=a?2a?3(a≠3),
(x?3)+?2x?3=(a?3)+?2a?3,
所以x?3=a?3或x?3=?2a?3,
解得:x1=a,x2=3a?11a?3.
【解析】(1)先根據(jù)已知得出方程的解,再根據(jù)方程的解的定義驗證即可;
(2)先變形得出方程為(x?3)+?2x?3=(a?3)+?2a?3,根據(jù)已知得出的規(guī)律得出x?3=a?3或x?3=?2a?3,再求出答案即可.
本題考查了分式方程的解,能根據(jù)已知方程和方程的解得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵.
23.【答案】解:(1)△OBC≌△ABD.
證明:∵△AOB,△CBD都是等邊三角形,
∴OB=AB,CB=DB,∠ABO=∠DBC,
∴∠OBC=∠ABD,
在△OBC和△ABD中,
OB=AB∠OBC=∠ABDCB=DB,
∴△OBC≌△ABD(SAS);
(2)∵△OBC≌△ABD,
∴∠BOC=∠BAD=60°,
又∵∠OAB=60°,
∴∠OAE=180°?60°?60°=60°,
∴∠EAC=120°,∠OEA=30°,
∴以A,E,C為頂點的三角形是等腰三角形時,AE和AC是腰,
∵在Rt△AOE中,OA=2,∠OEA=30°,
∴AE=4,
∴AC=AE=4,
∴OC=1+4=5,
∴當(dāng)點C的坐標(biāo)為(5,0)時,以A,E,C為頂點的三角形是等腰三角形.
【解析】(1)先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠OBA=∠CBD=60°,OB=BA,BC=BD,則∠OBC=∠ABD,然后可根據(jù)“SAS”可判定△OBC≌△ABD;
(2)先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì),求得∠EAC=120°,進而得出以A,E,C為頂點的三角形是等腰三角形時,AE和AC是腰,最后根據(jù)Rt△AOE中,OA=1,∠OEA=30°,求得AC=AE=2,據(jù)此得到OC=1+2=3,即可得出點C的位置.
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)的運用.全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.解決本題的關(guān)鍵是利用等腰三角形的性質(zhì)求出點C的坐標(biāo).

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