2023年山東省濟(jì)南市市中區(qū)濟(jì)南育才中學(xué)中考數(shù)學(xué)第二次模擬試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1. 給出四個實(shí)數(shù)，2，0，-1，其中負(fù)數(shù)是（）
A. B. 2C. 0D. -1
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)的定義，負(fù)數(shù)小于0 即可得出答案.
【詳解】根據(jù)題意：負(fù)數(shù)是-1，
故答案為：D.
【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)，正確把握負(fù)數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.
2. 如圖是由4個大小相同的小立方塊搭成的幾何體，這個幾何體的左視圖是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查了幾何體的三種視圖和學(xué)生的空間想象能力，視圖中每一個閉合的線框都表示物體上的一個平面，而相連的兩個閉合線框常不在一個平面上，根據(jù)左視圖的作法求解即可．
【詳解】解：這個幾何體的左視圖有2行，第一行有1個正方形，第二行有2個正方形，第1列有2個正方形，第2列有1個正方形
故選：A．
3. 如圖，已知直線l1l2，直線l與l1，l2分別相交于點(diǎn)A，B，把一塊含30°角的直角三角尺按如圖位置擺放，若∠1＝130°，則∠ABD的度數(shù)為（）
A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°
【答案】B
【解析】
【分析】利用平行線的性質(zhì)求出∠CBA即可解決問題．
【詳解】解：如圖，
∵l1l2，
∴∠2+∠CBA＝180°，
∵∠2＝∠1＝130°，
∴∠CBA＝180°－∠2＝50°，
∵∠DBC＝30°，
∴∠ABD＝∠CBA－∠DBC ＝50°﹣30°＝20°，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，對頂角相等等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
4. 2021年9月17日，神舟十二號載人飛船返回艙在東風(fēng)著落場安全降落，代表著此次載人飛行任務(wù)圓滿結(jié)束．神舟十二號飛船的飛行速度每小時約為28440000米，將數(shù)據(jù)28440000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科學(xué)記數(shù)法的形式是：，其中＜10，為整數(shù)．所以，取決于原數(shù)小數(shù)點(diǎn)的移動位數(shù)與移動方向，是小數(shù)點(diǎn)的移動位數(shù)，往左移動，為正整數(shù)，往右移動，為負(fù)整數(shù)．本題小數(shù)點(diǎn)往左移動到2的后面，所以
【詳解】解：28440000
故選C
【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值較大的數(shù)，關(guān)鍵是在理解科學(xué)記數(shù)法的基礎(chǔ)上確定好的值，同時掌握小數(shù)點(diǎn)移動對一個數(shù)的影響．
5. 下列運(yùn)算正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)合并同類項，積的乘方，完全平方公式，單項式乘以單項式的計算法則求解即可．
【詳解】解：A、與不是同類項，不能合并，不符合題意；
B、，計算錯誤，不符合題意；
C、，計算錯誤，不符合題意；
D、，計算正確，符合題意；
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了合并同類項，積的乘方，完全平方公式，單項式乘以單項式，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．
6. 化簡：（）
A. a﹣3B. a+3C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】將原式化為同分母分式再化簡即可．
【詳解】解：原式

故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了異分母分式相加減的運(yùn)算，先通分，把異分母分式化為同分母分式，然后相加減，最后約分．
7. 自新冠肺炎疫情發(fā)生以來，全國人民共同抗疫并積極普及科學(xué)防控知識，下面是科學(xué)防控知識的圖片，圖片上有圖案和文字說明，其中的圖案是軸對稱圖形的是（）
A. 有癥狀早就醫(yī)B. 防控疫情我們在一起C. 打噴嚏捂口鼻D. 勤洗手勤通風(fēng)
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即可：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，據(jù)此作答即可．
【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，不符合題意；
B、是軸對稱圖形，符合題意；
C、不是軸對稱圖形，不符合題意；
D、不是軸對稱圖形，不符合題意；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對稱圖形的識別，熟知軸對稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵．
8. 如圖是某班去年1～8月份全班同學(xué)每月的課外閱讀數(shù)量折線統(tǒng)計圖，下列說法正確的是（）
A. 每月閱讀數(shù)量的中位數(shù)是58B. 每月閱讀數(shù)量的眾數(shù)是42
C. 每月閱讀數(shù)量的平均數(shù)是50D. 每月閱讀數(shù)量的極差是65
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義，可判斷A；根據(jù)眾數(shù)的定義，可判斷B；根據(jù)平均數(shù)的計算方法，可判斷C；根據(jù)極差的定義，可判斷D．
【詳解】解：A．將8個數(shù)據(jù)由小到大排列為：28，36，42，58，58，70，75，83，中位數(shù)是，故本選項說法正確，符合題意；
B．出現(xiàn)次數(shù)最多的是58，眾數(shù)是58，故本選項說法錯誤，不符合題意；
C．該班學(xué)生去年1～8月份全班同學(xué)每月的課外閱讀數(shù)量的平均數(shù)是故本選項說法錯誤，不符合題意；
D．每月閱讀數(shù)量的極差是故本選項說法錯誤，不符合題意．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了折線統(tǒng)計圖，讀懂統(tǒng)計圖，從統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．折線統(tǒng)計圖表示的是事物的變化情況．也考查了極差、平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)．
9. 如圖，一條細(xì)繩系著一個小球在平面內(nèi)擺動，已知細(xì)繩從懸掛點(diǎn)O到球心A的距離為厘米，小球從點(diǎn)A處擺動到最低點(diǎn)B處時，，在點(diǎn)O的正下方有一個阻礙物P，小球從點(diǎn)B處到點(diǎn)C的擺動，是以P為圓心，為半徑的向右擺動，設(shè)點(diǎn)A和點(diǎn)C的垂直高度差為m（點(diǎn)A高于點(diǎn)C），的長為n，若，則m和n滿足的關(guān)系為（?。? ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】題目主要考查解直角三角形的應(yīng)用，過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作于點(diǎn)E，根據(jù)題意得出，然后利用余弦函數(shù)結(jié)合圖形求解即可，熟練掌握三角函數(shù)的應(yīng)用是解題關(guān)鍵
【詳解】解：過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作于點(diǎn)E，如圖所示：

根據(jù)題意得：，
在和中，
，
∴（厘米），（厘米），
∵，
∴，
∴，
故選：A
10. 如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，分別以點(diǎn)A和B為圓心，以相同的長（大于AB）為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N，作直線MN交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，連接CD，下列結(jié)論錯誤的是（）
A. AD=BDB. BD=CDC. ∠A=∠BEDD. ∠ECD=∠EDC
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題目描述的作圖方法，可知MN垂直平分AB，由垂直平分線的性質(zhì)可進(jìn)行判斷．
【詳解】∵M(jìn)N為AB的垂直平分線，
∴AD=BD，∠BDE=90°，故A正確，
∵∠ACB=90°，
∴CD=BD，故B正確，
∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°，
∴∠A=∠BED，故C正確，
∵∠A≠60°，AC≠AD，
∴EC≠ED，
∴∠ECD≠∠EDC．故D錯誤，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，熟悉尺規(guī)作圖，根據(jù)題目描述判斷MN為AB的垂直平分線是關(guān)鍵．
11. 在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝ax+b和二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象可能為（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題可先由二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象得到字母系數(shù)的正負(fù)，再與一次函數(shù)y=ax+b的圖象相比較看是否一致．
【詳解】A、由拋物線可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直線可知，a＜0，b＜0，故本選項正確；
B、由拋物線可知，a＞0，由直線可知，a＜0，故本選項錯誤；
C、由拋物線可知，a＞0，x=﹣＞0，得b＜0，由直線可知，a＞0，b＞0，故本選項錯誤；
D、由拋物線可知，a＞0，由直線可知，a＜0，故本選項錯誤．
故選A．
12. 如圖，拋物線與直線經(jīng)過點(diǎn)，且相交于另一點(diǎn)，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于另一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)，且軸，連接，當(dāng)點(diǎn)在線段上移動時（不與、重合），下列結(jié)論正確的是（）
A. B.
C. D. 四邊形的最大面積為13
【答案】C
【解析】
【分析】】（1）當(dāng)MN過對稱軸的直線時，解得：BN=，而MN=，BN+MN=5=AB；
（2）由BC∥x軸（B、C兩點(diǎn)y坐標(biāo)相同）推知∠BAE=∠CBA，而△ABC是等腰三角形，∠CBA≠∠BCA，故∠BAC=∠BAE錯誤；
（3）如上圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC、BE⊥AC，由△ABC是等腰三角形得到：EB是∠ABC的平分線，∠ACB-∠ANM=∠CAD=∠ABC；
（4）S四邊形ACBM=S△ABC+S△ABM，其最大值為．
【詳解】解：將點(diǎn)A（2，0）代入拋物線y=ax2-x+4與直線y=x+b
解得：a=，b=-，
設(shè)：M點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則M（m，m2-m+4）、N（m，m-），
其它點(diǎn)坐標(biāo)為A（2，0）、B（5，4）、C（0，4），
則AB=BC=5，則∠CAB=∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
A、當(dāng)MN過對稱軸的直線時，此時點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為（，-）、（，），
由勾股定理得：BN=，而MN=，
BN+MN=5=AB，
故本選項錯誤；
B、∵BC∥x軸（B、C兩點(diǎn)y坐標(biāo)相同），
∴∠BAE=∠CBA，而△ABC是等腰三角形不是等邊三角形，
∠CBA≠∠BCA，
∴∠BAC=∠BAE不成立，
故本選項錯誤；
C、如上圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC、BE⊥AC，
∵△ABC是等腰三角形，
∴EB是∠ABC的平分線，
易證：∠CAD=∠ABE=∠ABC，
而∠ACB-∠ANM=∠CAD=∠ABC，
故本選項正確；
D、S四邊形ACBM=S△ABC+S△ABM，
S△ABC=10，
S△ABM=MN?（xB-xA）=-m2+7m-10，其最大值為，
故S四邊形ACBM的最大值為10+=12.25，故本選項錯誤．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，拋物線與x軸的交點(diǎn)，以及等腰三角形、平行線等幾何知識，是一道難度較大的題目．
二．填空題（共6小題）
13. 分解因式：6x2y﹣3xy＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】直接提取公因式進(jìn)行因式分解即可．
【詳解】解：原式=．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．
14. 如圖所示，在正六邊形ABCDEF內(nèi)，以AB為邊作正五邊形ABGHI，則∠CBG=_____．
【答案】12°
【解析】
【分析】分別求出正六邊形，正五邊形的內(nèi)角可得結(jié)論．
【詳解】解：在正六邊形ABCDEF內(nèi)，正五邊形ABGHI中，∠ABC＝120°，∠ABG＝108°，
∴∠CBG＝∠ABC﹣∠ABG＝120°﹣108°＝12°．
故答案為：12°．
【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出正多邊形的內(nèi)角，屬于中考?？碱}型．
15. 方程的解為________．
【答案】x＝1
【解析】
【分析】觀察可得最簡公分母是2（x+1），方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解，最后要驗根．
【詳解】解：兩邊都乘以2（x+1）得，
2(x+1)﹣（x﹣3）＝6x
2x+2﹣x+3＝6x
2x﹣x－6x=﹣2﹣3
﹣5 x＝－5
解得 x＝1
經(jīng)檢驗：x＝1是原方程的解．
故答案為：x＝1
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解法．解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解，解分式方程一定注意要驗根．
16. 為了深化落實(shí)“雙減”工作，促進(jìn)中小學(xué)生將康成長，教育部門加大了實(shí)地督查的力度，對我校學(xué)生的作業(yè)、睡眠、手機(jī)、讀物、體質(zhì)“五項管理”要求的落實(shí)情況進(jìn)行抽樣調(diào)查，計劃從“五項管理”中隨機(jī)抽取兩項進(jìn)行問卷調(diào)查，則抽到“作業(yè)”和“手機(jī)”的概率為______．
【答案】
【解析】
【分析】畫樹狀圖，共有20種等可能結(jié)果，其中抽到“作業(yè)”和“手機(jī)”的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．
【詳解】解：把作業(yè)、睡眠、手機(jī)、讀物、體質(zhì)“五項管理”分別記為A、B、C、D、E，
畫樹狀圖如下：
共有20種等可能的結(jié)果，其中抽到“作業(yè)”和“手機(jī)”的結(jié)果有2種，
∴抽到“作業(yè)”和“手機(jī)”的概率為=，
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查的是用樹狀圖法求概率，用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比；解題的關(guān)鍵是畫樹狀圖時一定要不重不漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件．
17. 已知，根據(jù)圖1的y與x的關(guān)系，得到圖2平面直角坐標(biāo)系中的射線和射線．若點(diǎn)是y軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸交，于點(diǎn)M，N，連結(jié)，，則的面積最大值為____．
【答案】5
【解析】
【分析】本題考查一次函數(shù)相關(guān)問題，涉及到三角形面積、平行線分線段成比例、二次函數(shù)最值問題，解題的關(guān)鍵是由圖1確定直線和的解析式．
由圖1可知：直線和的解析式，進(jìn)而可求，，由軸及相似三角形的判定和性質(zhì)可得，，設(shè)點(diǎn)，則有點(diǎn), 點(diǎn)，求出，由三角形面積公式可得，根據(jù)二次函數(shù)最值問題即可求解．
【詳解】由圖1可知：直線：，直線：（x＞0），
將分別帶入直線，得：，
解得：，
∴點(diǎn)，
同理可得：點(diǎn)，
∴，，
∵軸，
∴，
∴，
∴，
∵點(diǎn)，
∴點(diǎn), 點(diǎn)，
∴，，
∴，
∴當(dāng)時有最大值5；
故答案為： 5．
18. 如圖，在矩形中，，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段上任一點(diǎn)，連接，以為直角邊在下方作等腰直角，為斜邊，連接，則周長最小值為____．
【答案】
【解析】
【分析】過點(diǎn)G作于點(diǎn)H，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，再由全等三角形的判定和性質(zhì)確定，過點(diǎn)G作直線，根據(jù)題意得出點(diǎn)G在直線l上運(yùn)動，作點(diǎn)D關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)T，連接，根據(jù)勾股定理及三角形三邊關(guān)系求解即可．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)G作于點(diǎn)H，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
過點(diǎn)G作直線，
∵，，
∴點(diǎn)G在直線l上運(yùn)動，
作點(diǎn)D關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)T，連接，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值為，
∴周長最小值為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】題目主要考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理解三角形等，理解題意，作出相應(yīng)輔助線，綜合運(yùn)用這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
三．解答題（共11小題）
19. 計算：．
【答案】3
【解析】
【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪以及負(fù)整指數(shù)冪進(jìn)行運(yùn)算即可．
【詳解】解：
=3．
【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，涉及到絕對值的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪以及負(fù)整指數(shù)冪，熟練掌握法則是解題的關(guān)鍵．
20. 解下列不等式（組）：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先移項，然后再合并同類項，最后未知數(shù)系數(shù)化為1即可；
（2）分別求出兩個不等式的解集，然后再求出不等式組的解集即可．
【小問1詳解】
解：，
移項合并同類項得：，
不等式兩邊同除以-1得：．
【小問2詳解】
解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式組的解集為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解不等式或不等式組的，掌握解不等式的一般步驟，是解題的關(guān)鍵．
21. 如圖，在中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，上，且，．
求證：．
【答案】證明見解析
【解析】
【分析】由題意知，，則，可證四邊形是平行四邊形，則，，，進(jìn)而結(jié)論得證．
【詳解】解：由題意知，，，，，
∴，
又∵，
∴四邊形平行四邊形，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，平行線的判定，全等三角形的判定等知識．解題的關(guān)鍵在于找到證明三角形全等的條件．
22. 12月9日15時40分，“天宮課堂”第一課開講啦！神舟十號乘組航天員翟志剛、王亞平、葉光富3名航天員演示微重力環(huán)境下細(xì)胞學(xué)實(shí)驗、物體運(yùn)動、液體表面張力等現(xiàn)象，并講解了實(shí)驗背后的科學(xué)原理，課堂中展示了四個實(shí)驗：A．浮力消失實(shí)驗、B．水膜張力實(shí)驗、C．水球光學(xué)實(shí)驗、D．泡騰片實(shí)驗．某校九年級數(shù)學(xué)興趣小組成員隨機(jī)抽取了本年級的部分同學(xué)，調(diào)查他們在這四個實(shí)驗中最感興趣的一個，并繪制了以下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，如圖所示：
請你根據(jù)以上信息．解答下列問題：
（1）本次調(diào)查的總?cè)藬?shù)為______人，扇形統(tǒng)計圖中“A”所在扇形的圓心角的度數(shù)為______°，C所占的百分比為______．
（2）請補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；
（3）根據(jù)本次調(diào)查估計該校九年級共有1200名學(xué)生中對B水膜張力實(shí)驗最感興趣的學(xué)生人數(shù)？
【答案】（1）160；54；；
（2）見解析；（3）420人．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)喜歡D組實(shí)驗的人數(shù)和喜歡D組實(shí)驗的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比，可求出被調(diào)查的總?cè)藬?shù)，從而求出答案；
（2）由（1）得：調(diào)查總?cè)藬?shù)為160人，即可求出B組人數(shù)，從而補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；
（3）用即可求出答案．
【小問1詳解】
解：由條形統(tǒng)計圖可得：喜歡D組實(shí)驗的人數(shù)有48人，
由扇形統(tǒng)計圖可得：喜歡D組實(shí)驗的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，
∴本次調(diào)查的總?cè)藬?shù)有（人）；
扇形統(tǒng)計圖中“A”所在扇形的圓心角的度數(shù)為：；
C所占的百分比為：；
故答案為：160；54；；
【小問2詳解】
解：由（1）得：調(diào)查總?cè)藬?shù)為160人，
∴B對應(yīng)人數(shù)為：（人），
補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖如下：
【小問3詳解】
解：由題意得：（人），
答：水膜張力實(shí)驗最感興趣的學(xué)生人數(shù)約420人．
【點(diǎn)睛】本題考查從條形統(tǒng)計圖和扇形圖獲取信息和處理信息，樣本容量，補(bǔ)畫條形圖，扇形圓心角，用樣本的百分比估計總體中的數(shù)量．
23. 如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，CN為⊙O的切線，OM⊥AB于點(diǎn)O，分別交AC、CN于D、M兩點(diǎn)．
（1）求證：MD=MC；
（2）若⊙O的半徑為5，AC=4，求MC的長．
【答案】（1）證明見解析；（2）MC=.
【解析】
【分析】（1）連接OC，利用切線的性質(zhì)證明即可；
（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理解答即可．
【詳解】（1）連接OC，
∵CN為⊙O的切線，
∴OC⊥CM，∠OCA+∠ACM=90°，
∵OM⊥AB，
∴∠OAC+∠ODA=90°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠ACM=∠ODA=∠CDM，
∴MD=MC；
（2）由題意可知AB=5×2=10，AC=4，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴BC==2，
∵∠AOD=∠ACB，∠A=∠A，
∴△AOD∽△ACB，
∴，即，
可得：OD=2.5，
設(shè)MC=MD=x，在Rt△OCM中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x2+52，
解得：x=，
即MC=．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，準(zhǔn)確添加輔助線，正確尋找相似三角形是解決問題的關(guān)鍵.
24. 為響應(yīng)傳統(tǒng)文化進(jìn)校園的號召，某校決定從網(wǎng)店購買《論語》和《弟子規(guī)》兩種圖書以供學(xué)生課外閱讀．已知兩種圖書的購買信息如下表：
（1）《論語》和《弟子規(guī)》每本的價格分別是多少元？
（2）若學(xué)校計劃購買《論語》和《弟子規(guī)》兩種圖書共100本，《弟子規(guī)》的數(shù)量不超過《論語》數(shù)量的2倍．請設(shè)計出最省錢的購買方案，并求出此方案的總費(fèi)用．
【答案】（1）《論語》每本的價格為20元，《弟子規(guī)》每本的價格為15元
（2）最省錢的購買方案是購買《論語》圖書的數(shù)量為34本，購買《弟子規(guī)》圖書的數(shù)量為66本，此方案的總費(fèi)用為1670元
【解析】
【分析】（1）設(shè)《論語》每本的價格為元，《弟子規(guī)》每本的價格為元，再根據(jù)購買信息表建立方程組，解方程組即可得；
（2）設(shè)購買《論語》圖書的數(shù)量為本，則購買《弟子規(guī)》圖書的數(shù)量為本，先根據(jù)“《弟子規(guī)》的數(shù)量不超過《論語》數(shù)量的2倍”求出的取值范圍，再設(shè)購買方案的總費(fèi)用為元，求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得．
【小問1詳解】
解：設(shè)《論語》每本的價格為元，《弟子規(guī)》每本的價格為元，
由題意得：，
解得，符合題意，
答：《論語》每本的價格為20元，《弟子規(guī)》每本的價格為15元．
【小問2詳解】
解：設(shè)購買《論語》圖書的數(shù)量為本，則購買《弟子規(guī)》圖書的數(shù)量為本，
由題意得：，
解得，
設(shè)購買方案的總費(fèi)用為元，
則，
由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時，隨的增大而增大，
因為是正整數(shù)，
所以當(dāng)時，取得最小值，最小值，
答：最省錢的購買方案是購買《論語》圖書的數(shù)量為34本，購買《弟子規(guī)》圖書的數(shù)量為66本，此方案的總費(fèi)用為1670元．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用，正確建立方程組和一次函數(shù)是解題關(guān)鍵．
25. 如圖，點(diǎn)B坐標(biāo)為，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，四邊形是平行四邊形，軸于點(diǎn)F，，反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D，與交于點(diǎn)C，且．

（1）求反比例函數(shù)解析式及C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若線段上一點(diǎn)P，使得，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）過點(diǎn)C作軸，交于點(diǎn)G，點(diǎn)M為直線上的一個動點(diǎn)，H為反比例函數(shù)上的動點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)H、M，使得以C、H、M為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出所有滿足條件的M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）反比例函數(shù)的解析式為，C(6,2)；
（2）
（3）存在H、M，使得以C、H、M為頂點(diǎn)的三角形與相似，M點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或或或．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正切函數(shù)及勾股定理解三角形得出，，即可確定，代入反比例函數(shù)解析式即可求解；設(shè)，過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作軸于點(diǎn)H，根據(jù)平行四邊形及相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可；
（2）過點(diǎn)P作于點(diǎn)T，作軸于點(diǎn)W，過點(diǎn)B作于點(diǎn)R，延長交x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)K，利用待定系數(shù)法確定直線的解析式為，再由等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理解三角形確定，，再由正切函數(shù)及相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可；
（3）根據(jù)題分情況分析：當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A為對應(yīng)點(diǎn)時，點(diǎn)H在點(diǎn)C右側(cè)的雙曲線上，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B為對應(yīng)點(diǎn)時，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)E為對應(yīng)點(diǎn)時，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A為對應(yīng)點(diǎn)時，分別作出相應(yīng)圖形，然后利用相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可．
【小問1詳解】
解：∵，
∴，
∵軸于點(diǎn)F，
∴，即，
∴，
∴，
∵點(diǎn)B坐標(biāo)為，
∴，
∴，
∵反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D，
∴，
∴反比例函數(shù)的解析式為，
設(shè)，過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作軸于點(diǎn)H，如圖所示：

∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴,
∵軸，軸，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴C(6,2)；
【小問2詳解】
如圖，過點(diǎn)P作于點(diǎn)T，作軸于點(diǎn)W，過點(diǎn)B作于點(diǎn)R，延長交x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)K，

設(shè)直線的解析式為，
∵，
，解得，
∴直線的解析式為，
令，得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵軸，軸，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴；
【小問3詳解】
存，理由如下：
根據(jù)圖象得：為鈍角三角形，
∴當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A為對應(yīng)點(diǎn)時，點(diǎn)H在點(diǎn)C右側(cè)的雙曲線上，在x軸上取點(diǎn)，
∵，
∴，
∴，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∵，
，解得，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立方程組，
解得：, ，
∴直線與雙曲線的交點(diǎn)為和均不符合題意，
當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B為對應(yīng)點(diǎn)時，如圖所示：

設(shè)，
過點(diǎn)H作軸，交CG于點(diǎn)L，作軸于點(diǎn)N，
則,，
∵，
∴，
∴，即
解得：（舍去），，
∴，
，
設(shè)，
∵或
∴或
或，
解得：或，
∴或；
當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)E為對應(yīng)點(diǎn)時，如圖所示：
作于點(diǎn)S，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
解得：（舍去），，
∴，
∴，
∵或，
或，
或，
解得：或，
∴或；
當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A為對應(yīng)點(diǎn)時，如圖所示：

設(shè)，過點(diǎn)H作軸，交CG于點(diǎn)L，作軸于點(diǎn)N，
則,，
∵，
∴，
∴，即
解得：（舍去），，
∴，
，
設(shè)，則，
∵或
∴或
或，
解得：或，
∴或；
綜上所述，存在H、M，使得以C、H、M為頂點(diǎn)的三角形與相似，
M點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或或或．
【點(diǎn)睛】題目主要考查平行四邊形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識點(diǎn)，然后進(jìn)行分情況分析是解題關(guān)鍵．
26. 等腰直角三角形ABC中,AC=BC=4，E為AC中點(diǎn),以CE為斜邊作如圖所示等腰直角三角形CED.
（1）觀察猜想:如圖1所示,過D作DF⊥AE于F,交AB于G,線段CD與BG的關(guān)系為；
（2）探究證明:如圖2所示，將△CDE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)到如圖所示位置，過D作DF⊥AE于F，過B作DE的平行線與直線FD交于點(diǎn)G,(1)中結(jié)論是否成立?請說明理由；
（3）拓展延伸:如圖3所示,當(dāng)E、D、G共線時,直接寫出DG的長度.
【答案】（1）CD⊥BG，CD=BG；（2）CD⊥BG，CD=BG，見解析；（3）2-2或2+2.
【解析】
【分析】（1）由題意得到猜想CD⊥BG，CD=BG；
（2）延長ED至H，使得DH=DE，連接CH.根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定(SAS)和性質(zhì)，得到AE=BH，∠EAC=∠HBC，再根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)即可得到答案；
（3）根據(jù)三點(diǎn)共線的性質(zhì)，結(jié)合題意即可得到答案.
詳解】解：(1)CD⊥BG，CD=BG
(2)延長ED至H，使得DH=DE，連接CH.
易證△CEH為等腰直角三角形，∴∠ECH=∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠BCH，又∵AC=BC，EC=HC
∴△ACE≌BCH(SAS)，∴AE=BH，∠EAC=∠HBC，
又∵∠HBC+∠BCA=CAK+AKB
∴∠AKB=∠ACB=90°，又∵DF⊥AE，∴BH∥GE，又∵BG∥EH，
∴四邊形BHDG為平行四邊形，∴DH=BG，又∵CD=DH，CD⊥DH，
∴CD⊥BG，CD=BG
(3)2-2或2+2
【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定(SAS)和性質(zhì)及平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定(SAS)和性質(zhì)及平行四邊形的判定和性質(zhì).
27. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的頂點(diǎn)D為（1，-1），且經(jīng)過點(diǎn)．
（1）求這個拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）如圖1，過點(diǎn)D且平行于x軸的直線l，與直線OB相交于點(diǎn)A，過點(diǎn)B作直線l的垂線，垂足為C、若點(diǎn)Q是拋物線上BD之間的動點(diǎn)（不與B、D重合），連接DQ并延長交BC于點(diǎn)E．
①當(dāng)時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)：
②如圖2，連接BQ并延長交CD于點(diǎn)F，在點(diǎn)Q運(yùn)動的過程中，的值是否發(fā)生變化?若不變求出該定值，若變化說明理由．
【答案】（1）
（2）①點(diǎn)E坐標(biāo)為（3，）
②的值不發(fā)生變化，定值為8
【解析】
【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)拋物線解析式為，把點(diǎn)B坐標(biāo)代入求出a值，即可得答案；
（2）①如圖，過點(diǎn)Q作QH⊥l于H，設(shè)直線l交y軸于M，根據(jù)BC⊥l可得點(diǎn)C橫坐標(biāo)，BC//QH，即可得出CD的長，△DHQ∽△EDC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出DH的長，即可求出MH的長，可得點(diǎn)Q橫坐標(biāo)，代入拋物線解析式可得點(diǎn)Q坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線DE的解析式，根據(jù)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)即可得點(diǎn)E坐標(biāo)；
②如圖，過點(diǎn)Q作QH⊥l于H，QG⊥BC于G，設(shè)直線l交y軸于M，Q（t，t2-2t），可得G（3，t2-2t），H（t，-1），QH//BC，QG//l，即可證明△EQG∽△EDC，△BQG∽△BFC，進(jìn)而可用t表示出BG、QG、DH、QH的長，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可表示出FC、CE的長，進(jìn)而可求出的值，即可得答案．
【小問1詳解】
∵拋物線的頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，-1），
∴設(shè)拋物線解析式為，
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，
∴，
解得：a=1，
∴這個拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為=．
【小問2詳解】
①如圖，過點(diǎn)Q作QH⊥l于H，設(shè)直線l交y軸于M，
∵BC⊥l，B（3，3），D（1，-1），l//x軸，
∴BC//QH，點(diǎn)C坐標(biāo)為（3，-1），
∴CD=2，△DHQ∽△DCE，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴MH=，
∴點(diǎn)Q橫坐標(biāo)為，
∵點(diǎn)Q在拋物線上，
∴點(diǎn)Q縱坐標(biāo)為=，
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（，），
設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直線DE的解析式為，
當(dāng)x=3時，y==，
∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（3，）．
②如圖，過點(diǎn)Q作QH⊥l于H，QG⊥BC于G，設(shè)直線l交y軸于M，Q（t，t2-2t），
∴G（3，t2-2t），H（t，-1），QH//BC，QG//l，
∴△EQG∽△EDC，△BQG∽△BFC，
∴，，
∵B（3，3），O（0，0），
∴直線OB的解析式為y=x，
∵直線l與OB交于點(diǎn)A，
∴A（-1，-1），
∴AC=4，BC=4，BG=3-t2+2t，QG=3-t，DH=t-1，QH=t2-2t+1，
∴，，
解得：CE=2t-2，CF=，
∴=（4+2t-2）=8，
∴的值不發(fā)生變化，定值為8．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵．
《論語》數(shù)量/本
《弟子規(guī)》數(shù)量/本
總費(fèi)用（元）
40
30
1250
50
20
1300

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多