2022-2023學(xué)年深圳高級(jí)中學(xué)高二第一學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 若集合，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】解不等式求出，，求出交集.【詳解】，，故.故選：B2. 已知復(fù)數(shù)，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再求出復(fù)數(shù)的模作答.【詳解】依題意，，所以.故選：D3. “”是“”的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】求出的等價(jià)條件，結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】，因?yàn)椤?/span>”“”且“”“”，因此，“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4. 已知函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)的單調(diào)性及定義域化簡(jiǎn)不等式，即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上是減函數(shù)，且，則有解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A．5. 已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列可以推出的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】A，有可能出現(xiàn)，平行這種情況.B，會(huì)出現(xiàn)平面，相交但不垂直的情況.C，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理判斷.D，根據(jù)面面垂直的判定定理判斷.【詳解】對(duì)于A，，，若，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，會(huì)出現(xiàn)平面，相交但不垂直的情況，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?/span>，，則，又因?yàn)?/span>，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，又由，故D正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查空間中的平行、垂直關(guān)系的判定，還考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.6. 在長(zhǎng)方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（    ）A.  B. AB與平面所成的角為C.  D. 與平面所成的角為【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線面角的定義以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征即可求出．【詳解】如圖所示：不妨設(shè)，依題以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征可知，與平面所成角為，與平面所成角為，所以，即，，解得．對(duì)于A，，，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，過(guò)作于，易知平面，所以與平面所成角為，因?yàn)?/span>，所以，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，與平面所成角為，，而，所以．D正確．故選：D． 7. 2022年北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式中，當(dāng)《雪花》這個(gè)節(jié)目開(kāi)始后，一片巨大的“雪花”呈現(xiàn)在舞臺(tái)中央，十分壯觀．理論上，一片雪花的周長(zhǎng)可以無(wú)限長(zhǎng)，圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”，又稱“科赫曲線”，是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年研究的一種分形曲線．如圖是“雪花曲線”的一種形成過(guò)程：從一個(gè)正三角形開(kāi)始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，重復(fù)進(jìn)行這一過(guò)程．已知圖①中正三角形的邊長(zhǎng)為3，則圖③中的值為（    ）A.  B.  C. 6 D. 【答案】C【解析】【分析】在圖③中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由向量的運(yùn)算求得的坐標(biāo)，再由數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算．【詳解】在圖③中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系， ，，，即，，由分形知，所以，所以，所以．故選：C．8. 已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，實(shí)軸為，虛軸為，直線與直線相交于點(diǎn).若，則的離心率等于（    ）A. 5 B. 3 C.  D. 【答案】A【解析】【分析】連接，通過(guò)構(gòu)造平行線，由對(duì)應(yīng)線段成比例，解得，可得雙曲線離心率.【詳解】如圖所示，，則，連接，由雙曲線的對(duì)稱性，可得，，得，故雙曲線的離心率．故選：A．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得2分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9. 已知雙曲線方程：，則在該雙曲線中下列結(jié)論中正確的是（    ）A. 實(shí)軸長(zhǎng)為6 B. 漸近線方程為C. 焦距是4 D. 焦點(diǎn)到漸近線的距離是【答案】ABD【解析】【分析】由雙曲線方程得到的值，進(jìn)而得到實(shí)軸長(zhǎng)，漸近線方程和焦距，利用點(diǎn)到直線距離求出焦點(diǎn)到漸近線的距離.【詳解】中，故，故，則實(shí)軸長(zhǎng)為，漸近線方程為，B正確；焦距為，C錯(cuò)誤；由對(duì)稱性，不妨取焦點(diǎn)到漸近線距離為，D正確.故選：ABD10. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的有（    ）A. 是遞減數(shù)列 B. C.  D. 當(dāng)最小時(shí)，【答案】BCD【解析】【分析】由數(shù)列前項(xiàng)和為，可求數(shù)列通項(xiàng)，然后逐個(gè)驗(yàn)證選項(xiàng).【詳解】，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，注意到時(shí)也滿足，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，，是遞增數(shù)列，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，B選項(xiàng)正確；，C選項(xiàng)正確；，，當(dāng)最小時(shí)，，D選項(xiàng)正確.故選：BCD.11. 已知點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，連接，則（    ）A. 當(dāng)四邊形為正方形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為 B. 的取值范圍為C. 當(dāng)為等邊三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為 D. 直線過(guò)定點(diǎn)【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)距離公式及圓心切點(diǎn)構(gòu)成的直角三角形求解，再利用過(guò)定點(diǎn)的判斷法則進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)：當(dāng)四邊形為正方形時(shí)，則則圓又點(diǎn)是直線上一點(diǎn)設(shè)，即該方程，無(wú)解故不存在點(diǎn)使得為正方形，A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)：由A知，，則，即的取值范圍是故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：若三角形為等邊三角形為等邊三角形，易知又平分在中，由于又點(diǎn)坐標(biāo)為：，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：記中點(diǎn)為則以D為圓心，為半徑的圓與圓的公共弦為圓方程為整理得聯(lián)立，化簡(jiǎn)得即得直線方程為將代入方程恒成立；故直線過(guò)定點(diǎn)，D正確.故選：BD12. 已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為，其外接球的球心為O．點(diǎn)E滿足，，過(guò)點(diǎn)E作平面平行于AC和BD，平面分別與該正四面體的棱BC，CD，AD相交于點(diǎn)M，G，H，則（    ）A. 四邊形EMGH的周長(zhǎng)為是變化的B. 四棱錐的體積的最大值為C. 當(dāng)時(shí)，平面截球O所得截面的周長(zhǎng)為D. 當(dāng)時(shí)，將正四面體ABCD繞EF旋轉(zhuǎn)后與原四面體的公共部分體積為【答案】BD【解析】【分析】將正四面體轉(zhuǎn)化為正方體，利用正方體的性質(zhì)分析運(yùn)算.對(duì)A：根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理結(jié)合平行線的性質(zhì)分析運(yùn)算；對(duì)B：根據(jù)錐體體積公式，利用導(dǎo)數(shù)求其最值；對(duì)C：根據(jù)球的性質(zhì)分析運(yùn)算；對(duì)D：根據(jù)正方體分析可得：兩個(gè)正四面體的公共部分兩個(gè)全等的正四棱錐組合而成，利用錐體體積公式運(yùn)算求解.【詳解】對(duì)于邊長(zhǎng)為2的正方體，則ABCD為棱長(zhǎng)為的正四面體，則球心O即為正方體的中心，連接，設(shè)∵，，則為平行四邊形∴，又∵平面，平面，∴平面，又∵平面，，平面，∴平面平面，對(duì)A：如圖1，∵平面平面，平面平面，平面平面，∴，則，即，同理可得： ，，，，∴四邊形EMGH的周長(zhǎng)（定值），A錯(cuò)誤；對(duì)B：如圖1，由A可知：，，，，∵為正方形，則，∴為矩形，根據(jù)平行可得：點(diǎn)A到平面的距離，故四棱錐的體積，則，∵，則當(dāng)時(shí)，則，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，則，在上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，取到最大值，故四棱錐的體積的最大值為，B正確；對(duì)C：正四面體ABCD的外接球即為正方體的外接球，其半徑，設(shè)平面截球O所得截面的圓心為，半徑為，當(dāng)時(shí)，則，∵，則，∴平面截球O所得截面的周長(zhǎng)為，C錯(cuò)誤；對(duì)D：如圖2，將正四面體ABCD繞EF旋轉(zhuǎn)后得到正四面體，設(shè)，∵，則分別為各面的中心，∴兩個(gè)正四面體的公共部分為，為兩個(gè)全等的正四棱錐組合而成，根據(jù)正方體可得：，正四棱錐的高為，故公共部分的體積，D正確；故選：BD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于正四面體的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，我們常轉(zhuǎn)化為正方體，利用正方體的性質(zhì)處理相關(guān)問(wèn)題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 拋物線的準(zhǔn)線方程是______.【答案】【解析】【分析】先將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求出的值，即可求解.【詳解】由得拋物線方程為，所以，所以拋物線的準(zhǔn)線方程是，故答案為：.14. 正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，則異面直線與所成的角余弦值是______．【答案】【解析】【分析】分別取AB,BB1,B1C1,的中點(diǎn)L,M,N,則∥，∥，進(jìn)而（或其補(bǔ)角）是直線與所成角，然后解出的三邊，進(jìn)而用余弦定理即可解得.【詳解】設(shè)三棱柱棱長(zhǎng)為2，取AB,BB1,B1C1,BC的中點(diǎn)分別為L,M,N,P，連接，∴∥，∥，設(shè)直線，所成角為，∴.連接，容易判斷NP⊥LP，易知：,∴,易知：LB=BM=1，∠LBM=90°，∴，同理：.在中，由余弦定理：，∴.故答案為：.15. 若數(shù)列，則________.【答案】5000【解析】【分析】按奇偶項(xiàng)分組，再利用等差數(shù)列的求和公式代入計(jì)算即可.【詳解】，由已知可得，，所以原式.故答案為5000.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列求和問(wèn)題，涉及分組求和與公式法求和，屬中等難度題.16. 過(guò)雙曲線：的左焦點(diǎn)的動(dòng)直線與的左支交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)的右焦點(diǎn)為.若存在直線，使得，則的離心率的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】由題可設(shè)為，，，聯(lián)立l與雙曲線的方程可得、；根據(jù)得，將、代入可得關(guān)于m的表達(dá)式，根據(jù)m范圍和可求離心率范圍﹒【詳解】依題意知直線的斜率不為0，設(shè)的方程為，聯(lián)立，消去，得，設(shè)，，則由知，，，由得，故，即，整理得，將、代入整理得，，則，∴，故，∴，兩邊除以，得，解得，又∵，∴，故，又A、B在左支且過(guò)，∴，即，故，∴，∴，即，則，故，即，綜上：，即．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵在于根據(jù)直線l方程里面m的范圍，得到關(guān)于a、b、c的不等式，從而求得離心率的范圍．四、解答題17. 內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，．（1）若，求的周長(zhǎng)；（2）若，求的面積．【答案】（1）18    （2）【解析】【分析】（1）由正弦定理邊化角可求出，結(jié)合余弦定理，由代換，求得，進(jìn)而得解；（2）由正弦定理，代換得，求出，可解得，由正弦面積公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?/span>，所以．又，所以，即．又，所以．，解得，則．故的周長(zhǎng)；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?/span>，所以．由，，得，解得，．故的面積．18. 等比數(shù)列中，，且成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列，求數(shù)列前項(xiàng)的和.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）設(shè)出公比，得到，求出公比，得到通項(xiàng)公式；（2）在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，得到，裂項(xiàng)相消法求和.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為.因?yàn)?/span>，且已成等差數(shù)列，所以，因?yàn)?/span>，所以，即，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問(wèn)2詳解】由（1）得數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以數(shù)列所以數(shù)列前項(xiàng)的和.19. 如圖，在多面體中，平面平面，，，，，是的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）證明見(jiàn)解析    （2）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，結(jié)合三角形中位線性質(zhì)可證得四邊形為平行四邊形，從而得到，由線面平行的判定可證得結(jié)論；（2）根據(jù)面面垂直性質(zhì)可得平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)點(diǎn)到面距離向量求法可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】取中點(diǎn)，連接，分別為中點(diǎn)，，，又，，，，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面【小問(wèn)2詳解】平面平面，平面平面，，平面，平面，又，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)?/span>軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，，點(diǎn)到平面的距離.20. 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：的焦點(diǎn)為F，P是C上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，PF與x軸垂直，．（1）求C的方程；（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線l與C交于異于點(diǎn)P的A，B兩點(diǎn)，若的面積為，求l的方程．【答案】（1）    （2）或．【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線方程以及P的位置關(guān)系，由即可計(jì)算拋物線方程；（2）由題意可知直線l的斜率一定存在，設(shè)出直線方程并與拋物線聯(lián)立方程組，利用弦長(zhǎng)公式并根據(jù)的面積為即可求得直線的斜率，得到直線方程.【小問(wèn)1詳解】由題可知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．因?yàn)?/span>，所以，解得p＝6或p＝－6（舍去），故C的方程為．【小問(wèn)2詳解】由題可知，，所以直線l的斜率一定存在，可設(shè)l的方程為，，．聯(lián)立方程組，整理得，則，．所以的面積，解得或（舍去），故l的方程為或．21. 如圖1，在直角三角形中，為直角，在上，且，作于，將沿直線折起到所處的位置，連接，如圖2.（1）若平面平面，求證:；（2）若二面角為銳角，且二面角的正切值為，求的長(zhǎng).【答案】（1）證明見(jiàn)解析    （2）【解析】【分析】(1)由題意知，由面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，進(jìn)而可得；(2) 作所在的直線于點(diǎn),由題意可得知，所以平面，即可得平面平面，作于點(diǎn)，連接，進(jìn)而可得為二面角的平面角，設(shè)，則，設(shè)，則，進(jìn)而可得，解得，再由，計(jì)算即可得答案.【小問(wèn)1詳解】證明：由題意知，又平面平面，平面平面平面，所以平面.又平面，所以；【小問(wèn)2詳解】解：由題意知，平面平面因而平面，又平面，因而平面平面.如圖，作所在的直線于點(diǎn)，又平面平面，平面，所以平面.作于點(diǎn)，連接，則為二面角的平面角，設(shè)，則，在中，，所以，設(shè)，則，因而，在直角三角形中，，即，解得或（舍去），此時(shí)，從而.22. 已知橢圓：的長(zhǎng)軸為雙曲線的實(shí)軸，且橢圓過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）設(shè)點(diǎn)，是橢圓上異于點(diǎn)的兩個(gè)不同的點(diǎn)，直線與的斜率均存在，分別記為，，若，試問(wèn)直線是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，若經(jīng)過(guò)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）    （2）直線AB恒過(guò)定點(diǎn)．【解析】【分析】（1）由題意可得，，求出，從而可得橢圓方程，（2）討論直線AB的斜率存在和不存在兩種情況討論，設(shè)出直線AB的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出直線PA與PB的斜率，再由列方程可得參數(shù)的關(guān)系，代入直線方程可求出直線恒過(guò)的定點(diǎn)．【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闄E圓C：的長(zhǎng)軸為雙曲線的實(shí)軸，所以，因?yàn)闄E圓C過(guò)點(diǎn)，所以，即，得所以橢圓方程為，【小問(wèn)2詳解】①當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，，， 由，得，，所以，所以，，因?yàn)?/span>，所以，即，則，所以，化簡(jiǎn)得，即，所以或，當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為，則直線過(guò)定點(diǎn)（舍去），當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為，所以直線過(guò)定點(diǎn)，②當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線為，由，得所以，所以，解得（舍去），或，所以直線也過(guò)定點(diǎn)，綜上，直線AB恒過(guò)定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中與曲線相交的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，一般采取“設(shè)而不求”的思想方法，即設(shè)直線方程為，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，，直線方程代入圓錐曲線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得，或，，然后交點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算其它量(如斜率、弦長(zhǎng)等)并利用其滿足的性質(zhì)和題目條件求得參數(shù)值或參數(shù)和關(guān)系后由直線方程可得定點(diǎn)坐標(biāo).
 

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