2022-2023學(xué)年廣東省深圳市科學(xué)高中高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

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2022-2023學(xué)年廣東省深圳市科學(xué)高中高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（    ）．A． B． C．1 D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算，復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)關(guān)系解決即可.【詳解】，所以，所以復(fù)數(shù)的虛部為1．故選：C．2．已知集合，，則（    ）．A． B．C． D．【答案】B【分析】利用根式定義域化簡(jiǎn)集合，再利用集合并集的定義求解即可.【詳解】由根式有意義得解得，所以，所以，故選：B3．中國(guó)共產(chǎn)黨的第二十次全國(guó)代表大會(huì)于2022年10月16日至10月22日勝利召開(kāi)．黨的二十大報(bào)告鼓舞人心，內(nèi)涵深刻豐富．某單位黨支部評(píng)選了3份優(yōu)秀學(xué)習(xí)報(bào)告心得體會(huì)，團(tuán)支部評(píng)選了2份優(yōu)秀學(xué)習(xí)報(bào)告心得體會(huì)，現(xiàn)從中隨機(jī)抽選3份參展，其中黨支部、團(tuán)支部各至少一份的概率是（    ）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可首先算出基本事件數(shù)，再運(yùn)用正難則反的思想算出符合條件的基本事件數(shù)，即可得出概率.【詳解】解：從黨支部和團(tuán)支部評(píng)選的5份優(yōu)秀心得體會(huì)中隨機(jī)抽選3份，共有種情況，黨支部、團(tuán)支部各至少一份的對(duì)立事件為3份全是黨支部的，有種情況，概率為，所以，所求概率為．故選：D．4．已知直線，直線，設(shè)，則是的（    ）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)兩直線平行的條件可知，計(jì)算出的值即可得出結(jié)論.【詳解】解：兩直線平行的充分必要條件是，且，解得，經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，兩直線平行．故選：C．5．《算數(shù)書(shū)》竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國(guó)現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐底面周長(zhǎng)L與高h，計(jì)算其體積V的近似公式，一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖扇形的中心角為，半徑為5．按上述公式計(jì)算該幾何體的體積為（    ）．（計(jì)算時(shí)圓周率近似取3）A．48 B．49 C．52 D．54【答案】A【分析】求出底面周長(zhǎng)及圓錐的高，利用所給近似公式計(jì)算得解.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，則圓錐的底面周長(zhǎng)，所以，高，由近似公式得．故選：A．6．拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在C內(nèi)，點(diǎn)M為C上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，線段的垂直平分線恰好交C于點(diǎn)M，則p的值為（    ）．A．4 B．2 C．6 D．2或6【答案】D【分析】利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為拋物線上動(dòng)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離與定點(diǎn)距離之和最值，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小，此時(shí)求出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程即可求解.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線，過(guò)M作于H，根據(jù)拋物線的定義，，當(dāng)最小時(shí)，A、M、H三點(diǎn)共線，又M在的垂直平分線上，則，此時(shí)M為的中點(diǎn)，M的坐標(biāo)為，代入拋物線方程中得，，解得或6．故選：D．7．已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，，以為直徑的圓與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，則橢圓離心率的范圍為（    ）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓的直徑及圓與橢圓交點(diǎn)的個(gè)數(shù)可得，據(jù)此可求出橢圓的離心率.【詳解】因?yàn)橐?/span>為直徑的圓與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，所以，即，，，所以，即，又因?yàn)?/span>，所以橢圓離心率的取值范圍為．故選：A．8．已知雙曲線的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為，雙曲線右支上存在一點(diǎn)，滿(mǎn)足，，則的離心率為（    ）．A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】設(shè)，由，得，得，由題知，，設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為，連接，則，在中，由余弦定理化簡(jiǎn)可得，即可解決.【詳解】設(shè)，則，，又，則，即，所以，因?yàn)?/span>，所以，得，，所以，，因?yàn)?/span>，所以，設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為，連接，則，所以在中，由余弦定理得，整理得，即，得．故選：B． 二、多選題9．已知向量，，則（    ）．A．與共線，則B．時(shí)，與的夾角為銳角C．時(shí)，在方向上的投影向量為D．的最小值為1【答案】CD【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示判斷AB，由投影向量的坐標(biāo)表示判斷C，利用坐標(biāo)求出向量模求最小值即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，與共線，則，．故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，時(shí)，與共線同向，夾角不為銳角，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在方向上的投影向量為，時(shí)，，故C正確；對(duì)于D．，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確．故選：CD．10．若曲線方程為，則（    ）．A．曲線可能是圓B．曲線是橢圓的充要條件是C．若，則曲線一定是雙曲線D．若，則曲線的離心率【答案】AC【分析】利用橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程形式判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，若，則曲線是圓．故A正確；對(duì)于B，若曲線是橢圓，則，，故成立．但曲線為圓不成立．故“”是“曲線是橢圓”的必要而不充分條件．故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，曲線是雙曲線，故C正確；對(duì)于D，若，則曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓．則，故D錯(cuò)誤．故選：AC11．函數(shù)在上單調(diào)遞增，下列命題正確的有（    ）．A．的圖像向左平移三個(gè)單位得的圖象B．的圖像有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為C．是圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸D．在上單調(diào)遞減【答案】BCD【分析】由在上單調(diào)遞增，結(jié)合可得的值，后依次驗(yàn)證選項(xiàng)正誤即可.【詳解】因，則．由題意可知為單調(diào)遞增區(qū)間的子集，即，其中解得，，由，，得，則，又，所以，所以．對(duì)于A，的圖像向左平移3個(gè)單位，得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，當(dāng)時(shí)，.則是圖像的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心.故B正確.對(duì)于C，令，當(dāng)時(shí)，.則是圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸.故C正確.對(duì)于D，由，解得的單調(diào)遞減區(qū)間為，取，的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為，因?yàn)?/span>．故D正確．故選：BCD．12．正方體的棱長(zhǎng)為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F，（E、F均不與、重合）保持，則（    ）．A．B．存在點(diǎn)F，使平面C．三棱錐的體積為D．不存在點(diǎn)F，使與平面所成角的正切值為【答案】ACD【分析】根據(jù)正方體性質(zhì)得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可判斷A；假設(shè)存在點(diǎn)F，使平面，可得此時(shí)F與重合，與題意矛盾；根據(jù)保持不變，可知三棱錐的底面積為定值，根據(jù)棱錐的體積公式可得C正確；顯然為與平面所成的角，的正切值始終大于，故不存在點(diǎn)F，即D正確.【詳解】如下圖所示：對(duì)于A，由正方體的性質(zhì)易證平面，平面，故A正確；對(duì)于B，假設(shè)存在點(diǎn)F，使平面，因?yàn)?/span>平面，直線與平面交于，所以平面與平面交于過(guò)的一條直線L，由線面平行的性質(zhì)定理，同理得，由公理得，這與矛盾，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題可知，的面積為，易知平面，則平面，設(shè)與交于點(diǎn)G，則平面，所以點(diǎn)C到平面的距離為，，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?/span>平面，連接，則為與平面所成的角，在直角三角形中，，，，，故D正確．故選ACD． 三、填空題13．拋物線（）的焦點(diǎn)坐標(biāo)是___________．【答案】【詳解】試題分析：由拋物線（），可得，則，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為．【解析】拋物線的幾何性質(zhì)．14．圓與圓的公切線方程為__________．【答案】【分析】由題意可判斷兩圓內(nèi)切，求出切點(diǎn)即可得切線方程．【詳解】解：圓，即，得,所以故兩圓內(nèi)切，公切線只有一條，與兩圓圓心的連線即x軸垂直，由得所以切點(diǎn)為，故公切線方程為．故答案為：．15．已知，則大小關(guān)系是__________．【答案】【分析】設(shè)，得，，，然后作商法比較和大小解決即可.【詳解】因?yàn)?/span>，設(shè)，所以，，，因?yàn)?/span>，所以，，，因?yàn)?/span>，所以．因?yàn)?/span>，所以．故答案為：．16．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)右焦點(diǎn)作直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，若，則__________．【答案】【分析】設(shè)，則，由橢圓的定義得，，由即可求解結(jié)果．【詳解】解：如圖，橢圓C的焦點(diǎn)為，，設(shè)，則，由橢圓的定義得，．在三角形中，由余弦定理得．在三角形中，由余弦定理得．因?yàn)?/span>，所以，解得，，所以．故答案為：． 四、解答題17．命題，，命題q：函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R．(1)若命題q為真命題，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；(2)若命題p為真命題，且命題q為假命題，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的定義域可得對(duì)任意，恒成立，再分二次項(xiàng)系數(shù)為0與二次函數(shù)的判別式和開(kāi)口方向列式求解即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)的開(kāi)口與判別式可得命題p為真命題時(shí)，再根據(jù)（1）中命題q為真命題時(shí)t的取值范圍的補(bǔ)集求解即可.【詳解】（1）命題q為真命題，即對(duì)任意，恒成立，所以或，得．所以若命題q為真命題，實(shí)數(shù)t的取值范圍是．（2）由（1）知命題q為假命題時(shí)，或．若命題p為真命題，則或，解得．故命題p為真命題，且命題q為假命題，實(shí)數(shù)t的取值范圍是．18．在中，角所對(duì)的邊分別為，且．(1)求；(2)若，求的面積的最大值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用三角恒等變換求解即可；（2）利用余弦定理結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】（1）由得，因?yàn)?/span>中，所以，所以，又在中，，所以，所以.（2）在中由余弦定理得，即，因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的面積，所以的面積S的最大值為．19．已知橢圓上一點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4，離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，為左焦點(diǎn)，記直線的斜率為，直線的斜率為，求證：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）由題意可知，橢圓長(zhǎng)軸，再由離心率可計(jì)算得，即得橢圓方程；（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，分別寫(xiě)出的表達(dá)式，結(jié)合韋達(dá)定理即可證明.【詳解】（1）由題意得則，故， 所以，橢圓C的方程為．（2）如下圖示所示：由題意可知，直線斜率必然存在，設(shè)為，，且，聯(lián)立直線和橢圓方程并整理得：，所以，，且，即，而，又，所以,得證.20．拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)．(1)當(dāng)n為常數(shù)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足、的斜率之積為，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(2)當(dāng)n變化時(shí)，y軸上是否存在點(diǎn)C（異于原點(diǎn)），使得過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓H被y軸截得的弦長(zhǎng)為？若存在，求出此點(diǎn)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)不存在，理由見(jiàn)解析. 【分析】（1）設(shè)，，，根據(jù)條件列出方程化簡(jiǎn)即可得出軌跡方程；（2）假設(shè)y軸上存在點(diǎn)，由條件求出圓心坐標(biāo)，利用半弦長(zhǎng)、半徑、弦心距之間的關(guān)系求出弦長(zhǎng)，判斷弦長(zhǎng)范圍得解.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．設(shè)，，，則，，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足、的斜率之積為，即，即為動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．（2）假設(shè)y軸上存在點(diǎn)，滿(mǎn)足題設(shè)條件，圓心H為線段、中垂線的交點(diǎn)，由（1）可得，所以的中垂線方程為．①的中點(diǎn)坐標(biāo)為，可得的中垂線方程為，②又，③由①②③解得，，所以過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑．故圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為，故y軸上不存在點(diǎn)C滿(mǎn)足題設(shè)條件.21．如圖，直棱柱的高為4，底面為平行四邊形，，，分別為線段、的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，，利用線面垂直的判定定理求解即可；（2）利用空間直角坐標(biāo)系求解即可.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，，，因?yàn)?/span>為平行四邊形，，，所以三角形為正三角形，所以，所以為菱形，所以三角形為正三角形，所以,因?yàn)樗睦庵鶠橹崩庵?/span>平面，因?yàn)?/span>平面，所以，又，，所以平面．又，，所以為平行四邊形，所以，平面．（2）因?yàn)?/span>，，所以，所以，，兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，分別以，，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，由方程組解得，設(shè)平面的法向量為，，，由方程組解得，所以，，，，因?yàn)槎娼?/span>為鈍角，故所求二面角的余弦值為．22．以雙曲線的右焦點(diǎn)為圓心作圓，與的一條漸近線切于點(diǎn)．(1)求雙曲線的離心率及方程；(2)點(diǎn)分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)作一條斜率為的直線，與雙曲線交于點(diǎn)，記直線的斜率分別為，．求的值．【答案】(1)離心率為，方程為；(2)． 【分析】（1）利用雙曲線的幾何性質(zhì)求解即可；（2）設(shè)的方程為，，，將直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得和關(guān)于的表達(dá)式，再計(jì)算并化簡(jiǎn)即可.【詳解】（1）雙曲線的漸近線為，所以圓與切于點(diǎn)，．①設(shè)，則，即，②又，③由①②③解得，，，所以雙曲線的離心率為，方程為．（2）因?yàn)?/span>，，，設(shè)的方程為，，，由，消去整理得，所以且解得，所以，，，，．故的值為．【點(diǎn)睛】解決直線與圓錐曲線相交（過(guò)定點(diǎn)、定值）問(wèn)題的常用步驟：（1）設(shè)出直線方程，設(shè)交點(diǎn)為；（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于x或y的一元二次方程；（3）寫(xiě)出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為和形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.