（考試時(shí)間：120分鐘，試卷滿分：150分）
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．己知集合,則（ ）
A． B． C． D．
2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知,則（ ）
A． B． C． D．
4．已知,則（ ）
A． B． C． D．
5．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)M為關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)．若,且的面積為8，則C的方程為（ ）
A． B． C． D．
6．如圖，正六邊形的邊長(zhǎng)為，半徑為1的圓O的圓心為正六邊形的中心，若點(diǎn)M在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)A,B在圓O上運(yùn)動(dòng)且關(guān)于圓心O對(duì)稱，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
7．中國蹴鞠已有兩千三百多年的歷史，于2004年被國際足聯(lián)正式確認(rèn)為世界足球運(yùn)動(dòng)的起源．蹴鞠在2022年卡塔爾世界杯上再次成為文化交流的媒介，走到世界舞臺(tái)的中央，訴說中國傳統(tǒng)非遺故事．為弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)文化，某市四所高中各自組建了蹴鞠隊(duì)（分別記為“甲隊(duì)”“乙隊(duì)”“丙隊(duì)”“丁隊(duì)”）進(jìn)行單循環(huán)比賽（即每支球隊(duì)都要跟其他各支球隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)比賽），最后按各隊(duì)的積分排列名次（積分多者名次靠前，積分同者名次并列），積分規(guī)則為每隊(duì)勝一場(chǎng)得3分，平場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分．若每場(chǎng)比賽中兩隊(duì)勝、平、負(fù)的概率均為，則在比賽結(jié)束時(shí)丙隊(duì)在輸了第一場(chǎng)的情況下，其積分仍超過其余三支球隊(duì)的積分的概率為（ ）
A． B． C． D．
8．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R,記,且為偶函數(shù)，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分．若只有2個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)一個(gè)得3分；若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)一個(gè)得2分．
9．下列說法正確的是（ ）
A．用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從含有50個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為10的樣本，則個(gè)體m被抽到的概率是0.2
B．已知一組數(shù)據(jù)1,2，m,6,7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的方差是5
C．?dāng)?shù)據(jù)27,12,14,30,15,17,19,23的50%分位數(shù)是17
D．若樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為16
10．已知函數(shù),若不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值可能是（ ）
A． B． C．1 D．2
11．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，M是棱的中點(diǎn)．P是平面上的動(dòng)點(diǎn)（如下圖），則下列說法正確的是（ ）
A．若點(diǎn)P在線段上，則平面
B．平面平面
C．若,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為拋物線
D．以的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，三棱錐體積的取值范圍為
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在答題卡中的橫線上．
12．的展開式中的系數(shù)為___________．
13．已知正數(shù)x,y滿足,若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________．
l4．斐波那契數(shù)列,又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家萊昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個(gè)數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…,在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列以如下遞推的方式定義：且中，則B中所有元素之和為奇數(shù)的概率為_____________________．
四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）在中，已知內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,且的面積為，點(diǎn)D是線段上靠近點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn)，．
（1）若，求c；
（2）若,求的值．
16．（15分）如圖，在三棱錐中，．
（1）證明：平面平面;
（2）若E是線段上的點(diǎn)，且,求二面角的正切值．
17．（15分）已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為A、B,點(diǎn)C在E上，點(diǎn)分別為直線上的點(diǎn)．
（1）求的值；
（2）設(shè)直線與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為D,求證：直線經(jīng)過定點(diǎn)．
18．（17分）設(shè)是一個(gè)二維離散型隨機(jī)變量，它的一切可能取的值為,其中，令,稱是二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列，與一維的情形相似，我們也習(xí)慣于把二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列寫成下表形式：
現(xiàn)有個(gè)球等可能的放入編號(hào)為1,2,3的三個(gè)盒子中，記落入第1號(hào)盒子中的球的個(gè)數(shù)為X,落入第2號(hào)盒子中的球的個(gè)數(shù)為Y．
（1）當(dāng)時(shí)，求的聯(lián)合分布列，并寫成分布表的形式：
（2）設(shè)且,求的值．
（參考公式：若,則）
19．（17分）己知函數(shù)．
（1）若,求的圖象在處的切線方程；
（2）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)．
（i）求a的取值范圍；
（ii）求證：．
江西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體2024屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案
一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.
1.【答案】B；2.【答案】C；3.【答案】D
4.【答案】A由，得，即，
所以.
5.【答案】C；6.【答案】B
7.【答案】D【詳解】丙隊(duì)在輸了第一場(chǎng)的情況下，其積分仍超過其余三支球隊(duì)的積分，三隊(duì)中選一隊(duì)
與丙比賽，丙輸，，例如是丙甲，
若丙與乙、丁的兩場(chǎng)比賽一贏一平，則丙只得4分，這時(shí)，甲乙、甲丁兩場(chǎng)比賽中甲只能輸，否則甲
的分?jǐn)?shù)不小于4分，不合題意，在甲輸?shù)那闆r下，乙、丁已有3分，那個(gè)它們之間的比賽無論什么情
況， 乙、丁中有一人得分不小于4分，不合題意.
若丙全贏（概率是）時(shí)，丙得6分，其他3人分?jǐn)?shù)最高為5分，這時(shí)甲乙，甲丁兩場(chǎng)比賽中甲不
能贏，否則甲的分?jǐn)?shù)不小于6分，只有平或輸，一平一輸，概率是，如平乙，輸丁，則乙丁比
賽時(shí)，丁不能贏，概率是，
兩場(chǎng)均平，概率是，乙丁這場(chǎng)比賽無論結(jié)論如何均符合題意，
兩場(chǎng)甲都輸，概率是，乙丁這場(chǎng)比賽只能平，概率是.
綜上，概率為，D正確．
8.【答案】C【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，，所以，
對(duì)兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得，所以有
所以函數(shù)的周期為，在中，令，所以，
因此，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，
所以有，
，
由可得：，所以.
二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.
9.【答案】AD【詳解】對(duì)于A，一個(gè)總體含有50個(gè)個(gè)體，某個(gè)個(gè)體被抽到的概率為，
以簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式從該總體中抽取一個(gè)容量為10的樣本，
則指定的某個(gè)個(gè)體被抽到的概率為 ，故A正確；
對(duì)于B，數(shù)據(jù)1，2，，6，7的平均數(shù)是4，，
這組數(shù)據(jù)的方差是，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，8個(gè)數(shù)據(jù)50百分為，第50百分位數(shù)為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，依題意，，則，
所以數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為16，D正確.
10.【答案】BCD
11.【答案】ABD【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，如圖所示，連接對(duì)應(yīng)面對(duì)角線，
根據(jù)正方體的性質(zhì)可知：，
平面，平面，
∴平面，同理可知平面，
又平面，
∴平面平面，
又，∴平面，
∴平面，故A正確;
對(duì)于B項(xiàng)，易知面，
面，則，
又平面，
∴平面，而平面，
∴，同理，
又平面，
∴平面，
又∵平面，∴平面平面，故B正確;
對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)闉槎ㄖ本€，是定角，到的距離為定值，
所以時(shí)，在以為旋轉(zhuǎn)軸，到的距離為半徑的圓錐上，
又平面，故平面截圓錐的軌跡為雙曲線的一支，即C錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)中點(diǎn)分別為N，Q，
則點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡是平面內(nèi)以N為圓心，為半徑的圓（如圖），

易知平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面，
而，
設(shè)與圓的交點(diǎn)分別為E，F(xiàn)（點(diǎn)E位于點(diǎn)F，Q之間，如上圖所示），
易知當(dāng)點(diǎn)A分別位于點(diǎn)E，F(xiàn)時(shí)，點(diǎn)A到平面的距離分別取到最小值和最大值，
且距離的最小值，
距離的最大值，
∵的面積，
故選項(xiàng)D正確．綜上，正確選項(xiàng)為ABD．
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12.【答案】【詳解】二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)公式為，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因此展開式中含的項(xiàng)為，故所求系數(shù)為.
13.【答案】.
14.【答案】.
四、解答題：本大題共5小題，共77分.
15.（13分）解（1）由題可得：CD=2BD，故…………………2分
又,即，
，即………………4分
在中，根據(jù)余弦定理得
即…………………6分
，即，…………………7分
（2），…………………8分
，即
又，①…………………11分
又②，由①②得：…………………12分
…………………13分
16.（15分）（1）證明：在中，………1分
過點(diǎn)D作DO⊥AC于點(diǎn)O，連接BO，則
，∴≌，即OD=OB=3………………3分
又
又OD⊥AC，………………5分
又∴平面ACD⊥平面ABC…………………6分
（2）由（1）知，OA、OB、OD兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，
，
………………8分
設(shè)是平面ABE的一個(gè)法向量
則
，…………………12分
而是平面ABC的一個(gè)法向量，………………14分
設(shè)二面角平面角的大小為，則
………………15分
17.（15分）解（1）設(shè)，由題可知，………………2分
又，由…………………4分
，，………………… 5分
………………6分
（2）由題可知，直線MA的方程為：
聯(lián)立方程可得：
=45>0………………7分
，………………8分
又，，
同理可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為………………9分
（i）當(dāng)直線CD垂直于x軸時(shí)，，即,
，此時(shí)直線CD的方程為………………10分
（ii）當(dāng)直線CD不垂直于x軸時(shí)，
………………11分
故直線的方程為………………12分
令 y=0，則
整理得，此時(shí)直線經(jīng)過定點(diǎn)……………14分
綜上，直線經(jīng)過定點(diǎn)………………15分
另解：（ii）當(dāng)直線CD不垂直于x軸時(shí)，由對(duì)稱性知定點(diǎn)在軸上，設(shè)
由C、D、Q三點(diǎn)共線知
化簡(jiǎn)得：，則
此時(shí)直線經(jīng)過定點(diǎn)……………14分
綜上，直線經(jīng)過定點(diǎn)………………15分
解法二：
（1）設(shè)，則，
∵A、C、M三點(diǎn)共線，∴，…………………2分
同理：，∴…………………4分
又點(diǎn)在曲線E上，∴，代入上式得：………………6分
（2）由
又，∴…………………8分
由題可得直線CD顯然不與x軸平行
設(shè)直線CD的方程為：
由得…………………9分
…………………11分
又
…………………13分
由…………………14分
∴直線CD：，∴直線經(jīng)過定點(diǎn)…………………15分
18.（17分）解（1）若n=2，X的取值為0，1，2，Y的取值為0，1，2，…………………1分
則P（X=0，Y=0）=，…………………2分
P（X=0，Y=1）=…………………3分
P（X=0，Y=2）=，P（X=1，Y=0）=…………………4分
P（X=1，Y=1）=P（X=2，Y=0）=…………………5分
P（X=1，Y=2）=P（X=2，Y=1）=P（X=2，Y=2）=0…………………6分
故（X，Y）的聯(lián)合分布列為
…………………7分
（2）當(dāng)…………………9分
故…………………11分
=…………………13分
所以，…………………15分
由二項(xiàng)分布的期望公式可得.…………………17分
19.（17分）解（1）若，則，所以，
所以，又，………………2分
所以的圖象在處的切線方程為，即.………………3分
（2）（i）由題意知.
令，則.
因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，，所以有兩個(gè)不等正實(shí)根，.
若，，則在上遞增，
所以在上至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；………………5分
若，令，解得，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上遞增，在上遞減.
所以時(shí)，取得極大值，即最大值為，………………6分
所以，解得.………………7分
當(dāng)時(shí)，，又，所以，
由零點(diǎn)存在性定理知：存在唯一的，使得.………………8分
又，
令，所以，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上遞增，在上遞減，
所以，
所以，所以，
由零點(diǎn)存在性定理知：存在唯一的，使得.………………10分
所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不等正實(shí)根，.
綜上，的取值范圍是.………………11分
（ii）證明：由①知，且，所以，
因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，及，所以，…………………12分
又，所以.………………13分
因?yàn)?，，所以，?br>所以，所以.………………14分
令，所以，
所以在上遞增，因?yàn)椋?，所以?br>即，所以，………………16分
所以，即.
所以.………………17分…
…
…
…
…
…
…
…
…
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
D
A
C
B
D
C
題號(hào)
9
10
11
答案
AD
BCD
ABD
（X，Y）
0
1
2
0
1
0
2
0
0

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